\documentclass[12pt,a4paper]{article}

% Modèle de rapport de stage et conseils de rédaction, mise en page...
% L. Bellon, avril 2010

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\title{LP09 - Modèle de l'écoulement parfait d'un fluide}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\begin{itemize}
\item 2017 : La multiplication des expériences illustrant le théorème de Bernoulli n'est pas souhaitable, surtout si
celles-ci ne sont pas correctement explicitées.
\item 2016 : Les limites de ce modèle sont souvent méconnues.
\item 2015 : Le jury invite les candidats à réfléchir davantage à l'interprétation de la portance et de l'effet Magnus.
Les exemples cités doivent être correctement traités, une présentation superficielle de ceux-ci n'étant pas
satisfaisante. \\
Jusqu'en 2013, le titre était : Modèle de l'écoulement parfait d'un fluide ; validité. Relation de Bernoulli ; limites
et applications.
\item 2011, 2012, 2013, 2014 : La notion de viscosité peut être supposée acquise.
2010 : Il est difficile de bien dégager la physique du modèle de l'écoulement parfait et de ses limites sans faire
appel à la notion de viscosité que l'on pourra supposer connue. Les conditions aux limites imposées à un fluide
s'écoulant autour d'un obstacle solide doivent être justifiées. L'interprétation énergétique de la relation de
Bernoulli est très mal connue.
\item 2009 : Il est difficile de bien dégager la physique du modèle de l'écoulement parfait et de ses limites sans faire
appel à la notion de viscosité. Les conditions aux limites imposées à un fluide s'écoulant autour d'un obstacle
solide doivent être justifiées. L'interprétation énergétique de la relation de Bernoulli est très mal connue.
\item 2005 : La différence entre écoulement incompressible et fluide incompressible est souvent ignorée, de même
qu'entre écoulement parfait et fluide parfait.
\item 2003 : L'équation d'Euler ne constitue pas le sujet central de la leçon et ne doit pas prendre une place excessive.
Diverses expressions du théorème de Bernoulli peuvent être présentées. Il est plus intéressant de présenter des
illustration concrètes ou des applications pratiques que d'exposer une longue suite de formulations.
\end{itemize}


\begin{center}
\begin{Large}
Bon courage !
\end{Large}
\end{center}


\subsection*{Références :}
\begin{itemize}

\item J'intègre PC*, Sanz $\quad\quad\quad\quad\quad$l'essentiel du cours.
\item Physique expérimentale, Jolidon $\quad\quad\quad\quad\quad$ les expériences fort bien décrites
\item Introduction à la dynamique des fluides, Rieutord$\quad\quad\quad\quad\quad$ pour quelques précisions



\end{itemize}
\section*{Niveau : L3 }
\subsection*{Prérequis :}

   \begin{minipage}[c]{.46\linewidth}
\begin{itemize}
\item Cinématique des fluides 
\item écoulements incompressibles

\end{itemize}
   \end{minipage} \hfill
   \begin{minipage}[c]{.46\linewidth}
\begin{itemize}
\item Notion de viscosité
\item Euation de Navier Stokes
\end{itemize}
   \end{minipage}


%%
%%
%%\begin{bclogo}[couleur=jaune]{Experience :}
%%zfzegzgzt
%%\end{bclogo}




\section*{Introduction}

Dans le cours précédent, nous avons vu l'équation de Navier-Stokes pour un écoulement incompressible, qui est une
équation non linéaire aux solutions parfois compliquées. \\ Dans ce cours, nous allons développer le modèle de l'écoulement
parfait qui simplifiera cette équation et permettra d'alléger son traitement, avant d'établir un théorème fondamental
avec lequel on traitera deux exemples d'application.

\section{Notion d'écoulement parfait}

\subsection{Fluide et écoulement parfaits}

Pour commencer, nous allons définir ce qu'est un fluide parfait :

\begin{bclogo}[couleur=bleu]{Définition : fluide parfait}
Un fluide parfait est un fluide dans lequel il n'existe pas de phénomènes de dissipation (impliquant qu' il ne conduit pas de chaleur); on considère notamment $\eta = 0$ et $D_{th} = 0$. Dans ces fluides, la contrainte se résume à la seule contrainte de pression.
\end{bclogo}


En pratique, la majorité des fluides ne le sont pas (il n'y a que l'hélium IV superfliude en dessous de $1.7\; K$ qu'on considère comme parfait),
mais peuvent présenter le même comportement qu'un fluide parfait : on parle alors d'\textbf{écoulement parfait} :


\begin{bclogo}[couleur=bleu]{Définition : écoulement parfait}
C'est un écoulement qui peut être raisonnablement approximé par celui d'un fluide parfait.
\end{bclogo}
En particulier, il faut que les effets diffusifs décrits par le terme $\eta \Delta $ soit négligeable devant les autres termes : on va en voir les conditions.
\\
\\ Il faut aussi que les transformations que subissent le fluide puissent être supposées isentropiques\footnote{On peut voir cela comme le fait que les sources d'irréversibilité sont souvent reliées à un échange d'énergie avec L'extérieur. Voir le livre de M. Rieutord pages 17, 18 et 19 pour en savoir plus.}.

