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\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Leçon de physique 32 &   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{Microscopie optique}\\[-0,3cm]
\HRule \\
\end{center} 

\section*{Niveau} 

\section*{Commentaires du jury}

\begin{itemize}
    \item 2017 : L’intérêt des notions introduites doit être souligné.
    \item 2016 : Une technique récente de microscopie optique à haute résolution doit être présentée.
    \item 2015 : Deux nouvelles leçons ont été ajoutées [dont] une leçon intitulée « Microscopies optiques », dans laquelle un développement rigoureux et suffisamment complet d’au moins une technique est souhaité.
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item \href{https://www.geogebra.org/m/mfhzbyue}{Oeil ultra stylééééééé}
    \item \href{https://femto-physique.fr/optique/instruments.php}{femptophysique}
    \item Lionel Aigouy and co., Les nouvelles microscopies, à la découverte du nanomètre,pour le principe du STOM et notamment de l’utilisation de la sonde en mode collection avecune fibre optique (p.180) si on a accès.
\end{itemize}


\section*{pré-requis}
\begin{itemize}
    \item Optique géométrique
    \item diffraction
    \item TF
\end{itemize}

\section*{Expériences}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\tableofcontents

\section*{Introduction}

La microscopie est un mot venant du grec, composé de \textit{mikros} (petit) et \textit{skopein} (examiner). on se sert de microscopes parce que l'oeil humain a une limite de résolution : environ une minute d'arc. Cela signifie que l'on peut distinguer un détail de 1mm à 3m de nous. En partiulier, de nombreux objets sont plus petits que ca, meme si on les regarde de près... 

On distingue 3 types de microscopies : la microscopie optique, avec des rayons lumineux. La microscopie électronique, avec un faisceau d'électrons, et la microscopie à sonde locale où l'on obtient une cartographie en relief de l'échantillon sondé à l'aide d'une mesure physique.

Aujourd'hui on va faire de l'optique : on va se placer avec des longueurs d'ondes visibles. Le premier "microscope" est en fait une loupe, utilisée dès l'antiquité. C'est au XIX\ieme siècle que le besoin de microscopes à 2 lentilles s'est fait sentir.




\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/echelle.PNG}
    \caption{Echelle de taille}
\end{figure}
\section{Le microscope à deux lentilles}

On va faire l'étude du microscope à 2 lentilles dans le cadre de l'optique géométrique : on considère des rayons lumineux peu inclinés par rapport à l'axe optique.

\subsection{Présentation}
Commençons par la Loupe : Un loupe permet de grossir un objet avec une seul lentille : Chaque détail est vu sous un angle plus grand que sans la loupe. On dit qu’il y a grossissement.
La loupe se place de telle sorte que l’objet soit dans le plan focal objet de la lentille, ainsi la loupe en donne une image virtuelle à l'infini. Les rayons sont alors paralèle et on ne fatigue pas l'oeil

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/loupe.PNG}
    \caption{Loupe (femtophysique)}
\end{figure}

Pour la caractérisé on compare les angles avec et sans loupe : 
$$G = \frac{\theta'}{\theta} = \frac{d_\text{objet}}{f'}$$
Ainsi pour donner un ordre de grandeur, si on prend une loupe avec un grossissement commerciale de $G_c = 5$ ($d_\text{objet} = 25$). L'objet nous paraitra 5 fois plus gros. C'est pratique pour lire de petites écriture mais pas beaucoup plus.

D'où l'intérêt du microscope à 2 lentille. Plutôt que de grossir l'objet avec une lentille, on va grossir l'image d'un objet fait par une autre lentille. Ainsi, si avec la première lentille, on agrandit l'objet de départ, on aura une image encore plus grosse.


\textbf{Cahier des charges :} On veux un instrument qu'on l'on puisse regarder à l'oeil sans accommoder, donc il doit faire une image à l'infini d'un objet à distance fini. On dit qu'il est afocale.


