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\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Leçon de physique 37 &   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{Absorption et émission de la lumière}\\[-0,3cm]
\HRule \\
\end{center} 

\section*{Niveau} 

\section*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 2017 : Cette leçon ne peut se résumer à une présentation des relations d’Einstein.
    \item 2015 : Cette leçon peut être traitée de façons très variées, mais il est bon que les candidats aient réfléchi aux propriétés des diverses formes de rayonnements émis, aux dispositifs exploitant ces propriétés et au cadre théorique permettant de les comprendre.
    \item 2010 : Le laser n’est pas la seule application de cette leçon. Le Laser He-Ne n’est pas l’illustration la plus simple. Il est maladroit d’introduire les coefficients d’Einstein dans une situation de rayonnement parfaitement monochromatique.
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item Sanz PC
    \item \href{https://www.refletsdelaphysique.fr/articles/refdp/pdf/2010/04/refdp201021p12.pdf}{Laser}
\end{itemize}

\section*{pré-requis}
\begin{itemize}
    \item Optique ondulatoire
    \item Distribution de Maxwell-Boltzmann
    \item Notion de photon
    
\end{itemize}


\section*{Expériences}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\tableofcontents

\section*{Introduction}
Au cours de vos séances de TP, vous avez utilisé différentes sources lumineuses que l’on peut séparer en deux catégories :
\begin{itemize}
    \item Les sources à incandescence pour lesquelles la lumière est émise par un corps chaud à température élevée, comme par exemple les lampes quartz-iode. \textit{Ces sources lumineuses peuvent être décrites par le modèle du corps noir que nous avons vu dans le chapitre sur le rayonnement d’équilibre thermique?}. Elles ont un spectre d’émission continu.
    \item Les sources dites à luminescence, ce sont les lampes spectrales et les LASERS par exemple. La lumière est émise par des atomes et le spectre d’émission de ces sources est composé de raies discrètes. Dans cette leçon, nous allons nous intéresser à ce deuxième type de sources lumineuses, celles pour lesquelles la lumière émise dépend de la nature des atomes mis en jeu et non pas de la température d’un filament
\end{itemize}


\begin{tcolorbox}
On montre des spectres avec un prisme à vision directe ou avec un réseau \href{https://www.youtube.com/watch?v=oae5fa-f0S0}{Vidéo}
\end{tcolorbox}
\section{Interaction lumière matière}
\textbf{Système :} On considère une collection de $N$ atomes. Les atomes étudiés seront réduits à deux niveaux d’énergie,non dégénérés, notés 1 et 2. La matière est donc un ensemble de N atomes avec $N_1$ atomes dans l’état 1 et $N_2$ atomes dans l’état 2, tels que $N=N_1+N_2$

\textbf{Pertinence d’un système à deux niveau :} L’hypothèse des deux niveaux est peu restrictive parce que l’interaction électromagnétique concernant les processus de transition est résonante autour d’une fréquence centrale,$\nu_0$. Elle ne met donc en jeux que deux niveaux résonants tels que $E_2−E_1=h \nu_0$.


\subsection{Émission spontanée}

C'est le processus par lequel un atome excité au niveau $E_2$ se désexcite vers le niveau $E_1$, de manière spontanée. Faire un dessin avec des niveaux d'énergie et des flèches. Il vérifie plusieurs propriétés :

\textbf{Conservation de l'énergie :} La fréquence du photon est donnée par $h \nu = E_2 - E_1$. L'énergie est donc conservée lors de l'émission.

\textbf{Phénomène aléatoire :} le photon émis a une phase, une direction et une polarisation aléatoire. On dit que l'émission spontanée est incohérente et isotrope.

