\documentclass{article}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{color}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{physics}
\usepackage{multirow}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{babel}
\usepackage{upgreek}
\usepackage{wrapfig}
%\usepackage{chemist}
\bibliographystyle{unsrt}
\usepackage[textfont={it},font=small]{caption}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{tcolorbox}
\newcommand{\hsp}{\hspace{20pt}}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.5mm}}

\newcommand{\important}[1]{\begin{center}\fbox{
\vspace{0.1cm}
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
#1
\end{minipage}
\vspace{0.1cm}
}\end{center}
}

\newcommand{\remarque}[2]{%
\begin{center}
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\fontfamily{cmss} \selectfont \vspace{0.1cm} %\small
\textbf{#1}
\begin{description}
\item[] \noindent #2
\end{description}
\end{minipage}
\end{center}\vspace{0.1cm}
}


\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Leçon de physique 28 &   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{Ondes électromagnétiques dans les milieux diélectriques}\\[-0,3cm]
\HRule \\
\end{center} 

\section*{Niveau} 

\section*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 2017 : Cette leçon ne doit pas se limiter à un cours sur les milieux diélectriques ; cela n’en est pas l’objet.
    \item Jusqu’en 2013, le titre était : Dispersion et absorption d’une onde électromagnétique plane dans un milieu diélectrique. Modélisation microscopique.
    \item 2009-2010 : Les conventions adoptées doivent être précisées avant toute discussion sur la partie imaginaire du vecteur d’onde.
    \item 2006 :Il y a souvent confusion entre absorption et atténuation.
    \item 2001 : Dans un diélectrique, l’équation de propagation ne peut être écrite sans précaution : en général la permittivité dépend de la fréquence et est complexe. Le modèle de l’électron élastiquement lié ne peut être utilisé sans en discuter les limitations. Les aspects quantiques de l’interaction entre l’onde électromagnétique et la matière peuvent être évoqués.
    \item 1999 :Le modèle de l’électron élastiquement lié n’est pas toujours bien compris. Il est trop souvent assimilé au rayon vecteur noyau-électron, le lien entre le terme de rappel et la force électrostatique n’est pas fait et l’origine du terme de frottement fluide n’est pas interprétée.
    \item 1998 :Cette leçon mérite une discussion physique des phénomènes de dispersion et d’absorption, supportée par des modèles de milieux matériels. Il est parfaitement inutile et contre productif de s’enfermer dans de longs calculs formels sur les parties réelle et imaginaire de l’indice de réfraction.
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item Hprepa ondes
    \item Cours de Volk
\end{itemize}

\section*{pré-requis}
\begin{itemize}
    \item Milieu diélectrique
    \item Polarisation dans la matière?
    \item Equation de Maxwell dans les milieux
    \item Ondes EM dans le vide
    \item Relations de passage en EM : passage de 1 à 2
    
    $$\vec{E_2} - \vec{E_1} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \vec{n_{12}} ; \vec{B_2} - \vec{B_1} = \mu_0 \vec{j_S} \wedge \vec{n_{12}}$$
\end{itemize}


\section*{Expériences}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\tableofcontents

\section*{Introduction}

On a vu jusqu'à présent la propagation d'onde dans les métaux, les plasmas et le vide. On a décrit une certaine catégorie de matériaux, mais un autre cas n'a pas été encore abordé. 

\begin{itemize}
    \item On peut chauffer des aliments au micro-onde. Le rayonnement électromagnétique est la source d'énergie. Pour comprendre ce qu'il se passe, il faut modéliser les interactions entre les ondes et la matière.
    \item Plus simplement, un prisme en verre disperse la lumière. La propagation dans le verre est dispersive.
\end{itemize}
\begin{tcolorbox}
Dispersion d'un prisme
\end{tcolorbox}

Ces milieux sont isolants : leur cas n'est pas celui des métaux. On n'est pas non plus dans le cas du plasma ionisé ; les charges sont localisées vers atomes. Ces milieux sont des \textbf{diélectriques} : ce sont des matériaux qui possèdent un moment dipolaire permanent, ou qui sont susceptibles d'en acquérir un lorsqu'on leur applique un champ électrique.

