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}


\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Leçon de physique 38 &   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{Aspects corpusculaire du rayonnement, notion de photon}\\[-0,3cm]
\HRule \\
\end{center} 

\section*{Niveau} 

\section*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 2015 : Le jury apprécie des illustrations décrivant des mécanismes récents impliquant des interactions lumière-matière.
    \item 2014 : Cette leçon ne devrait pas se limiter à une description d’expériences historiques du début du XXème siècle. Des développements récents, expériences à un photon, décohérence, peuvent être mentionnées. Le transfert de quantité de mouvement est souvent présenté par le biais de l’expérience de Compton, il peut également être illustré à l’aide d’applications modernes de l’interaction atome-rayonnement. Cette leçon peut éventuellement permettre de parler de la notion de superposition d’états. La lumière peut parfois présenter un comportement ni corpusculaire, ni ondulatoire.
    \item 2014 : Au cours des questions, le jury a été surpris de constater que la notion de spin associée à un photon n’est pas toujours maîtrisée.
    \item 2009,2010 : Les expériences réalisées à l’aide d’une cellule photoélectrique sont souvent mal comprises ou interprétées abusivement. Les candidats cernent souvent mal pourquoi la notion de photon s’est dégagée de l’effet photoélectrique et du corps noir.
    \item 2007 : Cette partie importante de la physique quantique est mal couverte par les manuels usuels. Le photon a une énergie, une quantité de mouvement, mais aussi un moment cinétique. Les illustrations ne se limitent pas à l’effet photo-électrique et à l’effet Compton, et les récents développements de la physique quantique constituent une mine d’illustrations pour cette leçon : ralentissement d’atomes par la lumière, interférences avec des photons uniques, comportement de la lumière sur une lame semi-réfléchissante . . .
    \item 2004 :Des expériences doivent être décrites et modélisées en prenant soin de donner des ordres de grandeur.Les échanges de moment cinétique méritent d’être discutés
    \item Léo Mangeolle : "Rappeler aussi souvent que possible pourquoi ce dont on parle est lié à la nature corpusculaire du photon."
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item \href{http://www.phys.ens.fr/~dalibard/publi2/larecherche_94.pdf}{Article refoidissment }
    \item MQ 1,Aslangul
    \item \href{http://ressources.agreg.phys.ens.fr/static/Videos/Roch/Reprint_EPJD_d05194.pdf}{Article double fente}
\end{itemize}

\section*{pré-requis}


\section*{Expériences}
\begin{itemize}
    \item \href{https://www.youtube.com/watch?v=MbLzh1Y9POQ}{interférence Photons uniques }
\end{itemize}

\tableofcontents

\section*{Introduction}
La description de la lumière a souvent été un sujet de discorde :est-elle une onde ? est-elle composée de corpuscules ? 

Au XIXe siècle, la théorie dominante était en faveur de la nature ondulatoire de la lumière notamment grâce aux interférences réalisées avec les fentes d’Young et aux équations de Maxwell.


Cependant, à la fin du XIXe siècle-début du XXe, il apparaît que décrire la lumière comme une onde n’est pas suffisant pour décrire certains phénomènes et notamment, pour expliquer le rayonnement d’équilibre thermique du corps noir.
\section{Emergence de la notion de photon}
\subsection{Quantification du rayonnement}

\textit{Passer rapidement dessus en le mettant en prérequis : c'est un rappel ? Le mettre en intro mais je détaille un choillia ici pour m'aider moi}
Le Bellac p.15 / DGLRB p.820 /Aslangul 1 p.98