\textbf{Description mathématique :} la désexcitation d'un atome suit une cinétique d'ordre 1. On la caractérise donc par un temps caractéristique $\tau$ : $$N_2 (t) = N_2(t_0) e^{(t-t_0)/\tau}$$ C'est la même cinétique que pour les désintégrations radioactives. On justifie ce modèle en disant que le nombre d'atomes qui se désexcitent est proportionnel au nombre d'atomes excités. Le coefficient d'Einstein $A_{21}$ traduit cela : $$\dv{N_2}{t} = - A_{21} N_2(t)$$ ce qui est strictement équivalent à la forme intégrée.

\textbf{Cas des lampes spectrales :} dans une lampe spectrale, les atomes sont excités par des collisions avec des électrons accélérés avec une différence de potentiel. Les atomes peuvent se désexciter en émettant un photon. Les transitions entre niveaux d'énergie dans les atomes sont quantifiées (conservation de la parité des moments cinétiques orbital et de spin, bonjour le retour de AML), donc ce sont toujours les mêmes qui ont lieu.

\textbf{Ordre de grandeur :} pour la raie jaune du sodium, $A_{21} \approx 10^8$ Hz, soit un temps caractéristique de $10^{-8}$s. 

\textbf{Autres processus de désexcitation :} l'émission spontanée n'est pas le seul processus de désexcitation. 

\textbf{Origine de l'émission spontanée (bonus) :} électrodynamique quantique... Le couplage entre les fluctuations du vide et les états excités fait que l'état excité d'un atome n'est plus un état propre du hamiltonien...

\textbf{Emission en pratique :} le modèle présenté prévoit des raies spectrales infiniment fines. Ce, n'est pas le cas en pratique.
\begin{itemize}
    \item Elargissement naturel : linégalité de Heisenberg temps-énergie implique une largeur spectrale de l'ordre de $10^{-5}$nm.
    \item Elargissement collisionel : les chocs entre particules modifient légèrement leurs états énergétiques. Ca dépend de la fréquence des chocs, donc de la section efficace et de la densité (donc de la pression, donc ils dominent dans les lampes haute pression). L'élargissement est de l'ordre de $10^{-3}$ à $10^{-2}$ nm.
    \item Elargissement Doppler thermique : toutes les particules sont animées d'une vitesse, dont la répartition est isotrope. Par effet Doppler, toutes les émissions n'ont pas la même fréquence dans le référentiel du labo. Plus la température de la source est chaude, plus les vitesse sont élevées et plus l'effet est marqué. L'élargissement a le même ordre de grandeur que dans le cas de l'élargissement collisionnel, mais prédomine dans les lampes basse pression.
\end{itemize}

\subsection{Absorption}

L'atome est dans l'état 1 et passe à l'état 2 en absorbant un photon  dont l'énergie correspond à l'écart énergétique entre les deux niveau.

\textbf{Observation :} \href{https://www.youtube.com/watch?v=7u3rRy97m9Y&t=19s}{Vidéo}. C'est pas très beau ca manière de maniper...
\textbf{Description mathématique :}
La probabilité qu'un tel évènement se produise est d'autant plus importante que le rayonnement possède de photon à cette longueur d'onde. Aussi la probabilité de transition s'écrit : $p = u(\nu_0)B_{12}$. Avec $B_{12}$ coefficient d'Einstein en m$^3$J$^{-1}$s$^{-2}$ et $u(\nu_0)$la densité spectrale d'énergie Jm$^{-3}$s. On a donc :

$$\dv{N_1}{t} = -u(\nu_0)B_{12}N_1$$


\subsection{Emission stimulée}
L'Emission stimulée correspond au processus de désexcitation provoqué par un photon incident de fréquence $\nu_0$. Un photon est alors émis, avec la même fréquence, direction, polarisation et en phase. Les deux photons sont ainsi cohérents.


\textbf{Description Mathématique :} 
La probabilité qu'un tel évènement se produise est d'autant plus importante que le rayonnement possède de photon à cette longueur d'onde. 

Aussi la probabilité de transition s'écrit : $p = u(\nu_0)B_{21}$. Avec $B_{21}$ coefficient d'Einstein en m$^3$J$^{-1}$s$^{-2}$. On a donc :

$$\dv{N_2}{t} = -u(\nu_0)B_{21}N_2$$

Ce mécanisme est apte à augmenter l’intensité d’une onde lumineuse puisque tous les photons sont "jumeaux". On pressent des propriétés de cohérence.

