\begin{document}

\title{LP-30-Laser-ok}
\author{\underline{Julie Limonet} et Louis Usala}
\maketitle
\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}[label=\ding{46}]
    \item \href{http://alain.lerille.free.fr/2014/Poly20.pdf}{Cours d'Alain Lerille}
    \item \href{http://pcjoffre.fr/Data/cours/OD6\_DE\_Physique\_du\_laser.pdf}{Figures }
    \item \href{http://perso.ens-lyon.fr/yohann.faure/agreg/LP/LPX6\%20\-\%20Faisceaux\%20gaussiens/LPX6_Faisceaux_gaussiens.pdf}{Leçon sur les faisceaux gaussiens de Yohann Faure}
    \item Optique, Perez
    \item Optique, Houard
    \item Les Lasers, Dangoisse
    \item Physique quantique Le Bellac
\end{itemize}

\section*{Prérequis}
Leçon de MPSI
\begin{itemize}[label=\ding{43}]
    \item Fabry Pérot
    \item Optique géométrique
    \item Cohérence
\end{itemize}

\section*{Niveau}
Leçon sur le LASER de niveau $L_3$. Explications sur le fonctionnement du LASER puis propagation

\section*{Expérience}
\begin{itemize}[label=\ding{84}]
    \item Mesure du profil gaussien en intensité d'un laser et de w(z) par interpolation. On utilise un capteur CCD de type Caliens.
\end{itemize}


\tableofcontents


\newpage


\section*{Introduction}

LASER source très utilisée dans le monde de la recherche, de l'industrie comme dans la vie quotidienne pour sa grande pureté spectrale et sa longueur de cohérence.

\section{Interaction lumière-matière}

On considère un système à deux niveaux $E_1$ et $E_2$ qui peut interagir avec la lumière. Les N atomes du milieu sont répartis entre les deux niveaux en proportion $N_1$ et $N_2$.

\subsection{Coefficients d'Einstein}

Ces coefficients permettent de caractériser les interactions entre la lumière et la matière. Ces interactions se font suivant différents processus.\\





\textbf{Emission spontanée}\\

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.70]{LP/LP-30-Laser/emission_spontanee.pdf}
    \caption{Emission spontannée.}
    \label{spon}
\end{figure}

Un atome dans le niveau d'énergie haut peut se désexciter en émettant un photon pour retomber dans le niveau bas. Ceci fait varier la quantité d'atomes excités au cours du temps selon:
\begin{equation}
    \left.\dfrac{\mathrm{d}N_2}{\mathrm{d}t}\right|_{\mathrm{sp}}\!\!\!\!=-A_{21}\,N_2
\end{equation}

\textbf{Absorption}\\
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.70]{LP/LP-30-Laser/absorption.pdf}
    \caption{(b) absorption}
    \label{abs}
\end{figure}


Un atome dans le niveau bas peut absorber un photon à proximité pour monter dans le niveau haut. Ceci impacte la quantité d'atomes excités comme:

\begin{equation}
    \left.\dfrac{\mathrm{d}N_2}{\mathrm{d}t}\right|_{\mathrm{abs}}\!\!\!\!\!\!=B_{12}\,u(\nu)\,N_1
\end{equation}

\textbf{Emission stimulée}\\

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.70]{LP/LP-30-Laser/emission_stimulee.pdf}
    \caption{Emission stimulée.}
    \label{sti}
\end{figure}
Ce phénomène est purement quantique. Au passage d'un photon, un atome excité peut émettre un photon parfaitement identique au photon existant et retomber dans le niveau bas. Ce phénomène est utile car il permet de créer des photons cohérents de même direction, ce qui est la base d'une source directionnelle et résolue spectralement. La variation de population associée est:

\begin{equation}
    \left.\dfrac{\mathrm{d}N_2}{\mathrm{d}t}\right|_{\mathrm{st}}\!\!\!=-B_{21}\,u(\nu)\,N_2
\end{equation}

Lorsque tous ces phénomènes se déroulent en même temps, on peut déduire des propriétés du milieu.

