\begin{document}
\title{LP-48-Phénomènes de diffractions. Utilisations}
\author{Maud}
\maketitle

\section{Pré-requis}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}
\bibliographystyle{plain}
\bibliography{biblio}
\tableofcontents
\subsection*{Introduction pédagogique}
\noindent\underline{\textbf{Objectifs pour les profs}}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}
\noindent\underline{\textbf{Objectifs pour les élèves}}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}
\subsection*{Introduction générale}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}


\section{Présentation et caractérisation du phénomène}
\subsection{Approche expérimentale}
Suite d'expériences non exhaustives: 
\begin{itemize}
    \item Optique \cite{houard} p. 296: diffraction d'un fil (c'est plus spectaculaire) par un laser $\rightarrow$ \textbf{on a une zone sombre au centre de l'image} 
    objectif de microscope après le laser pour éclater le faisceau, on fait suivre par un trous de diamètre 100 micrométres (au point de convergence du faisceau) pour épurer \footnote{parmet d'éliminer les fréquences spatiales élevées résultant de la diffraction du faisceau laser par les traces de doigts , de rayures ou de poussière présente sur la lentille} le faisceau, on place l'objet dans ce faisceau et on regarde l'image sur un écran au loin
    \item MF : cuve à onde, diffraction par une fente $\rightarrow$ \textbf{surface d'onde sphérique} on fait varier l'ouverture pour montrer qu'il y a un régime limite entre diffraction et non.
    \item Acoustique : diffraction de la voix à travers une porte (en effet longueur d'onde plus grande 
\end{itemize}


\subsection{Caractéristiques du phénomène}

On remarque que l'on a deux cas :
\begin{itemize}
    \item la largeur de l'ouverture est très grande devant la longueur d'onde (environ 10 fois plus), l'onde est soit réfléchies sur l'obstacle soit elle est transmise sans aucuns modification (comme un simple diaphragme).
    \item la largeur de l'ouverture est du même ordre de grandeur que la longueur d'onde. L'onde réfléchies est de la même nature que l'onde incidente mais l'onde transmise est circulaire et se propage même dans la zone d'ombre géométrique de l'obstacle.
    $\longrightarrow$ la longueur d'onde de l'onde incidente et de l'onde réfléchie est identique.
\end{itemize}



\definition{La diffraction est un phénomène \textbf{ondulatoire}. Il se produit lorsque des ondes, quelle que soit leur
nature, rencontrent \textbf{des obstacles ou des ouvertures} dont les dimensions sont de \textbf{l’ordre de grandeur de la longueur d’onde} et qui se traduit par des perturbations dans la propagation de ces ondes (contournement d’obstacles ou divergence à partir d’ouverture dans ces obstacles).}

\paragraph{Application}
\begin{itemize}
    \item onde sonore de la longueur d'onde environ 1m : diffraction avec les objets de la vie quotidienne. elle permet au son de se propager d'une pièce à l'autre dans un appartement
    \item pour les ondes radio AM, ou la longueur d'onde est de l'ordre du kilomètre: diffraction sur les collines
    \item à l'echelle atomique : la diffraction de rayons X pour analyser les structure des réseaux cristallins 
\end{itemize}

\section{Traitement physique de la diffraction}
Il faut savoir que résoudre un problème de diffraction complet est très difficile et demande de travailler avec les équations de Maxwell. Heureusement il existe une méthode très générale, basé sur des approximation, pour résoudre le problème de façon approché. C’est ce que l’on appel le principe de Huygens-Fresnel.

\subsection{Principe de Huygens Fresnel (1690)}
Huygens émis l'hypothèse que le lumière était une onde qui se propage de proche en proche selon le principe des ondelettes secondaires mais ce principe n'était pas suffisant \footnote{il permet de retrouver les loi de la réfraction et de la réflexion mais il ne fait pas intervenir la longueur d'onde dans le phénomène de diffraction alors que l'expérience montre clairement une dépendance du phénomène en la longueur d'onde. De plus on ne peut conclure que sur les surface d'onde et pas sur la forme de l'onde ou des ondelettes elles-même.}.
\yellowbox{Enoncé du principe de Huygens Fresnel  (cf. BFR optique)}{Chaque point M d’une surface Σ atteinte par la lumière peut être considérée comme une source secondaire émettant une onde sphérique. L’état vibratoire de cette source secondaire est proportionnel à celui de l’onde incidente en M et à l’élément de surface dΣ entourant le point M. Les vibrations issues des différentes sources secondaires interfèrent entre elles.
}