Rappel des idées dans le cas du corps noir  :
\begin{itemize}
    \item Les conditions aux limites periodique donnent une quantifiaction des $\va k$, ce qui se traduit par une densité de mode : $g(\nu) = \frac{8\pi\nu^2}{c^3}$
    Ceci est un phénomène classique et n'a rien à voire avec la notion de photon
    \item Chaque mode est associé à une énergie $k_bT$ dans le cas classique (on peut écrire l'énergie du champ sous la forme d'un oscillateur harmonique, puis par équipartition de l'énergie 2ddl). Ceci donne : $$u(\nu) = \frac{8\pi\nu^2}{c^3}k_BT$$
    Mais ceci n'est pas intégrable... C'est la catastrophe ultaviolette.
    \item Plank propose alors que plutôt que d'avoir un continuum d'énergie, il y a quantification des modes (L'énergie du champ, qui peut se réécrire comme l'énergie d'un oscillateur harmonique est supposé quantifié) : $E_{osc} = n h\nu$. avec $h =\SI{6.6261e-34}{J.s}$. En calculant alors l'énergie moyenne du champ et en ajoutant la densité de mode on trouve :
    $$u(\nu) =  \frac{8\pi h}{c^3}\frac{\nu^3}{e^{\frac{h\nu}{k_BT}}-1}$$
\end{itemize}

Mais du coup c'est une grosse hypothèse physique qu'il a fait Planck... Est ce quelle est justifié ou c'est juste un (feu d'artifice mathématique ?

\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/corpsnoir.PNG}
    \caption{Corps noir}
\end{figure}

\subsection{Effet photoélectrique}

Aslangul Mecanique quantique 1 page 118


\textbf{Contexte :} la loi de Planck ne plaît pas beaucoup (même à lui même), mais en 1905, Einstein utilise la quantification de l'énergie avancée par Planck pour interpréter l'effet photo-électrique (observé successivement par Becquerel, Hertz et Lenard (physicien allemand récompensé en 1905 (quelle coïncidence) pour ses travaux sur les rayons cathodiques)). Pour son explication, Eisntein reçoit le prix Nobel de physique de 1922.

\textbf{Cadre :} on forme un circuit électrique avec un métal éclairé. Pour que le courant passe, il faut que des électrons soient arrachés au métal et transitent de l'autre côté.
\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/exp.PNG}
    \caption{Si on se chauffe}
\end{figure}

\begin{tcolorbox}
Expérience si on veux essayer (mai son l'a jamais tester...)\\
Matos : \href{http://materiel-physique.ens-lyon.fr/BDD/job/BDD/Notices/N067-033.pdf}{Électroscope P67.33}+ Plaque de verreP67.??+ Peau de Chat (littéralement) + Lampe Hg \\
Protocole : On charge négativement la plaque de zinc en frottant un bâton d’ébonite frotté sur la peau. L’aiguille de l’électroscope indique que la plaque est chargée. On approche la lampe (dansl’UV) et on observe une décharge au niveau de l’aiguille : on extrait les électrons du métal. On peut ensuite refaire l’expérience avec une lame de verre entre la lampe et l’electroscope (absorbedans l’UV) et la décroissance n’a plus lieu. Ce qui montre bien que les fréquences élevées sont plus énergétiques, on peut même parler du seuil d’arrachement !
\end{tcolorbox}
\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/effet_photoelectrique.png}
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/montage.PNG}
    \caption{Schéma moche mais c'est juste pour le schéma.}
\end{figure}
\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .3\textwidth]{images/photoelec.PNG}
    \includegraphics[width = .5\textwidth]{images/photoelec2.PNG}
    \caption{Observations}
\end{figure}

L'effet photoélectrique désigne l'émission d'électrons par le métal. On remarque que :
\begin{itemize}
    \item l'énergie cinétique des électrons est proportionelle à la fréquence d'excitation.
    \item Il y a un effet de seuil : en dessous d'une certaine fréquence, aucun électron n'est arraché quelque soit l'intensité de la lumière utilisée.
    \item La caractéristique courant tension démarre linéairement pour une tension $V_0$ négative. l'intensité sature pour de grande valeur de ddp appliqué. (la saturation est proportionnelle à l'intensité lumineuse. Ceci permet d'utiliser cette cellule comme appareil de mesure)
    \item La contre tension $V_0$ ne dépend pas du flux et est linéaire avec $\nu-\nu_s$ pour $\nu>\nu_s$
    \item $V_0$ et $\nu_s$ sont indépendant de la puissance de l'onde incidente.
\end{itemize}



