<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass{article}
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}


\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Lecon de physique 01 &amp;   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{Contact entre deux solides. Frottement.}\\[-0,3cm]
\HRule \\
\end{center} 

\section*{Niveau} 

\section*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 2017 : Cette leÃ§on gagne beaucoup Ã&nbsp; Ãªtre illustrÃ©e par des exemples concrets maÃ®trisÃ©s.
    \item 2016 : Cette leÃ§on est lâ€™occasion dâ€™appliquer les lois de la mÃ©canique du solide.
    \item 2015 : Cette leÃ§on est souvent prÃ©sentÃ©e Ã&nbsp; un niveau trop Ã©lÃ©mentaire. La comprÃ©hension des aspects microscopiques en jeu est apprÃ©ciÃ©e par le jury. Jusquâ€™en 2013, le titre Ã©tait : Contact entre deux solides. Frottement de glissement. Applications au glissement et au roulement.
    \item 2012 : Les candidats sont invitÃ©s Ã&nbsp; rÃ©flÃ©chir sur la notion de contact ponctuel et Ã&nbsp; la rÃ©alitÃ© microscopique de ce contact. Il peut Ãªtre intÃ©ressant dâ€™illustrer et discuter la diffÃ©rence entre coefficients de frottement statique et dynamique.
    \item 2009, 2010 : Il importe de distinguer le cas du contact ponctuel et celui du contact Ã©tendu sur une surface. La distinction de nature entre les deux lois de Coulomb : condition nÃ©cessaire de non glissement et loi du frottement de glissement, nâ€™est pas suffisamment dÃ©gagÃ©e. Les phÃ©nomÃ¨nes dâ€™hystÃ©rÃ©sis associÃ©s au frottement solide sont oubliÃ©s.
    \item 2008 : Lâ€™approche Ã©nergÃ©tique du contact doit Ãªtre dÃ©veloppÃ©e. Le roulement est trop rarement abordÃ©. Il convient de sâ€™interroger sur les passages entre les diffÃ©rents rÃ©gimes de glissement et de non glissement.
    \item 1998 : Les candidats sont invitÃ©s Ã&nbsp; ne pas restreindre leurs exemples Ã&nbsp; des mouvements de translation. Il est rappelÃ© que la loi dâ€™Amontons, Ã&nbsp; savoir que la force de friction ne dÃ©pend que de la charge et non de lâ€™aire du contact, est au moins aussi importante que les lois de Coulomb.
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item Annuaire \href{https://youtu.be/BLV0QJilaUo?t=847}{lien}
    \item Violons \href{https://www.youtube.com/watch?v=FO5bq6x_Tws}{lien}
    \item Sur la diffÃ©rence entre frottement solide et statique : \href{https://www.youtube.com/watch?v=WnAWSjMlTVo}{lien}
    \item BUP :\href{http://bupdoc.udppc.asso.fr/consultation/article-bup.php?ID_fiche=11121}{lien} 
    \item BUP \href{http://bupdoc.udppc.asso.fr/consultation/article-bup.php?ID_fiche=19870}{lien}
    \item Hprepa MPSI/PTSI/PCSI MÃ©canique BrÃ©bec
\end{itemize}

\section*{prÃ©-requis}
\begin{itemize}
    \item MÃ©canique du solide.
    \item Composition des vitesse.
    \item Notion de contrainte?
\end{itemize}

\section*{ExpÃ©riences}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\tableofcontents

\section*{Introduction}
Les frottements sont inhÃ©rents Ã&nbsp; tout mouvement en physique du solide. Que se soit contre nous (frottement pour faire coulisser la glissiÃ¨re d'un tiroir) ou pour nous (ce sont les frottement aux sol qui nous permettent d'avancer en marchant !). Nous allons ici prÃ©senter les loi D'Amontons-Coulomb et les illustrer sur diffÃ©rents exemple.

