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}


\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Leçon de physique 23 &   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{Aspects analogique et numérique du traitement du signal. Etude spectrale}\\[-0,3cm]
\HRule \\
\end{center} 

\section*{Niveau} 

\section*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 2017 : Ce n’est pas une leçon sur le filtrage qui est attendue ; il ne faut pas se réduire à l’étude d’un ou plusieursfiltres électroniques.
    \item 2016 :Cette leçon ne peut en aucun cas se réduire à la simple étude de la théorie de Fourier.
    \item 2015 :Cette leçon ne doit pas se réduire à un catalogue de systèmes de traitement analogique du signal. Elle peut aussi mettre en exergue des méthodes numériques enseignées notamment dans les programmes de CPGE.
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\section*{pré-requis}
\begin{itemize}
    \item Décomposition en série de Fourier
\end{itemize}

\section*{Expériences}
\begin{itemize}
    \item Approximation creneau avec des séries de Fourier : \href{https://www.geogebra.org/m/vzh8emTb}{anim geogebra}
    \item Critere de Shannon : \href{https://www.geogebra.org/m/NV623Ftm}{anim geogebra}
\end{itemize}

\tableofcontents

\section*{Introduction}
La problématique de traitement du signal est omniprésente en physique expérimentale. Que ce soit pour transmettre et recevoir de l’information ou bien extraire une grandeur physique d’une expérience, il est nécessaire de traiter le signal brut produit par le système physique. En effet une partie de notre signal ne correspond pas forcément à ce que l'on cherche à caractériser.\\
Il existe deux manière d'acquérir un signal : la voie analogique, c'est pas exemple un sismographe. Ou la voie numérique, c'est le cas la plupart du temps dans les sytèmes que vous considérer tout les jours : vos smartphone. 
Aujourd'hui on va voir quelques aspects du traitement du signal et plus particulièrement avec un point de vu spectrale, qui nous est permis pas la linéarité des systèmes.

\section{Etude spectrale d'un signal}

\subsection{Importance de la linéarité}
\begin{tcolorbox}
On fait un circuit RC (il nous servira pour la détection synchrone) \\
On observe que si on lui envoie un échelon, le système répond avec un certain temps de réponse. Sa réponse n'est pas "évidente". En effet on sait que la sortie corespond à  :
$$s(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t-t')e(t')\dd t' = (h * e)(t)$$
C'est le produit de convolution. Concrètement, c'est pas sympa a calculer et cela correspond à calculer la réponse de chaque "point" par la fonction de transfert.
Cependant, si je met un sinus, alors la sortie est exactement un sinus et de même fréquence !!
\end{tcolorbox}

On peut modéliser note système par une fonction de transfert linéaire, invariant dans le temps SLIT

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width =0.5\textwidth]{images/fonction de transfert.PNG}
    \caption{Fonction de transfert}
\end{figure}
Un système est linéaire si pour une entrée $e_1+\lambda e_2$ la sortie est $s_1+\lambda s_2$.


\textbf{Conséquence : Pour un système linéaire les composantes sinusoïdale du système ne se mélangent pas}


\subsection{La transformée de Fourier}

L'idée est la suivante, On décompose notre signal sur une base de sinus, c'est à dire comme pour un vecteur on écrit : 
$s = a(1,0,0)^t+b(0,1,0)^t+c(0,0,1)^t$ mais on remplace les vecteurs de bases par des sinus. 
Pourquoi faire cela ? Comme le système est linéaire, on aura ca l'étudier sur les sinus et ensuite sommer chacune des composante.

