\begin{document}
\title{LP-30-Laser}
\maketitle
\section*{Pré-requis}
\begin{itemize}
    \item Interférométre de Fabry-Pérot
    \item Optique géométrique
    \item Cohérence
\end{itemize}
\section{Niveau}
L3
\tableofcontents
\newpage
\section*{Introduction}

Sert en recherche, industrie mais aussi dans la vie de tous les jours mais domaine industriel

\section{Interaction lumière-matière}
On considère une boîte avec un gaz avec deux niveaux d'énergie $E_2$ et $E_1$ peuplés respectivement de $N_1$ et $N_2$, tel que $N = N_1+N_2$.

\subsection{Coefficients d'Einstein}

Pour un atome dans l'état d'énergie $E_2$, il peut retourner dans le niveau de basse énergie par processus \textbf{d'émission spontanée} (elle émet alors un photon d'énergie $h\nu$. On écrit alors : 
\begin{equation}
    \left(\frac{\mathrm{d}N_2}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{sp}} := -A_{21}N_2
\end{equation}
Il peut se passer le phénomène inverse, on parle alors d'\textbf{absorption} : 
\begin{equation}
    \left(\frac{\mathrm{d}N_2}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{abs}} := B_{12}N_1u_\nu
\end{equation}
Finalement, il y a un dernier processus possible, \textbf{l'émission stimulée }:
\begin{equation}
    \left(\frac{\mathrm{d}N_2}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{st}} := -B_{12}N_2u_\nu
\end{equation}

On obtient une phénomène d'émission de \textbf{même polarisation, même phase et même direction}.

\subsection{Bilan de population}

La quantité de particules est constante donc : 
\begin{equation}
    \frac{\mathrm{d}N_2}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}N_1}{\mathrm{d}t}
\end{equation}

\begin{equation}
     \left(\frac{\mathrm{d}N_2}{\mathrm{d}t}\right) = -A_{21}N_2 -B_{21}N_2u_\nu -B_{21}N_2u_\nu
\end{equation}
On utilise ensuite la loi de Planck : 
\begin{equation}
    u(\nu) = F(\nu)\frac{1}{\exp{\frac{h\nu}{kT}}-1}
\end{equation}
\noindent avec $F(\nu):=8\pi h\nu^3 c^3$
On se sert aussi de la statistique de Maxwell Boltzmann pour les rapport de population entre les niveaux d'énergie : 
\begin{equation}
    \frac{N_1}{N_2} = \frac{\exp{-\frac{E_2}{kT}}}{\exp{-\frac{E_1}{kT}}} = \exp{-\frac{h\nu}{kT}}
\end{equation}
On développe le calcul en supposant que l'on se trouve dans un régime permanent, ce qui donne des relations entre les coefficients d'Einstein : 
\begin{equation}
    \exp{-\frac{h\nu}{kT}} \left( -A_{21} -B_{21}F(\nu) \right) + B_{21}F(\nu) -A_{21} ~~~~ \forall  \nu
\end{equation}

On aboutit donc à $B_{21} = B_{12} = B$ et $A_{21} = BF(\nu)$

\subsection{Amplification}
La variation de photons dans la cavité s'écrit : 
\begin{equation}
     N_{\text{photon}} = BN_2u_\nu dt - BN_1u_\nu dt = Bu_\nu dt(N_2-N_1)
\end{equation}



$\longrightarrow$ On doit avoir une inversion de population pour faire en sorte que le nombre de photons dans la cavité soit croissant avec le temps. 

On prend l'exemple du \textbf{laser He/Ne}: on pompe des atomes d'hélium pour faire monter ses électrons dans un niveau excité : par collision, une parite de l'énergie est communiquée aux électrons du Néon ce qui peuple le niveau d'énergie $E_2$ et permet d'atteindre une inversion de population. 