\subsection{Domaine de validité}

On Appelle $\tau_V$ le temps caractéristique des phénomènes de dissipation visqueux, $\tau_C$ le temps caractéristique des phénomènes de convection et enfin $\tau_{th}$ le temps caractéristique de diffusion thermique.
\\ Pour cela, soient $V$ une vitesse typique, $L$ une taille typique dans l'écoulement, $D_{th}=\frac{\lambda}{\rho c }$ le coefficient de diffusion thermique et $\eta$ la viscosité dynamique du fluide et enfin $\rho$ sa masse volumique :
\\ \\ Par une analyse dimensionnelle bien effectuée, on trouve :
\begin{equation}
\tau_C=  \frac{V}{L}  \quad\quad\quad \tau_V=\rho \frac{L^2}{\eta}
 \quad\quad\quad  \tau_{th}=\frac{L^2}{D_{th}}
\end{equation}

Pour que l'écoulement soit parfait, il faut que $\tau_C<<\tau_V$ et $\tau_C << \tau_{th}$.
\\
\\ Pour comparer ces termes, on définit souvent les nombres adimensionnés :
\begin{itemize}
\item \textbf{Nombre de Reynolds} : $ \boxed{ Re= \frac{\tau_V}{\tau_C} = \frac{\rho V L}{\eta}}$
\item \textbf{Nombre de Péclet} : $ \boxed{ Pe_\theta= \frac{\tau_{th}}{\tau_C} =\frac{LV}{ D_{th}}}$
\end{itemize}
Les hypothèses précédentes se résument donc à :
\begin{equation}
\boxed{\tau_C<<\tau_V,\, \tau_{th}} \quad\quad \iff \quad\quad \boxed{ Re \gg 1, \; Pe_\theta \gg 1 }
\end{equation}

\textbf{Ordres de grandeur\footnote{ D'autres : $\rho_{air} \approx 1,2 kg.m^{-3}$ $\quad\quad\quad$ $\eta_{air} \approx 1,8. 10^{-5} Pa.s$ $\quad\quad\quad$
$D_{air} \approx 20 \, 10 ^{-6} m^2/s$ \\
Sèche-cheveux : $U\approx 20$ $L \approx 0,3\;m$  $\implies$ $Re \approx 10^5$ $Pe \approx 10^5$ $\delta \approx 10^{-3}$\\
Aile d'avion : $U\approx 200$ $L \approx 1.5\;m$  $\implies$ $Re \approx 10^7$ $Pe \approx 10^7$ $\delta \approx 10^{-4}$ } :}
\begin{itemize}
\item jet d'eau sortant d'un robinet : $U \approx 1\;m/s$, $L \approx 1\;m$ $ \begin{cases} Re\approx 10^6 >> 1,\\ Pe_\theta \approx 10^7 >> 1  \end{cases}$
\item voiture $U \approx 100\;km/h \approx 10 2 m/s$, $L \approx 1\;m$ $ \begin{cases} Re\approx 10^7 >> 1,\\ Pe_\theta\approx 10^7 >> 1  \end{cases}$
\end{itemize}

Ces deux écoulements peuvent donc être traités comme des écoulements de fluide parfait.
\\
\\ \textbf{Attention} toutefois, proche des parois ce modèle n'est pas valable car la viscosité n'est plus négligeable. On
parle alors de couche limite. L'épaisseur caractéristique\footnote{Démo en LP08} de la couche est donnée par : 
\begin{equation}
\delta \approx \frac{L}{\sqrt{
Re}}
\end{equation}