On fait le schéma au tableau : 
\begin{itemize}
    \item \textbf{L'objectif :} Il crée une image intermédiaire réelle inversé et agrandit de l'objet AB.
    \item \textbf{Oculaire :} C'est la loupe. Elle fait une image virtuelle grossi de l'image intermédiaire.
\end{itemize}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/microscope.PNG}
    \caption{Microscope (femtophysique)}
\end{figure}

On note $\Delta = F_1'F2$ c'est \textbf{l'intervale optique}

\textbf{Ordres de grandeur} : En pratique, la focale de l’objectif est assez courte (entre 2 et 45 mm) pour limiter l’encombrement dans les microscopes commerciaux, ce qui nous oblige à placer l’objet très proche du plan focal objet de l’objectif. Donc focale de l’objectif : entre 2 et 45 mm, focale de l’oculaire : entre 12,5 et 50 mm. Intervalle optique :160 mm (standardisé, pour des raisons industrielles)
\begin{tcolorbox}
Faire un magnifique microscope devant les yeux ébahit du jury !
\end{tcolorbox}
\textbf{Mise au point} Quand on a un vrai microscope \textbf{En demander 1}, il faut faire la mise au point, pourquoi ? Parce que la distance entre les deux lentilles est fixe, il faut que la première lentille face une image intermédiaire pile sur $F_2$.
\textbf{Cercle oculaire:} Même si l’image est rejetée à l’infini, il est préférable de placer l’oeil à un endroit particulier pour observer l’image, c’est le cercle oculaire. Le cercle oculaire est l’image géométrique de la monture de l’objectif par l’oculaire. (On le trace au tableau.) Il contient donc le maximum de luminosité du système en sortie puisque tous les rayons lumineux entrant dans l’oculaire passent par lui. Il faut donc placer ce dernier au niveau du cercle oculaire pour collecter le maximum de lumière. Le diamètre du cercle oculaire est de l'ordre de 0.1mm ce qui est inférieur à la puplille (1mm) on récupère bien toute la lumière.
\subsection{Caractéristiques}

\textbf{Grossissement :} on utilise souvent le grossissement pour caractériser un système optique. Il est défini comme le rapport des angles d'observation avec et sans microscope. La distance objet-oeil est alors fixée. Pas de schéma sur internet, il faut en faire un au tableau de toute façon.

\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth, angle = 90]{images/microscopies.jpg}
    \caption{Tracé des rayons lumineux pour grossissement.}
\end{figure}

On considère que l'oeil est placé dans le plan focal image de l'occulaire (c'est là qu'il y a le plus de lumière). On note $d$ la distance oeil-objet et $\Delta$ la distance $F_1'F_2$, appelée intervalle ou longueur optique. On a donc : $$\tan \theta \approx \theta = \frac{\bar{AB}}{d} \qq{et} \theta' = \frac{\bar{A'B'}}{f_2'}$$

Remarque: les 2 angles n'ont pas le même signe, le grossissement est négatif. L'image apparait retournée.

Théorème de Thalès "en papillon" avec $AB$ et $A'B'$ (prendre le rayon issu de B parallèle à l'AO) : $$\frac{\bar{A'B'}}{\bar{AB}} = \frac{\Delta}{f_1'}$$

D'où le grossissement : $$G = \frac{\Delta d}{f_1' f_2'}$$

\begin{tcolorbox}
Calcul du grossissement du microscope qu'on vient de fabriquer? 
\end{tcolorbox}

\textbf{Puissance :} on a introduit le grossissement, mais son gros défaut est de faire intervenir la distance oeil objet, qui varie d'un microscope à l'autre. On pourrait aussi utiliser le grandissement tranvsersal, mais lorsque le microscope est réglé, l'image est à l'infini. On introduit donc la puissance : $$P = \abs{\frac{\theta'}{AB}} = \frac{Delta}{f_1'f_2'}$$

Qui a l'avantage de ne pas dépendre de la distance oeil-objet (et donc de la taille du microscope...). 

\begin{tcolorbox}
Mesure de la puissance du microscope monté?
ODG pour un "vrai" microscope : \SI{1000}{\delta}
\end{tcolorbox}

\textbf{Grossissement commercial :} c'est une valeur souvent donnée sur les descriptions de microscopes : c'est le grossissement lorsque $d = d_{PP} =$ \SI{25}{cm}. Cette définition met directement en évidence le fait que l'oeil est limité, et montre l'effet du microscope.

$$G_{com} = \frac{\Delta d_{PP}}{f_1' f_2'}$$

Là aussi, on a fixé $d$ pour comparer les microscopes entre eux. Typiquement, $G_{com} \approx 40$ à 1000. On peut le mesurer sur le microscope qu'on a monté mais ca commence à faire beaucoup. Le calculer?

Une information donné en plus est \textbf{l'ouverture numérique }: $O.N. =n\sin(\theta_m)$ c'est l'indice du milieux (ici 1) multiplié par le sinus de l'angle maximum de l'objet qui rentre dans le diaphrage m'ouverture.