La question est : Est ce que ce c'est possible ? 
Vous connaissez déjà la réponse : la décomposition en \textbf{série de Fourier}. La décomposition en série de Fourier s'applique pour des signaux périodique ici de fréquence $f_0 = \frac{1}{\tau}$
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width =0.5\textwidth]{images/seriefourier.PNG}
\end{figure}
\begin{tcolorbox}
Code pour visualiser cela : code carre
\end{tcolorbox}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width =0.9\textwidth]{images/diferent signaux.PNG}
    \caption{Pour avoir d'autre signaux en réserve}
\end{figure}


Le problème c'est qu'on a pas des signaux périodiques, en générale, déjà parce qu'ils sont finit !
Il faut imaginer que les signaux périodique son une partie de l'espaces dans lequel les  fonctions vivent, c'est la même chose que si je considère un plan, un vecteur hors du plan ne peut pas être décomposer comme un vecteur du plan. Il va falloir choisir une nouvelle base, qui elle permet de décrire plus de signaux. 

On va alors utiliser la base des exponentiel complexe $e^{2i\pi ft}$. Fondamentalement on s'en fiche de la base que l'on choisit, l'important c'est que ce soit une base. Cette base elle est intéressante parce qu'elle ressemble beaucoup à la base des sinus et des cosinus que l'on a bien compris.

Physiquement, on interprète l’argument $f$ comme une fréquence, qui est la grandeur duale du temps.

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width =0.3\textwidth]{images/tf.PNG}
\end{figure}

La transformé de Fourier s'applique aux fonction de \textbf{carré integrable}.
Tout comme un sinus infini n'a pas de réalité physique car il est d'énergie infini, c'est la cas aussi pour les exponentielle de notre base. Ce sont des outils qui nous permettre de construire un signale réelle. Une image ce ceci correspond à imaginer un jeu vidéo dans le lequel il y a une plate forme complètement entourer de lave. Le programmeur il ne peut associer au personnage que des positions sur le sol, cependant, en choisissant une base cartésienne en bas à gauche dans la lave, il peut définir tout l'espace accessible par le personnage même si ces éléments de la bases ne sont pas dans l'espace accessible par le personnage. (c'est une image de moi, je sais pas ce qu'elle vaut)

Le module de $TF[s](f)$ donne donc l’amplitude du signal pour sa composante  qui oscille à la fréquence $f$. La phase donne les déphasages mutuels entre les différentes composantes.


\subsection{Propriétés}

Considérons un signal périodique, par exemple issu d'un diapason : $S(t) = A \cos(2\pi f_0t)$, on peut calculer la TF (pas trop en vrai mais on le fait quand même) : $\hat{S}(f) = \frac{A}{2i}\qty(\delta(f-f_0)-\delta(f+f_0))$


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width =0.5\textwidth]{images/tfdiap.PNG}
    \caption{tf diapason}
\end{figure}

On remarque qu'il y a des fréquences négatives... Ca n'a pas trop de sens pour nous. Cependant, pour un signal réelle, alors sa transformé de fourier est hermitique, donc il y a les même information fréquentielle à gauche et à droite de 0 pour les signaux physiques.


\textbf{Propriétés :}
\begin{itemize}
    \item La TF c'est linéaire (heureusement) : 
    $$TF\qty(af(t)+g(t)) = aTF(F)+TF(g)$$
    \item Produit de convolution. On a vue que la réponse des SLIT était des produit de convolution mais qu'il sont pas facile à calculer : La TF nous sauve !! 
    $$TF(h*e) = TF(h)\times TF(e)$$
    \item Enfin on donne une propriété qui nous sera utilise plus tard : 
    $$TF(\Peigne{}_\tau (t))(f) = \Peigne{}_{1/\tau}(f)$$
    \item Multiplication par un scalaire : $s(at) \rightarrow \frac{1}{\abs{a}} \hat s\qty(\frac{f}{a})$
    \item Dualité temps-fréquence : Qualitativement, si on regarde le signal à $t$, on n'a aucune info sur sa fréquence. Si on ne regarde qu'une fréquence du signal, on n'a aucune idée de quand il a lieu dans le temps. C'est lié à la relation d'incertitude temps fréquence, qui relie les écarts-types des 2 signaux en fréquence et en temporel : $$\sigma_t \times \sigma_f \geq \frac{1}{4 \pi}$$
    