\paragraph{Role de la cavité}
On adapte la longueur de la cavité de telle sorte à avoir des ondes stationnaires. Elle sélectionne les longueurs d'onde telle que 
\begin{equation}
    L = \frac{n \lambda}{c}
\end{equation}
\noindent ce qui donne :
\begin{equation}
    \nu_n = \frac{nc}{2L}
\end{equation}

\transition{On a supposé ici qu'on avait un faisceau qui était rectiligne en sortie. Ce qui n'est pas tout à fait le cas, c'est pour cela que l'on va parler de faisceai gaussien.}


\section{Faisceau gaussien}

\subsection{forme du faisceau}
Le faisceau en sortie du laser doit respecter l'équation d'Helmoltz (en coordonneés cylindriques) : 
\begin{equation}
    \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial E}{\partial r}\right) = ik\frac{\partial E}{\partial z}
\end{equation}


\begin{equation}
    E(r,z) = A(z) \underbrace{\exp{\frac{i k r^2}{2 R(z)}}}_{\text{front d'onde}} \underbrace{\exp{\frac{-r^2}{\omega^2(z)}}}_{\text{variation gaussienne}}
\end{equation}

\noindent où $R(z)$ est le rayon des fronts d'onde tandis que $w(z)$ correspond à l'extension spatiale du faisceau (le waist). 

\subsection{Rayon de courbure complexe}
On peut réécrire le champ électrique sous la forme : 
\begin{equation}
    E(r,z) = A(z) e^{-\frac{ikr^2}{2}\left(\frac{1}{R(z) - \frac{2i}{k\omega^2(z)}}\right)}
\end{equation}

Où on peut définir le rayon complexe : 
\begin{equation}
    \frac{1}{Q(z)} := \frac{1}{R(z)} - \frac{2i}{k\omega^2(z)}
\end{equation}

\begin{equation}
    \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}z} = 1 ~~~~ Q(z) = z + iz_r
\end{equation}
\noindent avec $z_r$ le longueur de Rayleigh.


On a défini la longueur de Rayleigh $z_r$, elle nous permet de réécrire les fonctions : 
\begin{equation}
    R(z) = z\left(1 + \frac{{z_R}^2}{z^2}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
    \omega(z) = \omega_0 \sqrt{1 + \frac{z^2}{z_r^2}}
\end{equation}


\begin{equation}
    \omega_0 = \omega(z=0) = \sqrt{\frac{z_r \lambda}{\pi}}
\end{equation}

$\omega_0$ est appelé waist du faisceau gaussien. 

On peut enfin calculer l'intensité du faisceau gaussien : 
\begin{equation}
    I = |E|^2 = I_0 e^{-\frac{2r^2}{\omega(z)^2}}
\end{equation}


\redbox{Expérience}{ On place $\overbrace{\text{un laser He-Ne et un épurateur}}^{\text{pour avoir un faisceau gaussien}}$ à sa suite. Ils pointent sur une lentille et un capteur CCD à la suite (un polariseur et un analyseur sont intercalés à la suite pour diminuer l'intensité et ainsi évite que le capteur ne sature). En déplaçant ce dernier dans la direction de propagation pour tracer l'intensité de l'onde dans chaque coupe à z fixé. L'invariance par rotation (coordonnées cylindriques) fait que l'utilisation du capteur qui prend juste une "ligne" est pertinente.
On extrait le ficher text de cadiens, on traite les donnée à l'aide d'un programme python sur \textit{Jupiter Note book} (\textbf{c'est stylé})
On peut faire une interpolation de la courbe avec le profil prévu pour les différentes coupes. On trouve ainsi une fonction $\omega(z)$ chaque point correspondant à un fit. On peut ensuite faire un dernier ajustement pour remonte au waist $\omega_0.$. On trouve un waist de quelques micro-mètres. 
} 


\subsection{Augmentation du waist}

On a vu que $\omega(z)$ diverge pour $z$ très grand, en $1/\omega_0$. Un $\omega_0$ plutôt grand donnera donc un faisceau très peu divergent.

\begin{equation}
    \omega \sim_{z \rightarrow + \infty} = \omega_0 \frac{z}{z_r} = \frac{z \lambda}{\pi \omega_0} 
\end{equation}

C'est intéressant par exemple si on cherche à mesurer une distance terre-lune. On envoie un faisceau aller-retour (avec un miroir placé sur la lune (si c'est très divergent, l'intensité en sortie est très faible) (cf. \href{http://culturesciencesphysique.ens-lyon.fr/ressource/laser-distance-terre-lune.xml}{pour aller plus loin}. 