\textbf{Interprétation :} l'existence du seuil est incompréhensible d'un point de vue classique.  Pour arracher un électron, il faut fournir un certain travail d'extraction $W_s$. D'un point de vue classique, l'apport d'un rayonnement électromagnétique apporte une énergie de manière continue, et l'énergie volumique ($u = \frac{\epsilon_0 E^2}{2} + \frac{B^2}{2 \mu_0}$) est indépendante de la fréquence. La description classique ne permet pas d'interpréter le résultat.

\textbf{Apport d'Einstein :} il fait l'hypothèse que la lumière est composée de quanta d'énergie $h \nu$. L'effet photoélectrique serait la conséquence d'une collision inélastique entre un de ces quanta et un électron de la plaque. Le quanta incident doit alors avoir une énergie $h \nu\geq W_s$, d'où l'effet de seuil.

De plus, par conservation de l'énergie : $h \nu = W_s + E_c$, on retrouve la proportionnalité. 

\textbf{Ordre de grandeur :} pour le zinc : $W_s =$ \SI{4.33}{eV} donc $\lambda_s =$  \SI{290}{nm} $\in$ UV.

\textbf{Retour sur l'interprétation quantifiée :} l'approche d'Einstein est limitée, car l'effet photo électrique peut s'expliquer en considérant que le champ EM est continu, et le métal est quantifié. On sait aujourd'hui que ce n'est pas l'explication valide.

\textbf{Expérience de Milikan :} Milikan est récompensé en 1923 pour la fameuse expérience de la goutte de Milikan qui permet la première mesure de $e$ (si on parle de ca faut etre capable d'expliquer bien sur). Il a aussi réalisé l'expérience proposée par Einstein en 1916, ce qui a permis de mesurer les énergies de seuil de certains métaux, mais surtout la valeur de $h$ en tracant : $h (\nu - \nu_0) = \frac{1}{2} m v^2$.

\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/Milikan.png}
    \caption{Résultats obtenus par Milikan.}
\end{figure}

Comment était mesurée l'énergie cinétique des électrons? Les électrons quittent la plaque de métal et rejoignent une anode au potentiel $V_0$. Les électrons sont accélérés entre la plaque et l'anode. Si on les accélère dans une direction qui va contre le courant, on peut trouver le potentiel $V_0$ qui fait que les électrons arrivent à l'anode avec une énergie cinétique nulle (le courant est alors nul). On a alors : $\frac{1}{2} m v^2 = e V_0$.

\subsection{Insécabilité du photon}

\textbf{Historique} La première expérience inexplicable sans photon date de 1977 (Kimble et al.,\href{https://authors.library.caltech.edu/6051/1/KIMprl77.pdf}{lien}), rendue possible par l’utilisation de tubes photo multiplicateurs, détecteurs très sensibles exploitant l’effet photoélectrique et permettant la détection d'un seul photon.


Dans le cas de l’expérience de Kimble, une source lumineuse au sodium de base intensité voit sa lumière émise divisée en deux faisceaux par une lame semi-réfléchissante. On place en sortie deux photo multiplicateurs, dont le fonctionnement repose sur l’effet photoélectrique. \textit{Le fait qu’ils enregistrent des coups isolés peut être attribué au caractère quantique du détecteur etnon à l’arrivée de photons isolés}.\textbf{ODG}: dans l’expérience de Kimble, le laser a une puissance de \SI{0.7}{mW/mm^2}.