    Avec : $\sigma_t^2 = \int_\infty t^2 \abs{s(t)}^2 \dd t$ et égalité si les signaux sont gaussiens.
\end{itemize}

\section{Conversion analogique numérique}
On considère dans cette partie un signal analogique $s(t)$. On va aborder les étapes de sa conversion analogique numérique. Par exemple l'acquisition d'un signal avec un micro, le micro ressort un signal analogique qui est ensuite encodé par la carte d'acquisition

\subsection{Echantillonnage}

Une étape importante est l'échantillonage :\\
\textbf{Echantillonage :} c'est une opération consistant à relever la valeur de $s(t)$ à des instants donnés. Habituellement, il est régulier, c'est à dire que les échantillons sont prélevés à des intervalles de temps réguliers $\tau = t_{i+1} - t_i$. La fréquence d'échantillonage est alors : $f_e = \frac{1}{\tau}$.

On comprend que pour restituer au mieux un signal, il est bon d'avoir la fréquence d'échantillonage la plus grande possible. \textit{Montrer l'animation geogebra}. Néanmoins, on peut vite être limité par le volume de données à acquérir, ou la rapidité de la mesure.

Version visuelle du critère de Shannon : \href{https://www.youtube.com/watch?v=0kgWvQ1DXS8&t=58s}{Cette vidéo}, c'est comme les jantes des roues de voiture qui vont vite.

Mathématiquement, l'échantillonnage de $s(t)$ se traduit par le produit avec la fonction peigne de Dirac de fréquence $f_e$ : 

$$\Peigne{}_{\tau} (t) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \delta (t - k \tau)$$

Montrer sur un dessin que le produit des 2 fait bien un échantillonage.
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width =0.7\textwidth]{images/echantillonnage.PNG}
    \caption{Echantillonage}
\end{figure}


Le signal échantillonné est alors : $$s(t) \Peigne{}_\tau (t) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} s(k\tau)$$

\textbf{Dans le domaine fréquentiel :}

Le signal échantillonné est discret : il est donc périodique dans le domaine fréquentiel. Pour le voir, on calcule sa tf :

\begin{align*}
\mathcal{F} \qty(\underbrace{s(t) \Peigne{}_\tau (t)}_{x_d(t)})(f) &= \hat s (f) \otimes \frac{1}{\tau} \Peigne{}_{1/\tau} (f) \\
&= \sum_{k \in \mathbb{Z}} \int_\infty \dd u \hat s(f - u) \frac{1}{\tau} \delta \qty(u - \frac{k}{\tau}) \\
&= \frac{1}{\tau} \sum_{k \in \mathbb{Z}} \hat s \qty(f - \frac{k}{\tau})
\end{align*}

A quoi ca ressemble ? On peut faire un dessin : on dessine le terme de la somme pour $k=0$, puis $k=1, -1$... On obtient la TF de $s$ reproduite une infinité de fois, espacées de $Fe$.

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width =0.7\textwidth]{images/tfechantilloner.PNG}
    \caption{TF Echantillonné (les cléments)}
\end{figure}



On en déduit le \textbf{théorème d'échantillonnage}, proposé par Shannon en 1949 : 
\begin{tcolorbox}
\textit{Si la transformée de Fourier est à support borné dans $\qty[-B,B]$}, on peut reconstruire $s(t)$ à partir de ses échantillons pris tous les $\tau$, sous condition que : 

$$f_e = \frac{1}{\tau} \geq 2B$$
\end{tcolorbox}

Graphiquement, c'est clair : si le signal $s$ contient des fréquences supérieurs à $f_e/2$, les TF périodiques vont se recouvrir et être illisibles : on parle de recouvrement de spectre, spectre aliasing en anglais. Pour s'en passer, on applique des filtres anti-repliement : c'est un filtre passe bas, idéalement d'ordre infini et de fréquence de coupure $f_e/2$, appliqué directement à $s$. Attention, c'est pas magique, on perd évidement de l'information sur $s$.

