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}

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\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Leçon de physique 17 &   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{LP18 : Phénomènes de transport}\\[-0,3cm]
\HRule \\
\end{center} 

\section*{Niveau} 

\section*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 2017 : La leçon ne peut se limiter à la présentation d’un unique phénomène de transport.
    \item 2016 : Les analogies et différences entre les phénomènes de transport doivent être soulignées tout en évitant de dresser un simple catalogue.
    \item 2015 : Les liens et les limites des analogies entre divers domaines doivent être connus.
    \item 2013 : [À propos du nouveau titre] Le candidat développera sa leçon à partir d’un exemple de son choix.
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item Dictionnaire de physique expérimentale tome 2 thermodynamique et application Dommini et QUaranta page 460
\end{itemize}

\section*{pré-requis}


\section*{Expériences}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\tableofcontents

\section*{Introduction}

Un phénomène de transport est un phénomène irréversible durant lequel une grandeur physique est transportée, ayant pour origine l'hétérogénéité d'une grandeur intensive. Plus simplement, c'est ce qu'il se passe lorsque la température d'un corps, une concentration,... s'homogénéise au cours du temps.

\section{Transport d'une grandeur conservée}

\subsection{Cadre}
Les phénomènes de transports sortent du cadre de la thérmodynamique à l'équilibre.
Cependant pour pouvoir étudier ces phénomène de transport, nous allons nous placer à l'\textbf{équilibre thermodynamique local}.
Pour comprendre, considérons la météo. On nous donne des valeur de pression et de température, mais l'ensemble du système n'est pas à l'équilibre. Pourtant nous sommes d'accord pour dire qu'il existe une échelle (typiquement celle de ma ville) ou je peux définir la température moyenne assez clairement. 
A une autre échelle si je met du sucre dans mon café, je ne peux pas définit LA densité volumique de sucre dans mon café dans la mesure où elle n'est pas homogène. Cependant, si je regarde plus localement je peux définir des sous systèmes dans lesquelles je peux définir une densité volumique en sucre.

L'idée de ces deux exemple et d'arriver à la définition suivante : 
\begin{tcolorbox}
On dit qu'un système est à l'équilibre thermodynamique local si on peut définir des sous systèmes de tailles mésoscopiques qui sont à l'équilibre thermodynamique (c'est à dire que l'on peut définit à leurs échelle toutes les grandeurs thermodynamique tel que la température ou la pression, cependant il n'est bien entendu pas forcément en équilibre avec son environnement, ce que cela signifie, c'est que si on isole le sous système brutalement, alors il est à l'équilibre). La condition sur la taille de ses sous système est  : 
$$l_P<<d<<L$$
Avec $l_p$ le libre parcourt moyen, $d$ la taille du sous-système et $L$ la taille du système globale.
\end{tcolorbox}

Pour que cela soit vérifié, il faut qu'il y ait séparation d'échelle : 
\begin{itemize}
    \item Temporelle : temps d'évolution des grandeur >> temps de relaxation vers l'équilibre ($10^{-9}$s pour un GP)
    \item Spatial : Échelle de variation spatiale >> libre parcourt moyen.($68$nm pour un GP)
\end{itemize}

Munit de cette définition, nous allons pouvoir caractériser les phénomènes de transport.

\subsection{Quantité conservé et Vecteur densité de courant}



On s'intéresse dans la suite a des grandeurs conservées, c'est à dire des grandeur extensive constante pour un système isolé  : Si il y a une variation de ses grandeurs c'est qu'elle ont était échangé. 
Pour être moins abstrait, ces grandeurs sont par exemple l'énergie dans les transport de chaleur, les particule de matière dans de la diffusion de particule, la charge dans la conduction électrique.
(Voir définition dans Dictionnaire de physique expérimentale tome 2 thermodynamique et application Dommini et QUaranta page 460).

Donc si la variation des quantité conservé provien d'un échange, il nous faut pourvoir caractériser cet échange. 

Pour que cela soit plus concret nous allons raisonné sur des particules, par exemple de l'encre 
\begin{tcolorbox}
Goutte d'encre dans un verre d'eau
\end{tcolorbox}

On note $n(\vec{r},t)$ la densité particulaire. On considère un domaine $\Sigma$ délimité par une surface $S$. Le flux de particule $\dd \phi_n$ qui traverse la surface $\dd \vec{S} $ est :
$$\dd \phi_n (\vec{r},t)= \vec{j}_n(\vec{r},t)\dd\vec{S}$$
Ici les surfaces sont orienté vers l'extérieur. (faire un schéma)
Cette expression définit le vecteur densité de courant (ici de particule). C'est le nombre de particule qui traverse la surface $\dd \vec{S} $ par unité de temps.

