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\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Leçon de xxxxxxxxxxx  &   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{LP2020 : Ondes dans les plasmas}\\[-0,3cm]
\HRule \\
\end{center} 

\section*{Niveau} L2

\section*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}



\section*{Expériences}
\begin{itemize}
    \item Plutôt des simulations et des animations
\end{itemize}

\section*{Pré-requis}
\begin{itemize}
    \item Ondes électromagnétiques dans le vide
    \item Oscillateur harmonique
    \item Analyse de Fourier
\end{itemize}

\tableofcontents

\section*{Introduction}

Les plasma sont réellement présents dans la nature. En effet il y a en a dans les étoile, comme la couche extérieur du soleil. Plus proche de nous, la ionosphère est un plasma et sa compréhension est nécessaire pour le passage d'information entre la terre et l'espace notamment pour les GPS. Enfin pour des techniques expérimentale récente, pour réalisé de la fusion nucléaire on doit confiné un plasma (image tokamac).

Tout ceci justifie leur étude. De plus, cela nous permettra d'illustré des caractéristiques importantes des ondes en générale.

\section{Cadre et hypothèses}

\subsection{Définition, hypothèses}

\textbf{Plasma :} gaz ionisé contenant 2 types de porteurs : 
\begin{itemize}
    \item ions de masse $m$, de densité $n$, de charge $q$, de vitesse $\vec v_i$
    \item électrons de masse $m_e$, de densité $n_e$, $-q$, $\vec v_e$
\end{itemize}

\textbf{Hypothèses :}
\begin{itemize}
    \item Milieu dilué : pas d'interaction entre particules 
    \item Plasma non relativiste : $\abs{\vec{v_i,e}} \ll c$
    \item mouvement des ions négligé (on reviendra dessus)
    \item Milieu non perturbé localement neutre
\end{itemize}
\subsection{Oscillation des plasmas}

\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{figures/petites perturbations.eps}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

On considère des petites perturbations à 1D.

On considère des ions de charge $q = +e$.
Avant la perturbation : $\rho = 0 = n_i e - n_e^0 e \implies n_e^0 = n_i = n$.

Nombre d'électrons dans le volume élémentaire : $dN_e = n_e dz = ndz$

Pendant la perturbation : \begin{align*}
dN_e &= n_e(z+dz+\xi (z+dz)-z- \xi (z) \\
&=n_e dz (1 + \frac{\partial \xi}{\partial z}) \\
\end{align*}

Par conservation du nombre d'électrons : $$n_e (1+\frac{\partial \xi}{\partial z}) = n \implies n_e \approx n(1-\frac{\partial \xi}{\partial z})$$

D'où la charge : $$\rho = ne - n_e e = n e \frac{\partial \xi}{\partial z}$$

L'équation de Maxwell-Gauss permet de remonter au champ électrique lié à la perturbation : $$ \vec{E} = \frac{ne}{\epsilon_0}\xi \vec{u_z}$$

On applique le PFD à l'électron : 

\begin{align*}
    &m_e \frac{\partial ^2 \xi}{\partial t^2} = -e\frac{ne}{\epsilon_0} \xi \\
    &\implies \frac{\partial ^2 \xi}{\partial t^2} + \frac{n e^2}{m_e \epsilon_0} \xi = 0
\end{align*}

On identifie un oscillateur harmonique à la pulsation plasma $\omega_p^2 =  \frac{n e^2}{m_e \epsilon_0}$.

\section{Equation d'onde}

\subsection{Conductivité du plasma}

On considère une onde incidente plane progressive harmonique $\vec{E} = \vec{E_0} \exp{i(wt-\vec{k}\cdot\vec{r}}$.

Son existence est couplée à celle d'un champ magnétique $\vec{B}$ donc une particule de charge $q$ subit la force de Laplace : $$\vec F_L = q(\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B}$$.