Mais ca se voit aussi dans le domaine temporel, comme sur geogebra.

\textbf{Remarques :}
\begin{itemize}
    \item Reconstruction du signal : calcul sur la photo.
    \begin{figure}[htbp]
        \centering
        \includegraphics[width = .7\textwidth, angle = 90]{images/reconstruction.jpg}
        \caption{Cours de traitement du signal.}
    \end{figure}
    On effectue un filtrage passe-bas avec le sinc.
    \item L'opération de reconstruction est non causale : il faut avoir tout enregistré pour reconstruire.
    \item En pratique, on utilise un échantillonneur bloqueur suivi d'un lissage (filtre RC + diode). 
    \item On a utilisé un support temporel infini...
\end{itemize}

\textbf{Echantillonnage réel (fini) :}

La durée d'observation $D_0$ est finie en pratique. Le nombre d'échantillons $N$ est donné par : $N = \lfloor \frac{D_0}{\tau} \rfloor$.

Le calcul que l'on fait en vrai est donc celui de la TF de : $$\Pi_{D_0} (t) \times s_d(t)$$

On rajoute encore un produit dans le domaine temporel : on aura donc une convolution en fréquence. La TF d'un créneau de largeur $D_0$ fait un $\text{sinc}(\pi D_0 f)$, auquel est donc convolué $\hat s_d (f)$. La conséquence de la durée finie d'observation est donc l'élargissement spectral en $1/D_0$.

\subsection{Quantification}

L'opération d'échantillonnage correspond à discrétiser le pas de temps. On a quand même supposé que la valeur échantillonnée pouvait prendre n'importe quelle valeur : c'est pas vrai en pratique. La valeur mesurée est codée sur un certain nombre di bits : le nombre de valeurs qu'elle peut prendre est fini. Nous allons voir maintenant comment passer d'un signal $s$ continu au signal correspondant quantifié $\underbar s$.

Les valeurs prises par $\underbar s$ sont quantifiées et s'écrivennt sous la forme $n \times q$ où $q$ est le pas de quantification et $n$ un entier.

\textbf{Exemple :} si on code sur 12 bits, le signal quantifié peut prendre $2^{12}$ valeurs.

Si l'on acquiert des valeurs entre $M$ et $-M$ (\textit{on le fait en symétrique parce que c'est souvent le cas quand même}), le pas de quantification vaut : $$q = \frac{2M}{2^{12} -1}$$

La règle de quantification est alors : 

$$\boxed{\text{Si } \underbar s \in \left [(n-1/2)q, (n+1/2)q\right [, \text{ alors } \underbar s = nq}$$

\textit{Faire un dessin.}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{images/quanti.PNG}
    \caption{Quantification}
\end{figure}

\textbf{Perte d'information :} on perd nécessairement de l'information lors d'une opération de quantification. La valeur "vraie" de $s$ est située dans un intervalle fini. On associe à cette incertitude un "bruit d'échantillonnage" $\epsilon_q$, qui suit une loi uniforme dans cet intervalle : $$s = \underbar s + \epsilon_q$$

Avec cette modélisation, on peut remonter à l'espérance et la variance de chaque signal : 

$$\mathbb{E} (s) = \mathbb{E} (\underbar s) \text{ et } \mathbb{V} (s) = \mathbb{V} (\underbar s) + \frac{q^2}{12}$$

L'opération de quantification induit un bruit. 
\begin{tcolorbox}
On peut voir son influence sur Latis-pro.
\end{tcolorbox}