La différence avec les conducteurs c'est que les charges ne sont pas libres. Dans le cas du diélectrique parfait, $\vec j_{libres} = \vec 0$ et $\rho_{libres} = 0$. \textit{On néglige aussi l'aimantation.}

\section{Propagation dans les milieux diélectrique}
\subsection{Rappel des équations de Maxwell dans les milieux diélectrique}
\textbf{Rappel (pour nous ?)} Dans un milieu isolant, encore appelé milieu diélectrique, les électrons sont dits liés car ils ne se déplacent mais dans l’ensemble du milieu, ils sont liés aux atomes ou aux molécules. Cependant, ces charges ne sont pas complètement immobiles, elles peuvent se déplacer sur des distances de l’ordre des dimensions atomiques autour de leur position moyenne sous l’action d’un champ électrique par exemple (ou d’une action mécanique : les piézoélectriques, ou au repos : les ferroélectriques..) Ces déplacements de charges peuvent provoquer l’apparition de moments dipolaires induits : on dit que le milieu se polarise. Il existe divers types de polarisation : électronique (déformation du nuage électronique des atomes), dipolaire(orientation des molécules polaires) et ionique (mouvement relatif des atomes dans un cristal). On caractérise l’état du milieu en tout point M par son moment dipolaire volumique, défini par :
$$\dd{\va{p}} =\va P(M)\dd V $$
$\va P$ s'exprime en C/m$^2$.

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/pmicro.PNG}
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/pmacro.PNG}
    \caption{moment dipolaire microscopique et polarisation (Brébec, ondes)}
\end{figure}

\textbf{DLHI :} Milieux diélectrique linéaire homogène isotrope : La plupart des milieux n'ont pas de polarisation permanante à champ nulle. Si $\va E$ est suffisamment faible, on suppose que $\va P $ et$\va E$ sont liée par une équation différentiel linéaire. Leurs composantes de Fourier sont alors reliés par une matrice. Dansun milieu isotrope(pas un cristal), ils diffèrent par un scalaire : la susceptibilité électrique. Dans un milieu homogène,la susceptibilité électrique ne dépend pas des coordonnées de l’espace. On a donce :
$\va P(\omega, M) = \epsilon_0\chi_e(\omega)\va E (\omega, M)$
$\epsilon_r = 1+\chi_e$
Attention ici c'est une relation dans l'espace de Fourier, vrai uniquement dans cette espace !!\\


\textbf{ODG} : Dans le cas statique $\omega= 0$ :$\chi_e\simeq 10^{-3}$ pour les gaz,$\chi_e\simeq 1 \qq{à} 10$ phase condensée. Eau pure $\epsilon_r\simeq 80$ polarisation d'orientation. En général $\epsilon_r$ est complexe.

Les équation de Maxwell dans un milieux diélectrique non magnétiques s'écrivent : 
\begin{align*}
    \div \va D =& 0\\
    \curl \va E =& -\pdv{\va B}{t}\\ 
    \div \va B =& 0\\
    \curl \va H =& -\pdv{\va D}{t} 
\end{align*}
Avec $$\va D = \epsilon_0\va E + \va P\qq{et} \va H = \frac{\va B}{\mu_0}-\va M =  \frac{\va B}{\mu_0} \qq{car on considère} \va M=\va 0 $$

Ce sont des équations de Maxwell moyennées/lissées à l’échelle mésoscopique. C’est possible uniquement car les opérateurs moyenne et dérivées commutent

\subsection{Équation de propagation}

\textbf{cadre :} on se place à $\omega$ fixée (car la relation $\vec P(\omega) = \epsilon_0 \chi_e (\omega) \vec E (\omega)$ est valable à $\omega$ fixée).

\textbf{Equation :} technique $\curl \curl$. Tout est similaire au cas du vide, sauf que $\epsilon_0$ est remplacé par $\epsilon_r \epsilon_0$. On aboutit à l'équation de d'Alembert avec $c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_r \epsilon_0 \mu_0}}$.

\textbf{Attention:} L'équation obtenue n'est valable que pour l'OPPH à $\omega$, si on veux le champ totale il faut sommer (continuement) les composante de fourier à différentes fréquence : 
$$\va E(x,t) = \int \frac{\dd \omega}{2\pi} E(x,\omega) e^{-i\omega t}$$


\subsection{Relation de dispersion}

\textbf{Relation de dispersion :} $$\underbar k^2 = \underbar \epsilon_r \frac{\omega^2}{c^2}$$ Attention, pour l'instant aucune hypothèse sur $\epsilon_r$ qui est a priori complexe.