\remarque{Les microscopes ont l'air de bien marcher comme ça. Pourquoi on va s'embêter à inventer des techniques de microscopies ultra compliquées? Le microsope à 2 lentilles a évidemment des limites...}

\subsection{Limites}
\textbf{Aberrations : }Pour avoir un grand champ, c'est à dire voir beaucoup de choses, il faut accepter avoir de grands angles... Ceci va à l'encontre du cadre que nous nous sommes fixées : l'approximation de Gauss.
On peut limiter les aberrations géométriques avec des ménisque formés de deux dioptres sphériques (ménisque d’Amici). Dans ce ménisque, le centre C1 du dioptre sphérique d’entrée est confondu avec le premier point de Weierstrass W2 du dioptre de sortie. Le ménisque permet de rabattre les rayons vers l’axe optique en diminuant leur angle, ce qui permet de se rapprocher des condtions de Gauss pour le doublet achromat qui suit derrière


\textbf{Abérration chromatiques} Si on observe des objets avec une lumière non monochromatique, nous allons observer des aberration chromatique, chaque "rayon de couleur différente" va converger à différent endroits : Ceci est du au fait que le verre est un milieu dispertif qui suit la loi de Cauchy :
$$n=n_0(1+\frac{B}{\lambda^2})$$
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/aberrations-chromatiques.jpg}
    \caption{Abération chromatique}
\end{figure}
On peut corriger les aberrations chromatiques avec des doublets/achromat : 
En effet pour une lentille mince la vergence s'écrit : 
$$V = \frac{1}{f}\qty(\frac{1}{\hat{R_1}}-\frac{1}{\hat{R_2}}) ~~\implies~~\frac{\dd f}{f} = -\frac{\dd n}{n-1} = - \frac{n_\text{bleu}-n_\text{rouge}}{n_\text{jaune}-1}\ = -\Delta$$
En accolant 2 lentilles, on peut compenser la dispersion : 
$$V = V_1+V_2 ~~~\implies~~~\frac{-\Delta f}{f^2}=\frac{-\Delta _1}{f_1}-\frac{\Delta _2}{f_2}$$
Ainsi pour avoir $\Delta f = 0$ on choisit $f_1,f_2$ telles que : $\frac{-\Delta _1}{f_1}=-\frac{\Delta _2}{f_2}$ Crown et Flint.
On obteinet alors un objectif de Lister. 


On obteint ainsi l’objectif d’Amici-Lister constitué de 2 ménisques (donc 4 dioptres sphériques) + doublet achromatique de Lister.
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/lister.PNG}
    \caption{Objectif d'Amici-Lister (Agregation A 2015)}
\end{figure}


\textbf{Notion de profondeur de champ} : Une première limitation du microscope à deux lentilles est la profondeur de champ ou latitude de mise au point. C’est la plage de distances objet-objectif pour laquelle l’oeil, situé au niveau du cercle oculaire, obtiendra une image nette de l’objet. De pratique, c’est la distance les deux positions extrêmes qui correspondent à la formation des images au niveau du punctum remotum et du punctum proximum de l’oeil

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/profondeur.PNG}
    \caption{Notion de profondeur de champ}
\end{figure}



\textbf{Diffraction} C'est la plus grosse limite que l'on ne peut pas dépasser avec le microscope à 2 lentilles : Un objet ponctuelle qui passe par une lentille circulaire donnera un tache d'Airy $\rho=  1,22\frac{\lambda L}{2R}$: \textbf{Programe python}

La capacité du microscope à former une image résolue de deux objets angulairement proches est limitée. La limite de la résoultion angulaire est donnée par le critère de Rayleigh : deux objets ponctuels sont tout juste résolus si le max de la figure de diffraction de l’un correspond au premier min de la figure de diffraction de l’autre. La séparation angulaire correspondante est donnée par $\Delta \theta= 1.22\lambda/D_0$. En faisant l’hypothèse que le microscope est aplanétique, on peut utiliser la condition d’Abbe pour déterminer la limite de résolution.
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/aplanetisme.PNG}
    \caption{Applanetisme}
\end{figure}
$$nAB\sin(\alpha) =nA'B'\sin(\alpha') $$
$n\sin(\alpha) = O.N.$ , $AB$ va être la taille minimal que l'on peut voir, $n' = 1$ car on observe dans l'aire, et $A'B'\sin(\alpha') = 0.61\frac{\lambda d }{R}\frac{R}{d} = 0.61\lambda$ : 
$$AB_{min} = 0.61\frac{\lambda}{O.N.}$$
Avec un objectif à immersion on obtient une résolution spatiale de 2 $\mu$ m. Si on était sensible à une autre longueur d'onde que le visible, on pourrait voir plus petit...