\textbf{Historique :}
\begin{itemize}
    \item GalilÃ© (1564-1642) Identifie le frottement
    \item Descartes (1596-1650) : Etudie les chocs
    \item De Vinci et Amontons redÃ©couvrent les permiÃ¨res lois du glissement (indÃ©pendant de la taille de la surface, proportionnel Ã&nbsp; la pression normale, coefficient de frottement environ Ã©gal Ã&nbsp; 1/3)
    \item Coulomb (1737-1806) : Cadre mathÃ©matique
\end{itemize}

\section{contact entre 2 solides}
\subsection{Approche macroscopique : CinÃ©matique}

Quand on parle de frottement entre deux solides on considÃ¨re Ã&nbsp; l'Ã©chelle macroscopique, une surface en contact avec une autre : 
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/contact.PNG}
    \caption{Contact surfacique, linÃ©ique et ponctuel}
\end{figure}
On peut ainsi imaginer 3 type de contact. Nous notons que les deux derniers sont des modÃ©lisations, on a toujours une surface de contact Ã&nbsp; cause de la dÃ©formation des solides.
On se place dans toute la leÃ§on dans le rÃ©fÃ©rentiel du laboratoire, supposÃ© galilÃ©en, et on considÃ¨re le cas de deux solides en contact (que ce soit surfacique, linÃ©ique ou ponctuel). Pour bien comprendre ce que l'on va faire il faut Ãªtre capable de bien dÃ©crire ce systÃ¨mes des deux solides $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$. Pour cela on considÃ¨re $I$ un point de contact. $I$ reprÃ©sente un point de l'espace oÃ¹ les deux solide se touchent. Cependant il faut bien faire la diffÃ©rence entre $I$ et $I_1$ : le point appartenant Ã&nbsp; $\Sigma_1$ et coÃ¯ncidant Ã&nbsp; l'instant t avec $I$. on dÃ©finit de mÃªme $I_2\in\Sigma_2$. Il faut bien comprendre que $I_1$ et $I_2$ sont attachÃ©s Ã&nbsp; leurs solides respectifs.\\
Ces trois points on des trajectoires et des vitesses \textit{a priori} diffÃ©rentes et on cela nous permet de dÃ©finir la vitesse du glissement $\va v_g$ au point $I$ qui caractÃ©rise le glissement entre les deux solides :
$$\va v_g (\Sigma_1/\Sigma_2 = \va v (I_1/R) - \va v (I_2/R)$$
Cette vitesse est indÃ©pendante du rÃ©fÃ©rentiel et permet de dÃ©terminer si les deux solides glissent ($\va v_g \neq\va 0$) ou non ($\va v_g =\va 0$).\\
De plus, comme les solides ne peuvent pas s'interpÃ©nÃ©trer, la vitesse est contenue dans le plan de contact des deux solides.\\

Pour bien comprendre la nuance, faisons une petite illustration : 
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/roulement.PNG}
    \caption{Roulement}
\end{figure}

On cherche la vitesse de glissement de la roue par rapport au sol. On commence donc par dÃ©terminer la vitesse du sol dans le rÃ©fÃ©rentiel : nulle. Puis la vitesse d'un point de la roue au niveau du sol: 
$$\va v|_R(I_1) = \va v|_R(G)+ \va v|_{R_1}(I_1) = \dot{x_G}\va u_x+ \va \omega\cross \va{GI_1} =\qty(\dot{x_G}-\omega a)\va u_x  $$

Cela reprÃ©sente bien notre conception intuitive : si $\omega =0 $ alors si on fait avancer le centre de masse, il y a glissement au sol. mais si la roue tourne, elle va pouvoir rouler sans glisser sur le sol : c'est le roulement sans glissement ($\dot{x_g} = \omega a$).

Cette condition est appelÃ©e \textbf{condition de non-glissement.}

\remarque{On a donc un formalisme pour dÃ©crire la cinÃ©matique entre les solide. Cependant, il nous manque un aspect dynamique. En effet, nous percevons que lors d'un glissement il y a des forces qui s'opposent Ã&nbsp; ce glissement}


\subsection{Dynamique}

On peut modÃ©liser le contact entre deux solides en un point $I$ par des force : 
$\va R_{1\rightarrow 2} = \va N_{1\rightarrow 2} +\va T_{1\rightarrow 2}$

On peut Ã©galement observer que cela peut entraÃ®ner des moments sur les solides (on ne les considÃ¨re pas pour l'instant)

On n'oublie pas que si un solide applique une force sur un autre la troisiÃ¨me loi de Newton est toujours vraie et le deuxiÃ¨me solide applique moins la force.

Pour avoir la force globale sur une surface, il faut intÃ©grer la force de contact en chaque point $I$ de la surface de contact $S$. Le point dâ€™application est le centre gÃ©omÃ©trique $I$ de la surface de contact $S$. Pour justifier cela il faut alors dÃ©couper la surface en surfaces Ã©lÃ©mentaires $\dd S$ et on intÃ¨gre ensuite sur toute la surface.