La méthode pour élargir un faisceau est d'utiliser un montage afocal avec deux focales $f_1$ et $f_2$. Modulo quelques approximations, on montre la relation suivante : 
\begin{equation}
    \omega_0' = \omega_0 \frac{f_2}{f_1}
\end{equation}


\section{Questions}
\begin{itemize}
    \item l'intérêt du laser : cohérence, peut-tu aborder la notion de cohérence ? \emph{Modèle des trains d'onde : photon émis avec une longueur particulière $L_c$ de 1m pour un laser} 
    \item Préciser les différents types de cohérence. Cohérence spatiale ? \emph{les points qui émettent sont chacun incohérents entre eux. Donc les figures d'interférences se superposent entre elles. Ça brouille vite pour une grande différence de marche}
    \item quelle est la dynamique dans la cavité au niveau des population au démarrage du laser ? avant le régime établi. \emph{dynamique du premier ordre? } Quand on allume un laser, il faut attendre quatre secondes avant qu'il s'allume, pourquoi ? \emph{on a différents processus qui ont chacun un temps caractéristique qui limite la mise en place d'un régime permanent}
    \item pourquoi on a besoin du Néon pour ce laser ? \emph{c'est lié à l'inversion de population, si l'émission spontanée et plus rapide que celle stimulé donc on prend un système à 4 niveaux pour avoir un processus cyclique. c'est le problème des lasers de haute énergie.}
    \item connais-tu d'autres moyens de pompage ? \emph{laser rubis? on attendait\textbf{pompage optique}}
    \item laser solide (laser rubis) , différence fondamentale avec les laser gazeux (He/Ne) ? \emph{c'est pas cool comme question} Dans un solide il y aura des \textbf{phonons}
    \item photon émis selon z c'est forcément ceux émis par émission stimulée? \emph{cavité les sélectionne donc oui, attention émission spontanée n'est pas toujours négligeable} il y a des laser où c'est pas un problème ? \emph{faire des lasers dans le bleu c'est compliqué. On prend un laser rouge et un ajoute un élément pour diviser la longueur d'onde par deux}
    \item les coefficents d'einstein dépend de la longueur d'onde. A grandit en $\nu^3$
    \item Sans cavité pas de puissance ? Juste l'inversion de population c'est pas suffisant d'où la cavité Fabry Pérot. Est-ce que tu peux définir la finesse de la cavité Fabry Pérot ? Écart entre deux pics défini comme "l'intervalle spectral libre". quelle est l'ordre de grandeur de la largeur entre deux pics ? \emph{$\frac{c}{2L} = 10^{10}$} voir schéma
    \item la hauteur et la largeur sont elles fait au hasard sur ton dessin ? quelle est l'origine de la largeur de pic ? \emph{effet doppler, phonons, collisions} Dans le schéma pour les transitions entre $E_1$ et $E_2$, est-ce que la fréquence de transition doit être parfaitement réglée pour que l'on puisse avoir une transition ? \emph{Il a des processus quantiques (Heisenberg ?) qui donnent une largeur naturelle à l'émission.}
    \item Il y a plusieurs pics dans la fonction de transfert de la cavité F.-P., quelle est l'implication pour la distribution spectrale de la source ? \emph{On peut avoir d'autres modes que le faisceau gaussien.} Comment sélectionne t-on alors un unique mode ? \emph{C}
    \item a quoi sert l'épurateur ? \emph{ pour s'affranchir des speckles, on fait de la strioscopie, on sélectionne le centre du plan de fourier, on sélectionne la composante de fréquence nulle. l'origine des speckles = impuretés} sur le murs on en aura plein alors que la porte il y en aura peu, pourquoi ? \emph{milieu granulaire plus de diffusion} 
    \item quelle est la puissance du laser ? quelle puissance peut on atteindre avec la laser ? 
    \item est ce la lumière est polarisée à la sortie du laser ? \emph{ oui c'est souvent le cas}
    \item quelle est le role de la lentille ? \emph{Cela nous permet d'avoir un autre waist plus grand. C'est d'ailleurs ce waist qu'on a déterminé et pas le waist du laser en lui-même.}
    \item est ce que tu es sur que c'est un faisceau gaussien et pas une fonction de Bessel (figure de diffraction ? lié aux éléments optiques)? comment reconnaître le faisceau Gaussien ? \emph{le tracé en ln, on a une parabole de manière évidente}
    \item Raison pour un tel écart sur la figure de diffraction ? \emph{On a peut-être pas le même laser. Alignement différent}
    \item quelle sont les capteurs sur la lune ? \emph{miroir} des miroirs plans? \emph{non, le réflecteur lunaire est un système catadioptrique}
\end{itemize}