On considère une OPPM de pulsation $\omega$ selon les $x$ croissants : $\vec{\underbar k} = \underbar k \vec{e_x}$. On définit alors $n$ comme $\underbar n^2 = \epsilon_r$ (on prend la solution à partie réelle $\geq 0$). $\underbar n$ est l'indice du milieu.

\textbf{Convention utilisée :} On prend $\omega \in \mathbb{R}$ et $\underbar k \in \mathbb{C}$. On note $\underbar k = k' - i k''$, ainsi que $n = n' - i n''$.

On regarde ce que ça donne sur l'expression de l'OPPM de départ : $$\vec{\underbar E} = E_0 \vec{e_x} e^{-k'' x} e^{i(\omega t - k'x)}$$

En revenant à la notation réelle : $$\vec E = E_0 \vec{e_x} e^{-k_2 x} \cos (\omega t - k_1 x)$$

Cette onde est une onde plane (les surfaces de phases sont des plans). On voit que $k'$ caractérise la propagation, tandis que $k''$ caractérise l'absorption. 

\textbf{Vitesse de phase :} la vitesse de phase de l'onde s'exprime comme $v_\phi = \omega/k_1 = c/n'$ : la partie réelle de n caractérise la dispersion dans le milieu, car si $, = n(\omega)$, $v_\phi = v_\phi(\omega)$. C'est l'indice de réfraction utilisé en optique. \textit{C'est ce qui se passe dans le prisme si on l'a fait en intro.}

$n''$ caractérise l'absorption de l'onde par le milieu. C'est l'indice d'extinction.

\textbf{Jusque là, on a pas encore modélisé l'interaction entre rayonnement et matière : les grandeurs qu'ont a identifiées, les indices, peuvent être mesurés :}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width = .5\textwidth]{images/abs_eau.png}
    \caption{Courbes expérimentales des indices d'absorption et de réfraction pour l'eau. Source : Hprepa Ondes MP-PC-PSI-PT.}
\end{figure}

\textit{Tiens c'est marrant, le visible c'est justement la zone ou l'eau est transparente... Est-ce parce que les organismes primaires qui se sont développés dans l'eau avaient un avantage à être sensibles aux rayonnement de "visible"?}

\remarque{Donc modéliser les interactions entre matière et rayonnement, c'est modéliser l'allure de ces courbes.}

\section{Dispersion et absorption}
\subsection{Modèle de l'électron élastiquement liée}

\textbf{Démarche :} On veux exprimer la permittivité diélectrique du milieux pour pouvoir caractériser la propagation des ondes. Il nous faut donc faire une étude à l'échelle microscopique de l'interaction entre le champ et les charges. Il faudrait utiliser la méca Q. Mais on se propose de faire un modèle classique qui permet de rendre compte des observations. C'est un modèle phénoménologique que l'on doit à Lorentz au début de XX.

(Pour les questions : Approche semi-classique : Pour un traitement semi-quantique, on prendrait un système à deux niveaux et un champ classique, on tomberait sur les oscillations de Rabi. Puis en utilisant le formalise de la matrice densité, on tombe sur les équations de Bloch optiques. Il faut introduire des temps de relaxation dûs aux collisions et à l’émission stimulée. Moyennant une hypothèse d’adiabaticité (les coefficients off-diagonaux suivent adiabatiquement les population), on peut calculer la susceptibilité, qui est la même que celle de l’électron élastiquement lié, à un facteurprès : la "force de l’oscillateur")

On se place dans le cas d'un atome monoélectronique (Hydrogène) et on étudie l'électron :
\textbf{Hypothèses :}
\begin{itemize}
    \item Le noyau est fixe
    \item L'électron subit une force de rappel vers le noyau. (C'est une modélisation de l'interaction Coulombienne purement empirique)
    \item La dissipation est modélisé par une force de frottement visqueuse. Cette disspation est interpéreter comme la perte d'énergie du au rayonnement de l'électron (charge accéléré).
    \item Le champ électrique extérieur est uniforme à l'échelle de l'atome
\end{itemize}
On note $\va r$ la position de l'électron repéré par rapport au barycentre des charges + : 
$$m\ddot{\va{r}} = -m\omega_0^2 \va r-\frac{m}{\tau}\dot{\va{ r}}-e\va E $$
Dans l'espace de fourier, en modélisant l'atome comme un dipôle ($\va p = -e\va r$) on a :
$$\va p = \epsilon_0 \frac{e^2/(\epsilon_0m)}{\omega_0^2-\omega^2+i\frac{\omega}{\tau}} \va E=\epsilon_0\alpha(\omega)\va E $$