Pour qu'il y ait effectivement contact il faut que $\va R_{1\rightarrow 2}\va n_{1\rightarrow 2} &gt;0$. Ainsi, si l'on pense qu'il y a contact, on fera cette hypothÃ¨se. Si le calcule montre l'inverse, alors on devra remettre en doute l'hypothÃ¨se de contact.

La loi d'action rÃ©action, nous dit que si le solide du haut est soumi Ã&nbsp; une force normale (par exemple sont poids) alors il est Ã©galement soumis Ã&nbsp; une force provenant du solide du bas de mÃªme intensitÃ© et orientÃ© vers le haut.
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/normal.PNG}
\end{figure}

Cependant si l'on pousse le solide il ne bouge pas directement, la force tangentielle $\va R_T = \va T$ reprÃ©sente un phÃ©nomÃ¨ne d'adhÃ©rence.

\textbf{Application : }
On considÃ¨re un solide indÃ©formable sur un plan inclinÃ©. Il est soumis Ã&nbsp; son poids. 
\begin{itemize}
    \item \textbf{Inconnues :} $x$ et $\dot x$ pour les positons et $N$ et $T$. On est en 2D donc on a 4 inconnues.
    \item \textbf{Equation :} Application du PFD : 2 Ã©quations ????
\end{itemize}

Il nous manque donc des Ã©quations ou des hypothÃ¨ses ! C'est ce qu'apportent les lois d'Amonton-Coulomb.

\section{Lois phÃ©nomÃ©nologiques}

\subsection{Lois d'Amonton Coulomb}
\begin{tcolorbox}
On observe la glissade sur un plan inclinÃ©.\\
On rÃ©pÃ¨te plein de fois les expÃ©riences.\\
On fait pour une mÃªme masse mais pour diffÃ©rentes surfaces.\\
on fait pour plusieurs masses.
\end{tcolorbox}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/planincline.PNG}
    \caption{SchÃ©ma de lâ€™expÃ©rience du plan inclinÃ©. On voit notamment que I nâ€™est pas au centre de la surface de contact : pour le placer on cherche lâ€™intersection entre la force normale (ici le poids) et la surface de contact. Si ce nâ€™est pas possible les forces ne sont plus concourantes, le moment rÃ©sultant est non nul et le solide bascule.}
\end{figure}

\textbf{Lois :}
\begin{itemize}
    \item Cas du non glissement
        \begin{itemize}
            \item $v(\Sigma_1/\Sigma_2) =0$ tant que $$\abs{\va T}\leq\mu_s \abs{\va N}$$
        \end{itemize}
    \item Cas du glissement :
    \begin{itemize}
        \item $\va T$  est dirigÃ© dans  le sens opposÃ© au glissement et
        $$\abs{\va T} = \mu_d \abs{\va N}$$
    \end{itemize}
    \item Dans tous les cas, la force tangentielle est indÃ©pendant de la surface de contact
\end{itemize}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/caleur.PNG}
\end{figure}

\begin{itemize}
    \item Insister sur l'indÃ©pendance de la surface et le sens d'action des rÃ©sultante.
    \item $\mu_d&lt;\mu_s$. Le plus dur est de mettre en mouvement, aprÃ¨s la force de frottement est plus gentille.
    \item Il est trÃ¨s important d'Ã©noncer les hypothÃ¨ses que l'on prends (glissmenet on non glissement) et de les vÃ©rifier aprÃ¨s le calcul.
    \item Il arrive que $\frac{\mu_s-\mu_d}{\mu_s}\gg 1$ on confondra alors les deux valeur et on parlera de $\mu$. Souvent, les coefficients dynamique te statique sont assez proches.
    \item Ce sont des lois phÃ©nomÃ©nologiques !! Leur origine et non triviale. Elles sont assez bien vÃ©rifiÃ©es en gÃ©nÃ©ral, mais pas tout le temps.
\end{itemize}

\textbf{Limites :}
\begin{itemize}
    \item Pour de trÃ¨s fortes charges ou des matÃ©riaux mous, la proportionnalitÃ© de T avec N n'est plus vÃ©rifiÃ©e (tous les contacts sont Ã©crasÃ© et la surface rÃ©elle de frottement correspond Ã&nbsp; la surface macro)
    \item $\mu_s$ et $\mu_d$ ne sont pas des constantes. Il existe des phÃ©nomÃ¨nes tel que le vieillissement statique (augmentation de $\mu_s$ avec l'Ã¢ge du contact) ou d'affaiblissement cinÃ©tique (diminution de $\mu_d$ avec la vitesse de glissement)
\end{itemize}