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/insécabilite.PNG}
    \caption{Insécabilité (Blancon, Martos)}
\end{figure}

Un photon insécable ne pourra atteindre qu’un seul des deux photo multiplicateurs placé dans chacune des voies à la fois.
Si la sensibilité des capteurs est suffisante à basse intensité, on s’attend à voir une anticorrélation entre les courants en sortie des deux photomultiplicateurs : si l’un des photodétecteurs détecte du courant, pas l’autre. confirmant le caractère corpusculaire de la lumière.

Pour formaliser cela, on définit la fonction de corrélation. 
$$g^{(2)}(\tau) = \frac{<\Delta I_1(t)\Delta I_2(t+\tau)>}{<I_1(t)><I_2(t+\tau)>}\qq{avec} \Delta I = I-<I>$$

Cette fonction quantifie si les deux signaux se ressemble quand on les translate l'un par rapport à l'autre. En effet on voit que pour $\tau = 0$ alors si les deux signaux sont identique alors la fonction de corrélation sera grande car on multipliera les partie non nulles entre elles, mais les deux signaux sont décalé (parce qu'il ne peuvent pas recevoir de signaux en même temps, alors on va multiplié des parties nulles avec des parties non nulle et $g$ va être plus petit.
On s'attent dans le cas calssique à avoir $g(\tau=0)>1$ on l'expérience montre :$g(\tau=0) =0.3$
Ceci confirme une anticorélation. On devrai théoriquement trouver $g(\tau=0) =0$ s’il y avait qu’un seul atome de sodium isolé. Temps de vie de l’état excité du sodium 16 ns. L'origine d'une valeur supérieur à 0 est la difficulté à n'avoir exactement qu'un atom qui emmet à la fois. Si ils y en a plusieur à la fois cela peut augmenter $g$


\textit{Sur/subpoissonien Une source cohérente est poissonienne $g2(\tau= 0)) = 1$, comme un laser monomode,où les photons arrivent avec une statistique de Poisson. Les sources d’intensité fluctuante, par exemple les sourcesthermiques sont sur-poissonien$g2(\tau= 0)) > 1$, les photons sont "bunched". Si$g2(\tau= 0)) < 1$, on parle de statistiquesub-poissonienne, les photons sont "antibunched". }

Source de photon unique : l'idée est d'envoyer des impulsion plus courte que le temps de désexcitation.
\href{http://ressources.agreg.phys.ens.fr/static/Videos/Roch/Reprint_EPJD_d05194.pdf}{tout est décrit ici.}
L'idée est de prendre un nano cristal de diamant dans lequelle on a substitué un atome de carbone par un atome d'azote, et il y a un espace vacant juste à coté. (single N-V colour centre in a diamond nanocrystal :  N-V colour centre are created by irradiation of type Ib diamond powder withhigh-energy electrons followed by annealing at 800$^\circ$C). Cet arrangement est fluorescant. On fait en sorte que la densité de ces incrustation soit assez faible pour que l'on puisse en envoyant un pulse laser ne toucher qu'une seule zone fluorescente. On envoie alors des pulse plus court que que le temps de désexcitaition. de sorte qu'un seul dipole émette un photon un par un.

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/insécable.PNG}
    \caption{Expérience}
\end{figure}


\href{http://ressources.agreg.phys.ens.fr/static/Videos/Roch/Interferences_1photon_Roch.mp4}{Interférence avec des photons uniques}

\section{Propriétés des photon}
La description du rayonnement en termes de \textbf{photon} ne doit pas être contradictoire avec ce quel’on sait de l’électromagnétisme et de la relativité. On réinterprète donc des résultats d’EM classique en termes de photons, et on en déduit des conditions pour que l’ensemble ne soit pas incohérente.
\subsection{Energie et vitesse}
Dans l’effet photoélectrique, on a déjà vu l’énergie $E=h\nu$
\textbf{ODG:} Le photon optique a une énergie de l’ordrede 1 eV.
Sur Terre, le rayonnement solaire est de 1 mW/mm$^2$. 
Une pupille de surface 1 mm$^2$reçoit, si on assimile le rayonnement à une source monochromatique autour de 500 nm,
$$\dv{N}{t}= \frac{10^{-3}}{h\nu}= 10^15photons/s$$ C’est un nombre macroscopique, ce qui explique pourquoi on ne voit pas la quantification du champ EM à notre échelle.