C'est une quantité algébrique.
Elle s'exprime en $s^{-1}.m^{-2}$ dans notre exemple. Cependant on comprend aisément que cette grandeur se généralise à d'autre flux. Par exemple on peut définir le vecteur densité de courant de charge $\vec{j}_e$ qui s'exprimera alors en $A.m^{-2}$.


\subsection{Équation de conservation}
On considère le volume $\Sigma$ et on fait le bilan des particules qu'il contient $N(t)$ :
$$N(t) = \int\int\int_V n(\vec{r},t)\dd V$$
$$N(t+\dd t) = \int\int\int_V n(\vec{r},t+\dd t)\dd V$$
Donc en faisant un DL nous avons :  $$N(t+\dd t) -N(t) =  \int\int\int_V \pdv{n}{t}\left(\vec{r},t\right))\dd t\dd V$$
Or la variation de la quantité de particule correspond à ce qui est sortie du volume donc :
\begin{align*}
    N(t+\dd t) -N(t) =&-\phi_{int\rightarrow ext}\dd t \\
    {}=& -\int \int_S \dd \phi \dd t
    {}=& -\int \int_S \vec{j}_n(\vec{r},t)\dd\vec{S} \dd t
    {}=&- \int \int\int_V \div{\vec{j}_n(\vec{r},t)}\dd V \dd t
\end{align*}
On a utiliser Green Ostrogradski. Attention ne pas oublier les ronds sur les intégrale de surface (fermé) je sais juste pas les faire en latex.
On a donc une égalité qui est vrai pour tout volume mésoscopique, donc 
$$\pdv{n}{t} +\div{\vec{j}_n} = 0$$
Ceci est vrai pour un milieu à l'arrêt.
Pour un milieux en mouvement, on peut généraliser cette équation en remplaçant la dérivé temporelle par une particulaire :
\begin{tcolorbox}
$$\pdv{n}{t} +\left(\vec{v}.\grad\right)n+\div{\vec{j}_n} = 0$$
C'est alors une équation d'advection diffusion.
\end{tcolorbox}
Pour mieux comprendre, l'advection correspond au déplacement des nuages et la diffusion à la tache d'encre. Ou encore une casserole remplie d'eau, la chaleur se propage dans le métal de la casserole par diffusion et dans l'eau en faisant des rouleaux par advection ou convection.

\textit{On peut encore rajouter un terme source et on obtient : 
$$\pdv{n}{t} +\left(\vec{v}.\grad\right)n+\div{\vec{j}_n} = \sigma$$
C'est une équation très générale qui peut s'appliquer à toute grandeur conservé. }

\remarque{Transition\\ 
C'est très bien mais c'est pas encore très appliqué parce que l'on ne connais pas ce que vaut le courant de déplacement.}

\section{Phénomène de diffusion}

La diffusion et le mode de transport sans déplacement globale $\vec{v} =\vec{0}$
\subsection{Diffusion de particule  : loi de fick}

On reprend notre exemple des particules dans le cas de la goutte d'encre par exemple. Expérimentalement, on observe que la diffusion a lieux quand il y a une inhomogénéité spatial de concentration et que la diffusion tends à l'effacer. Fick (1855) propose alors une loi phénoménologique : 
$$\vec{j}_n = -D\grad{n}$$
$D$ est appelé coefficient de diffusion. On remarque que le coefficient n'est pas le même en fonction de la température. Ceci est du à l'agitation thermique, qui accélère le processus de diffusion.
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/tableaux_diffusion.PNG}
    \caption{DIU p481}
\end{figure}

Cette loi est une approximation. Elle marche dans un domaine restreint. Notamment le fait que $D$ soit indépendant de $n$ est une hypothèse forte qui n'est pas toujours vérifiée.
\remarque{Transition\\Maintenant que l'on a $j_n$ on peut voire ce que ca donne dans notre équation de conservation}

\subsection{Equation de diffusion et autre phénomènes diffusif}

On obtient alors l'équation :
$$\pdv{n}{t} = D \Delta n$$
C'est une équation de diffusion. 

Pour pouvoir la résoudre il faut CI et CL.
Le fait qu'on est une dérivé par rapport au temps d'ordre 1 traduit dans cette équation d'irreversibilité du phénomène (si $n(\vec{r},t) $ est solution, $n(\vec{r},-t) $ ne l'est pas !
Une analyse dimentionnelle nous permet de construire : $L = \sqrt{Dt}$. Si les particules sont initialement à l'origines, la largeur de la distribution ira comme $\sqrt{t}$.