\section{Commentaires}
\begin{itemize}
    \item Quelques confusion dans les notations. Oubli de l'intensité
    \item Manip bien choisie. La forme est bonne. 
    \item prendre une manip qualitative plus que quantitative (plus pour les montage), montrer la cavité d'un laser en introduction par exemple
    \item Jolidon bleu - aller voir sur la caractérisation d'un laser. Vidéo qui fait bouger la largeur d'une cavité, on voit les modes qui bougent.
    \item Tout le calcul de la cinétique des niveaux + tous les calculs du faisceau gaussien. Ça fait beaucoup. Ça se discute pour parl
    \item la conclusion c'est pas ouf. Il faut essayer de faire quelque chose de peu plat. Apporter une synthèse qui soit nouvelle : bilan des 
    \item Intro : avantage des lasers : directifs monochromatique et cohérent : prisme d'expliquer pourquoi ? monochr parce qu'on a des phénomènes quantiques. Puis cohérent ... Et directif parce que faisceau gaussien. CCL : super propriétés et on a expliquer pourquoi, finir par parler d'applications peut-être.
    \item Coefficients d'Einstein = passage obligé. Notions dans le Danguas bien utiles. Parler de flux de photons qui crée une déplétion et donc s'oppose à l'inversion de population. Parler de deux phénomènes qui s'opposent. 
    \item Faisceau Gaussien : vraiment pas passionnant. Difficile à présenter sans calculs longs et, il faut le dire, un peu chiants. Il faut prendre un peu de recul : montrer le phénomène en projetant un laser contre un mur : but = expliquer pourquoi on a ça. 
    \item Quand on a fait toute la liste des processus quantiques, question du démarrage du laser. COmment faire le lien avec le Laser : aller voir sur tout est quantique pour comprendre comment le laser démarre. On a une émission spontanée dans la bonne direction qui permet le déclenchement vers une émisssion stimulée (quelque chose de très visuel). \href{https://toutestquantique.fr/laser/}{vidéo démarrage laser}
    \item Autres possibilités : Passer plus de temps sur la cavité. Le jury attend une petite application. S'il y a des choses que l'on veut éviter de développer
    \item On peut traiter avec des niveaux dégénérés - peut-être un continum ?? 
    \item Rendre ça plus visuel
    \item Lien avec les applications à faire le long de la leçon c'est bien. Une sorte de fil conducteur pour comprendre en quoi ces propriétés sont intéressantes.
    \item Notion de cohérence - attention spatiale et temporelle 
    \item importance de trois niveaux. Un processus pour une inversion : c'est le troisième niveau. Il faut être tranché : l'émission spontanée c'est la plaie du laser que l'on veut éviter à \textbf{tout prix}
    \item Loi de Planck - leçon du corps noir. On a juste besoin d'un équilibre thermique local pour que ça marche
    \item On part d'un équilibre thermo local dans plack pour trouver une relation sur les coefficients d'einstein. Est-ce que hors équilibre c'est vrai ? \emph{oui par ce que ce sont des propriétés intrinsèques aux atones !}
    \item attention aux sélections des modes du laser : la cavité sélectionne la fréquence. P 363 du fruchard lidon : annexe sur les 
    \item Speckle : on a des problèmes de source mais aussi de grains sur la surface : chaque grain est cohérent et interfère à distance (=diffraction)
    \item chaque mode a une polarisation aléatoire mais fixe après que le mode ait été choisi.
    \item Il y a des lasers avec des angles de Bewster pour donner une polarisation fixe 
    \item Houard d'optique est très complet sur les lasers. Tableau récapitulatif de tout ce qu'il se fait aujourd'hui, notamment des ordres de grandeur.
    \item Largeur spectrale intrinsèque : est-elle reliée à heisenberg (aller voir le fruchard): durée de vie finie de l'état. Les collisions diminuent ce temps de vie (cf largeur de shallow townes, processus lorentzien)
    \item On peut sélectionner un diaphragme dans le plan de fourier pour couper court aux hautes fréquences et garder le mode gaussien uniquement
\end{itemize}
\end{document}