$\alpha$ est le coefficient de polarisabilité. C'est un coefficient complexe homogène à des m$^3$

Pour un milieux dilué, le champ ressenti par les dipôle est le champ extérieur. On en déduit que $\va P = n\va p$ :
$$\va P = \epsilon_0 \frac{ne^2/(\epsilon_0m)}{\omega_0^2-\omega^2+i\frac{\omega}{\tau}} \va E=\epsilon_0\chi_0\va E \qq{avec} \chi_e =\frac{ne^2/(\epsilon_0m)}{\omega_0^2-\omega^2+i\frac{\omega}{\tau}} =  \chi_e'-i\chi_e''$$


Deux points importants :$\chi_e$ dépend de $\omega$ (donc l’équation de constitution est bien valable uniquement en Fourier) et est complexe. On peut tracer les parties réelle et imaginaire de $\chi_e$ en fonction de $\omega$


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/chie.PNG}
    \caption{$\chi_e$ Mauras onde}
\end{figure}



\textbf{Bilan}
Dans cette sous partie avec un modèle phénoménologique, nous avons obtenue la forme de $\epsilon_r$ dans un cas de polarisation électronique. Comment cela se compare-t-il à l'expérience ?

\subsection{Observation expérimentale de la susceptibilité}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/suceptibilité.PNG}
    \caption{Représentation schématique de la susceptibilité des diélectrique (brébec ondes) et on remet l'eau }
\end{figure}

La polarisabilité électronique n’est pas la seule source microscopique de polarisation. Il faut aussi citer la polarisabilité ionique, même phénomène mais changement d’échelle, $\omega_0$ correspond à de l’IR et la polarisabilité d’orientation qui concerne l’alignement des moments dipolaires permanents avec un champ extérieur.


On remarque que les parties imaginaire et réelle sembles être corrélé. En effet, les relation de Kramers-Krönig permettent de la partie réelle et imaginaire de la suceptibilité (car la suvsptibilité est analytique). Aussi dans un diélectrique la dispertion et l'absorption sont liées. 

on peut observe que cela se compare bien au vraies courbes de susceptibilité.
\subsection{Dispersion}

\textbf{Zone de transparence :} domaine de pulsation ou l'absorption est très faible. 

Les courbes montrent que loin de $\omega_0$, $n'$ varie peu avec la fréquence : il y a peu de dispersion. Dans ces zones, on a $\underbar n \approx n_1 \gg n_2$.

On ne prend en compte qu'un seul type de porteur de charge. On peut écrire : $$\epsilon_r = 1 + \chi_0 \frac{\omega_0^2}{\omega_0^2 - \omega^2} \qq{avec} \epsilon_r >0$$

\textit{En pratique, ca revient à se placer dans le domaine du visible pour l'air, le verre ou l'eau.}

\textbf{Loi de Cauchy si ya le temps :}

On fait un dl de $\epsilon_r$ à basse fréquence (loin de l'absorption). $$n^2 \approx 1 + \chi_0 \qty(1 + \frac{\omega^2}{\omega_0^2} + \frac{\omega^4}{\omega_0^4}) = (1 + \chi_0) + \qty(\frac{2 \pi c}{\omega_0})^2 \frac{1}{\lambda^2} + \qty(\frac{2 \pi c}{\omega_0}) \frac{1}{\lambda^4}$$

On a retrouvé la loi de Cauchy. Dans le visible, on mesure : $n(\lambda) = 1 + 1.36 \cdot 10^{-4} + \frac{1.06 \cdot 10^{-18}}{\lambda^2}$.

La longueur d'onde $\lambda_0 = \frac{2 \pi c}{\omega_0}$ calculée à partir des données du modèle donne : $\lambda_0 =$ \SI{88}{nm}, assez loin du visible.

\subsection{Absorption}

On se place proche de $\omega_0$. On s'intéresse à l'absorption, on ne néglige plus la partie imagine de la permittivité et de l'indice. On a vu que la décroissance de l'amplitude du champ était exponentielle.