\remarque{Peut-on donner une interprÃ©tation microscopique Ã&nbsp; ces lois?}

\subsection{Description microscopique}
On a dÃ©crit le contact de maniÃ¨re macroscopique, mais pour bien le comprendre il est utile d'avoir une image du contact d'un point de vu microscopique : 

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/micro.PNG}
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/micro2.PNG}
    \caption{Description microscopique du contact entre deux solide (deuxiÃ¨me image provient de Milieux granulaires Andreotti)}
\end{figure}

Les surfaces entre deux solides ne sont pas lisses et il y a des aspÃ©ritÃ©s en contact. Ce sont ces aspÃ©ritÃ©s qui causent le frottement. AspÃ©ritÃ© entre 1 et 10$\mu$m

On peut donc se demander quelle est la surface rÃ©elle de contact entre deux solides.\\
ConsidÃ©rons le contact entre deux solides de la maniÃ¨re suivante : 
\begin{itemize}
    \item Ã€ lâ€™Ã©chelle macroscopique la surface de contact est $S_{macro}$ et elle est soumise Ã&nbsp; une force normale $N$.
    \item Ã€ lâ€™Ã©chelle microscopique il y a un certain nombre Q d'"Ã®lots de contact".
\end{itemize} 
\textbf{ModÃ¨le de Bowden et Tabor}

Le matÃ©riau possÃ¨de une contrainte de seuil plastique $\sigma _{seuil}$: câ€™est la contrainte (force surfacique) maximale quâ€™il peut supporter avant de se dÃ©former de maniÃ¨re plastique (c'est Ã&nbsp; dire plus de maniÃ¨re linaire avec la contrainte \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Deformation_\%28engineering\%29#/media/File:Stress_Strain_Ductile_Material.png}{https://en.wikipedia.org/wiki/Deformation\_\%28engineering\%29#/media/File:Stress\_Strain\_Ductile\_Material.png}) On peut approximer par une constante la valeur de la contrainte une fois ce seuil dÃ©passÃ©.
Lorsque deux solides sont mis en contact, les Ã®lots sont soumis Ã&nbsp; des contraintes supÃ©rieures Ã&nbsp; ce seuil plastique (en effet $\sigma = F/S$ avec $S$ la surface que reprÃ©sente les petits Ã®lots, donc toute petite) La surface des Ã®lots grandit alors.
La force subie par chaque Ã®lot est donc $N/Q$ et Ã&nbsp; la limite oÃ¹ tous les Ã®lots sont au seuil de plasticitÃ©, on a $\sigma_{seuil} = N/(sQ)$ sur des Ã®lots de surface $s$. \\
La surface de contact effective est alors : 
$$S = Q s = \frac{N}{\sigma_{seuil}}$$

Analysons ce rÃ©sultat : la surface rÃ©elle de contact dÃ©pend donc de $N$ qui est la contrainte appliquÃ©e et de $\sigma_{seuil}$ qui est caractÃ©ristique des matÃ©riaux (400MPa pour le plexyglas). Elle ne dÃ©pend pas de $S_{macro}$. On retrouve un premier aspect des lois d'Amonton-Coulomb.

Ceci nous aide Ã&nbsp; mieux comprendre le contact. Qu'en est-il du frottement ?

On peut imaginer que les aspÃ©ritÃ©s empÃªchent le glissement. Dans le modÃ¨le de Bowden et Tabor, on considÃ¨re que les parties en contact sont soudÃ©es comme des joints collÃ©s. Pour les dÃ©coller il faut appliquer une contrainte tangentielle au niveau des contacts seuil : $\tau_c = T/S$ (c'est le $S$ de contact rÃ©elle microscopique). C'est une propriÃ©tÃ© propre du matÃ©riaux.
On a alors : 
$$T = S \tau_c =\frac{\tau_c}{\sigma_{seuil}}N $$
On retrouve la proportionnalitÃ© de la force normale Ã&nbsp; la force tangentielle.