\textbf{Approche d'Einstein (bonus) :} sans le mécanisme d'émission stimulée, on a un bilan énergétique incompatible avec la loi du rayonnement de Planck. 

Finalement on a l'équation d'évolution des populations : 
$$\dv{N_2}{t} = -\dv{N_1}{t} = -A_{21} N_2+u(\nu_0)B_{12}N_1-u(\nu_0)B_{21}N_2$$

\textit{On s'est limité à 2 niveaux. En pratique, il y en a beaucoup plus...}

\section{Comparaison entre les différents processus}
\subsection{Lien entre les coefficient d'Einstein}
Sanz PC page 1107.
Les coefficient d'einstein ne dépendent pas de l'état du gaz, ni à la répartition des population, mais uniquement de $\nu_0$. On peut étudier à l'équilibre thermodynamique


On considère un rayonnement d'équilibre thermique donc caractériser par la loi de Planck : 
$$u_\lambda (\lambda, T) = \frac{8 \pi}{\lambda^4} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}} - 1} \frac{hc}{\lambda} = \frac{\nu^2}{c}u(\nu) \implies u(\nu) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_BT}}-1}$$

On considère le système en régime permanent: 
$$\dv{N_2}{t} = -\dv{N_1}{t} = 0\implies A_{21} N_2=u(\nu_0)(B_{12}N_1-B_{21}N_2)\implies u(\nu_0) = \frac{A_{21}}{(B_{12}\frac{N_1}{N_2}-B_{21})}$$

Or à l'équilibre thermodynamique, les population suivent la statistique de Boltzmann (sans dégénerssance) donc : 
$$\frac{N_2}{N_1} = \exp(\frac{\Delta E}{k_B T}) =\exp( \frac{h\nu_0}{k_B T})$$
Donc on a :
$$u(\nu_0) = \frac{A_{21}}{B_{12}\exp(\frac{h\nu_0}{k_B T})-B_{21}} = \frac{\frac{A_{21}}{B_{21}}}{\frac{B_{12}}{B_{21}}\exp(\frac{h\nu_0}{k_B T})-1}$$

On identifie avec la loi de Planck : 
$$\frac{A_{21}}{B_{12}}= \frac{8\pi h\nu^3}{c^3} \qq{et} B_{12}=B_{21}$$

Il sufﬁt de connaître un des coefﬁcients pour les connaître tous.

\subsection{Importance relative des différents terme}

On compare la d'excitation par émission stimulé et par émission spontané : 
$$\frac{p_\text{stimulé}}{p_\text{spontané}}   =\frac{u(\nu_0)B_{21}}{A_{21}} = \frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_BT}}-1} $$
\begin{itemize}
    \item A T=300K et pour des longueur d'onde du visible : l'exponentiel vaut $4\times 10^{41}$. Donc l'émission spontanné dommine
    \item Pour une source à 3000 K (1à fois plus chaud que le soleil), les deux phénomènes sont équiprobable si $\lambda =7\mu m$. On en déduit que dans le visible, pour les sources thermique c'est toujours l'émission spontanné qui dommine.
\end{itemize}

Il faut donc être hors de l'équilibre thermique.

\section{Application au laser}

Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation.

\subsection{Principe}

\textbf{Le laser c'est un bel exemple d'addition de travaux de recherche :} de la cavité Fabry-Pérot (1898) au premier LASER (1960), de nombreux apports ont été nécessaire : l'apport d el'émission stimulée par Einstein en 1916, l'idée du pompage optique en 1949 par Kastler et Brossel...

