<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass{article}
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\newcommand{\important}[1]{\begin{center}\fbox{
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\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Lecon 2020 / LP 20 &amp;   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{Conversion de puissance Ã©lectromÃ©canique}\\[-0,3cm]
\HRule \\
\end{center} 

\section*{Niveau} 

\section*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 2016 : Afin de pouvoir aborder des machines Ã©lectriques de forte puissance, le rÃ´le essentiel du fer doit Ãªtre considÃ©rÃ© car les forces Ã©lectromagnÃ©tiques ne se rÃ©duisent pas aux seules actions de Laplace sâ€™exerÃ§ant sur les conducteurs traversÃ©s par des courants.
    \item 2015 : Il est souhaitable de prÃ©ciser le rÃ´le de lâ€™Ã©nergie magnÃ©tique lors de lâ€™Ã©tude des convertisseurs Ã©lectromÃ©caniques constituÃ©s de matÃ©riaux ferromagnÃ©tiques linÃ©aires non saturÃ©s.
    \item 2014 : Dans le cas des machines Ã©lectriques, les candidats sont invitÃ©s Ã&nbsp; rÃ©flÃ©chir au rÃ´le du fer dans les actions Ã©lectromagnÃ©tiques qui peuvent Ã©galement Ãªtre dÃ©terminÃ©es par dÃ©rivation dâ€™une grandeur Ã©nergÃ©tique par rapport Ã&nbsp; un paramÃ¨tre de position. Jusquâ€™en 2013, le titre Ã©tait : Conversion de puissance Ã©lectromÃ©canique. Exemples et applications.
    \item 2011, 2012, 2013 : Dans cette leÃ§on, le plus grand soin dans la dÃ©finition des orientations et des conventions de signe sâ€™impose. Les applications doivent occuper une place significative dans la prÃ©sentation. Ce ne sont pas les machines de technologie complexe qui illustrent le mieux les idÃ©es en jeu. Les notions de base sur lâ€™induction sont supposÃ©es connues.
    \item 2008 : Cette leÃ§on nÃ©cessite une bonne connaissance des machines prÃ©sentÃ©es et de leurs applications.
    \item 2006 : Les principes Ã©lÃ©mentaires de lâ€™induction ne sont pas correctement utilisÃ©s dans cette leÃ§on qui nÃ©cessite un minimum de connaissance de la technologie des machines.
    \item 2005 : Il ne faut pas confondre force de Lorentz sur un porteur de charge et force de Laplace sur un conducteur. Toutes les grandeurs introduites doivent Ãªtre algÃ©briques ou vectorielles, ce qui nÃ©cessite de prÃ©ciser les orientations et les bases de projection.
    \item 2004 : La conversion de puissance a donnÃ© lieu Ã&nbsp; des exposÃ©s purement descriptifs. Nous attendons une attitude de physicien, câ€™est-Ã&nbsp;-dire une justification des modÃ¨les simples proposÃ©s pour les machines Ã&nbsp; courant continu, par exemple avec les conditions dâ€™algÃ©brisation des grandeurs Ã©lectriques et mÃ©caniques introduites. Jusquâ€™en 2003, le titre Ã©tait : Exemples de couplage Ã©lectromÃ©canique : haut-parleur Ã©lectrodynamique, moteurs... Bilans Ã©nergÃ©tiques. 
    \item 1999 : Les candidats doivent pouvoir donner le principe des moteurs Ã©lectriques des diffÃ©rents types (Ã&nbsp; champ tournant, unipolaires, universels) ainsi que celui des gÃ©nÃ©rateurs Ã©lectriques Ã&nbsp; courant continu ou alternatif. Il faut Ãªtre particuliÃ¨rement attentif aux signes dans cette leÃ§on et ne pas omettre de mentionner des ordres degrandeur.
    \item 1998 : Il est essentiel de montrer lâ€™importance des termes de couplage entre Ã©quation mÃ©canique et Ã©quation Ã©lectrique. Dans le bilan dâ€™Ã©nergie global, il faut faire ressortir le rÃ´le du champ magnÃ©tique et expliquer lâ€™origine du bilan auxiliaire PLaplace +Pfem = 0.
    \item 1997 : Dans les bilans Ã©nergÃ©tiques, deux approches sont possibles : raisonner sur le circuit mobile seulement ou sur le systÃ¨me constituÃ© du circuit et des sources de B. Dans le premier cas, un fait important est que le travail des forces de Laplace extÃ©rieures subies par le circuit mobile augmentÃ© du travail de la force Ã©lectromotrice dâ€™induction dans ce circuit et dÃ» Ã&nbsp; son dÃ©placement seulement, est nul ; cela provient de la nullitÃ© du travail des forces de Lorentz au niveau microscopique. Une illustration expÃ©rimentale des exemples traitÃ©s, haut-parleur ou moteur, sâ€™impose
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item Electrotechnique PSI Brenders page 121
    \item PSI Ellipse Vidal
    \item cours de Montrouge \href{https://gitlab.in2p3.fr/jeremy.neveu/Moteurs}{https://gitlab.in2p3.fr/jeremy.neveu/Moteurs}
    \item \href{http://lnspe2.fr/Cours_Phys/CP02.pdf}{http://lnspe2.fr/Cours_Phys/CP02.pdf}
\end{itemize}

\section*{prÃ©-requis}


\section*{ExpÃ©riences}
\begin{itemize}
    \item Railde Laplace : si'nspirer de cette vidÃ©o : \href{https://www.youtube.com/watch?v=a9FBe7aHlgQ}{https://www.youtube.com/watch?v=a9FBe7aHlgQ}
    \item TriphasÃ© faire tourner un aiguille entre 3 bobines
\end{itemize}