Pour tout référentiel galiléen, une onde électromagnétique se déplace à la vitesse c, donc le photon aussi 
\subsection{Quantité de mouvement}

L'idée est de faire sortir $\va p = \hbar \va k$ de manière cohérente avec l'électromagnétique.

On considère une charge maintenue dans un plan $(x,y)$ et une OPPH arrivant dessus de direction de propagation $\vec e_z$. On s'interesse à la quantité de mouvement cédé à la charge pendant une période. Comme $\dv{\va p}{t} = \va F$, on a $\int_{t_0}^{t_0+T} F$ correspond bien à la quantité de mouvement cédée à la charge pendant une période de la part du champ. (il peut y avoir d'autres processus qui la tienne, on ne s'y intéresse pas) Comme on impose que la particule reste en 0, $\va F = q(\va E(0,t)+\va v\cross\va B(0,t))$
$E$ est transverse et $T$ périodique, aussi, $\int_{t_0}^{t_0+T} qE=0 $
\begin{align*}
    \int_{t_0}^{t_0+T} F =&\int_{t_0}^{t_0+T}qv\cross\va B(0,t)\dd t\\
    =&\int_{t_0}^{t_0+T}\frac{q\va v}{c}\cross\qty(\va u_z\cross\va E(0,t))\\
    =&\frac{1}{c}\int_{t_0}^{t_0+T}\qty(q\va E(0,t) \cdot \va v)\va u_z\dd t-\frac{1}{c}\int_{t_0}^{t_0+T}\underbrace{\qty(q\va v \cdot \va  u_z)}_{=0 \text{, particule dans le plan}}\va E(0,t)\dd t\\
    =&\frac{1}{c}\qty(\int_{t_0}^{t_0+T}\qty(q\va E(0,t) \cdot \va v)\dd t)\va u_z\\
    =&\frac{W}{c}\va u_z
\end{align*}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/schema.PNG}
    \caption{Schéma du problème (note de Pascal Wang)}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}
Or la puissance fournie par le champ à la particule est égale $P(t) =  q\va v(t)\cdot \va E(0,t)$ puisque la force magnétique ne travaille pas. Donc $W$ correspond à l'énergie fournie à la particule.\\
Dans notre apporche de photons cette énergie correspond à $Nh\nu$ car on a $N$ photons absorbés d'énergie $h\nu$. On en déduit que la quantité de mouvement cédé est $ \Delta \va p =\frac{W}{c}\va u_z = \frac{N h\nu}{c}\va u_z $. on a donc la quantité de mouvement d'un photon :
$$\va p  =\frac{h\nu}{c}\va u_z = \hbar \va k$$

De plus on retrouve ceci dans le formalisme introduit par De Broglie, qui dit que l'on peut associé à toute particule un comportement ondulatoire tel que : 
$$\va p = \hbar \va k$$


Un photon optique a une impulsion de l’ordre de 1eV/c


\textbf{Problème de cette méthode : } On a complètement passé sous silence la réaction de la particules. En fait cet électron dans le plan est accéléré et rayonne...

\textbf{Application : }Le rayonnement électromagnétique exerce une pression de radiation sur la matière.On peut l’utiliser pour propulser des engins spatiaux avec des voiles solaires.