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/principe.PNG}
    \caption{Schéma bloc du laser.}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/laser.png}
    \caption{Schéma bloc du laser.}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\textbf{Description :} un LASER est constitué d'une cavité avec un milieu amplificateur. Le milieu amplificateur est ce qui réalise l'inversion de population : c'est une zone où il y a plus d'atomes dans l'état d'énergie $E_2$ que $E_1$. La cavité est en fait une cavité Fabry-Pérot : elle est constituée de 2 miroirs en vis-à-vis, légèrement courbés. Elle permet de sélectionner des longueurs d'onde avec une finesse plus ou moins grande en fonction des coefficients de réflexion des miroirs. Plus les miroirs ont un bon coefficient de réflexion, plus les photons font d'allers-retour et la fréquence est sélectionnée finement. En faisant plusieurs allers-retour dans le milieu amplificateur, on assure également le bouclage : les photons peuvent être "réutilisés" pour faire de l'émission stimulée.

\textbf{Pomapge et inversion :} dans un LASER helium-néon, le pompage est réalisé par une décharge électrique. Cela accélère des électrons, qui excitent des atomes en les choquant. EN pratique, on cherche à exciter les atomes vers des états d'énergie $E_i > E_2$, qui relaxent rapidment vers $E_2$. (attention l'Helium Néon c'est pas facile, parce que la décharge électrique excite l'Helium qui va ensuite exciter le Néon et il y a inversion de population du Néon.)

\textbf{Démarrage :} il faut un photon d'énergie $h \nu = E_2 - E_1$ pour commencer : il est obtenu par l'émission spontanée.
\subsection{Mise en équation et importance du pompage}
\textbf{Bilan de puissance :} Go tout-en-un PC Ed. 4 p. 1108.
Puissance émise et absorbée par unité de volume, pertes (photons qui sortent, émission spontanée et diffraction sur les miroirs). Bilan sur un volume élémentaire de cavité.
On trouve avec $P$ le module du vecteur de poyning :
$$\pdv{P}{z}+\frac{1}{c}\pdv{P}{t} = \gamma(\nu)P-\pi_\text{perte}\qq{avec} \gamma(\nu) =B_{21}\qty(N_2-N_1)h\nu \frac{g_\nu}{2\pi c} $$
Le $g_\nu$ correspond au profil de la raie pour une raie étroite, il "prend" la dépendance en la fréquences des coefficent d'Einstein et nous permet de les considéré monochromatique. La transition à lieux à une fréquence fixe $\nu_0$ en théorie mais en pratique c'est pas le cas, il y a une certaine largeur spectrale. C'est ce que $g$ traduit : la probabilité d'absober à $\nu$, sachant que le max est à $\nu_0$. L'intégrale de g sur tout le spectre c'est 1. 
À l’équilibre thermodynamique on a vu que $N_2< N_1$ ainsi $\gamma <0$. En régime stationnaire on a donc $\pdv{I}{z}<0$. L’intensité du faisceau décroît dans la cavité. Pour que le milieu soit amplificateur on doit donc avoir $N_2> N_1$:d’où la nécessité d’une inversion de population.


Expression du gain par unité de longueur. On retrouve la condition $N_2 > N_1$ pour l'amplification.

\textbf{Saturation du gain :} La puissance dans la cavité augmente exponentiellement. Sauf que plus il y a de photns, plus l'émission spontanée arrive souvent, donc plus il y a d'atomes qui se désexcitent.

\textbf{Condition d'accrochage :} Sans PC Ed. 4 p 1123


\textbf{laser He-Ne} :Dans l’exemple du He-Ne, la source d’énergie du laser (ou « source de pompage ») est une décharge électrique de :1kV appliquée à l’anode et à la cathode, de part et d’autre du tube de verre, ce qui accélère des électrons et excite les atomes du milieu par collision. Dans le cas d’une émission continue on utilise le plus souvent un courant de 5 à 100 mA. Le miroir de "output coupler" a un coefficient de réflexion de 99\%.Les lasers hélium-néon sont généralement de petite taille avec une cavité optique mesurant de 15 à 50 cm delong et une puissance de sortie de 1 à 100 mW. Pour des longueurs de cavité de 15 à 50 cm, cela permet à 2 à 8 modes longitudinaux oscillent simultanément.