Dans une tasse de café $\delta$ =5 cm, avec $D=5.10^{−10}$m$^2$s$^{−1}$, on doit attendre $t=\delta^2 D = 58 $jours. Il vaut mieux touiller !! Et en vrai sinon plein de vibration autre peuvent augmenter la vitesse du phénomène.
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width = .9\textwidth]{images/bilan.PNG} 
    \caption{Bilan dans d'autres domaine}
\end{figure}
\subsection{Résolution de l'équation de diffusion}

Résolution bourrin ou... code !

\subsection{Diffusion et irréversibilité}

La diffusion est un phénomène qui tend à l'homogénéisation de grandeurs dans l'espace : une fois l'hohmogénéisation réalisée, on ne s'attend pas à ce que la grandeur redevienne macroscopiquement inhomogène. Le phénomène est irréversible.

On va montrer dans cette section que la diffusion thermique s'accompagne nécessairement d'une augmentation de l'entropie. On considère une tige de section S, de longueur L. On repère une position dans la tige par son abscisse $x$. En $x = 0$, la tige est portée à la température $T_1$, et en $x=L$, elle est portée à la température $T_2$. En régime stationnaire, le profil de température est linéaire.

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/tige_diff_thermique.png}
    \caption{}
\end{figure}

On va effectuer un bilan d'entropie dans la tranche de largeur $\dd x$. Le flux d'entropie entrant et sortant de la tranche sera lié à l'énergie interne : on commence par faire le bilan d'énergie interne.

Comme on l'a déja vu, $j_Q (x) = j_Q(x+\dd x)$ (si on l'a pas déja vu, on fait un bilan : variation = ce qui rentre - ce qui sort et rien n'est créé. Pas de variation en RS, donc ce qui rentre = ce qui sort...)

\textbf{Bilan d'entropie :}

Il faut prendre en compte un terme de création d'entropie volumique par unité de temps, $\sigma(x,t)$ tel que l'entropie créée dans le volume $S \dd x$ situé à l'abscisse $x$ pendant $\dd t$ s'écrit : $\delta^2 S_\text{créée} = \sigma(x,t) \dd x S \dd t$. 

Alors  en régime stationnaire, la variation d'entropie pendant $\dd t$ s'écrit : $$\dd^2 S = j_S(x) S \dd t - j_S S \dd t + \sigma(x) \dd t \dd x S$$

L'entropie entrante est, par nature, de l'entropie échangée : on écrit : $j_S(x) = \frac{j_Q}{T(x)}$, d'où : $$\dd^2 S = j_Q\left(1/T(x) - 1/T(x + \dd x) \right) S \dd t + \sigma(x) \dd t \dd x S $$

Enfin, en régime stationnaire, $\dd^2 S = \dd S(t + \dd t) - \dd S (t) = 0$ : la transformation de la tranche est isentropique. Attention ! Ca n'est pas une adiabatique réversible, c'est uniquement lié au fait que l'entropie créée est compensée par un départ d'entropie.

On en déduit l'expression de $\sigma(x)$ : $$\sigma(x) = -j_Q \frac{1}{T^2(x)} \frac{\dd T}{\dd x}$$

On utilise enfin la loi de Fourier : $j_Q = - \kappa \frac{\dd T}{\dd x}$, donc : $$\sigma(x) = \kappa \left( \frac{\dd T}{\dd x} \right)^2 \frac{1}{T^2(x)}$$ 

L'entropie créée par unité de volume est bien positive, et par ailleurs indépendante du signe du gradient de température.

\subsection{Modèle microscopique}

Aller voir \href{https://perso.ens-lyon.fr/benjamin.monnet/LP/LP18\%20Phenomenes\%20de\%20transport/LP18\%20Phenomene\%20de\%20transport.pdf}{ici} pour un modèle simple.

\section{Competition et couplage entre différents phénomène de transport}

On s'est intéressé principalement au transport diffusif. Mais on a vu que l'équation dans le cas général comportait aussi un terme d'advection. C'était bien pratique de ne pas le prendre en compte parce qu'il n'était pas linéaire, mais il existe des phénomènes dont la dynamique est régie par de la convection.