\subsection{Équation d'Euler}
Rappelons l'équation de Navier Stokes pour un fluide de masse volumique et viscosité constantes\footnote{(Voir l'annexe de la LP08 et aussi le Rieutord p19 à 23) Pour un fluide compressible, on applique la loi de Hooke qui fait sortir simplement un terme en plus dans le membre de droite : $(\eta+\mu) div(\overrightarrow{v})$ où  $\mu$ est la seconde viscosité.} :
\begin{equation}
\rho \left( \frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}   + (\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{grad} ) \overrightarrow{v} \right) =- \overrightarrow{grad} (P) + \eta\overrightarrow{\Delta} \overrightarrow{v} +\overrightarrow{f}
\end{equation}
$\overrightarrow{f}$ désigne ici une force extérieure volumique\footnote{Dans la suite, on la rentrera dans la pression pour peu qu'elle soit conservative.}. 
\\ D'après ce que l'on a dit précédemment, on peut comparer les termes convectifs et visqueux de cette équation en utilisant le nombre de Reynolds :
\begin{equation}
Re= \frac{\tau_V}{\tau_C} = \frac{\rho V L}{\eta} = \frac{\mid\mid  \rho (\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{grad}) \overrightarrow{v}  \mid\mid}{\mid\mid  \eta\overrightarrow{\Delta} \overrightarrow{v} \mid\mid}
\end{equation}
Dans le cas de l'écoulement parfait où $Re>>1$, on obtient donc que l'on peut négliger le terme visqueux devant le terme convectif\footnote{En toute rigueur, il faudrait adimensionner (NS) pour pouvoir justifier cette hypothèse ce qui est fait en LP08. Je ne le recopie pas ici. A voir, si le temps le permet.}. On obtient donc \textbf{l'équation d'Euler} (\textbf{Pour un écoulement parfait incompressible}) :


\begin{bclogo}[couleur=bleu]{Équation d'Euler :}

\begin{equation}
\rho \left( \frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}   + (\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{grad} ) \overrightarrow{v} \right) =- \overrightarrow{grad} (P) +\overrightarrow{f}
\end{equation}

\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur=bleu]{Conditions aux limites :}
Pour un fluide parfait en contact avec un solide, \textbf{le fluide ne peut pas pénétrer dans
le solide}.  \\ Cette condition impose la relation suivante :
\begin{equation}
\overrightarrow{v_{\mathbf{fluide}}}\cdot \overrightarrow{n} = - \overrightarrow{v_{\mathbf{solide}}} \cdot \overrightarrow{n}
\end{equation}
avec $\overrightarrow{n}$ le vecteur normal à l'interface. Pour un contact entre deux fluides parfaits, la relation est identique.\footnote{En dehors de la couche limite et dans une zone simplement connexe (sans obstacle), on peut \textit{a priori} toujours supposer l'écoulement parfait }
\end{bclogo}
Attention, Ce qu'on développe dans cette leçon n'est valable qu'en régime laminaire donc haut $Re$ mais pas trop quand même pour ne pas être en régime turbulent (où les lignes de vitesse ne sont plus stationnaires ...)
\subsubsection{Effet Coanda}
\begin{bclogo}[couleur=jaune]{Experience :}
Jolidon p419
\\
\\
Allumer un sèche cheveux. Incliner le jet d'environ $15^\circ$. Placer une balle de ping-pong dans le jet. Normalement, il y a une position pour laquelle la balle reste immobile.
\end{bclogo}


\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{LP_09_coanda.png}
\caption{Schéma d'une balle de ping pong dans un fluide (l'air) produit par un sèche-cheveux.}
\label{coanda}
\end{figure}
Bon, on va essayer de comprendre cette expérience. La balle est de rayon $R$, la vitesse à l'infini est $U$.
\subsubsection{Analyse des symétries :}
\begin{itemize}
\item  Comme le problème est invariant par rotations autours de l'axe sèche-cheveux / sphère, on peut considérer le problème en 2D (plan du tableau/feuille). 

\item On place un repère cylindrique dont l'origine est le centre de la sphère. Si nous reprenons les figures \ref{coanda}, la vitesse est colinéaire à $+  \overrightarrow{ e_\theta  }$ pour le fluide passant à droite (point A) et selon $-\overrightarrow{   e_\theta  }$ à gauche (point B). Donc : $\overrightarrow{v}(r,\theta)$
\item La vitesse est contrainte par la présence de la balle et nous la considérons donc suivant $  \pm \overrightarrow{   e_\theta  }   $
\end{itemize}

Restreignons notre problème à l'écoulement à droite ($v_{D}$) pour commencer. Nous généraliserons ensuite le problème en donnant aussi l'écoulement à gauche ($v_{G}$). Nous avons : 

\begin{equation} 
\overrightarrow{  v_{D}  }  =  v_{D}(r,\theta) \overrightarrow{   e_\theta  }  
\end{equation}

Avec l'incompressibilité de l'écoulement: $div(\overrightarrow{v_{D}})=0$ qui est une \textbf{condition locale} donne (des deux cotés) :
\begin{equation}
div(\overrightarrow{v_{D}})= \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial \theta} \overrightarrow{v_{D}}=0
\end{equation}
Donc : 
\begin{equation}
\boxed{  \overrightarrow{  v_{D}  }  =  v_{D}(r) \overrightarrow{   e_\theta  } }
\end{equation}

