Abstract. Let \(M\) be a closed manifold. The cotangent bundle \(T^*M\) is endowed with its tautological 1-form \(\lambda\) and its symplectic form \(\omega=-d\lambda\). Let \(H:T^*M\to\mathbb{R}\) be a Tonelli Hamiltonian, let \(\alpha>0\) be a positive number and let \(X\) be the conformally Hamiltonian vector field defined by \(\iota_X\omega=\alpha\lambda+DH\). We prove that if there is no pair of conjugate points, then \(X\) has a global attractor and this is a Lipchitz Lagrangian graph. Joint work with Xifeng Su and Maxime Zavidovique.

Abstract. L'ordonnabilité est une propriété de topologie de contact dont l'étude fut initiée par Eliashberg et Polterovich en 2000. L'ordonnabilité est intimement liée à des phénomènes de rigidité tels que l'existence de cordes de Reeb entre legendriennes isotopes ou des phénomènes de "tassement". Le notion d'ordonnabilité peut être naturellement étendue aux variétés localement conformément symplectiques ayant une forme de Lee non exacte. Dans cet exposé, nous discuterons de cette extension et des généralisations potentielles de certains résultats de topologie de contact à ce cadre.

Abstract. Je parlerai de diverses constructions reliées au produit amalgamé de variétés lcs : liens avec les structures de produit de contact, produit de sous-variétés lagrangiennes et suspension de sous-variétés lagrangiennes. Ces structures permettent de faire le lien entre certains points fixes de difféomorphismes hamiltoniens et des intersections de sous-variétés lagrangiennes. La notion de produit amalgamé parait plus naturelle en définissant les structures lcs avec le langage des fibrés en droites plats, j'expliquerais comment ce points de vue permet de rendre naturel certaines notions déjà connues. Travail en collaboration avec K. Sackel.

Abstract. La famille des applications de Hénon est un modèle pour étudier la dynamique critique sur le plan. La plupart des travaux adoptent une approche perturbative et décrivent les applications fortement dissipative, proches des systèmes de dimension 1 (i.e. de la famille quadratique). Avec Enrique Pujals et Charles Tresser, nous avons développé une technique permettant de traiter des applications de Hénon jusqu'au jacobien 1/4.

Abstract. On considère une particule se déplaçant sur un billard planaire convexe selon une variante de la loi de réflexion usuelle, où les collisions deviennent inélastiques : à chaque collision (non-orthogonale) avec le bord, l'angle sortant (non-orienté) est strictement plus petit que l’angle d’incidence (par rapport à la normale au bord). L’application billard ainsi obtenue possède un attracteur global. Avec Anna Florio et Olga Bernardi, nous avons étudié la complexité topologique et dynamique de l’attracteur de Birkhoff associé. Nous montrons que pour un billard convexe générique de courbure «pincée», si la dissipation est assez forte, alors la dynamique est de type Morse-Smale, et l’attracteur de Birkhoff est «simple» (variété normalement contractée) ; à l’inverse, lorsque la dissipation est assez faible, l’attracteur de Birkhoff est «compliqué» à la fois du point de vue topologique (continu indécomposable), et du point de vue dynamique (ensemble de rotation d’intérieur non-vide, présence de fers à cheval, etc.). Je discuterai aussi certains développements dans un travail récemment entrepris avec Alejandro Passeggi.

Abstract. In this talk, I will first introduce a discrete approximation of the implicit solution semigroup. The discrete nonlinear vanishing discount problem will be considered, where the Mather measures play a center role. I will also discuss the uniqueness of the discounted solution. It is a joint work with Maxime Zavidovique.