\textbf{Applications :} 
\begin{itemize}
    \item Verre anti-UV : le verre absorbe le rayonnement ultraviolet, ce qui protège les yeux des UV.
    \item L'ozone absorbe aussi dans l'UV : rôle protecteur.
    \item Effet de serre : les rayons solaires qui traversent l'atmosphère sont absorbés et réémis dans l'IR par le sol. Ces rayonnements sont ensuite absorbés par l'eau et le dioxyde de carbone de l'atmosphère.
    \item Micro-onde : exactement une fréquence de \SI{2.45}{GHz} l'eau absorbe le rayonnement et devient excitée. Elle se met à vibrer et l'agitation thermique augmente.
    ODG Pascal : épaisseur de pénétration des micro ondes dans l'eau : 14 cm.
    \item Spectroscopie IR
    \item Spectroscopie UV-visible, loi de Beer Lambert.
\end{itemize}
\textbf{Aspect énergétique}
Ici on a bien de l'absorption, pour le montrer on peux calculer la puissance cédé au milieux. On considère une OPPH à 1D (on est en complexe) : 
$$P_d = <\va j_\text{liée}\va E> = \frac{1}{2}Re\qty(j_\text{liée}\va E^*)$$
Or dans le milieux, $\va j_\text{liée} = \pdv{\va P}{t}$. On en déduit :
$$\va j = i\omega \va P = i\omega \epsilon_0\qty(\chi'-i\chi'')\va E$$
On a donc 

$$P_d = \frac{1}{2}\omega_0\epsilon_0\chi''E_0^2$$
Il y a bien de la puissance transmise au milieux. L'onde est absorbé et l'absorption est liée à $\chi''$ (c logique).

\section{Interface entre deux milieux}

\subsection{Lois de Descartes}
HPrepa Ondes MP, PC, PSI, PT. p. 270.

Ecrire le champ électrique incident, le champ magnétique incident à l'aaide de la relation de structure $\vec B_i = n_1 \frac{\vec u_1 \wedge \vec E_1}{c}$ pour les champs complexes.

Relations de continuité (pré-requis) impliquent la continuité de la composante tangentielle de $\vec E$ à l'interface.

On aboutit à : $$\vec k_1'  = \vec k_1 + \alpha \vec N \qq{et} \vec k_2 = \vec k_1 + \beta \vec N$$ où $\vec N$ est la normale locale au dioptre, $\vec k_1$ le vecteur d'onde incident, $\vec k_1'$ le réfléchi, $\vec k_2$ le réfracté. 

D'après ces relations, 
\begin{itemize}
    \item Les rayons réfléchi et réfracté appartiennent au plan d'incidence, définit par la normale et le rayon incident.
    \item La projection selon la direction tangente au dioptre des relations donne égalité des composantes tangentielles des vecteurs d'onde. En utilisant les relations de dispersion, on retrouve $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$.
\end{itemize}

\textbf{Coefficients de reflexion/transmission :} on peut les établir comme dans HPrepa. On peut retrouver l'angle de Brewster, et deviner si il y a déphasage lors d'une réflexion.

\begin{tcolorbox}
Manip et code angle de Brewster
\end{tcolorbox}

\subsection{Couche anti-reflet}

HPRepa p. 279, \href{https://perso.ens-lyon.fr/pascal.wang/Agr\%C3\%A9gation\%20externe/LP/Ondes/LP_28_Ondes\%20\%c3\%a9lectromagn\%c3\%a9tiques\%20dans\%20les\%20milieux\%20di\%c3\%a9lectriques/LP28.pdf}{lecon de Pascal}

R = 0.04 en incidence normal on veux l'améliorer. Voir Hprépa ondes il ya un exo corrigé dessus p279 .

$$n_2^2 = n_1n_2\qq{et}e = \frac{p\lambda}{2n_2}    $$
Si p est trop grand,R passe rapidement d’un minimum à un maximum quand la longueur d’onde varie, il faut choisir e de l’ordre de la longueur d’onde. Les traitements anti reflet font appel à l’utilisation de couches minces. En pratique, on utilise des dépôts multiples de diélectriques pour rendre le traitement presque achromatique.
\section*{Conclusion}

On a caractérisé certains milieux diélectriques. Quid des milieux non linéaires (effet Kerr, Pockels)? Des milieux non isotropes (biréfringence)?  Autres comportements (piezzoélectricité, ferroélectricité...)  ? Cristaux nématiques? Relations de Clausius Mossoti, lien de $n$ avec $\rho$...

\end{document}