\subsection{Transformé de fourier numérique}

On a abordé l'échantillonnage temporel et la quantification du signal : leurs mises en places respectives nécessitent des précautions. Dans le cas de l'échantillonnage, on a vu que la durée finie d'observation provoquait l'élargissement des pics, ce qui limite la résolution en fréqunce de la TF. Il devient intéressant de limiter le nombre de fréquences calculées. On parle \textbf{d'échantillonnage conjoint en temps et en fréquence.}

\begin{table}[!h]
    \centering
    \begin{tabular}{lcr}
        \textbf{Temps} &  & \textbf{Fréquence} \\
        discret, pas $\tau$ & $\longrightarrow$ & Périodique $f_e = 1/\tau$ \\
        & & $\to$ on discrétise en prenant 1 pts tout \\
        & & les $D_0$ pour éviter le recouvrement. \\
        Périodique de période $D_0$ & $\longleftarrow$ & $\to$ $\frac{f_e}{1/D_0}$ pts  \\
        $\to$ contient $\frac{D_0}{\tau} = D_0 f_e = N$ pts
    \end{tabular}
    \caption{Principe de l'échantillonnage conjoint en temps et en fréquence. Le même critère s'applique pour le nombre de points dans chaque domaine.}
\end{table}

Pour réaliser cette opération, on introduit la TF discrète en temps et en fréquence : $$S\qty[n] = \sum_{k=0}^{N-1} s \qty[k] e^{-2i \pi \frac{kn}{N}} \text{ pour n} \in \qty{0, 1, ... ,N-1}$$

telle que : $$s \qty[k] = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} S \qty[n] e^{2i\pi \frac{kn}{N}}$$

Alors $$S\qty[n] = \hat s \qty(\frac{n}{\tau})$$

\textbf{Remarques :}
\begin{itemize}
    \item L'utilisation de cette TF discrète à N points repose sur l'hypothèse que $s(t)$ est un signal périodique de période $D_0$. Si ce n'est pas le cas : élargissement spectral en sinc de largeur $D_0$.
    \item L'implémentation récursive de cette méthode porte le nom d'algorithme de Fast Fourier Transform (FFT), proposé en 1965 par Cooley et Turkey. Sa complexité en $O\qty(N \log N)$ en font un algorithme très efficace toujours utilisé aujourd'hui.
\end{itemize}

\section{Application du traitement du signal : exemple de la détection synchrone}


\subsection{Introduction au filtrage}

\begin{tcolorbox}
Filtrage de Fourier :\\ 
On peut vouloir filtrer parce qu'il y a du bruit. Avec le filtrage de Fourier, on que l'on peut dé-tramer fourier. Attention c'est de TF spatiales.\\
Ici la trame correspond à du bruit qui ne nous intéresse pas par exemple. Cela permet de voir visuellement un filtrage. (ne pas trop s'y attarder sous partie tampon?)
\end{tcolorbox}


\subsection{Problème de la détection synhrone : modulation}

L’objectif de cette partie est de voir comment utiliser les outils développés pour comprendre le fonctionnement d’un radar Doppler. On se met à la place d’un opérateur qui veut mesurer la vitesse relative d’un objet. C’est le même principe utilisé par les radars, les échographies, la mesure de vitesse radiale d’astres.On fixe un émetteur ultrason sur l’objet qui émet une onde ultrasonore à la fréquence $f∼40kHz$. Si cet émetteur se rapproche d’un récepteur à la vitesse $v$, la fréquence détectée par le récepteur vaut,par effet Doppler :
$$f_r = \frac{c}{c-v}f_e$$
Pour une vitesse $v$ de l’émetteur de l’ordre de quelques cm/s (grandeurs du dispositif de TP), beaucoup plus faible que la vitesse du son $c\simeq 340m/s$, on peut alors développer cette expression au premier ordre et exprimer l’écart en fréquence du à l’effet Doppler :
$$\delta f = \simeq \frac{v}{c}f\ll f$$

\textbf{ODG:} pour $v =1m/s$, $\delta f/f =\SI{3e-5}{}$ ,$\delta f =1Hz$. Cet écart en fréquence est trop faible pour pouvoir distinguer $f$ et $f_\text{mesurée}$sur un oscilloscope, qui peut mesurer jusque $\delta f/f =10^^{-3}$(selon Jolidon). Nous allons alors réaliser une détection synchrone afin de mesurer $\delta f$

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/detection.PNG}
    \caption{Détection synchrone}
\end{figure}

\textbf{Remarque :} C'est en réalité un hétérodynage car la on ne multiplie pas le signale avec un signale de même fréquence exactement.