On calcule en ordre de grandeur le rapport de la partie magnétique par la partie électrique pour une particule de charge $\pm q$ :

$$\frac{F_m}{F_e} \approx \frac{vb}{e}$$

Qui se simplife avec la relation de structure des ondes planes en : $\frac{v}{c} \ll 1$ d'après l'hypothèse non relativiste. La partie magnétique est négligeable.

\textbf{Mouvement des ions :}

Les ions et les électrons subissent la même force électrique en norme :

\begin{align*}
    &m_i \frac{\partial \vec{v_i}}{\partial t} \approx \vec F\\ 
    &m_e \frac{\partial \vec{v_e}}{\partial t} \approx \vec F
\end{align*}

D'où $\frac{v_i}{v_e} \approx \frac{m_e}{m_i} \ll 1$ (la masse d'un électron est 1836 fois plus petite que celle d'un proton) : le mouvement des ions est négligeable.

On applique le PFD à un électron : $m_e \frac{\partial \vec v_e}{\partial t} = -e \vec E$. On passe en complexe et on identifie la conductivité par analogie avec la loi d'Ohm locale : $\sigma = -i \frac{n e^2}{m_e \omega}= -i\epsilon_0 \frac{\omega_p^2}{\omega}$

\subsection{Equation locale}

Equations de Maxwell + conservation de la charge + loi d'Ohm locale $$\implies \rho (\omega_p^2 - \omega^2) = 0 \implies \rho = 0~ \mathrm{et}~ \div{\vec{E}} = 0 $$
(sauf si $\omega = \omega_p$...)

Il y a donc neutralité du plasma.

Equation d'onde : $\grad \wedge \grad \wedge  = \grad \div - \Delta$...

$$\implies \frac{\partial E}{\partial t} - i \frac{\omega_p^2}{\omega} \frac{\partial E}{\partial t} - c^2 \Delta E = \vec 0$$.
Le terme en plus de l'équation de d'Alembert est lié au fait que $\vec j$ est non nul dans le plasma : les électrons bougent.

\subsection{Relation de dispersion}

... $\implies k^2 c^2 = \omega^2 - \omega_p^2 \rightarrow$ pas comme dans le vide. 
On distingue 2 régimes : 
\subsubsection{$\omega \geq \omega_p$ :}

Alors $k \in \mathbb{R}$ : Il y a donc propagation.

Mais ça n'est pas une propagation dans le vide : comment le quantifier? avec $v_{\phi}, v_g$.

Tracé de la relation de dispersion dans le plasma VS dans le vide.

A haute fréquence, les électrons ne sont plus mis ne mouvement à cause de leur inertie : ils ne suivent plus : on se rapproche du comportement du vide (l'onde ne voit pas les électrons).

\textbf{vitesse de phase :} $v_\phi = \frac{\omega}{\mathbf{Re}(k)} = \frac{c}{\sqrt{1 -\frac{\omega_p^2}{\omega^2}}} \geq c\rightarrow$ problème?? (on va revenir dessus)

\textbf{vitesse de groupe :} $v_g = \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} k} = c \times \sqrt{1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}} \leq c$

La vitesse de groupe est la vitesse de propagation de l'information. Tracé de $v_\phi$ et $v_g$ qui tendent vers $c$ à haute fréquence. 

\subsubsection{$\omega \geq \omega_p$ :}

$k^2 \geq 0 \implies k \in i\mathbb{R} \implies \vec k = i \vec{k'}$ avec $\vec{k'} \in \mathbb{R}$.
On parle d'onde évanescente : il n'y a pas de propagation. 

\textbf{Attention :} l'onde n'est PAS absorbée par le plasma : $\vec{j} = \sigma \vec E, \sigma \in i\mathbb{R}$ donc $\vec j$ et $\vec E$ sont en quadrature de phase. Il y a réflexion totale et non absorption.

\section{Paquet d'onde et information}

\subsection{Propagation d'information et paquet d'onde}
Onde plane :extension spatiale et temporelle infinie : non physique, n'existe pas.