\tableofcontents

\section*{Introduction}
Cette leÃ§on traite de la conversion d'Ã©nergie Ã©lectrique en mÃ©canique. ConcrÃ¨tement cela parle des moteurs. Pourquoi faire cette leÃ§on ? Parce que les moteurs constitue un outil essentielle dans notre vie quotidienne (Ã©lectromÃ©nager), mais Ã©galement Ã&nbsp; plus grande Ã©chelle (trains, machines -outils). Rien que dans une voiture on entre 10 et 100 moteurs (ventilation, essuie-glace dÃ©placement des vitres)\\
La conversion Ã©lectromÃ©canique est essentielle car l'Ã©lectricitÃ© est produite Ã&nbsp; un endroit (centrale nuclÃ©aire ou autre) grÃ&nbsp;ce Ã&nbsp; une gÃ©nÃ©ratrice (conversion mÃ©canique Ã©lectrique) puis transportÃ© pour Ãªtre ensuite retransformer en Ã©nergie mÃ©canique.\\
Leurs comprÃ©hension est primordiale afin de pouvoir les optimiser. \\
Historique : Electrotechnique PSI Brenders (page 121)
\begin{itemize}
    \item 1821 Faraday : extraire de l'Ã©nergie mÃ©canique Ã&nbsp; partir d'Ã©nergie Ã©lectrique
    \item ZÃ©nobe ThÃ©ophile Gramme (1826-1901) invente la dynamo et prÃ©voit l'inversion du comportement 
\end{itemize}


\section{Principe de la conversion ElectromÃ©canique}
Pour comprendre la conversion Ã©lectromÃ©canique, nous allons pasrtir d'un cas simple : le rail de Laplace, qui nous permettra de rÃ©utiliser nos connaissance en induction et de caractÃ©riser la puissance transmise
\subsection{Observation expÃ©rimentale du rail de Laplace}

\begin{tcolorbox}
\textbf{Rail de Laplace :}\\
Le mieux serait de faire l'expÃ©rience en s'inspirant de la vidÃ©o \href{https://www.youtube.com/watch?v=a9FBe7aHlgQ}{https://www.youtube.com/watch?v=a9FBe7aHlgQ} qui semble rÃ©uissir sans eteincelle.\\
Deux mode de fonctionnement :
\begin{itemize}
    \item GÃ©nÃ©rateur : on regarde Ã&nbsp; l'ampÃ¨rmÃ¨tre la variation d'intensitÃ© du au dÃ©placement de la parti mobile
    \item Moteur : On alimente avec un gÃ©nÃ©rateur
\end{itemize}
\end{tcolorbox}
Observation expÃ©rimentale
\begin{itemize}
    \item La variation du circuit entraÃ®ne l'apparition d'un courant
    \item Change le sens de dÃ©placement ou le sens de B change le signe du courant
    \item Le rail peut Ãªtre moteur ou gÃ©nÃ©rateur. 
\end{itemize}
Ce phÃ©nomÃ¨ne sâ€™explique qualitativement grÃ¢ce Ã&nbsp; la loi de Lenz. En effet en dÃ©plaÃ§ant le conducteur mobile on modifie la surface du circuit et donc le flux de B Ã&nbsp; travers le circuit, ce qui engendre lâ€™apparition dâ€™une force Ã©lectromotrice (notÃ© fem) et donc dâ€™un courant dans le circuit. Ce courant crÃ©e Ã&nbsp; son tour un champ magnÃ©tique B' qui sâ€™oppose au champ magnÃ©tique qui lui a donnÃ© naissance.

\subsection{Mise en Ã©quation}



\textbf{Fonctionnement moteur :}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/Railde laplacemot.PNG}
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/Railde laplaceelecmot.PNG}
    \caption{Rail de Laplace Moteur}
\end{figure}

On commence par faire le schÃ©ma : on oriente le cicruit (l'orientation est arbitraire, mais essentiel). Quand on applique un courant (il est comptÃ© positivement dans le sens de l'orientation) il y a appration de la force de Laplace (issu de la force de Lorentz intÃ©grÃ© sur le conducteur) : 
$$\dd\va F_L = i\dd\va{l}\cross \va B $$
C'est bien ce que l'on observe : ODG : avec  i=1 A, L=10 cm  et B=0.1T, on obtient une force de $F = 10^{-2}$N, donc il faut de fort champ et de fort courants.

\textbf{Fonctionnement gÃ©nÃ©rateur :}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/Railde laplace.PNG}
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/Railde laplaceelec.PNG}
    \caption{Rail de Laplace gÃ©nÃ©rateur}
\end{figure}
Un portion de conducteur mobile Ã&nbsp; la vitesse $\va v$ dans le rÃ©fÃ©rentiel $\mathrm{R}$ soumis Ã&nbsp; un champ magnÃ©tique permanant $\va{B}$ est le siÃ¨ge d'un champ Ã©lectromoteur : $\va E_m$ : 
$$\va E_m = \va V\cross \va B$$

La force Ã©lectromotrice ainsi obtenue est : 
$$e = \int_M^N\va E_m\dd\va{l}$$
On peut alors faire dans le cas gÃ©nÃ©rateur le modÃ¨le Ã©lÃ©ctrique Ã©quivalent en considÃ©rant $R$ la rÃ©sistance du conducteur.

\subsection{Bilan de puissance}

Maintenant que l'on a rÃ©pertorier les forces qui jouent, nous pouvons effectuer un bilan de puissance.