On veux aller plus loin !!!! 


\section{Microscope en champ proche}

Dans un microscope à 2 lentilles, on considère des rayons lumineux : ce sont des ondes qui se propagent. Mais on a vu en électromagnétisme qu'il existait d'autres types d'onde. En particulier, on connait les ondes évanescentes. 

\begin{tcolorbox}
Si on a du temps à perdre, montrer l'existence d'ondes évanescentes dans la parafine.

Sinon, effet tunnel optique : \href{https://www.youtube.com/watch?v=3gGtm67daTc}{cette vidéo}. Au dela de l'angle limite de réfraction, la lumière est complètement réfléchie à la sortie du prisme. Mais en pressant un prisme juste en face, on voit que l'onde traverse le prisme !
\end{tcolorbox}

L'idées et la suivante : la limite que l'on a avec le microscope optique à deux lentille est : 
$$AB_{min}=0.61\frac{\lambda}{O.N.}$$
Or $O.N. = n\sin(\alpha)$ donc on a au maximum $O.N. =n$. On a vu que ça c'était générale dès qu'il y avait une lentille. On va alors devoir utiliser un autre type d'instrument qui n'utilise pas de lentille. Pour ca il faut revenir à la nature ondulatoire de la lumière et utiliser les ondes évanescente. 
Une manière de le voir et de se rendre compte que la limite de résolution est une conséquence de la l'inégalité de Heisenberg, qui s'écrit, en utilisant la formule de De Broglie : $$\Delta \va r\Delta \va k\geq 2\pi$$
\href{https://www.geogebra.org/m/wfwjw5cx}{animation}

On peut ainsi relier $\Delta x$ à $\Delta k_x $ aussi pour diminuer $\Delta x$ il va falloir augmenter $\Delta k_x$ si bien qu'à un moment pour pouvoir augmenter $\Delta k_x$, on doit considéré des ondes qui ne se propage pas : ca se voit bien avec la sphère des indices. 



\subsection{Utilisation des ondes évanescentes}

\textbf{Propagation :}
On se place dans le vide et on considère la lumière comme un champ scalaire. On ne s'intéresse pas à la polarisation donc c'est suffisant ici. On considère l'amplitude du $E(x,y,z)$ se propageant selon l'axe $Oz$. L'amplitude vérifie l'équation de Helmholtz pour la propagation : $$\laplacian E + \frac{\omega^2}{c^2} E = 0$$

Cette équation mène à la relation de dispersion : $$k_z^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - k_x^2 - k_y^2$$

\textbf{Lien avec la résolution :} a partir de l'ouverture numérique $ON = n \sin \theta$, on en déduit la limitation en terme de vecteur d'onde : $-\frac{\omega}{c} n \sin \theta \leq k_x \leq \frac{\omega}{c} n \sin \theta$.

Or, pour la propagation des ondes, la relation de Gabor-Heisenberg s'applique : $\Delta x \Delta k_x \geq 2 \pi$. On a $\Delta k_x = 2 k_x \sin \theta$ donc  : $\Delta x \geq \frac{2 \pi}{\Delta k_x} = \frac{\lambda_0}{2 n \sin \theta}$

On voit que $\Delta k_x \propto k_x$ : on a intérêt à augmenter $k_x$ pour améliorer la résolution.

\textbf{On remet tout ensemble :} avec la relation de Helmholtz, on a $k_x = \sqrt{\abs{\vec k} - k_z^2 - k_y^2}$.

Un moyen pour avoir $k_x > \abs{\vec k}$ est de travailler avec $k_z \in \mathbb{C}$... 

Ce sont donc des ondes évanescentes ! Les ondes évanescentes s'atténuent sur une distance caractéristique de l'ordre de $1/\Im{k_z}$, de l'ordre de la centaine de nanomètre. La "captation" de ces ondes permet de se passer de la limite du critère de Rayleigh, ce sont elles qui contiennent l'information sur les détails. 