\subsection{Détection synchrone ou hétérodynage :}\\

Pour gagner en résolution sur le spectre en fréquence du signal, tout en évitant le repliement lié à une fréquence d’échantillonnage trop faible, on translate le spectre du signal dans un domaine de plus basse fréquence. Pour cela on multiplie le signal par un cosinus. \textbf{Attention} c'est une opération non linéaire, et en effet on a au moins besoin de cela pour déplacer des fréquences !!

En effet, on utilise le fait que le produit de cosinus donne :
$$\cos(2\pi f_0t)\cos(2\pi(f_0+\delta f)t) =\frac{1}{2}\qty( \cos(2\pi\delta f t)+\cos(2\pi(2f_0+\delta f)t))$$

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/detection spectre.PNG}
    \caption{Principe de la Détection synchrone}
\end{figure}
En appliquant le filtre on coupe les hautes fréquences. La visualisation spectrale est ici bien pratique. De plus on peut vraiment le voir avec les TF puisse que la fonction de transfert s'applique sur des exponetiel complexe... La passe bas qu'on observe en faisant le diagramme de bode correspond (pour un système linéaire invariant dans le temps) au rapport de la transformée de Fourier du signal de sortie sur celui du signal d’entrée.\\
En fait ce qu’on faisait en étudiant la réponse du filtre à une excitation harmonique c’était de l’analyse de Fourier cachée.



\textbf{Application} : filtre anti-repliement : Si le signal analogique possède des fréquences supérieures, il faut faire précéder l’échantillonneur d’un filtre analogique passe-bas anti-repliement, dont la fréquence de coupure est la fréquence de Nyquist, de manière à supprimer toute fausse fréquence. Dans la plupart des cas, ce filtrage est indispensable ; en effet le signal peut soit intégrer des hautes fréquences inutiles pour son exploitation ou être superposé à un bruit qui augmente fortement la fréquence maximale

On a ici choisi de filtrer de manière analogique (avec un RC). On aurait également pu choisir de filtrer numériquement. En effet on a dit que la réalisation technologique d’un filtre de grand ordre peut être ardue, ainsi un filtre numérique permet de s’affranchir de toutes ces considérations pratiques. Un filtre numérique est néanmoins limité par la vitesse du processeur qui l’exécute. Il s’effectue également sur un signal numérique et ainsi les problèmes d’échantillonage évoqués précédemment rentrent alors en jeu. Les filtres numériques sont utilisés dans la plupart de l’électronique que l’on utilise quotidiennement comme une télévision où un téléphone portable.


\begin{tcolorbox}
Faire la manip Doppler
\end{tcolorbox}

La détection synchrone peut être très utilise quand il y a du bruit aussi


\section*{Conclusion}
On a vu dans cette leçon que l’analyse de Fourier était un outil puissant pour l’étude des signaux. Autant d'un point de vue théorique que pratique. Nous avons pu extraire le critère de Shannon, à respecter pour l’acquisition d’un signal. C'est vraiment un résultat important car il nous sert tous les jours en TP !!
On a compris comment fonctionnait un filtre et que leur utilisation permet aussi bien d’extraire une grandeur physique d'intérêt. 

Remarquons que l’analyse de Fourier est d’importance capitale aussi d’un point de vue théorique, ou elle s’impose dans l’étude des équations \textbf{linéaires.}
\end{document}