On considÃ¨re le conducteur mobile Ã&nbsp; une vitesse $\va{V}$. Il est caractÃ©riser par une densitÃ© de charge due aux ions : $\rho_{ion}$ et aux Ã©lectrons $ \rho_e$ qui sont eux animÃ© par une vitesse $\va{v}$ par rapport au barreau. La neutralitÃ© su conducteur est neutre, ce qui impose : $\rho_{ion}= - \rho_e$. On peut Ã©crire la force de Lorentz qui s'applique sur un Ã©lÃ©ment $\dd \tau$ de conducteur : 
$$\dd \va{f_{loz}} = \rho_e \dd \tau \qty(\va E +\qty(\va v+\va V)\cross \va B)+ \rho_{ion} \dd \tau \qty(\va E +\va V\cross \va B) = \va j \dd \tau \cross \va B = i\dd\va{l}\cross \va B$$
Avec $\va j = \rho_e \va v$. On reconnais la force de Laplace. On peut alors calculer la puissance des force de Laplace : 

\begin{align*}
    \dd P_{Laplace} =&amp; i\qty(\dd\va{l}\cross \va{B})\dot \va{V}\\
    {}=&amp;-i\qty(\va{V}\cross \va{B})\dot \dd\va{l} \\
    {}=&amp;-i\va{E_m} \dot \dd\va{l}\\
    {}=&amp;-P_{elec}
\end{align*}

On a donc $P_{laplace} +P_{elec} = 0$. Ici on a fait ce cas sans considÃ©rer les Ã©ventuelle pertes, qui se rajouteraient bilan. (Cependant, il est Ã&nbsp; notÃ© que dans un cas idÃ©al le rendement est 100$\%$ ce qui n'est absolument pas le cas dans un moteur thermique par exemple.) Cependant ici ce que l'on a traduit c'est qu'il ya identitÃ© entre la puissance Ã©lÃ©ectrique est mÃ©acnique, mais on n'a pas tout pris en compte. Par exemple on a considÃ©rer que le courant passer a travers le circuit constituÃ© d'une rÃ©sistance, mais on ne l'a pas pris en compte.\\
En prenant un cas plus concret d'un fonctionnement gÃ©nÃ©rateur. On applique une force mÃ©canique extÃ©rieur, il y a a lors de frottement et la force de laplace, soit en rÃ©gime permanant : $f_L + f_{frott}+f_{ext} = 0$. On a Ã©galement un bilan sur les puissance Ã©lectriques : 
$P_e + P_{Joule}+P_{e,ext}=0$
avec $P_{e,ext}$ la puissance Ã©lectrique utilisable (utiliser par le dipole Ã&nbsp; allimenter). On a alors :
$$P_{meca,ext}+P_{frot} = -P_L = P_e = -P_{Joule}-P_{e,ext}$$
Le fonctionnement est gÃ©nÃ©rateur donc $P_{meca,ext}&gt;0$, un partie est dissipÃ© par frottement $P_{frot}&lt;0$. Le tout est converti en puissance Ã©lectrique. Ce qui est utiliabel $P_{e,ext}&lt;0$ est diminuer de la dissipation par effet Joule $P_{Joule}&gt;0$.

Bine maintenant que l'on a compris le principe de la conversion Ã©lectromÃ©canique nous allons pouvoir nous intÃ©resser Ã&nbsp; des cas plus concret de conversion.


\section{Machine synchrone}


\subsection{Principe et champ tournant}
Le principe de la machine synchrone repose sur le fait qu'un moment magnÃ©tique a tendance Ã&nbsp; s'aligner avec le champ : 
$$\va{\Gamma} = \va{M}\cross\va{B}$$

Une maniÃ¨re simple de le comprendre est de considÃ©rer une sprire de courant rÃ©ctangulaire dans un champ  :
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=\0.5\textwidth]{images/moment.png}
    \caption{Visualisation du moment exercer par le champ sur une spire}
\end{figure}

On comprend alors que si on fait tourner le champ, notre moment magnÃ©tique va suivre. Ici c'est un raisonnement avec les mains qui permet de faire le lien avec la partie prÃ©cÃ©dente et qui permet de comprendre ce qu'il se passe.

Il nous faut donc un champ tournant :

\begin{tcolorbox}
Aiguille qui tourne dans 3 bobines dÃ©phasÃ© de $2\pi/3$. L'aiguille au repos ne dÃ©marre pas. Elle nÃ©cessite une pichnette.
\end{tcolorbox}

\textbf{ThÃ©orÃ¨me de Ferraris}. Trois bobinages dÃ©calÃ©s de 2/3 alimentÃ©s par
des courants sinusoÃ¯daux triphasÃ©s Ã©quilibrÃ©s de pulsation ! sont Ã©quivalents Ã&nbsp; un rotor fictif bipolaire tournant Ã&nbsp; la vitesse. Ce rotor fictif passe par lâ€™axe dâ€™une bobine quand le courant y est maximum.
\textbf{Principe : }
$$\va B = \va B_1+\va B_2+\va B_3 = B_s\qty[\cos(\omega t+\frac{2\pi}{3})\va n_1+\cos(\omega t-\frac{2\pi}{3})\va n_3]$$
\begin{align*}
    \va n_1 =&amp;\va u_x\\
    \va n_2 =&amp; -\frac{1}{2} \va u_x + \va{\sqrt{3}}{2}\va u_y\\
    \va n_3 =&amp; -\frac{1}{2} \va u_x - \va{\sqrt{3}}{2}\va u_y
\end{align*}
On a finalement :
$$B = \frac{3}{2}B_s\qty(\cos(\omega t)\va u_x + \sin(\omega t) \va u_y)$$

