Introduction

Lors de l'exposé de son article [Gra1] à Oberwolfach, D.W. Masser posait à F. Gramain la question suivante : les solutions entières $${f}$$ du système d'équations aux différences  

$$\left\{ \begin{array} {c} \sum_{0 \leq m \leq M} P_m(z)f(z+... ...sum_{0 \leq n \leq N} Q_n(z)f(z+n\beta )= 0,\end{array} \right.$$ (1)

(où $(P_m)_{0 \leq m \leq M}$ et $(Q_n)_{0 \leq n \leq N}$ sont des suites finies de $\mathbb C[z]$ avec $P_M Q_N \neq 0$, $\alpha$ et $\beta$ étant des nombres complexes linéairement indépendants sur $\mathbb R$) sont-elles forcément des polynômes exponentiels, i.e. des fonctions de la forme $\sum_{i=1}^{K} a_i (z) e^{\alpha_i z}$ avec $${ a_i}$$ dans $\mathbb C[z]$ et $\alpha_i$ dans $\mathbb C$ pour tout $${i}$$ ?

Dans un premier article [BéGra1], J.-P. Bézivin et F. Gramain donnaient une réponse négative à cette question en considérant l'exemple de la fonction $${f(z)=(e^z-1)/z}$$, et montraient que si $\alpha/\beta$ appartient à $\mathbb C\backslash \mathbb R$ et si les coefficients de l'une des deux équations sont constants, alors $${f}$$ est un polynôme exponentiel. De plus, ils prouvaient, en supposant toujours $\alpha/\beta$ appartenant à $\mathbb C\backslash \mathbb R$,une série de résultats partiels qui leur permettait de conjecturer que toute solution entière d'un système à coefficients polynomiaux quelconques est le quotient d'un polynôme exponentiel par un polynôme. Cette conjecture a été démontrée ainsi que d'autres résultats dans un deuxième article [BéGra2] :

Théorème  [J.-P. Bézivin- F. Gramain]
Soit $${f}$$ une fonction entière solution du système (1) alors $${f}$$ est le quotient d'un polynôme exponentiel par un polynôme.

En fait, on peut remplacer les deux membres de droite de (1) par des polynômes exponentiels. Il suffit de remarquer, comme dans le Lemme 2.5 de [BéGra1], que pour tout nombre complexe $\alpha$ et pour tout polynôme exponentiel$\Phi$, il existe une relation finie de dépendance linéaire sur $\mathbb C$ entre les translatées de $\Phi$ par $\alpha$ (on dit alors que $\alpha$ est un pas récurrent pour la fonction entière $\Phi$, selon la terminologie due à Masser).

Dans la dernière partie de [BriHab], on présente un algorithme qui permet de déterminer les solutions entières du système (1).

De plus, Jean-Paul Bézivin et François Gramain ont montré dans [BéGra2] que si l'on remplace, dans la deuxième équation de (1), les translatées de $${f}$$ par $\beta$ par des dérivées de $${f}$$, une solution entière $${f}$$ est encore le quotient d'un polynôme exponentiel par un polynôme. L'algorithme légèrement modifié permet encore de déterminer les solutions entières $${f}$$ du système  

$$\left\{ \begin{array} {c} \sum_{0 \leq m \leq M} P_m(z)f(z+... ... \sum_{0 \leq n \leq N} Q_n(z)f^{(n)}(z)= 0,\end{array} \right.$$ (2)

où $(P_m)_{0 \leq m \leq M}$ et $(Q_n)_{0 \leq n \leq N}$ sont des suites finies de $\mathbb C[z]$ avec $P_M Q_N \neq 0$, $\alpha$ étant un nombre complexe non nul.