Signal réel : paquet d'onde d'extension spatiale et temporelle limitée (dessin). A l'aide de l'analyse de Fourier, on décompose le paquet d'onde sur la base des ondes planes :

Paquet d'onde à $t=0$ : 

\begin{equation}
u(x, t=0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_\mathbb{R} \hat{u}(k) e^{ikx} \mathrm{d}k   
\end{equation}

Et à $t$ quelconque :

\begin{equation}
u(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_\mathbb{R} \hat{u}(k) e^{i(kx - \omega t)} \mathrm{d}k 
\end{equation}

On formules les hypothèses suivantes : 
\begin{itemize}
    \item Paquet d'onde piqué autour de $k_0$ : pour $k \not\in [k_0 - \delta k, k_0 + \delta k]$, $\hat{u}(k) = 0$ et $\delta k \ll k_0$.
    \item On effectue un développement de la relation de dispersion autour de $k_0$ : 
    \begin{equation}
    \omega(k) = \omega(k_0) + \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d}k} (k_0) \times (\omega - \omega_0) + o((\omega - \omega_0)^2)
\end{equation}
\end{itemize}

Alors :

\begin{equation}
    u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \underbrace {e^{i(k_0x - \omega t)}}_{\text{Porteuse}} \underbrace{\int_\mathbb{R} \hat{u}(k) e^{i(k-k_0)(x-v_gt)} \mathrm{d}k}_{\text{Enveloppe}}
\end{equation}

L'enveloppe correspond au déplacement du signal : le signal se déplace à $v_g \equiv$ la vitesse de propagation de l'information (qui est bien inférieure à la vitesse de la lumière).

Animations pour des approximations à l'ordre 1 (pas de dispersion) et à l'ordre 2 (on voit l'effet de la dispersion).

\textbf{Milieu dispersif :} Un milieu est dispersif si la propagation des ondes EM dans ce milieu est dispersive, c'est-à-dire si les composantes d'une onde à différentes longueurs d'ondes ne se propagent pas toutes à la même vitesse. Il y a alors étalement du paquet d'onde.

\subsection{Application numérique et GPS}

$\omega_p$ dans la ionosphère : $n_e \approx$ \SI{1e12}{m^{-3}} (très grand nombre mais pas si grand que ça : cuivre : \SI{1e29}{m^{-3}}). D'où $\omega_p \approx$ \SI{6e7}{rad.s^{-1}} qui correspond à $f_p \approx$ \SI{9}{MHz}.

Conséquence : les ondes radio AM, de fréquences inférieures à 330 kHz, se réfléchissent sur la ionosphère : permet de capter la AM au milieu de l'océan.

Pour le GPS, ça pose problème : il faut travailler à des fréquences supérieures à la pulsation plasma (typiquemennt 1GHz). Il faut aussi prendre en comte l'influence de l'ionosphère sur la vitesse de propagation, sinon le GPS se trompe de 15m.

\section{Conclusion}

?

\section*{Questions et remarques}

\subsection{Questions :}
\begin{itemize}
    \item On parle d'écran plasma : c'est comme un plasma?
    \item Comment vous définissez la densité?
    \item Est-ce que tous les gaz vérifient la même hypothèse de négliger les interactions entre particules?
    \item Est-ce qu'on peut dire qu'un plasma est un gaz parfait ? \textit{dans le cadre du plasma dilué, oui}
    \item Si on tient compte de B, ça change quoi? Notamment dans le cadre d'un champ B stationnaire en plus du champ de l'onde?
    \item Refaire la neutralité du milieu en grandeurs réelles.
    \item Détailler pourquoi il n'y a pas d'absorption dans le plasma.
    \item Comparer réflexion sur un plasma et sur un métal
    \item D'où provient l'absorption?
    \item Pourquoi on a toujours $\omega \in \mathbb{R}$?
\end{itemize}

\subsection{Remarques}
Bien de relier l'intro et la conclusion à la réalité pour ne pas faire que des calculs.

\end{document}
 