En modÃ©lisant l'aiguille par un moment magnÃ©tique $\va M$ elle subit un couple : 
$$\va{\Gamma} = \va M\cross \va B$$


\subsection{PrÃ©sentation du moteur}

Cependant dans un moteur, on n'a pas simplement trois bobines qui font torner une aimant. On a plutÃ´t :
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=\0.5\textwidth]{images/synchrone.PNG}
    \caption{Image de principe de la machine synchrone}
\end{figure}

\begin{itemize}
    \item \textbf{Le stator :} Le stator est la partie fixe. C'est sur lui que l'on va positionnner des bobines pour faire un champ tournant pour imposer une champ magnÃ©tique radiale dans l'entrefer. On utilise des matÃ©riaux fÃ©rromagnÃ©tique pour canaliser les lignes de champs.
    \item \textbf{Le rotor :} C'est la partie mobile. Il est solidaire de l'arbre mÃ©canique et on y fixe la bobine de l'induit
    \item \textbf{L'entrefer} : Espace entre le rotor et les stator, il doit Ãªtre le plus petit possible pour maximiser le champ B
\end{itemize}
\textbf{Description Ã©lectrique}:
\begin{itemize}
    \item L'inducteur est le circuit permettant de faire un champ dans l'entrefer. Il est sur le stator
    \item L'induit est le circuit sur le rotor qui est soumis Ã&nbsp; la force de Laplace.
\end{itemize}

Ici on remarque qu'il y a partout du fer doux. Ceci permet de canaliser les lignes de champs. Nous n'allons ainsi pas faire un raisonnement sur les forces de Laplace mais plus un raisonnement sur l'Ã©nergie accumulÃ© par le champ dans la machine (on va voir que ce la se rÃ©duit Ã&nbsp; l'entrefer). Mais pour cela nous devons dÃ©terminer le champs partout.
\subsection{DÃ©termination des champ et bilan Ã©nergÃ©tique}

On peut alors montrer que le champ crÃ©er par une spire de courant du stator est radiale et s'Ã©crit (voire annexe On utilise le thÃ©orÃ¨me d'ampÃ¨re $\oint H\dd l = I$ avec $H_{fer} = \frac{B}{\mu_0\mu_r} $ et $H_{entrefer} = \frac{B}{\mu_0} $): 
$$B_r = \frac{\mu_0I_r}{2e} ~~~~~~\text{Pour}~~~~ \gamma \in\qty[-\pi/2,\pi/2]$$
Le champ est alors antisymÃ©trique par rapport Ã&nbsp; la verticale et discontinue.

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=\0.5\textwidth]{images/champ.PNG}
    \caption{Champ par une spire}
\end{figure}


Si on ajoute des encoches dÃ©calÃ©, on peut "harmoniser le champ et le rendre quasi sinusoidale. Aussi pour une spire faisant un angle $\theta$ avec l'horizontale on aura un champ radiale dont l'amplitude Ã&nbsp; un angle $\gamma$ sera  : 
$$B_s = K_s I_s\cos(\gamma)$$
Le terme en $K_s$ prend en compte la gÃ©omÃ©trie du rotor

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=\0.5\textwidth]{images/harmoniser.PNG}
    \caption{Champ par le stator}
\end{figure}

En imposant un courant variable on a finalement un \textbf{Champ glissant} :
$$\va{B_s} = K_s I_s\cos(\omega t - \gamma)\va{u_r}$$

De la mÃªme le rotor constitue un bobinage parcouru par un courant permanent. On peut alors dÃ©terminer le champ dans l'entrefer en notant $\theta$ l'angle entre la normale de la spire et la direction Ã¹ on mesure le champ rotorique :
$$\va{B_r} = K_r I_r\cos(\gamma-\theta)\va{u_r}$$


\textbf{Ã‰nergie magnÃ©tique :}
On peut alors calculer l'Ã©nergie emmagasiner dans l'entrefer : 
La densitÃ© volumique d'Ã©nergie magnÃ©tique s'Ã©crit (dans un milieux isotrope homogÃ¨ne) :  $\frac{B^2}{2\mu_0\mu_r}$. On va donc l'intÃ©grer sur tout l'espace. Mais on se rends compte que cela va Ãªtre non nulle uniquement dans les parties oÃ¹ il n'y a pas de milieu ($\mu_r\longrightarrow\infty$). Donc l'Ã©nergie magnÃ©tique s'Ã©crit : 
\begin{align*}
    E_{mag} =&amp; \int_{entrefer} \frac{B^2}{2\mu_0}\dd V\\
    {}=&amp;\int_{entrefer} \frac{B_r^2}{2\mu_0}\dd V+\int_{entrefer} \frac{B_s^2}{2\mu_0}\dd V+\int_{entrefer} \frac{B_rB_s}{\mu_0}\dd V\\
\end{align*}
Avec $\dd V = \frac{V}{2\pi}\dd \gamma$.