\subsection{Couplage entre convection et diffusion}

Pour savoir s'il faut prendre en compte l'advection de la grandeur G, on raisonne en terme d'ordre de grandeur. On regarde à quel point le phénomène de convection est important devant celui de diffusion grâce au rapport : $$ \frac{\text{advection}}{\text{diffusion}} = \frac{(\vec v \cdot \grad)G}{D \Delta G}$$

Pour la diffusion thermique, le nombre obtenu est le nombre de Péclet (thermique) : $P_e = \frac{U L}{D_\text{th}}$

On considère souvent que dès que l’on a un mouvement du milieu, c’est la convection qui domine. Par exemple pourqu’un colorant remplisse un verre uniquement par diffusion, il faut bien attendre au moins une heure... Alors que si on mélange même très légèrement, le colorant s’homogénéise déjà très vite. Ainsi, la diffusion est un processus difficile à étudier proprement... Pour s’affranchir totalement de la convection,il faut prendre beaucoup de précautions (taille des tubes / récipients, utilisation de milieux visqueux, abscence devibrations...) (DIU page 482)

Dans le cas de la diffusion/convection de quantité de mouvement, c'est... El famoso nombre de Reynolds ! $\mathcal{R}_e = \frac{U L}{\nu}$

Et pour la diffusion/convection de particules, c'est encore un Péclet, dit massique : $P_e = \frac{UL}{D_\text{part}}$

Le nombre de Prandt caractérise les couches limites thermique et visqueuse. En effet la couche limite visqueuse va comme $\delta_v =\sqrt{\frac{\nu x}{U}}$ et la thermique comme $\delta_q =\sqrt{\frac{D x}{v_{lim}}}$ 
$$P_r = \frac{\nu}{D}$$
\begin{itemize}
    \item Si $P_r<<1$, $v_{lim} = U$ c'est la couche limite thermique qui dommine.
    \item si $P_r>>1$, $v_{lim} = \frac{\delta_q}{\delta_v}U$ c'est la couche limite visqueuse qui domine et on a $\left(\frac{\delta_q}{\delta_v}\right)^3=1/P_r$
\end{itemize}
Cette dernière formule est intéressante puisqu’elle nous dit que pour des nombres de Prandtl voisins de 1 (comme c’est le cas pour l’air), les deux couches limites sont en gros de la même épaisseur, et la couche limite thermique est "piégée" dans la couche limite visqueuse. Ainsi, pour refroidir mon assiette de soupe, je veux réduire la couche limitethermique, et pour cela il me suffit de réduire la couche limite visqueuse (puisque l’une agit sur l’autre), ce que je fais en soufflant sur ma soupe.

\subsection{Instabilité de Rayleigh Benard}

Le principe est le suivant : On considère un fluide entre deux plaques. La plaque du bas est chauffé à $T_1 = T_0+\Delta T/2$ et la plaque du haute est à $T_2=T_0-\Delta T/2$. On impose ainsi un gradient de température. 
On se demande quelle va être le comportement du système.


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width = .9\textwidth]{images/rayleigh.PNG}
    \caption{Fasciule de TD M1}
\end{figure}

\textbf{Analyse qualitative de la situation :} Comme le fluide est chauffé par le bas, il va se dilater. On va alors avoir un profil de masse volumique $\rho$ croissant avec $z$. On suppose que le profil de masse volumique est linéaire avec la température : $\rho = \rho_0(1-\alpha (T-T_0))$\footnote{$\alpha$ est le coefficient de dilatation thermique à pression constante}. Si on considère un élément de fluide à une altitude $z$, de masse volumique $\rho(z)$ alors si on le déplace de $\dd z$ vers le haut (par exemple du à des fluctuation thermique), il est alors poussé encore plus vers le haut à cause de la poussé d'Archimède car $\rho(z+\dd z)>\rho (z)$.
On a donc une compétition entre la viscosité (coefficient de diffusion de quantité de mouvement) et la diffusion thermique. D'un coté, si le fluide est très visqueux alors l'élément de volume sera thermalisé très vite et on ne va pas voir l'instabilité apparaître. Mais de l'autre si la viscosité est faible devant le temps de diffusion thermique alors on va voir l'instabilité.