\subsubsection{Équation d'Euler :}

Le terme non linéaire\footnote{Le moment technique est d'avoir conscience que l'on peut facilement repasser en coordonnées cartésiennes et montrer que :

\begin{equation}
\frac{\partial \overrightarrow{   e_\theta } }{\partial \theta}  =   -\overrightarrow{   e_r} 
\end{equation}
En effet, par rapport au repère carthésien centré sur le point où les vecteurs unitaires sont définis : \begin{equation}  
\overrightarrow{   e_\theta} =\begin{pmatrix}
cos (\theta) \\ sin(\theta)
\end{pmatrix}\quad\quad
\overrightarrow{   e_r} =\begin{pmatrix}
 sin (\theta) \\ - cos(\theta)
\end{pmatrix} \quad\quad\quad donc\;:\;    =  \frac{\partial \overrightarrow{   e_\theta } }{\partial \theta} =\frac{\partial }{\partial \theta}
\begin{pmatrix}
cos (\theta) \\ sin(\theta)
\end{pmatrix}
 =  \begin{pmatrix}
- sin (\theta) \\ cos(\theta)
\end{pmatrix}=- \overrightarrow{   e_r}
\end{equation}


} devient :
\begin{equation}
(\overrightarrow{v_{D}}\cdot \overrightarrow{grad} ) \overrightarrow{v_{D}}= v_{D}(r) \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \left[v_{D}(r) \overrightarrow{   e_\theta  }\right]= v_{D}^2(r) \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \left[\overrightarrow{   e_\theta  }\right]=- \frac{v_{D}^2}{r} \overrightarrow{   e_r  }
\end{equation}
Donc, l'équation d'Euler s'écrit en régime permanent (\textbf{On néglige le poids de la balle sur l'écoulement}) :
\begin{equation}
\rho (\overrightarrow{v_{D}}\cdot \overrightarrow{grad} ) \overrightarrow{v_{D}} =- \overrightarrow{grad} (P) 
\end{equation}
On projette avantageusement sur $\overrightarrow{   e_r  }$ :
\begin{equation}
- \rho \frac{v_{D}^2}{r} =-\frac{\partial P}{\partial r}   \implies \frac{\partial P}{\partial r}(R) =\rho \frac{v_{D}^2}{R} \geq 0
\end{equation}
où $R$ est le rayon de la balle. On voit que le fluide qui s'écoule à droite subit donc une pression qui augmente avec $r$. De la même façon, pour le fluide à gauche, on aurait exactement les mêmes calculs avec 2 "$-$" pour les vitesses qui s'annulent. Nous obtenons :

\begin{equation}
 \frac{\partial P}{\partial r}(R) = \rho \frac{v_{G}^2}{R} \leq 0
\end{equation}
On a donc la pression qui augmente lorsque $r$ augmente à gauche.
\\
\\ L'action du fluide passant à droite et à gauche vient donc pousser la balle vers le centre. On déduit donc que la position d'équilibre stable de la balle est donc la balle au centre du jet : c'est l'effet Coand\v{a}\footnote{L'existence de ces forces es de manière générale liée au rayon de courbure des lignes de champ de vitesse du fluide en régime permanent et à la conservation de la quantité de mouvement. }.

 \section{Théorème de Bernoulli}\footnote{La forme la plus générale du théorème de Bernoulli ne suppose pas que le fluide est incompressible et l'expression est alors : $ \frac{1}{2} \overrightarrow{v}^{2} \, + \, h \, + \, \phi \, = \, Cte $ où h est l'enthalpie.}

\subsection{Démonstration}
\subsubsection{Énoncé :}

\begin{bclogo}[couleur=bleu]{Conditions aux limites :}

Soit un écoulement parfait permanent, incompressible soumis à une force volumique conservative de la forme $\-\rho \overrightarrow{grad}(\phi)$. Soient $A$ et $B$ deux points sur une même ligne de courant. On a :
\begin{equation}
\boxed{ \left[ \frac{1}{2}\rho v^2 +P+\rho \phi  \right]_A^B=0 }
\end{equation}