Ce qui va nous interesser ici c'est de dÃ©terminer comment varie l'Ã©nergie avecl'angle $\theta$ car c'est $\theta$ qui va nous donner l'angle du moteur. Les deux premiÃ¨re intÃ©grales donnent des constantes par rapport Ã&nbsp; $\theta$ et la derniÃ¨re donne un terme proportionnel Ã&nbsp; $\cos(\theta)$ :

$$E_{mag} = \frac{V}{4\mu_0}\qty(\qty(K_rI_r)^2+\qty(K_sI_s)^2+2K_rI_rK_sI_s\cos(\theta-\omega t))$$
(Je ne pense pas que le dÃ©tail du calcul soit intÃ©ressant... mais sinon les deux cours en biblio le font bien )


\subsection{Point de fonctionnement}

Maintenant que l'on a l'Ã©nergie, on peut dÃ©duire le couple Ã©xercÃ© sur le rotor car :
$$\Gamma = \pdv{E_{mag}}{\theta}|_I$$

$$\Gamma =\frac{VK_rI_rK_sI_s}{2\mu_0}\sin(\omega t-\theta)$$ avec ici $\theta = \Omega t+\theta_0$
On remarque alors que pour que le moteur transmettent un couple il faut qu'il soit non nulle en moyenne et donc que $\Omega = \omega$.
On a donc :
$$&lt;\Gamma&gt; = M_0B_0\sin(\theta_0)\va u_z $$



\textbf{StabilitÃ© : } On remarque que le couple est maximal quand $\theta_0 = \pi/2$. Si le moteur est soums Ã&nbsp; un couple rÃ©sistant, cela impose un retard ($\theta_0$ mais le moteur reste synchrone). Cependant il faut Ã©galement que le point de fonctionnement soit stable, c'est Ã&nbsp; dire qu'une petite variation de $\theta$ entraÃ®ne un retour vers l'Ã©quilibre.
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/stabilite.PNG}
    \caption{CaractÃ©ristique $\Gamma(\theta_0)$, (code python sur le site de fracis)}
\end{figure}
On part de $\alpha \in[0,\pi/2] $ Si la perturbation fait prendre du retard au retors, alors le couple moteur augment et le moteur ratrappe sont retard.

\subsection{ProblÃ¨me de dÃ©marrage (Bonus)}
"Lâ€™avantage du moteur synchrone est quâ€™il est facilement commandable en vitesse par
la vitesse de rotation du champ statorique car les deux vitesses sont Ã©gales. Mais lâ€™inconvÃ©nient de ce moteur est que son couple au dÃ©marrage est de valeur moyenne nulle (car le rotor nâ€™a pas encore accrochÃ© le champ statorique et sans couple il ne peut commencer Ã&nbsp; vaincre le couple de charge). Il faut noter que certaines motrices de TGV sont pourtant Ã©quipÃ©es de moteurs synchrones. Le problÃ¨me du dÃ©marrage est rÃ©solu par un systÃ¨me dâ€™Ã©lectronique de puissance, consistant en des onduleurs de frÃ©quence variable, et permettant dâ€™Ã©tablir un asservissement de lâ€™angle interne pour obtenir de faÃ§on constante un couple moteur. On parle alors
de moteur synchrone autopilotÃ©" (cours montrouge)





On peut Ã©galement faire un circuit Ã©lectrique Ã©quivalent mais plus dur qu'en MMC (donc peut Ãªtre garder pour MMC) mais pour le stator cette fois ci ou on cosnidÃ¨re que 2 enroulement.... Il donne : 
$$e_1' = -M_0I_r\omega\sin(\omega t-\theta_0) ~~~\text{et}~~ u_1 =R_1 I_1+L_1\dv{I_1}{t}+e_1'~~~\text{et}~~e_1' = M_0I_r\omega\cos(\omega t-\theta_0) ~~~\text{et}~~ u_2 =R_2 I_2+L_2\dv{I_2}{t}+e_2'$$

\subsection{Bilan Ã©nergÃ©tiques :}
Sioit on le fait ici soit on le fait en MMC... Au choix.

Il n'y a juste pas de perte par commutation.





\section{Machine Ã&nbsp; courant continu}
On peu aller turbo vite, on a dÃ©jÃ&nbsp; montrÃ© ce qu'Ã©tait un rotor et un stator, on dÃ©crit juste le coontacteur et on admet $\Gamma = \Phi_0 I_r $ en faisant l'analogie avec le moteur synchronne\\

Utilisation  : TGV 1981 "Paris-Sud Est", mÃ©tro de Lyon (1978), jouets.\\
VidÃ©o : \href{https://www.youtube.com/watch?v=LAtPHANEfQo&amp;t=20s}{https://www.youtube.com/watch?v=LAtPHANEfQo&amp;t=20s}
\subsection{Principe de fonctionnement}
On considÃ¨re une spire dans un champ magnÃ©tique radiale :
\textbf{Description mÃ©canique : (facultatif un schÃ©ma suffit ici, on a dÃ©jÃ&nbsp; tout dÃ©crit)}:

\begin{itemize}
    \item \textbf{Le stator :} Le stator est la partie fixe. C'est sur lui que l'on va positionnner un aimant permanant ou une bobine pour imposer une champ magnÃ©tique uniforme radiale dans l'entrefer. Cela peut Ãªtre rÃ©alisÃ© grÃ¢ce Ã&nbsp; des aimants permanent (pour de petits moteur) ou des bobines que alimentÃ©es en helmoltz (c'est l'inducteur). On utilise des matÃ©riaux fÃ©rromagnÃ©tique pour canaliser les lignes de champs.
    \item \textbf{Le rotor :} C'est la partie mobile. Il est solidaire de l'arbre mÃ©canique et on y fixe la bobine de l'induit
    \item \textbf{L'entrefer} : Espace entre le rotor et les stator, il doit Ãªtre le plus petit possible pour maximiser le champ B
\end{itemize}
\textbf{Description Ã©lectrique}:
\begin{itemize}
    \item L'inducteur est le circuit permettant de faire un champ dans l'entrefer. Il est sur le rotor
    \item L'induit est le circuit sur le rotor qui est soumis Ã&nbsp; la force de Laplace.
\end{itemize}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/jargon.PNG}
    \caption{Petit jargon de l'electrotechnicien}
\end{figure}

\textbf{Principe :}
On considÃ¨re une spire dans un champ magnÃ©tique radiale. Elle est soumise au force de Laplace et tourne jusqu'Ã&nbsp; s'aligner verticalement. 
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/principeMMC.PNG}
    \caption{Principe de la MMC}
\end{figure}


On comprends alors que pour qu'elle continue de tourner, il faut que le courant change de sens. C'est le rÃ´le du collecteur. Le collecteur est constituer d'une bague et de balais.