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics{LP/LP-48-Phénomènes de diffractions. Utilisations/geometrie_diffraction.png}
    \caption{Géométrie considérée}
    \label{fig:geo}
\end{figure}
Pour la suite, on choisira de présenter les étapes majeures pour aboutir aux approximations de Fresnel et Fraunhofer. Le développement intégrale est lisible sur le \href{https://l.facebook.com/l.php?u=http\%3A\%2F\%2Fwww.lkb.upmc.fr\%2Fcqed\%2Fwp-content\%2Fuploads\%2Fsites\%2F14\%2F2020\%2F09\%2Foptique_TD_diffraction_1_corrige.pdf\%3Ffbclid\%3DIwAR3_hLrw-taHnPSzuZVkXtbO5U8AFy245dLAkgG08T0saxRWpVCa-MAm6L0&h=AT27wQYLZFc_E6EEL0unRoxXNRaDcSOr4w9df1GqVOUwSs6B0qb-xdS-34xvwEP6XY2h6x_WLG6ziQjd1gOdo3qwv8Wcyb1-ee1xddbG-qoMyNj1M716qYRoWlAHtGe1V9mYyw}{TD de Montrouge} qui suit. 
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width = \textwidth]{LP/LP-48-Phénomènes de diffractions. Utilisations/huygens_1.png}
\end{figure}
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    \includegraphics[width = \textwidth]{LP/LP-48-Phénomènes de diffractions. Utilisations/huygens_2.png}
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    \includegraphics[width = \textwidth]{LP/LP-48-Phénomènes de diffractions. Utilisations/huygens_3.png}
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    \includegraphics[width = \textwidth]{LP/LP-48-Phénomènes de diffractions. Utilisations/huygens_4.png}
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    \includegraphics[width = \textwidth]{LP/LP-48-Phénomènes de diffractions. Utilisations/huygens_5.png}
\end{figure}
\begin{figure}
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    \includegraphics[width = \textwidth]{LP/LP-48-Phénomènes de diffractions. Utilisations/huygens_6.png}
\end{figure}
\paragraph{Hypothèses}
\begin{itemize}
    \item forme de l'onde en sortie de l'objet diffractant :$s(\mathrm{M})=A \int_{\Sigma} s_{0}(\mathrm{P}) t(x, y) \frac{e^{i k \mathrm{PM}}}{\mathrm{PM}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
    \item $x, y \ll D, d \quad$ pupille petite, \footnote{On retrouve ici les conditions de Gauss. La première condition traduit le fait qu’on ne s’intéresse qu’à la diffraction par de petits objets ou, ce qui est équivalent, qu’il n’y a de la lumière que proche de l’axe optique. }
    \item $X, Y \ll D$ petits angles.\footnote{La seconde condition impose que les rayons considérés soient tous faiblement inclinés sur l’axe} on pose dans ce cas : $\alpha=\frac{X}{D} \text { et } \beta=\frac{Y}{D}$
    \item on obtient : $PM =D\left(1+\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{2}+\frac{r^{2}}{2 D^{2}}-\frac{\alpha x+\beta y}{D}\right)$ $\rightarrow$ donc $\mathrm{PM} \approx D$ pour le terme dans l'amplitude \textbf{MAIS} pas pour le terme dans la phase, \textbf{, il faut tenir compte des variations de PM à l’échelle de la longueur d’onde}
    \item \textbf{\underline{L'onde DIFFRACTEE}} est $$s(\mathrm{M})=A s_{0} \frac{\mathrm{e}^{i \varphi_{0}}}{d D} \int_{\Sigma} t(x, y) \mathrm{e}^{-i k\left[\left(\alpha-\alpha_{0}\right) x+\left(\beta-\beta_{0}\right) y\right]+i k \frac{r^{2}}{2}\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{D}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$$
    avec $\varphi_{0}=\frac{k d}{2}\left(\alpha_{0}^{2}+\beta_{0}^{2}\right)+\frac{k D}{2}\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right)=k \frac{X_{0}^{2}+Y_{0}^{2}}{2 d}+k \frac{X^{2}+Y^{2}}{2 D},$
\end{itemize}

\subsection{La diffraction de Fraunhofer}

Il s'agit du cas ou la phase quadratiques proportionnelle à $r^2$ peut être négligée.
On obtient donc:
$$s(\mathbf{M})=\tilde{s}_{0} \int_{\Sigma} t(x, y) e^{-i k\left[\left(\alpha-\alpha_{0}\right) x+\left(\beta-\beta_{0}\right) y\right]} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$$

Dans le cas où on ne peut pas négliger ce terme on dit qu'il s'agit de la \textbf{diffraction de Fresnel}.
Expérimentalement, on a observé la diffraction de Fresnel en introduction. C’était le cas où l’on avait des phénomènes d’interférences dans la figure de diffraction centrale. La diffraction de Fresnel ne se fait pas à l’infini.

On peut passer de Fresnel à Fraunhofer en éloignant l'écran! on le fait devant le jury.

\paragraph{Application à une fente}
On obtient après calcul (que l'on trouve dans le poly de Montrouge ci-dessus), l'intensité après l'objet diffractant : $$I(X, Y)=I_{0} \operatorname{sinc}^{2}\left(\frac{\pi a\left(X-X_{0}\right)}{\lambda f}\right) \operatorname{sinc}^{2}\left(\frac{\pi b\left(Y-Y_{0}\right)}{\lambda f}\right)$$
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    \centering
    \includegraphics{LP/LP-48-Phénomènes de diffractions. Utilisations/diffraction_fente_rectangulaire.png}
    \caption{Diffraction par une fente rectangulaire}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\subsection{Retour sur la manip introductive}
Dans notre manip' introductive, on a pris un obstacle rectangulaire et non une fente. Pour retrouver la figure de diffraction plus facilement. On peut s'intéresser au théorème de Babinet qui suit.
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    \centering
    \includegraphics[width = \textwidth]{LP/LP-48-Phénomènes de diffractions. Utilisations/th_babinet.png}
\end{figure}

\section*{Pour aller plus loin}
L'expérience dite de la tache de Poisson est la diffraction d'un laser sur une bille d'acier de 3mm. On constate l'existence d'un point lumineux au centre de l'ombre de la bille. On peut aussi observer des anneaux concentriques au tour de ce point.
\end{document}