\textit{On a supposÃ© les ilÃ´ts identiques, car on n'a aucune connaissance a priori de la nature des contacts.}

\subsection{Aspect Ã©nergÃ©tique}

On cacule la puissance totale $P = P_1+P_2$ dÃ©veloppÃ© par les systÃ¨mes $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$ dans leurs mouvement observer depuis $\mathrm{R}$ le ref du labo.\\
\begin{itemize}
    \item Puissance reÃ§ue par $\Sigma_1$ : $P_1 = \va R_{2\rightarrow 1}\va v|_R(I_1)$
    \item Puissance reÃ§ue par $\Sigma_2$ : $P_2 = \va R_{1\rightarrow 2}\va v|_R(I_2)$
\end{itemize}
On a de plus avec le principe d'action rÃ©action : $R_{2\rightarrow 1}=-R_{1\rightarrow 2}$
Donc
\begin{align*}
    P =&amp; P_1+P_2\\
    {}=&amp;R_{2\rightarrow 1}\qty(\va v|_R(I_1)-\va v|_R(I_2))\\
    {}=&amp;\qty(\va N_{2\rightarrow 1}+\va T_{2\rightarrow 1})\va v_{g,2\rightarrow 1}\\
    {}=&amp;\va T_{2\rightarrow 1}.v_{g,2\rightarrow 1}\\
    {}\leq&amp;0
\end{align*}
La puissance totale des forces est nulles dans le cas de non glissement (il n'y a pas de mouvement!) et nÃ©gative dans le cas de glissement.

L'Ã©nergie est dissipÃ©e sous forme de chaleur : on se frotte les mains pour les rÃ©chauffer...


\remarque{On a vu les loi et on les a interprÃ©tÃ©, maintenant en pratique ?}

\section{Application}
\subsection{En pratique : Le cÃ´ne de frottement}
Dans le cas statique, on veux dÃ©terminer les limites du non glissement pour un plan inclinÃ©.
On se place dans le cas de non glissement pour commencer.
On prend $Ox$ l'axe de la pente.

\textbf{Bilan des forces :}
\begin{itemize}
    \item $\va P = mg\sin(\alpha)\va u_x-mg\cos(\alpha)u_y$
    \item $R = T \va u_x+ N\va u_y$
\end{itemize}

On projette le principe fondamental de la dynamique : 
\begin{align*}
    m\ddot{x} =&amp;mg\sin(\alpha) +T\\
    0=&amp;-mg\cos(\alpha)+N
\end{align*}

On en dÃ©duit pour $\ddot{x} = 0$ : 
$$T = -mg\sin(\alpha) ~~~\text{et}~~~ N = mg\cos(\alpha)$$

Notons que ces Ã©quations sont valides qu'il y ait glissement Ã&nbsp; vitesse constante, ou non glissement. On applique maintenant la condition de non glissement.

$$\abs{\va T}\leq\mu_s \abs{\va N}~~~~\implies~~~~\tan(\alpha)\leq \mu_s$$

A la limite donc, $\abs{\vb T} = \mu_s \abs{\vb N}$. 

On a le mÃªme cÃ´ne d'angle $\mu_d$ Ã&nbsp; l'intÃ©rieur et tant qu'il y a glissement, $\va R$ est sur ce cÃ´ne.



\subsubsection{L'arc-boutement}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/couainsseur.PNG}
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/arcboutement.png}
    \caption{Description d'un coinceur \href{https://mnsi.fr/wp-content/uploads/2020/04/8_TD13_PFSsuite.pdf}{https://mnsi.fr/wp-content/uploads/2020/04/8_TD13_PFSsuite.pdf}}
\end{figure}

C'est le mÃªme principe que les annuaires. 
\textbf{Mise en Ã©quation :} 
On fait un thÃ©orÃ¨me du moment cinÃ©tique en $O$ en utilisant le bras de levier.

$$0 = aT_A - a\tan(\alpha) N_B +a\tan(\alpha)N_A - aT_B$$
On a de plus la condition de non glissement : $\abs{T_A} \leq \mu_s \abs{N_A}$ et $\abs{T_B} \leq \mu_s \abs{N_B}$
$$\tan(\alpha)\qty(N_A+N_B) =T_A+T_B \leq \mu_s \qty(N_A+N_B)$$
Donc la condition de non glissement s'Ã©crit : 
$$\tan(\alpha)\leq \mu_s $$
On se retrouve dans un cÃ´ne de frottement. A la diffÃ©rence de la plache inclinÃ©, la gÃ©omÃ©trie du coinceur est tel que $\alpha$ une fois coincÃ© est fixe. Ainsi, si on peut le coincer, il ne peut pas se dÃ©crocher. D'oÃ¹ l'intÃ©rÃªt en escalade.