Cependant on remarque que prÃ¨s de la verticale, le couple exercer par les forces de laplace est trÃ¨s faible... Aussi on va avoir un moteur qui tourne par acoup... Cela n'est pas ce que l'on veux. On rajoute donc plein de bobine avec des bague de commutations. Plus il y a de boucle et plus le mouvement sera doux.


\textbf{IntÃ©rÃªt de la MMC :}  Son intÃ©rÃªt est de pouvoir commander sa vitesse de rotation par la tension dâ€™alimentation et donc dâ€™avoir un moteur Ã&nbsp; vitesse variable facilement commandable.

\subsection{Bonus : DÃ©mo Equations de fonctionnement}
"La vison prÃ©cÃ©dent a lâ€™avantage dâ€™appliquer les notions dâ€™Ã©lectromagnÃ©tisme
liÃ©es Ã&nbsp; lâ€™induction, mais ne reprÃ©sente pas la rÃ©alitÃ© dâ€™une machine rÃ©elle. En effet, dans une machine rÃ©elle les conducteurs de lâ€™induit sont logÃ©s dans des
encoches du rotor ferromagnÃ©tique. Le matÃ©riau ferromagnÃ©tique canalisant les lignes de champ magnÃ©tique venant du stator, le champ magnÃ©tique devient quasi nulle au niveau des conducteurs ce qui compromet le calcul des forces de Laplace subies par le conducteur. De plus, il nâ€™a pas Ã©tÃ© pris en compte lâ€™interaction mutuelle du rotor comme dipÃ´le magnÃ©tique avec le stator. Dans les nouveaux programmes, le couple Ã©lectromÃ©canique est dÃ©duit de considÃ©ration sur lâ€™Ã©nergie magnÃ©tique stockÃ©e dans la machine et convertie en force mÃ©canique. Cette nouvelle approche permet de prendre en compte lâ€™effet des matÃ©riaux
ferromagnÃ©tiques prÃ©sents dans le rotor et leur influence rÃ©ciproque sur le stator." cours electrotechnique montrouge. 
On va suivre cette approche. Tout d'abord il nous faut dÃ©terminer l'Ã©nergie Ã©lectromagnÃ©tique contenue dans l'entrefer (en effet, on ne considÃ¨re que l'entrefer, car tout le reste est constituÃ© de piÃ¨ce fÃ©romagnÃ©tique de trÃ¨s grande permeabilitÃ© magnÃ©tique, ce qui fait que l'excitation magnÃ©tique y est nulle.)

\subsubsection{Couple Ã©lectromagnÃ©tique }
On peut alors montrer que le champ crÃ©er par une spire de courant horizontale du rotor est radiale et s'Ã©crit (voire annexe On utilise le thÃ©orÃ¨me d'ampÃ¨re $\oint H\dd l = I$ avec $H_{fer} = \frac{B}{\mu_0\mu_r} $ et $H_{entrefer} = \frac{B}{\mu_0} $): 
$$B_r = \frac{\mu_0I_r}{2e} ~~~~~~\text{Pour}~~~~ \theta \in\qty[0,\pi]$$
Le champ est alors antisymÃ©trique par rapport Ã&nbsp; l'horizontale et discontinue. Si on ajoute des encoches dÃ©calÃ©, on peut "harmoniser le champ et le rendre quasi sinusoidale. Aussi pour une spire faisant un angle $\theta$ avec l'horizontale on aura un champ radiale dont l'amplitude Ã&nbsp; un angle $\gamma$ sera  : 
$$B_r = K_r I_r\cos(\gamma - \theta)$$
Le terme en $K_r$ prend en compte la gÃ©omÃ©trie du rotor
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/rotioique.PNG}
    \caption{SchÃ©ma de la situation}
\end{figure}

De la mÃªme maniÃ¨re le champ crÃ©er par le stator est radial de la forme : 
$$B_s = K_sI_s\cos(\gamma)$$
Le facteur $K_s$ prend en compte la gÃ©omÃ©trie. Je ne suis pas sÃ»r que ce soit exactement cela. En effet dans le programme PSI on dÃ©duit le MMC du moteur synchrone, en disant ca marche pareille, Ã&nbsp; la diffÃ©rence que dans le moteur syncrone il y a bien des spire un peut partout homogÃ©nÃ©isant la discontinuitÃ© de champ. Dans notre cas, ca ne marche pas. Cependant, cela n'aura aucune influence dans le calcul.\\