\subsection{Bilan de population}
On a finalement

\begin{align}
    \frac{dN_2}{dt}=-A_{21}N_2-B_{21}u_\nu N_2+B_{12}u_\nu N_1\\
    \frac{dN_2}{dt}=\frac{dN_1}{dt}
\end{align}



Avec la conservation du nombre total d'atomes

\begin{equation}
    N_1(t)+N_2(t)\Hat{=}N
\end{equation}

On supposons que le milieu est à l'équilibre thermodynamique, ce qui impose

\begin{equation}
    \dfrac{\mathrm{d}N_1}{\mathrm{d}t}=\dfrac{\mathrm{d}N_2}{\mathrm{d}t}=0
\end{equation}

ainsi que la répartition en population entre les deux niveaux:

\begin{equation}
    \dfrac{N_2}{N_1}=\dfrac{\exp\dfrac{-E_2}{kT}}{\exp\dfrac{-E_1}{kT}}=\exp\left(\dfrac{-h\nu}{kT}\right).
\end{equation}

La répartition spectrale des photons est donnée par la loi de Planck:

\begin{equation}
    u(\nu)=\dfrac{8\pi h\nu^3}{c^3}\dfrac{1}{\exp\left(\dfrac{h\nu}{kT}\right)-1}.
\end{equation}

En notant le préfacteur $F(\nu)$ et en injectant tout ça dans l'équation on trouve :
\begin{equation}
    B_{1,2}=B_{2,1}\hat{=}B
\end{equation}
\begin{equation}
    A_{2,1}=B\,F(\nu)
\end{equation}

Ainsi la probabilité de l'émission spontanée est la même que celle de l'absorption, et on a trouvé un facteur les liants à l'émission spontannée.
\subsection{Amplification}

La variation de photons d'intérêt dans le milieu est finalement donnée par
\begin{equation}
    \delta N_{\mathrm{photon}}=B\,N_2\,u(\nu)dt-B\,N_1\,u(\nu)dt=B\,(N_2-N_1)\,u(\nu)dt.
\end{equation}
Il est nécessaire d'avoir plus d'atomes dans le niveau haut, d'où la nécessité de contrer les pertes par une inversion de population.
\textbf{Exemple du laser Helium/Néon} :
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.60]{LP/LP-30-Laser/hene.pdf}
    \caption{Inversion de population He/Ne}
    \label{inversion}
\end{figure}
Cette méthode permet d'amplifier le faisceau mais il n'est pas suffisant pour avoir de grandes puissances. Pour ce faire, il faut utiliser une cavité Fabry-Perot.\\

\textbf{Rôle de la cavité}\\
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.45]{LP/LP-30-Laser/FP.PNG}
    \caption{Cavité Laser}
    \label{cavite}
\end{figure}
Faire un schéma. On amplifie les ondes de fréquence
\begin{equation}
    \nu_n=\dfrac{nc}{2L}.
\end{equation}
Ainsi la cavité a le rôle de sélectionner et d'amplifier la fréquence du laser.
On a déterminé comment le LASER émet de la lumière cohérente dans une direction donnée. Quid de la lumière une fois sortie de la cavité?

\section{Faisceau gaussien}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.45]{LP/LP-30-Laser/schemanaif.pdf}
    \caption{schéma naïf}
    \label{cavite2}
\end{figure}
On s'attend, comme observé, à avoir un faisceau à peu près linéaire. Mais de manière précise, quelle forme prend ce faisceau?

\subsection{Forme du faisceau}

Le faisceau satisfait l'équation de Helmholtz (en cylindrique)

%\begin{equation}
 %   \Delta\vec{E}=\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}
%\end{equation}

\begin{equation}
    \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\left( rE(r,z) \right)-2ik\dfrac{\partial E}{\partial z}(r,z)=0
\end{equation}

D'où on tire (après quelques hypothèses) une expression du champ électrique:

\begin{equation}
    E(r,z) = A(z) \underbrace{\exp{\frac{i k r^2}{2 R(z)}}}_{\text{front d'onde}} \underbrace{\exp{\frac{-r^2}{\omega^2(z)}}}_{\text{variation gaussienne}}
\end{equation}

L'intensité correspondante est
\begin{equation}
    I(r,t)=I_0\exp\left[ -\dfrac{2\,r^2}{W^2(z)} \right].
\end{equation}

On a fait apparaître ici les grandeurs $R(z)$ et $W(z)$ qui correspondent respectivement au rayon des fronts d'onde et à l'extension radiale du faisceau.