La force qui pousse notre élément de volume vers le haut est la poussé d'Archimède $f_A = (\rho(z+\dd z)-\rho(z))g\vec{e_z} = \pdv{\rho}g\dd z\vec{e_z}$
Si on utilise en plus la loi d'évolution de la masse volumique que l'on s'est donné, on a  : $f_A  = -\rho \alpha g\dd T \vec{e_z}$
On peut alors évaluer le temps caractéristique $\tau_a$ nécessaire à une goutte chaude pour s'élever : 
En ordre de grandeur, si la particule de fluide se déplace à la vitesse $v= h/\tau_A$, alors en utilisant le théorème de l'énergie cinétique : 
$\rho \frac{v^2}{\tau_a} = f_a v$. Ce qui revient à écrire : 
$$\tau _a=\sqrt{\frac{h}{\alpha g\Delta T}} $$

Ceci correspond au moteur de la convection (de l'instabilité). Pour savoir si il y a convection ou non on forme de nombre de Rayleigh : $$R_a = \frac{\tau_v\tau_q}{\tau_a^2}$$
Il compare le moteur de la convection (la poussé d'archimède) et les freins (les phénomènes diffusifs). $\tau_v = h^2/\eta$ et $\tau_q = h^2/\kappa$
$$R_a = \frac{g\alpha \Delta T h^3}{\nu \kappa}$$

Si $R_a<<1 $ les effets dissipatifs l'emporte et sinon un mouvement de convection apparait.
Il va alors y avoir des rouleaux de convection. Le rayleigh critique est de l'ordre de 1700.



\subsection{Bonus : Double diffusion (pour le style)}
Dans l'océan, quand on a un fluide stratifié d'eau salé chaude sur de l'eau douce froide, il y a de la double diffusion de chaleur et de particule. C'est un moteur important du mélange océanique.

\section*{Conclusion}

Nous avons définit ce qu'était un phénomène de transport et comment on pouvait obtenir l'équation d'évolution de quantité conservé a partir d'un bilan. Nous avons détailler le cas de la diffusion et observé que c'était un cadre très large. Enfin nous avons vu qu'il existe d'autre modes de transports, comme le convection.\\
Il existe aussi du rayonnement dont on a pas parlé ici.\\
Nous avons utilisé des équation phénoménologique pour les densité de courant, il est possible de les obtenir avec des modèles microscopique (Langevin Einstein ou Drude pour le conduction dans les métaux)