\textbf{Energie electromagnÃ©tique dans l'entrefer :}

La densitÃ© volumique d'Ã©nergie magnÃ©tique s'Ã©crit (dans un milieux isotrope homogÃ¨ne) :  $\frac{B^2}{2\mu_0\mu_r}$ on va donc l'intÃ©grer sur tout l'espace. Mais on se rends compte que cela va Ãªtre non nulle uniquement dans les parties oÃ¹ il n'y a pas de milieu ($\mu_r\longrightarrow\infty$). Donc l'Ã©nergie magnÃ©tique s'Ã©crit : 
\begin{align*}
    E_{mag} =&amp; \int_{entrefer} \frac{B^2}{2\mu_0}\dd V\\
    {}=&amp;\int_{entrefer} \frac{B_r^2}{2\mu_0}\dd V+\int_{entrefer} \frac{B_s^2}{2\mu_0}\dd V+\int_{entrefer} \frac{B_rB_s}{\mu_0}\dd V\\
\end{align*}
Avec $\dd V = \frac{V}{2\pi}\dd \gamma$. Les deux premiÃ¨re intÃ©grales donnent des constantes par rapport Ã&nbsp; $\theta$ et la derniÃ¨re donne un terme proportionnel Ã&nbsp; $\cos(\theta)$

$$E_{mag} = \frac{V}{4\mu_0}\qty(\qty(K_rI_r)^2+\qty(K_sI_s)^2+2K_rI_rK_sI_s\cos(\theta))$$


\textbf{Couple ElectromagnÃ©tique}
Le couple Ã©lectromagnÃ©tique se dÃ©duit de l'Ã©nergie magnÃ©tique emagasinÃ©e par :
$$\Gamma = \pdv{E_{mag}}{\theta}|_I$$
(Nous pouvons voir cela comme par analogie de la force que l'on dÃ©duit de l'Ã©nergie Ã©lectromagnÃ©tique)
On a donc le couple qui s'Ã©crit : 
$$\Gamma = \frac{V}{2\mu_0}K_rI_rK_sI_s\sin(\theta) ~~~~\implies~~~~\Gamma = \Phi_0 I_r$$
On notera que dans notre cas de la machine Ã&nbsp; courant continue $\theta$ vaut $\pi/2$ car les balais ne sÃ©lectionne que les boucle de courant perpendiculaire au champ de l'inducteur.
\subsection{Equation de fonctionnement}
\textbf{Couple magnÃ©tique}
 $$\Gamma = \pdv{E_{mag}}{\theta}|_I$$
 On fait l'analogie avec le moteur prÃ©cÃ©dent. On a alors : 
 $$\Gamma = \frac{V}{2\mu_0}K_rI_rK_sI_s\sin(\theta) ~~~~\implies~~~~\Gamma = \Phi_0 I_r$$
 Il n'y a plus de $\omega$ parce que le stator ne fait pas un champ tournant ici.
 
\textbf{Force Ã©lectromotrice}

On rÃ©alise un bilan de puissance : \\
Le champ statorique induit une force Ã©lectromotrice dans le circuit Ã©lectrique du rotor. La puissance mÃ©canique du rotor provient de cette puissance Ã©lectrique de l'induit, absorbÃ© par la fem. Or on a montrer que le couplage Ã©lectromÃ©canique des force de Laplace Ã©tait parfait. On en dÃ©duit que la puissance de la fem est Ã©gale Ã&nbsp; la puissance mÃ©canique fournie : 
$$P_{fem}^{absorbe} = P_{meca}^{fourni}~~~~\implies~~~~ -ei(t) = \Gamma\Omega = \Phi_0\Omega i(t) $$
On en dÃ©duit que : $$e = -\Phi_0\Omega$$

\textbf{Equation mÃ©canique :}
On rÃ©alise un thÃ©orÃ¨me du moment cinÃ©tique sur le rotor caractÃ©risÃ© par un moment d'inertie $J$ :
$$J\dv{\Omega}{t} = \Phi_0 I_r-\Gamma_c$$
Avec $-\Gamma_c$ le couple rÃ©sistif du Ã&nbsp; la charge sur le moteur.\\
\textbf{Ã‰quation Ã‰lectrique}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/eqelec.PNG}
    \caption{SchÃ©ma Ã©lectrique Ã©quivalent}
\end{figure}

L'enroulement du rotor est modÃ©lisÃ© par une bobine d'inductance L et de rÃ©sistance R. Une loi des mailles donne : 
$$u =e+L\dv{I_r}{t}+RI_r $$


\subsection{Modes de fonctionnement (Facultatif)}
\begin{itemize}
    \item Lorsque $\Gamma\Omega&gt;0$ la machine fournit de la puissance mÃ©canique et travaille donc en moteur (elle reÃ§oit de la puissance Ã©lectrique et fournit de la puissance mÃ©canique). On a Ã©galement $eI &gt;0$ ce qui montre bien que lâ€™on reÃ§oit de la puissance Ã©lectrique.
    \item Ã€ lâ€™inverse si $\Gamma\Omega&lt;0$ on a $eI &gt;0$, la machine reÃ§oit de la puissance mÃ©canique et fournit de la puissance Ã©lectrique : elle travaille donc en gÃ©nÃ©ratrice. 
\end{itemize}
Les deux modes de fonctionnement ont chacun deux sous-cas, correspondant Ã&nbsp; une marche avant ou arriÃ¨re
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/fonctionnement.PNG}
    \caption{Mode de fonctionnement}
\end{figure}
On considÃ¨re le systÃ¨me en rÃ©gime permanant on a donc les Ã©quations : 
\begin{align*}
    \Gamma =&amp; \Phi_0 I\\
    U = &amp;\Phi_0\Omega +RI_r
\end{align*}
Donc : $C =\frac{\Phi_0U}{R}-\frac{\Omega}{R} $
Aussi si on connait le couple rÃ©sistance en fonction de la vitesse de rotation (donnÃ© par le charge que l'on met sur le moteur) on a plus qu'Ã&nbsp; trouver l'intersection de ses deux courbes dans le plan $\Gamma$, $\Omega$