\subsection{Laser à trois niveau}

\textbf{Limite du système à 2 niveaux :} on considère le taux de variation du nombre d'atomes $N_2$ dans le système à 2 niveaux. $N_2$ varie par émission spontanée : $-A_{21}N_2$ ; par absorption de photons : $\sigma J N_1$ \textit{($\sigma J$ est la section efficace fois le flux surfacique de photon) ($u = J h\nu$} ; et par émission spontanée : $-\sigma J N_2$. Ainsi, $$\dot N_2 = - \sigma J (N_2 - N_1) - A_{21} N_2$$

A l'équilibre, $\dot N_2 = 0$ : on a donc $N_2 - N_1 = - \frac{A_{21}N_2}{\sigma J} < 0$!! Le milieu est absorbant !

(une autre façon de le voir (des cléments) c'est qu'en partant de $N_2<N_1$ on augmente $N_2$ jusqu'à $N_2=N_1$ à ce moment là si on veux augmenter $N_2$ par pompage optique il faut augmenter l'absorption. Or en voulant augmenter l'absorption on augmente du même coup l'émission stimulé car les coefficient d'Einstein sont les même et que la dépendance en le flux surfacique est également le même. Donc on augment de la même manière un phénomène qui tend à augmenter et diminuer $N_2$. Conclusion on ne peut pas augmenter $N_2$)

Pour réaliser l'inversion de population, on utilise un autre niveau d'énergie $E_3$. Le problème vient de l'égalité entre les coefficients d'absorption et d'émission stimulée. En introduisant un troisième niveau, on peut pomper fortement le niveau $E_1$ sans provoquer d'émission stimulée du niveau $E_2$, puisque ce n'est plus la même fréquence.

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/laser_3_niveaux.png}
    \caption{Schéma des niveaux d'énergie.}
\end{figure}

Le troisième état doit être de durée de vie très courte et majoritairement se désexciter en $E_2$ (plutot que $E_3$). 

On peut faire un bilan de population comme \href{https://perso.ens-lyon.fr/clement.colleaux/LP/LP37\%20-\%20Absorption\%20et\%20\%c3\%a9mission\%20de\%20lumi\%c3\%a8re/LP37___Absorption_et__mission_de_la_lumi_re(2).pdf}{dans la leçon des cléments.}

\subsection{Modes propre de de la cavité (Pour le leçon laser)}
Les fréquences sélectionné par la cavité sont : 
$$\nu_p = \frac{pc}{2nL}$$
\begin{tcolorbox}
Cavité fabry perrot
On peut mesurer l'écart des mode et la largeur des modes (voir montage spectrométrie optique)
\end{tcolorbox}
$$\Delta \nu_p = \frac{c}{2nL}$$
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/lasermodes.PNG}
    \caption{Condition de laser}
\end{figure}


\subsection{Application au refroidissement d'atomes} 
cf leçon effet Doppler. Ou comme le dit Camille Normand, l'émission spontanée c'est pas toujours embêtant.

\section*{Conclusion}

On a vu le fonctionnement du Laser, basé sur les mécanismes d'émission et d'absorption. On a vu éventuellement d'autres trucs mais ca c'est à adapter le jour J.

Les applications des LASER sont plus que nombreuses, mais on va pas commencer à ouvrir sur les LASERS. Plutot parler de photoluminescence ; phénomène radiatif du à une excitation lumineuse. Peut être de 2 types : fluorescence : absorption puis ré-émission spontanée rapide d'un photon. Ca donne un effet de brillance qui s'estompe presque instantanément lorsqu'on arrête d'allumer. \textit{La transition quantique est autorisée par les règles de sélection (concenrnant la parité des moments cinétique et orbital).} Phosphorescence : la désexcitation directe n'est pas autorisée (\textit{pour des raisons de couplage spin-orbite}). Il y a passage par un état intermédiaire, ce qui ralentit le processus et fait que la phosphorescence est visible même après exctinction de la source de lumière.