\subsection{Rayon de courbure complexe}
On définit le rayon de courbure comlexe comme :
\begin{equation}
    \dfrac{1}{Q(z)}\Hat{=}\dfrac{1}{R(z)}-\dfrac{2i}{k\,\omega^2(z)}
\end{equation}

Et on peut ainsi écrire le champ comme :
\begin{equation}
    E(r,z)=A(z)\exp\left[ -i\dfrac{k\,r^2}{2\,Q(z)} \right]
\end{equation}
En l'injectant dans l'équation de Helmholtz on trouve la condition sur Q :
\begin{align}
    \frac{dQ}{dz}=1
\end{align}

Ce qui donne donc
\begin{equation}
    Q(z)=z+i\,z_R \qquad W_0=\sqrt{\dfrac{z_R\lambda}{\pi}}
\end{equation}

\begin{equation}
    W(z)=W_0\sqrt{1+\left(\dfrac{z}{z_R}\right)^2}
\end{equation}

\begin{equation}
    R(z)=z\left[1+\left(\dfrac{z}{z_R}\right)^2\right]
\end{equation}


\begin{figure}[H]

    \centering
    \includegraphics[scale=0.45]{LP/LP-30-Laser/faisceau.PNG}

\end{figure}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.45]{LP/LP-30-Laser/fronts.pdf}
    \label{faisceau}
\end{figure}




\subsection{Partie manipulation dont j'ai oublié le nom}

\redbox{Expérience}{ On place $\overbrace{\text{un laser He-Ne et un épurateur}}^{\text{pour avoir un faisceau gaussien}}$ à sa suite. Ils pointent sur une lentille et un capteur CCD à la suite (un polariseur et un analyseur sont intercalés à la suite pour diminuer l'intensité et ainsi évite que le capteur ne sature). En déplaçant ce dernier dans la direction de propagation pour tracer l'intensité de l'onde dans chaque coupe à z fixé. L'invariance par rotation (coordonnées cylindriques) fait que l'utilisation du capteur qui prend juste une "ligne" est pertinente.
On extrait le ficher text de cadiens, on traite les donnée à l'aide d'un programme python sur \textit{Jupiter Note book} (\textbf{c'est stylé})
On peut faire une interpolation de la courbe avec le profil prévu pour les différentes coupes. On trouve ainsi une fonction $\omega(z)$ chaque point correspondant à un fit. On peut ensuite faire un dernier ajustement pour remonte au waist $\omega_0.$. On trouve un waist de quelques micro-mètres. 
} 

On observe d'une part la forme gaussienne de l'intensité à $z$ fixé. En récupérant les données pour différents $z$ et on fit par l'expression de l'intensité afin d'obtenir l'extension spatiale en fonction de $z$ et ainsi le waist du laser (voir programme).
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.60]{LP/LP-30-Laser/schema_experience.pdf} 
    \caption{Inversion de population He/Ne}
    \label{spon2}
\end{figure}


\subsection{Augmentation du Waist}

Le LASER est un dispositif très utile de par sa directionnalité, sa cohérence et sa puissance. Cela permet d'envoyer des faisceaux à grande distance. Cela dit, si l'énergie se répartit au fur et à mesure sur de grands angles à cause de la divergence du faisceau, on perd cet intérêt. Comment remédier à ce problème?\\

Remarquons que l'angle que fait le faisceau à grande distance est d'autant plus grand que le Waist est petit. En effet on diverge en :
\begin{align}
    y=z\frac{w_0}{z_r}=z\frac{\lambda}{\pi w_0}
\end{align}
Ainsi si on augmente le waist, on réduit la divergence. On peut faire ça grâce à un montage afocal. 

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.45]{LP/LP-30-Laser/viserlaluuuuune.PNG} 
    \caption{Laser et capteur sur la lune}
    \label{spon3}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.90]{LP/LP-30-Laser/schema_afocal.pdf} 
    \caption{Montage afocal pour l'augmentation du waist}
    \label{spon4}
\end{figure}
On peut montrer que $W''_0=W_0\frac{f_2}{f_1}$

C'est intéressant par exemple si on cherche à mesurer une distance terre-lune. On envoie un faisceau aller-retour (avec un miroir placé sur la lune (si c'est très divergent, l'intensité en sortie est très faible) (cf. \href{http://culturesciencesphysique.ens-lyon.fr/ressource/laser-distance-terre-lune.xml}{pour aller plus loin}. 