\end{bclogo}

\subsubsection{Preuve :}


Pour un écoulement parfait permanent\footnote{En fait, si on a un écoulement parfait irrotationnel, on n'a pas besoin que l'écoulement soit stationnaire. Le potentiel dont dérive alors la vitesse voit sa dérivée temporelle se rajouter dans le crochet dans le théorème.}, incompressible soumis à une force volumique conservative $\-\overrightarrow{grad}(\phi)$. On a l'équation d'Euler qui devient :
\begin{equation}
  \rho \left( \overrightarrow{v} \cdot\overrightarrow{grad}  \right) \overrightarrow{v}    = -\overrightarrow{grad}(P)  - \rho\overrightarrow{grad}(\phi)
\end{equation}
Or, on a l'identité vectorielle :
\begin{equation}
   \left( \overrightarrow{v} \cdot\overrightarrow{grad}  \right) \overrightarrow{v} =  \overrightarrow{rot} (\overrightarrow{v} ) \wedge \overrightarrow{v} +\overrightarrow{grad} (\frac{\overrightarrow{v} ^2}{2})
\end{equation}
Intégrons sur une ligne de courant la relation précédente : $\overrightarrow{dl} $ désigne l'abscice curviligne. En particulier, on a toujours que $\overrightarrow{dl} $ est colinéaire à $\overrightarrow{v} $ par définition :

\begin{equation}
\int_A^B     \overrightarrow{grad} \left(        \rho \frac{ \overrightarrow{v}^2}{2} +P + \rho \phi \right)    \cdot \overrightarrow{dl}
=
\int_A^B \left\lbrace  \underbrace{    \overrightarrow{rot} (\overrightarrow{v} ) \wedge \overrightarrow{v}                  }_{ \perp \overrightarrow{v} }    \right\rbrace      \cdot     \underbrace{  \overrightarrow{dl}     }_{ // \overrightarrow{v} }  \, = \, 0
\end{equation}

Le membre de gauche est par définition égale :

\begin{equation}
\int_A^B     d \left(        \rho \frac{ \overrightarrow{v}^2}{2} +P + \rho \phi \right)
=0 
\end{equation}
donc :
\begin{equation}
 \left[ \frac{1}{2}\rho v^2 +P+\rho \phi  \right]_A^B=0
\end{equation}

\textbf{Le théorème de Bernoulli est vrai dans tout le fluide dans le cas d'un fluide irrotationnel.}


\begin{bclogo}[couleur=bleu]{Sens Physique}

Sur une ligne de courant (ou dans tout le volume) d'un écoulement parfait, stationnaire, incompressible et soumis au
poids (et irrotationnel), une augmentation de vitesse entraîne une diminution de pression au point considéré.

\end{bclogo}


\subsection{Interprétation énergétique}

En réalité, le fait que la charge se conserve au cours de l'écoulement traduit le fait que l'énergie mécanique se
conserve (ce qui est logique puisqu'on a négligé tout effet de dissipation...). En effet, en multipliant par $\rho$, on obtient
\begin{itemize}
\item $\frac{\rho}{2} v^2$ l'énergie cinétique volumique\footnote{ On parle de pression dynamique pour désigner le terme $\rho v^2$. Si dans un écoulement irrotationnel, la vitesse augmente en un point alors la pression en ce point diminue comme le théorème de Bernoulli le démontre. \\
C'est ce qui explique la cavitation. Si les hélices d'un bateau tournent suffisamment vite, alors la pression
autour de ces hélices diminue jusqu'à dépasser la pression de vapeur saturante de l'eau : des bulles de
vapeur se forment. } ;
\item $\rho \phi = \rho g z$, l'énergie potentielle de pesanteur par exemple ;
\item $P = \rho h$, avec $h$ l'enthalpie volumique (relation valable si isentropique)\footnote{L'enthalpie $H(S,P,N)$ est obtenue à partir de l'énergie interne $U(S,V,N)$ par une transformation de Legendre. Dans le cas où le nombre de particules de varie pas, la différentiel s'écrit : $\mathrm{d} H \, = \, \left. \dfrac{\partial H}{\partial S} \right|_{P,N} \, \mathrm{d} S \, + \, \left. \dfrac{\partial H}{\partial P} \right|_{S,N} \, \mathrm{d} P$. Si nous prenons des grandeurs massique (ce qui revient à diviser chaque terme par m), nous obtenons : $\mathrm{d} h \, = \,  T  \, \mathrm{d} s \, + \, \frac{1}{\rho} \, \mathrm{d} P$. Finalement nous retrouvons bien : $\mathrm{d} h \, = \, \frac{1}{\rho} \, \mathrm{d} P$ si l'entropie ne varie pas.}
\end{itemize}

Nous pouvons alors faire une application directe de ce théorème : l'effet Venturi.