\subsection{Version horizontale (alternative)}

ConsidÃ©rons un patin sur un support horizontal. Ce patin est soumis Ã&nbsp; son poids $\vb P = m \va g$, une rÃ©action du support $\vb R$ que l'on dÃ©compose en une composante tangentielle $\vb T$ et une composante normale $\vb N$. On suppose Ã©galement que le mobile est tirÃ© avec une force $\vb F$. 

La condition de non-glissement du solide s'Ã©crit : $\abs{\vb T} \leq \mu_s \abs{\vb N}$. A la limite, il y a Ã©galitÃ©. On note $\phi$ l'angle entre $\vb N$ et $\vb R$ ; par trigonomÃ©trie, on a $\tan \phi = \frac{\abs{\vb T}}{\abs{\vb N}}$. On identifie alors : $\tan \phi = \mu_s$, qui permet de rÃ©Ã©crire la condition de non glissement : $\tan \phi \leq \mu_s$. 

On obtient alors l'angle limite de non glissement : $\phi_s = \arctan \mu_s$. Cet angle peut Ãªtre vu Ã&nbsp; 3dimensions : il dÃ©finit alors un cÃ´ne, que l'on appelle le cÃ´ne de frottement.

Son interprÃ©tation est la suivante : tant que la rÃ©sultante du support $\vb R \in$ au cÃ´ne de frottement, le mobile ne glisse pas (on est en dessous de la limite de non-glissement). 

En revanche, lorsque la rÃ©sultante sort du cÃ´ne, le mobile se met Ã&nbsp; glisser. 

Il est Ã&nbsp; noter que l'on peut dÃ©finir les mÃªmes grandeurs avec le coefficient de frottement dynamique : le cÃ´ne obtenu est appelÃ© cÃ´ne de glissement. Pour l'interprÃ©ter, il faut se placer dans le cas oÃ¹ le mobile est dÃ©ja en train de glisser. On est dans le cas de glissement de la loi de Coulomb.

Pour arriver Ã&nbsp; cet Ã©tat, il a fallu dÃ©passer la force seuil de frottement statique.

Le cÃ´ne de frottement est donnÃ© par le coefficient de frottement uniquement : c'est un paramÃ¨tre intrinsÃ¨que Ã&nbsp; la nature des matÃ©riaux en contact.

\textbf{Passage Ã&nbsp; la version inclinÃ©e :}

Lorsque le mobile est sur un support inclinÃ© d'un angle $\alpha$ avec l'horizontale, le poids et la rÃ©action normale ne sont plus dans la mÃªme direction. 

Le point d'application de la rÃ©action normale est pris comme le point d'intersection entre la direction du poids et celle du support. Lorsque ce point est au delÃ&nbsp; du solide, celui-ci bascule (en effet, le point de rotation est alors l'angle infÃ©rieur du mobile. Le moment du poids par rapport Ã&nbsp; ce point contribue Ã&nbsp; le faire tourner). 
L'Ã©tude des forces nous donne les relations : $$T = -mg \sin \alpha \text{ et } N = mg \cos \alpha$$

Donc la condition de non glissement s'Ã©crit : $\tan \alpha \leq \tan \phi$, ou encore $\alpha \leq \phi$

Cette relation nous permet de mesurer le coefficient de frottement statique : il suffit de mesurer l'angle auquel le solide se met Ã&nbsp; glisser lorsqu'on incline le support. En effet, Ã&nbsp; la limite, $\alpha = \phi$ d'oÃ¹ l'on tire : $$\mu_s = \tan \alpha_\text{limite}$$

\subsection{Stick-Slip ou collÃ© glissÃ©}

\begin{tcolorbox}
Manip du stick slip si possible. Mais ca va Ãªtre court niveau temps
\end{tcolorbox}
On considÃ¨re un patin accrochÃ© Ã&nbsp; un ressort de raideur $k$. L'extrÃ©mitÃ© de se ressort se dÃ©place Ã&nbsp; vitesse $v$. On appel $\va F_R$ la force du ressort sur le patin. Outre cette force le patin et soumis Ã&nbsp; sont poids et Ã&nbsp; la rÃ©sultante des contacts.
DÃ©terminer l'Ã©longation du ressort $\epsilon$ nous suffit pour caractÃ©riser la dynamique du systÃ¨mes. On observe 2 phases : 
\begin{itemize}
    \item Le patin ne glisse pas, l'Ã©longation du ressort augmente linÃ©airement
    \item Le patin glisse : le ressort se contracte jusqu'Ã&nbsp; ce que sa vitesse soit nulle. alors il raccroche.
\end{itemize}