\section{Questions}
\begin{itemize}
    \item l'intérêt du laser : cohérence, peut-tu aborder la notion de cohérence ? \emph{Modèle des trains d'onde : photon émis avec une longueur particulière $L_c$ de 1m pour un laser} 
    \item Préciser les différents types de cohérence. Cohérence spatiale ? \emph{les points qui émettent sont chacun incohérents entre eux. Donc les figures d'interférences se superposent entre elles. Ça brouille vite pour une grande différence de marche}
    \item quelle est la dynamique dans la cavité au niveau des population au démarrage du laser ? avant le régime établi. \emph{dynamique du premier ordre? } Quand on allume un laser, il faut attendre quatre secondes avant qu'il s'allume, pourquoi ? \emph{on a différents processus qui ont chacun un temps caractéristique qui limite la mise en place d'un régime permanent}
    \item pourquoi on a besoin du Néon pour ce laser ? \emph{c'est lié à l'inversion de population, si l'émission spontanée et plus rapide que celle stimulé donc on prend un système à 4 niveaux pour avoir un processus cyclique. c'est le problème des lasers de haute énergie.}
    \item connais-tu d'autres moyens de pompage ? \emph{laser rubis? on attendait\textbf{pompage optique}}
    \item laser solide (laser rubis) , différence fondamentale avec les laser gazeux (He/Ne) ? \emph{c'est pas cool comme question} Dans un solide il y aura des \textbf{phonons}
    \item photon émis selon z c'est forcément ceux émis par émission stimulée? \emph{cavité les sélectionne donc oui, attention émission spontanée n'est pas toujours négligeable} il y a des laser où c'est pas un problème ? \emph{faire des lasers dans le bleu c'est compliqué. On prend un laser rouge et un ajoute un élément pour diviser la longueur d'onde par deux}
    \item les coefficents d'einstein dépend de la longueur d'onde. A grandit en $\nu^3$
    \item Sans cavité pas de puissance ? Juste l'inversion de population c'est pas suffisant d'où la cavité Fabry Pérot. Est-ce que tu peux définir la finesse de la cavité Fabry Pérot ? Écart entre deux pics défini comme "l'intervalle spectral libre". quelle est l'ordre de grandeur de la largeur entre deux pics ? \emph{$\frac{c}{2L} = 10^{10}$} voir schéma
    \item la hauteur et la largeur sont elles fait au hasard sur ton dessin ? quelle est l'origine de la largeur de pic ? \emph{effet doppler, phonons, collisions} Dans le schéma pour les transitions entre $E_1$ et $E_2$, est-ce que la fréquence de transition doit être parfaitement réglée pour que l'on puisse avoir une transition ? \emph{Il a des processus quantiques (Heisenberg ?) qui donnent une largeur naturelle à l'émission.}
    \item Il y a plusieurs pics dans la fonction de transfert de la cavité F.-P., quelle est l'implication pour la distribution spectrale de la source ? \emph{On peut avoir d'autres modes que le faisceau gaussien.} Comment sélectionne t-on alors un unique mode ? \emph{C}
    \item a quoi sert l'épurateur ? \emph{ pour s'affranchir des speckles, on fait de la strioscopie, on sélectionne le centre du plan de fourier, on sélectionne la composante de fréquence nulle. l'origine des speckles = impuretés} sur le murs on en aura plein alors que la porte il y en aura peu, pourquoi ? \emph{milieu granulaire plus de diffusion} 
    \item quelle est la puissance du laser ? quelle puissance peut on atteindre avec la laser ? 
    \item est ce la lumière est polarisée à la sortie du laser ? \emph{ oui c'est souvent le cas}
    \item quelle est le role de la lentille ? \emph{Cela nous permet d'avoir un autre waist plus grand. C'est d'ailleurs ce waist qu'on a déterminé et pas le waist du laser en lui-même.}
    \item est ce que tu es sur que c'est un faisceau gaussien et pas une fonction de Bessel (figure de diffraction ? lié aux éléments optiques)? comment reconnaître le faisceau Gaussien ? \emph{le tracé en ln, on a une parabole de manière évidente}
    \item Raison pour un tel écart sur la figure de diffraction ? \emph{On a peut-être pas le même laser. Alignement différent}
    \item quelle sont les capteurs sur la lune ? \emph{miroir} des miroirs plans? \emph{non, le réflecteur lunaire est un système catadioptrique}
\end{itemize}