\subsubsection{Effet Venturi}
Jolidon, p.416 ; Sanz PC*, p.361 ; GHP, p.206.
\\
\\
On considère encore un fluide en écoulement parfait, stationnaire et incompressible
\\
\\ 
Il évolue dans une conduite de section $S$ présentant un étranglement de section $s$. On ne pourra pas considérer l'écoulement irrotationnel, on va donc appliquer le théorème de Bernoulli à une ligne de courant, ici l'axe (de symétrie) neutre de la conduite. Sur cet axe, on repère par $A$, $B$ et $C$ les points sur la ligne neutre en-dessous des tubes de section $s_0 << s$, et $A'$ , $B'$ et $C'$ les points à l'interface eau/air de chaque tube. Voir figure (\ref{Venturi}).
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.3]{LP_09_venturi.png}
\caption{Schéma pour l'effet Venturi}\label{Venturi}
\end{figure}

On peut utiliser le tube P106.28

\begin{equation}
\begin{cases}
P_A = P_0 + \rho gh_A \\
P_B = P_0 + \rho gh_B \\
P_C = P_0 + \rho gh_C
\end{cases}
\end{equation}

La conservation de la masse impose $\rho S v_A = \rho s v_B = \rho Sv_C$ ($S$ et $s$ sont les sections des tubes). Aussi, $v_A = v_C =v$
et comme $S >> s$, on a :  $v << v_B$.
\\ L'application du théorème de Bernoulli sur la ligne de courant horizontale passant par les
points $A$, $B$ et $C$ implique :

\begin{equation}
\frac{v^2}{2}+\frac{P_A}{\rho}=\frac{v_B^2}{2}+\frac{P_B}{\rho}=\frac{v^2}{2}+\frac{P_C}{\rho}
\end{equation}

Le forces conservatives se résument à celle de pesanteur dans notre problème. La ligne de courant choisit est à hauteur fixée donc le terme est identique en A, B et C; ce qui exmplique qu'il n'intervienne pas dans le bilan ci-dessus. \\

En injectant les expressions des pressions aux point $A$, $B$ et $C$ :

\begin{equation}
\frac{v^2}{2}+gh_A=\frac{v_B^2}{2}+gh_B=\frac{v^2}{2}+gh_C
\end{equation}
Donc, comme $v_B<< v$, on a : $h_B>>h_A$
\\
\\
Le modèle prédit que $P_A$ = $P_C$ mais en pratique on observe que $P_C < P_A$ ce qui montre bien les limites de notre modèle.
\\ 
En fait, on a une « perte de charge » due à la \textbf{zone d'eau morte} (voir figure (\ref{deadwater}))dessinée sur la figure 2 qui vient du fait que le liquide ne
peut pas suivre exactement la conduite juste après l'étranglement, ce qui est dû et à la viscosité et aux turbulences : de l'énergie y est dissipée.


\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.3]{LP_09_vnturi_eau_morte.png}
\caption{Zone de l'eau morte}\label{deadwater}
\end{figure}

\begin{bclogo}[couleur=jaune]{Experience :}
Il serait intéressant de monter cette manip, mais je n'ai pas pu trouver de ref. Il parait qu'un tuyau existe.
\end{bclogo}


\section{Application : le tube de Pitot}

Sanz PC*, p.364.
\\
\\
C'est un dispositif de mesure de vitesse utilisé notamment dans les avions ou dans les bateaux. Comme d'habitude,
on considère un écoulement parfait, stationnaire, incompressible qui qui arrive sur le tube à la vitesse $\overrightarrow{v}=v_0 \overrightarrow{e_x}$
\\ On considère deux lignes de courant particulières où on fait les mesures :
\begin{itemize}
\item  $A----A_\infty$ :
\begin{itemize}
\item $A$ est à l'entrée d'un petit tube de
faible section (typiquement $0.5 \;mm^2$ ) l'air atteint rapidement un état d'équilibre et est immobile en ce
point., on considère que la vitesse est nulle. La pression vaut $P_A$ Que l'on sait mesurer au moyen du petit tube qui est relié à un manomètre.
\item En $A_\infty$ est très loin de l'obstacle, la vitesse est celle à l'infini ( que l'on veut mesurer) et la pression est la pression atmosphérique $P_0$
\end{itemize}
\item $B----B_\infty$
\begin{itemize}
\item B est à la verticale d'un second tuyau; On va négliger la différence d'altitude entre la sortie du tuyau et $B$. On y mesure alors directement la pression. En ce point, la vitesse vaut $v_B=v_0$. Cela reste valable dans le cas d'une petite couche limite.
\item En $B_\infty$ est très loin de l'obstacle, la vitesse est celle à l'infini ( que l'on veut mesurer) et la pression est la pression atmosphérique $P_0$
\end{itemize}
\end{itemize}

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{LP_09_Pitot.png}
\caption{Tube de Pitot}\label{Pitot}
\end{figure}