\section{Questions}
\begin{itemize}
    \item Pourquoi irreversible dans la définition de phénomène de transport ? 
    \begin{itemize}
        \item Parce que c'est la définition du dictionnaire de physique expérimentale,(et wikipédia) mais il est vrai que la convection n'est à priori pas irreversible. Par exemple un écoulement de couette cylindrique. Avec une grande viscosité on peut transporté la quantité de mouvement de manière réverisble.
    \end{itemize}
    \item Quelles sont les hypothèses pour pouvoir définir une température à l'échelle locale ?
    \begin{itemize}
        \item Il faut pouvoir considérer que les autres sous systèmes puissent agir comme des réservoirs d'entropie, et il faut considérer que les interaction entres sous systèmes sont local (c'est à dire qu'a la limite thermo, le rapport entre les terme volumique et surfacique des interaction tendent vers 0)
    \end{itemize}
    \item Différence entre advection et convection ?
    \begin{itemize}
        \item Aucune ! ou alors c'est pas claire... On peut dire que convection c'est libre et advection c'est forcé mécaniquement.
    \end{itemize}
    \item La loi de Fick, pourquoi elle est satisfaisante et peut on avoir une approche théorique ?
    \begin{itemize}
        \item Elle est satisfaisante car linaire, traduit le sens des échanges (avec le signe -) et traduit la relation avec l'inhomégéniété d'une grandeur
        \item On peut addopter un modèle microscopique pour la retrouver (type Langevin 1908)
    \end{itemize}
    \item Diffusion de particule théorique en une date ?
    \begin{itemize}
        \item 1905 avec Einstein
    \end{itemize}
    \item Diffusion solide solide, on en voit dans la pratique ?
    \begin{itemize}
        \item Heu... pas très appliqué, peut être de manière annecdotique pour les alliages et pour les bijoux plaqué ?
    \end{itemize}
    \item Explication $D_{gaz}\ggD_{liq}$ ?
    \begin{itemize}
        \item Parler du libre parcourt moyen plus grand chez les gaz donc, on propage plus loin plus vite
    \end{itemize}
    \item Si on met 2 masque plutôt qu'un, ca protège plus longtemps ?
    \begin{itemize}
        \item Dans l'hypothèse qu'à travers le "poreux" qu'est notre masque ce soit uniquement diffusif, avec la loi d'échelle si $L$ est multiplié par 2 le temps l'est par $4$. Cependant l'humidité va sûrement jouer et le mode de transport des miasmes n'est pas claire (surtout qu'on respire dans les masques)
    \end{itemize}
    \item Irréversibilité de Shrodinger ?
    \begin{itemize}
        \item Si on fait $t\rightarrow -t$ dans schrodinger on trouve une équation avec un moins du coté de la dérivé temporelle. C'est l'équation dont est solution le conjugué de la fonction d'onde. Donc comme on est "sensible physiquement" qu'à la norme au carré, Schödinger est reversible. Il faut en réalité faire $t\rightarrow -t$ et passer au conjugué pour montrer l'irréversibilité en mécanique quantique en général, mais ici tout est réel dans la leçon donc bon ...
    \end{itemize}
    \item Une autre équation avec dérivé première en temps ?
    \begin{itemize}
        \item Si on fait l'équation des ondes electromagnétiques avec $\vb{j}=\sigma \vb{E}$
    \end{itemize}
    \item Mon thé est chaud. Je veux le boir d'ici une minute mais je ne veux pas me brûler. Dois-je rajouter le lait au début ou à la fin de la minute ?
    \begin{itemize}
        \item Il faut le rajouter à la fin, car comme cela pendant plus longtemps on a un fort gradient de température avec l'extérieur, ce qui augmente le flux sortant. En effet si on le met au début, comme le mettre va mélanger, cela va vite s'homogénéisé mais ensuit, le gradient avec les bords sera plus faible ...
        \item Il est a noté qu'un facteur déterminant ici est plutôt l'évaporation du thé qui diminue grandement ca température. (il faut soufler)
    \end{itemize}
    \item Dans la diffusion thermique quelle est la quantité conservé
    \begin{itemize}
        \item L'énergie interne
    \end{itemize}
    \item Pourquoi n'y a-t-il rien dans la dernière colonne de ton tableau ?
    \begin{itemize}
         \item Parce que la conduction éléctrique c'est subtil.... Déjà en fonction de la jauge que l'on choisit c'est pas claire que l'on ait vraiment une inhomogénéité à homogénéisé. Ensuite, l'équation en utilisant l'équation de poisson serait plus compliqué. L'idée est de montré qu'il y a des ressemblance, mais ici c'est plus complexe.
    \end{itemize}
    \item C'est quoi la différence en $\vb{j}= -D\grad n$ et $\vb{j_e}= -\sigma\grad V$ 
    \begin{itemize}
        \item $V$ c'est pas la quatité sur laquelle on fait le bilan et le lien avec cette quantité n'est pas immédiate
    \end{itemize}
    \item C'est quoi $\vb{j}$ pour la quantité de mouvement ?
    \begin{itemize}
        \item C'est une contrainte. Dans un cadre générale c'est un tenseur.
    \end{itemize}
    \item En utilisant uniquement la diffusion, est ce qu'on peut respirer les même molécules que Jules Cesar ?
    \begin{itemize}
        \item Avec la diffusion uniquement, non, pas du tout... Il faut faire l'application numérique avec la loi d'échelle
    \end{itemize}
    \item Niveau de la lecon et programmes classes prépa ? (Sylvio a présenté L2)
    \item  Petit historique du mouvement Brownien
    \begin{itemize}
        \item 1827 Robert Brown : observation de grains de pollen
        \item En 1905, Albert Einstein donne une description quantitative du mouvement brownien et indique notamment que des mesures faites sur le mouvement permettent d'en déduire leur dimension moléculaire.
        \item 1909 :Jean Perrin, expériences qui lui permettent de calculer le nombre d'avogadro et qui lui vallent le prix nobel.
        \item 1908 Langevin: modèle micro et statistique de la diffusion.
    \end{itemize}
    \item De quelle mode de transfert thermique vous n'avez pas parler
    \begin{itemize}
        \item Radiation
    \end{itemize}
    \item Lien entre le bilan avec la dérivé particulaire et Navier Stockes
    \begin{itemize}
        \item Navier stockes c'est aussi un bilan mais sur la quantité de mouvement. On sépare arificiellement la trace du tenseur ces contrainte pour donner le terme de pression, mais il est déjà dans le bilan.
    \end{itemize}
    \item Tu connais d'autres nombre adimentionné ?
\end{itemize}
\subsection{Remarques}
\begin{itemize}
    \item Trop long sur la partie I
    \item Attention aux petite remarques pour comblé le silence...
    \item Bravo pour la gestion de couleur (il faut y penser c'est apprécié)
    \item La manip est un peut éclaté... Peut être faire la diffusion de l'ammoniac ou les conductiscope.
\end{itemize}
\end{document}