\section{Commentaires}
\begin{itemize}
    \item Quelques confusion dans les notations. Oubli de l'intensité
    \item Manip bien choisie. La forme est bonne. 
    \item prendre une manip qualitative plus que quantitative (plus pour les montage), montrer la cavité d'un laser en introduction par exemple
    \item Jolidon bleu - aller voir sur la caractérisation d'un laser. Vidéo qui fait bouger la largeur d'une cavité, on voit les modes qui bougent.
    \item Tout le calcul de la cinétique des niveaux + tous les calculs du faisceau gaussien. Ça fait beaucoup. Ça se discute pour parl
    \item la conclusion c'est pas ouf. Il faut essayer de faire quelque chose de peu plat. Apporter une synthèse qui soit nouvelle : bilan des 
    \item Intro : avantage des lasers : directifs monochromatique et cohérent : prisme d'expliquer pourquoi ? monochr parce qu'on a des phénomènes quantiques. Puis cohérent ... Et directif parce que faisceau gaussien. CCL : super propriétés et on a expliquer pourquoi, finir par parler d'applications peut-être.
    \item Coefficients d'Einstein = passage obligé. Notions dans le Danguas bien utiles. Parler de flux de photons qui crée une déplétion et donc s'oppose à l'inversion de population. Parler de deux phénomènes qui s'opposent. 
    \item Faisceau Gaussien : vraiment pas passionnant. Difficile à présenter sans calculs longs et, il faut le dire, un peu chiants. Il faut prendre un peu de recul : montrer le phénomène en projetant un laser contre un mur : but = expliquer pourquoi on a ça. 
    \item Quand on a fait toute la liste des processus quantiques, question du démarrage du laser. COmment faire le lien avec le Laser : aller voir sur tout est quantique pour comprendre comment le laser démarre. On a une émission spontanée dans la bonne direction qui permet le déclenchement vers une émisssion stimulée (quelque chose de très visuel). \href{https://toutestquantique.fr/laser/}{vidéo démarrage laser}
    \item Autres possibilités : Passer plus de temps sur la cavité. Le jury attend une petite application. S'il y a des choses que l'on veut éviter de développer
    \item On peut traiter avec des niveaux dégénérés - peut-être un continum ?? 
    \item Rendre ça plus visuel
    \item Lien avec les applications à faire le long de la leçon c'est bien. Une sorte de fil conducteur pour comprendre en quoi ces propriétés sont intéressantes.
    \item Notion de cohérence - attention spatiale et temporelle 
    \item importance de trois niveaux. Un processus pour une inversion : c'est le troisième niveau. Il faut être tranché : l'émission spontanée c'est la plaie du laser que l'on veut éviter à \textbf{tout prix}
    \item Loi de Planck - leçon du corps noir. On a juste besoin d'un équilibre thermique local pour que ça marche
    \item On part d'un équilibre thermo local dans plack pour trouver une relation sur les coefficients d'einstein. Est-ce que hors équilibre c'est vrai ? \emph{oui par ce que ce sont des propriétés intrinsèques aux atones !}
    \item attention aux sélections des modes du laser : la cavité sélectionne la fréquence. P 363 du fruchard lidon : annexe sur les 
    \item Speckle : on a des problèmes de source mais aussi de grains sur la surface : chaque grain est cohérent et interfère à distance (=diffraction)
    \item chaque mode a une polarisation aléatoire mais fixe après que le mode ait été choisi.
    \item Il y a des lasers avec des angles de Bewster pour donner une polarisation fixe 
    \item Houard d'optique est très complet sur les lasers. Tableau récapitulatif de tout ce qu'il se fait aujourd'hui, notamment des ordres de grandeur.
    \item Largeur spectrale intrinsèque : est-elle reliée à heisenberg (aller voir le fruchard): durée de vie finie de l'état. Les collisions diminuent ce temps de vie (cf largeur de shallow townes, processus lorentzien)
    \item On peut sélectionner un diaphragme dans le plan de fourier pour couper court aux hautes fréquences et garder le mode gaussien uniquement
\end{itemize}



\end{document}