Ce n'est pas un phÃ©nomÃ¨ne anodin, on le vois souvent : par exemple sur l'archet d'un violon :\href{https://www.youtube.com/watch?v=FO5bq6x_Tws}{cette vidÃ©o.}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/stick-slip.PNG}
    \caption{Stick-slip Milieux granulaire, Andreotti}
\end{figure}

\begin{itemize}
    \item $t=0$. le ressort est au repos :$\epsilon  =0$ et le patin aussi $x=0$, $\dot{x}=0$. $\epsilon = Vt$ jusqu'Ã&nbsp; $t_1$ le dÃ©crochage
    \begin{itemize}
        \item PFD horizontale : $F_T(t_1) = T(t_1)$ soit $k\epsilon (t_1) = \mu_s N = \mu_s mg $:
        $$t_1 = \frac{\nu_s m g }{kV} ~~~\text{et}~~\epsilon (t_1) = \frac{\mu_s mg}{k}$$
    \end{itemize}
    \item $t&gt;t_1$ : Le patin est en mouvement et $T = \mu_d mg$. $\epsilon = Vt-x$;$\dot{\epsilon} = V-\dot{x}$ Le PFD donne :
    $$\ddot{\epsilon}+\omega_0^2\epsilon = \nu_d g ~~~\text{avec}~~~\omega_0^2 = \frac{k}{m}$$
    Une solution de cette Ã©quation est : 
    $$\epsilon(t&gt;t_1) =A\cos(\omega_0(t-t_1)+\phi)+\frac{\nu_d mg}{k} ~~~\text{et}~~~\dot{epsilon} = -A\omega_0\sin(\omega_0(t-t_1)+\phi)$$
    Ceci correspond Ã&nbsp; une ellipse dans le portrait de phase.
\end{itemize}   

Les calculs sont nulles ... Du coup je propose de tout faire avec le portrait de phase, sans calcul : 
\begin{itemize}
    \item Phase 1 : Le ressort s'allonge Ã&nbsp; une vitesse $V$. On a donc une droite horizontale tel que $\dot{\epsilon} =V$
    \item Transition : Il y a dÃ©crochage (on peut faire le calcul prÃ©cÃ©dent ou donner direct la valeur). Quoi qu'il en soit, on change de comportement. On a $\epsilon = Vt-x$;$\dot{\epsilon} = V-\dot{x}$ donc l'Ã©quation du mouvement :
    $$\ddot{\epsilon}+\omega_0^2\epsilon = \nu_d g ~~~\text{avec}~~~\omega_0^2 = \frac{k}{m}$$
    On reconnaÃ®t un oscillateur harmonique qui oscille autour de $\frac{\mu_d mg}{k}$. C'est donc une ellipse dans le portrait de phase.
    \item On s'arrÃªte de tracer l'ellipse quand on a Ã&nbsp; nouveau $\dot{\epsilon} = V$ car cele signifie que le patin s'arrÃªte et donc est Ã&nbsp; nouveau soumis Ã&nbsp; $\mu_s$ qui est plus grand que $\mu_d$ !! On reprends la dynamique du dÃ©but
\end{itemize}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/phase.PNG}
    \caption{Portrait de phase}
\end{figure}
\section*{Conclusion}

Nous avons caractÃ©risÃ© le contact entre deux solide de maniÃ¨re quantitative, en dÃ©veloppant des outils cinÃ©tiques et dynamique. Nous avons alors utiliser des lois phÃ©nomÃ©nologique pour caractÃ©riser le cas particulier (pas trÃ¨s particulier) du frottement solide. Nous avons vu que ces Ã©quations permettait un comportement riche.\\
Nous avons Ã©galement discutÃ© quelques-unes de leurs limite.\\
Selon les ingÃ©nieurs de Nissan Motors, une diminution de quelques centiÃ¨mes des facteurs de frottement qui rÃ¨gnent dans les zones les plus sollicitÃ©es des moteurs permettrait de rÃ©duire de 5\% la consommation de carburants, qui, extrapolÃ©e au niveau mondial, ferait Ã©conomiser trente milliards de litres de carburants.
\end{document}
</pre></body></html>