Journée en l'honneur de Georges Philibert

Jean-Louis Nicolas

(IGD, Univ. Lyon 1)

Sur la parité des fonctions de partition

Après avoir évoqué quelques souvenirs communs avec Georges Philibert, j'aborderai le thème décrit dans le titre.

Les calculs faits montrent que le nombre $p(n)$ de partitions de $n$ a une probabilité voisine de $1/2$ d'être pair ou impair. Plus précisément, si l'on définit $A(x) =$   Card$\{n\le x;\ p(n)$    est pair$\}$, on conjecture que $\lim A(x)/x=1/2$. Dans un article écrit avec I. Ruzsa et A. Sárközy, nous montrons, en utilisant la formule d'Euler, que $\varliminf A(x)/\sqrt x >0$; J.-P. Serre, en utilisant les propriété de divisibilité des coefficients du développement en série de Fourier de fonctions modulaires prouve $A(x)/\sqrt x \to\infty$.

Soit $\mathcal{A}$ un ensemble de nombres entiers positifs. Soit $p(\mathcal{A},n)$ le nombre de partitions de $n$ avec parts dans $\mathcal{A}$. Il existe des ensembles $\mathcal{A}$ pour lesquels $p(\mathcal{A},n)$ est pair pour $n$ assez grand, mais un tel ensemble a pour densité 0.

Retour à la page d'accueil.