\subsection{description du dispositif}

Voir \href{https://publiweb.femto-st.fr/tntnet/entries/9911/documents/author/data}{Ce lien}

Le microscope en champ proche est alors constitué de 3 partie :
\begin{itemize}
    \item Une source de lumière : Un laser éclaire, par l'intermédiaire d'une lentille demis boule le l'échantillon. La lentille est par exemple en verre et l'angle d'incidence du laser est supérieur à l'angle limite. Il y a donc réflection totale. En l'abscence de l'objet il y a une onde évanescente.
    \item L'objet : l'objet posé sur la lentille diffracte l'onde évanescente.
    \item La sonde : La sonde collecte l'onde diffracté.
\end{itemize}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/SNOM.PNG}\includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/stom.PNG}
    \caption{Scanning near field optical microscope}
\end{figure}
\textbf{Comment on fait les pointes ?} 2tirage à cahud, on chauffe au laser à CO2 et on étire. La finesse dépend de la température. Plus c'est chaud, plus c'est fin.
 
 \subsection{Récupération des ondes evanescentes et résolution}

Il s'agit de convertir les ondes évanescentes en ondes proapgatives : comme sur la vidéo. Il est nécessaire de se placer très près de l'échantillon.

La sonde est une tige diélectrique dont le bout peut êtr e associé à unepetite sphère diélectrique. En présence du champ évanescent, cette sphère va se polariser et former un dipole  oscillantqui va rayonner le champ dans le reste de la tige et qui va finalement pouvoir être détecter par un détecteur situé enamont. De cette façon, on récolte des informations sur le champ proche et donc sur des échelles spatiales inférieuresà la longueur d’onde

\textbf{Distance sonde-objet et résolution :} 

La distance sonde objet doit être de l'ordre de $L = \frac{1}{\abs{k_z}}$. On réécrit la relation de Helmholtz, et on prend en compte le fait que $\delta x \approx \frac{2 \pi}{k_x}$ et $\delta y \approx \frac{2 \pi}{k_y}$ :

\begin{align*}
    L &= \frac{1}{\sqrt{k_x^2 + k_y^2 - \qty(\frac{2 \pi}{\lambda})^2}} \\
    &= \frac{1}{\sqrt{\qty(\frac{2 \pi}{\delta x})^2+\qty(\frac{2 \pi}{\delta y})^2-\qty(\frac{2 \pi}{\lambda})^2}}
\end{align*}
 
Avec cette microscopie, on cherche à résoudre des tailles d'objets très petits, notamment avec $\delta x, \delta y \ll \lambda$. Cela donne : 

$$L \approx \frac{\sqrt{\delta x^2 + \delta y^2}}{2\pi} = \frac{\delta}{2 \pi}$$

On voit ici que la résolution est dictée par la distance à laquelle on s'approche de l'échantillon : c'est ce qui limite la résolution. On atteint quelques nanomètres, ce qui est bien petit devant la longueur d'onde.. Le contrôle de la position est contraignant et nécessite l'utilisation de céramiques piezo-électriques.

\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .8\textwidth]{images/ADN.png}
    \caption{Images prises par une équipe de l'EPFL, ou l'on distingue des brins d'ADN.}
\end{figure}
 
\section{Microscope à contraste de phase}

\section*{Conclusion}

On a vu le principe de la microscopie optique : il s'agit de voir le plus petit possible. Le critère de résolution est toujours une limite, mais ca n'est pas toujours la même : on a commencé par corriger les aberrations, puis le critère de Rayleigh s'est imposé en tant que limite ultime, car il intervient néécessairement lors de la propagation de rayons lumineux. Alors des technologies nouvelles ont émergé, avec la microscopie en champ proche qui dépasse le critère de Rayleigh.

D'autres techniques sont apparues, et elles ne sont pas nécessairement réduites au domaine de l'optique : microscope à effet tunnel (qui fonctionne comme le champ proche mais avec des électrons), microscope à balayage, à force atomique (ne pas en parler si o nsait pas ce que c'est). La limite de résolution permet aujourd'hui de distinguer des atomes, avec une résolution de l'ordre de l'Angstrom. 

\section*{Compléments :}

\subsection*{Microscope confocal :}

Un microscope confocal, positionne le plan focal objet de l’objectif à différents niveaux de profondeur dans l’échantillon. En réalisant des séries d’images, on obtient une représentation 3D de l’objet après traitement informatique.

\subsection*{Microscopies optiques :}

La microscopie par contraste de phase : utilisation d'une lame de phase  qui convertit une variation de phase en variation d'intensité.

Cf \href{https://perso.ens-lyon.fr/pascal.wang/Agr\%c3\%a9gation\%20externe/LP/Optique/LP_32_Microscopies\%20optiques/LP32.pdf}{Les compléments complets de Pascal.}

\href{http://toutestquantique.fr/microscopes/}{Pour les animations}
\end{document}