Pour trouver la pression de radiation, on peut maintenant que l'on a la notion de photon l'utiliser : 
\begin{itemize}
    \item Il y a $\dd[2] N = \frac{n}{2}\dd S c\dd t$ photon qui viennent taper une surface sous incidence normale. (le 1/2 provient du fait que seul la moitié des photons vont vers la voile)
    \item La quantité de mouvement transmise par unité de temps et de surface est donc $\dd[2]{\va{p}} = \frac{h\nu}{c}\va u_z\dd[2] N = nh\nu \dd S \dd t\va u_z$
    \item On en déduit $\dd{\va{F}} =nh\nu \dd S  \va u_z$
    \item $P =nh\nu = u  = \frac{\phi}{c}$
\end{itemize}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/pression.PNG}
    \caption{Pression de radiation}
\end{figure}
Au niveau de la Terre, $\phi_{surf}= 1mW/mm^2$ donc la pression exercée est de $\phi_{surf}/c\simeq10^{-5}Pa$.


Nano Sail-D2 est une petite voile solaire de 10m$^2$ réalisée pour la NASA et qui a été lancée en 2011. Elle subit une poussée de 0.1mN. Une voile en aluminium de 640 000m$^2$et 2.5 mm d’épaisseur serait susceptible de transporte 2300 kg de charge utile sur Mars en 400 jours .

\textbf{Attention :} on peut retrouver la pression de radiation avec une méthode ondulatoire, en faisant un bilan de l'énergie reçue par une période.
 
\subsection{Masse}
D’après la relativité restreinte,$$E^2=p^2c^2+m^2c^4$$
Or d’après les relations précédentes, $E=pc$ donc $m= 0$. Les expériences sont compatibles avec une masse inférieure à $10^{-54}$kg

\subsection{Spin du photon, hélicité}
Garing p256

Le photon possède également un moment cinétique intrinsèque ou spin qui est indépendant de sa fréquence, et qui est égal à 1, ce qui autorise a priori trois valeurs pour sa projection : -1, 0 et 1. La valeur 0 est cependant interdite par la théorie quantique des champs, du fait de la masse nulle du photon ?????.
On aurait pu faire un raisonnement analogue à tout a l'heure pour trouver la projection du spin dans la direction de propagation. On trouve $\va \sigma = \pm \hbar\va u_z $

Pour mesurer ce Spin Beth propose l'expérience suivante en 1930: 
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/beth.PNG}
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/Berth.PNG}
    \caption{Expérience de Beth}
\end{figure}
L’expérience est la suivante : une lame demi-onde est accrochée à un fil detorsion et on envoie par dessous une onde polarisée circulaire gauche. Elle ressort donc polarisée circulaire droite. Ainsi,les photons ont subi une variation de moment cinétique égale à $\Delta\va{\sigma}=−2\hbar\va u_Z$en traversant la lame. Cette dernière subit donc une variation de moment cinétique de $2\hbar\va u_Z$ par photon. Beth a ainsi réussi à mesurer une faible déviation d’angle, ce qui a permis de confirmer le spin du photon. Le montage complet comporte un miroir en fond et une autre quart d'onde d'onde pour que les photon réfléchi participent également à la déviation.


Comme la lumière passe d’une polarisation gauche à une polarisation droite, le couple exercé est de $2P/\omega$ avec $P$ la puissance du faisceau en W. Un miroir et une lame demi-onde permet de doubler l’effet, le couple total exercé est de :
$$\Gamma = 4P/\omega$$

$\omega$ est la pulsation du champ


\textbf{Remarques}
Le couple exercé $\Gamma = 4P/\omega$ est très faible 10$^{-15}$Nm, avec P= 0.1W et $\omega= 10^{15}s^{−1}$ Il faut prendre beaucoup de précautions expérimentales : pas de luimière parasite, montage sous vide. Le fil de torsion choisit par Beth est un fil dequartz, de constante de torsion $10^{-12}N.m/rad$. L’angle observé est de l’ordre de $10^{-3}rad$, ce qui est observable.
\section{Interaction lumière matière}

\subsection{Refroidissement Doppler et mélasse optique}
Dangoisse Hennequin Zennel les laser