Le théorème de Bernoulli nous donne :
\begin{equation}
\rho \frac{v_0^2}{2} + P_0 = 0+P_A\quad\quad\quad\quad \rho \frac{v_0^2}{2} + P_0 = \rho \frac{v_0^2}{2} + P_B \iff P_B=P^0
\end{equation}
Ainsi, par simple différence des deux équations précédentes, on obtient la relation :
\begin{equation}
\boxed{ v_0=\sqrt{\frac{2 (P_A-P_B)}{\rho}} }
\end{equation}
C'est un outil de mesure utilisé dans les avions par exemple. Dans la pratique, on utilise plusieurs (6 d'après les constructeurs) trous de type $B$ pour mesurer la pression statique $P_0$. On moyenne alors la valeur

\section{Conclusion}

Nous avons donc vu qu'un écoulement à grand nombre de Reynolds\footnote{ Les études à haut Reynolds, comme le décollement de la couche limite
derrière une balle de golf, est très importante en aéronautique pour limiter les effets de traînée par exemple, et l'effet \\
Magnus a déjà utilisé sur des bateaux pour créer des turbovoiles permettant d'économiser jusqu'à 35\% d'énergie à un
navire.} permettait de considérer un écoulement comme
étant celui d'un fluide parfait tant que l'on était loin de la couche limite, ce qui permet de simplifier l'équation de
Navier-Stokes et de développer un outil mathématique allégeant le traitement de systèmes physiques dont l'utilisation
repose sur les principes de l'écoulement parfait.
\\
\\ Dans une prochaine leçon, on pourra s'intéresser à comment faire la jonction entre l'écoulement parfait et celui de la couche limite; En particulier, on verra que ces deux ne sont pas indépendants.

\section{Annexe}

\subsection{Quelque questions possibles}

\begin{itemize}
\item Un écoulement turbulent est-il toujours parfait ? \\ Oui car il y a invariance d'échelle. C'est vrai tant qu'on ne regarde pas à l'échelle des plus petits tourbillons existant (de taille $\delta$)
\item Comment on trouve $\delta = \sqrt{\frac{L}{Re}}$ ? \\  On fait l'ordre de grandeur de la LP08. Ou alors on est malin et on remarque que le coefficient de diffusion visqueuse est $\nu=\eta/\rho$. Du coup par homogénéité et le théorème pi : $\delta^2 =\frac{\nu}{v} =\frac{L}{Re}$
\item Il se passe quand dans Bernoulli si on garde l'irrotationnalité mais qu'on enlève la stationnarité ? \\ $\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{v})=\overrightarrow{0}$ donc  on peut trouver $\phi$ tel que $\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{grad}(\phi)$. Dès lors, on peut donc l'inclure dans le $grad$.
\item Quelle hypothèse fait-on sur les tubes verticaux de l'effet Venturi ? \\ Il faut que leur section soit très petite devant
celle des conduites principales, pour éviter de perturber le mouvement.
\item Quelle est la limite de $div (\overrightarrow{v}) = 0$ ? \\ En fait pour être incompressible, il faut que la compressibilité isochore soit $\xi_V=-\frac{1}{V}\frac{\partial V}{\partial P}=0$ Cela revient à avoir une condition sur la vitesse du fluide par rapport à la vitesse des ondes sonores dans le fluide : $\boxed{v<<c \iff incompressible}$ C'est le critère de Mach.
\item Que mesure la sonde Pitot ? \\ Elle mesure la vitesse de l'avion par rapport au vent. Comment on fait pour avoir la
vitesse du vent alors ? Je sais pas.
\end{itemize}










\subsection{Sur l'isentropie en écoulement parfait}
 Preuve pour le fluide incompressible : \\ Le bilan d'énergie volumique $e$ sur une particule fluide donne :
\begin{equation}
\rho \frac{D\,e}{D\,t} = -div (\overrightarrow{j_Q})- P .div(\overrightarrow{v})+Q
\end{equation}


avec $\overrightarrow{j_Q}$  la densité de flux thermique et $Q$ le transfert thermique. Comme il n'y a pas de conduction
thermique $\overrightarrow{j_Q}= 0$, en supposant $Q = 0$, l'équation précédente devient :
\begin{equation}
\rho \frac{D\,e}{D\,t} =- P .div(\overrightarrow{v})\underbrace{=}_{incompressible} 0
\end{equation}
Or, $de = T dS'P dV = T dS +P d\rho/\rho^2$ où $V$ est le volume massique. Par ailleurs, la conservation de la masse implique :
\begin{equation}
\frac{D\, \rho}{D\,t}=div(\rho \overrightarrow{v}) 
\iff \frac{\partial \rho}{\partial t} =\rho\, div(\overrightarrow{v})\underbrace{=}_{incompressible} 0
\iff d\rho = \rho \,div( \overrightarrow{v}) dt=0
\end{equation}
Donc :
\begin{equation}
\frac{D\,e}{D\,t}=0= T \frac{D \,S}{D\,t}
\end{equation}
 \newpage
\subsection{Théorème de Bernouilli energétique}