\section{Faisceau Laser (Pour la leçon 2020 Laser)}

Sanz PC p. 1131

\subsection{Propagation}

La propagation de la lumière suit l'équation de d'Alembert. Si on cherhce des solutions en ondes planes, on aboutit à l'équation de Helmholtz.
$$\Delta s = \frac{n^2}{c^2}\pdv[2]{s}{t}\qq{avec} s(M,t)=\underline{a}(M)\exp(i\omega t) \implies \Delta a = k^2a $$


\subsection{Faisceau gaussien}

Expression admise pour l'amplitude.

$$s= a_0\frac{w_0}{w(z)}\exp(-\frac{r^2}{w(z)^2})\exp(i(\omega t+\phi(z))\qq{avec} w(z) = w_0\sqrt{1+(z/z_r)^2}\qq{et} z_r =\frac{\piw_0}{\lambda}$$
On identifie le waist, la phase de Gouy, la longueur de Rayleigh et le rayon du faisceau.

$w(z)$ est un hyperbole : le faisceau diverge. Son rayon minimal est le Waist et il est globalement paralèlle sur une distance $2z_r$
Faire des dessins ,calculer l'éclairement :
$$\mathcal{E} =<\abs{\va{\Pi}}> = \epsilon_0nc\abs{a}^2 $$

$\theta \simeq2 w_0/z_r = \lambda/(\pi w_0) $
\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .5\textwidth]{images/fasiceau.PNG}
    \caption{Profil}
\end{figure}
\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .5\textwidth]{images/ODG.PNG}
    \caption{ODG}
\end{figure}


\subsection{Action d'une lentille sur un faisceau}

Une partie qualitative ou on fait des dessins.  Selon la longueur de Rayleigh, l'effet d'une lentille sur un faisceau est différent. 

\textbf{Lentille convergente vers le waist :}

\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .5\textwidth]{images/lentille_CV.png}
    \caption{Transformation par une lentille telle que $f' \ll z_R$. Physique tout-en-un PC Ed. 4.}
\end{figure}

Ca a pour effet de réduire le waist, et donc focaliser le faisceau. Cela permet d'avoir une forte puissance surfacique.

\textbf{Nouvel angle d'ouverture :} $\theta' = w_0/f'$. Or, on a vu que l'angle d'ouverture était donné par : $\theta' = \frac{\lambda}{\pi w_0'}$.

\textbf{Doublet afocal :}

\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .8\textwidth]{images/doublet_afocal.png}
    \caption{Effet d'un doublet afocal sur un faisceau gaussien, même source.}
\end{figure}

L'élargissement du faisceau diminue sa divergence. On peut exprimer le nouveau waist et la nouvelle divergence du faisceau en fonction des focales.
On peut en profiter pour épurer le faisceau. 

\section*{Conclusion Laser}

Les lasers sont ultra utilisés partout. 

On rappel les propriété principale du laser qui sont essentielles : 



\begin{itemize}
    \item Grande longueur de cohérence
    \item Très directif
    \item Intense
\end{itemize}

On a besoin de réduire la divergence des faisceau pour mesurer la distance Terre-Lune grâce aux coins de cubes qui sont posés là-bas. Sans réduction de leur divergence, la tache sur la lune ferait 150 km ! Trop d'énergie perdue (surtout que ca rediffracte au retour). Distance Terre-Lune pour la question : 384400 km en moyenne (mais ca fluctue parce que trajectoire elliptique...). Pour avoir un faisceau convergent, on utilise un téléscope afocal (de type Cassegrain pour les connaisseur.euses). On multiplie le diamètre du faisceau par 125 donc sa divergence est réduite d'autant. On attend un tache sur la lune de 1.2 km... sans prendre en compte l'effet de l'atmosphère.


On peut les utiliser pour le refroidissement Doppler, ou le piégeage optique.
\end{document}