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/point.PNG}
    \caption{Point de fonctionnement pour un couple rÃ©sistif connu Code python sur le site de Francis}
\end{figure}

\subsection{Rendement et bilan de puissance}
Jusqu'ici on a dÃ©crit la machine rÃ©elle il convient dÃ©sormais de prÃ©senter les Ã©cart par rapport Ã&nbsp; l'idÃ©alitÃ©. EnumÃ©rons les pertes :
\begin{itemize}
    \item Pertes Cuivres : Effet joules dans les bobinages : $P_J = R_rI_r^2+R_sI_s^2$
    \item Pertes fer : La prÃ©sence de milieux fÃ©romagnÃ©tique permet de canaliser les lignes de champs, mais il y a des pertes du Ã&nbsp; l'histÃ©rÃ©sis de ses matÃ©riquaux. Il y a de plus des pertes par courant de foucault
    \item Perte de commutation. Forte variation de courant dans le collecteur lors de la commutation.
    \item Perte par frottement 
\end{itemize}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/pertes.PNG}
    \caption{Visualisation graphique des pertes}
\end{figure}
on peut Ã©crire la puissance comme :
$$P_{Ã©lec ext}-P_J-P_{com}=-P_e=P_L=P_{frot}+P_{fer}-P_{mÃ©ca,ext}$$
Le rendement se dÃ©finit alors dans le cas moteur part :  
$$\eta = \frac{P_{utile}}{P_e} = 1-\frac{P_J+P_{fer}+P_{frot}}{P_e} = 1-\frac{R_sI_s^2+R_rI_r^2+\Gamma_p\Omega}{UrI_r+U_sIs}$$
(il manque le terme des pertes fer)
Un ordre de grandeur des rendement est entre 80et 90$\%$ pour des machines de 3 Ã&nbsp; 100 kW. On remarque que le rendement thÃ©orique accessible est bornÃ© par 100\%. Ceci est trÃ¨s diffÃ©rents des machines thermique bornÃ© par le rendement de Carnot. 
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/application.PNG}
    \caption{Application : Hprepa}
\end{figure}



\remarque{Aujourd'hui les machine a courant continue sont peut utiliser dans l'industrie. On utilise des machines a courant alternatif. En effet elles sont plus fiable, permettent une plus grande puissance volumique et utilsier des champs tournant permettent de se passer des ballais.}



\section*{Conclusion}
Nous avons mis en lumiÃ¨re deux machine permetant la conversion rÃ©versible de puissance mÃ©canique en Ã©lectrique. Nous notons qu'elles sont trÃ¨s utilisÃ© aujourd'hui et que pour les comprendre il faut utiliser les lois de l'induction.
Nous pouvons Ã©galement souligner qu'il existe d'autre mÃ©thode de conversion plus appliquer Ã&nbsp; un systÃ¨me et pas aussi universel que les moteru. C'est le cas d'un haut parleur (que nous traiterons en TD) ou encore des piezoelectrique qui couplent tension et Ã©longation.
On notera qu'un rÃ©sultat important ici est le fait que les puissance du Ã&nbsp; la Fem induite et la puissance mÃ©canique qui l'a provoquÃ© sont identique, ce qui permet des rendement supÃ©rieur Ã&nbsp; ceux des machines thermiques.



\section{Applications}
\subsection{Haut-parleur}
\subsection{Catapulte Ã©lectromagnÃ©tique}




\section{Annexe}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/champ crÃ©er.PNG}
    \caption{Champ crÃ©er par une spire dans l'entrefer (PSI Ellipse Vidal )}
\end{figure}



\subsection{Principe de fonctionnment}

Dans la machine synchrone le bobinage du stator crÃ©e un champ tournant et le stator est assimilÃ© Ã&nbsp; un moment magnÃ©tique  $\va M$.

On considÃ¨re le champs tournant : 
$$B = \frac{3}{2}B_s\qty(\cos(\omega t+\theta_0)\va u_x + \sin(\omega t+\theta_0) \va u_y)$$
avec $\theta_0$ l'angle entre le champ et le moment magnÃ©tique Ã&nbsp; t=0. On considÃ¨re le moment magnÃ©tique tournant Ã&nbsp; la vitesse $\Omega$ : 
$$\va M =M_0 \qty(\cos(\Omega t)\va u_x + \sin(\Omega t) \va u_y)$$
On en dÃ©duit le couple subit par le rotor : $$\Gamma = \va M\cross \va B = M_0B_0\sin(\qty(\omega_0-\Omega )t +\theta_0)\va u_z$$
Si on veux transmettre un couple, il faut que la valeur moyenne de se couple instantanÃ© soit non nulle. Ceci n'est possible que pour $\Omega=\omega$ d'oÃ¹ le nom de machine synchrone : 
$$&lt;\Gamma&gt; = M_0B_0\sin(\theta_0)\va u_z $$

(Pour retrouve ce rÃ©sultat on peut aussi reprendre les calculs prÃ©cÃ©dent pour la MMC et remplacer le champ du moteur par le champ tournant :
$$E_{mag} = \frac{V}{4\mu_0}\qty(\qty(K_rI_r)^2+\qty(K_sI_s)^2+2K_rI_rK_sI_s\cos(\theta-\omega t))$$ ce qui nous donne un couple : $\Gamma =\frac{VK_rI_rK_sI_s}{2\mu_0}\sin(\omega t-\theta)$ avec ici $\theta = \Omega t+\theta_0$)

\end{document}
</pre></body></html>