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{LP_09_bernouilli_energetique.png}
\end{figure}

\subsection{Théorème de Kelvin}
Rieutord p74 p75
\\
\\
\begin{bclogo}[couleur=bleu]{Théorème de Kelvin :}
On considère un écoulement parfait, incompressible et dont les forces volumiques peuvent s'écrire à l'aide de
potentiels. Imaginons un contour fermé $\mathcal{C}$ dans une portion simplement connexe de fluide, dont chaque point se déplace à la vitesse du fluide en ce point ; ce contour
bouge au cours du temps. Définissons la circulation $\Gamma$ autour de ce contour fermé $\mathcal{C}(t)$ :

\begin{equation}
\Gamma=\oint_\mathcal{C} \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{dl}
\end{equation}

la circulation $\Gamma$ est conservée au cours du temps :
\begin{equation}
\boxed{\frac{d \Gamma}{dt}=0}
\end{equation}
\end{bclogo}
Or, Pour n'importe quelle surface $\mathcal{S}$ s'appuyant sur $\mathcal{C}$ :
\begin{equation}
\Gamma=\oint_\mathcal{C} \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{dl}=\iint_\mathcal{S}  \underbrace{ \overrightarrow{rot} (\overrightarrow{v} }_{=\overrightarrow{w}}   )\cdot \overrightarrow{dS}
\end{equation}
Comme c'est vrai pour toute surfaces $\mathcal{S}$ ainsi définies, on a donc que \textbf{le vecteur vorticité $\overrightarrow{w}$ est conservé }
Ainsi, si un écoulement est irrotationnel à un instant $t$ alors il est irrotationnel pour tous les temps. C'est l'intérêt des écoulements potentiels.
\\
\\
Traduction : Sans frottements, pas de naissance de tourbillons dans le fluide ! Pour cela, on a besoin de bords et de viscosité (décollement de couche limite ...) Avoir confiance que dans le cas d'un obstacle, ce théorème ne tient plus proche de l'espace où l'espace occupée par le fluide n'est plus simplement connexe.

\subsection{Effet Magnus}
Rieutord p89 mais mieux pour Marc dans Cap prépa PC*, ch.10.
\\
\\
Je ne conseille pas de le traiter en leçon. Il vaut tout de même le lire pour les questions.
\\
L'idée est :
\\
\\
On étudie ici l'écoulement stationnaire d'un liquide autour d'un cylindre tournant dans le sens horaire autour de son
axe de révolution. Le fluide arrive de la gauche et possède une vitesse uniforme. et comme le cylindre entraîne le fluide par des effets de viscosité, on a $v_B > v_A$. et les lignes de courant prennent la
forme décrite figure (\ref{Magnus}) :

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.3]{LP_09_magnus.png}
\caption{Champ de vitesse pour l'effet magnus}\label{Magnus}
\end{figure}

On raisonne sur deux lignes de courant AA 0 et BB 0
\\
On trouve : $\boxed{P_{A'}>P_{B'}}$.
\\
Cette différence de pression amène à la création d'une force de portance, dirigée ici vers le haut : c'est la force
Magnus (figure (\ref{portance})).

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.3]{LP_09_effet_magnus_portance.png}
\caption{Effet Magnus : représentation du champ de contrainte en surface du solide }\label{portance}
\end{figure}
 On peut montrer qu'elle s'exprime de la manière suivante :
\begin{equation}
\overrightarrow{F_M}=L\rho v_\infty \oint_\mathcal{C}  \left( \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{dl} \right)\overrightarrow{e_z}
\end{equation}
avec $L$ la longueur du cylindre dans la direction perpendiculaire au plan du tableau. $\mathcal{C} $ un contour fermé autour du cylindre et surtout $\overrightarrow{ e_z } = \overrightarrow{v_\infty  }   \wedge \overrightarrow{\Omega}$ où $\overrightarrow{\Omega}$ est le vecteur rotation du solide.
Selon le sens de la rotation du solide, la force change de sens !!! Ceux qui s'y connaissent en Tennis comprendront l'effet de coupé et de lift.
\\
\\ C'est en fait l'asymétrie de la circulation autour du cylindre (voir Rieutord) qui créé la force de Magnus, l'approche avec le théorème de
Bernoulli reste une explication qualitative.

\end{document}