Fox page 219

Cagnac page 291


\textbf{Intérêts du refroidissement} : L’intérêt de refroidir des atomes est d’observer des effets quantiques à basse température dans un cadre quasi-idéal où les interactions sont faibles : condensats de Bose-Einstein (1924). L’intérêt technologique se trouve aussi dans les horloges atomiques. Le refroidissement d’atomes a notamment permis de fabriquer des horloges atomiques. Dans un tel dispositif, la précision est limitée par le temps disponible pour la mesure. Ce temps étant directement proportionnel à la vitesse avec laquelle les atomes traversent le dispositif, un gain d’un facteur 100 sur la vitesse des atomes permet de gagner un facteur 100 sur la précision des horloges. Ce gain se répercute directement sur les systèmes utilisant les horloges atomiques, comme les systèmes de positionnement au sol par satellite (GPS). ODG: précision : 1 seconde en 100 millions d’années. Ces dernières utilisent des jets atomiques de Césium et un système d’asservissement qui ajuste la fréquence du laser. La transition de l’atome de Césium définit la seconde.



\textbf{Comment refroidir des atomes ? } En les ralentissant. En effet d'après le théorème d'équipartition on a : 
$$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{2}k_BT$$
Aussi en ralentissant l'ensemble des atomes de sorte que leurs vitesse quadratique moyenne diminue on diminue leurs température. \\
On utilise des Laser pour cela. \textit{" mesure de vitesse : Le principe de la mesure de la vitesse consiste à envoyer un faisceau laser sur ces atomes et à enregistrer l’intensité de la lumière de fluorescence lorsqu’on balaye la fréquence de ce laser. En effet,lorsque le laser est résonant, les photons du laser sont diffusés (cycles absorption de photon laser, émission spontanée de photon de fluorescence) et on peut donc récupérer, dans toutes les directions, une lumière de fluorescence. Si les atomes sont immobiles, on produit alors un maximum dans l’intensité de la lumière de fluoresence lorsqu’on vérifie la relation fondamentale$h\nu_{laser} = \Delta E$. En revanche, si les atomes ont une vitesse non nulle en projection selon la direction du faisceau laser, alors un effet Doppler décale la fréquence perçue par les atomes, et la résonance (donc le pic de fluorescence) sera obtenue pour une fréquence différente. On comprend ainsi que l’on accède à la distribution des vitesses en portant l’intensité de la lumière de fluorescence en fonction de la fréquence du laser, si l’on connaît par ailleurs la valeur de la fréquence de résonance pour des atomes immobiles. On aurait pu a priori penser à réaliser une mesure d’absorption, comme celle que nous avions décrite pour présenter le principe de la spectroscopie laser.Cependant, mesurer l’intensité de la lumière de fluorescence permet une mesure sur fond noir,alors que la mesure de l’absorption du laser nécessiterait de détecter une (toute) petite variation sur un signal important. C’est essentielle-ment pour cette raison quel’on préfère mesurer l’intensité de la lumière de fluorescence"}

On utilser des laser. Cela peut paraître surprennant, on s'attendrait à les chauffer ... En réalité cette technique ne marche que sur une petite bande de fréquence de résonance de transition des atomes. Le principe repose sur l'échange d'impulsion entre les photons et les atomes :
\textbf{Absorption :}
Considérons le cas d’un atome se déplaçant à vitesse $v_0$ dans une onde laser de fréquence $\nu$ résonante avec une de ses transitions et se propageant en sens inverse. L’impulsion de l’atome est alors $m\va v_0$ et celle d’un photon $\hbar \va k$ ,où $m$ est la masse de l’atome et $\va k$ le vecteur d’onde du champ laser. Lors de l’absorption d’un photon par l’atome, la conservation de l’impulsion implique que la vitesse de l’atome excité après absorption soit :
$$\va v_{exit} =\va v_0+\frac{\hbar}{m} \va k ~~~\implies = v_{exit}=v_0-\frac{\hbar k}{m} = v_0-v_r    $$
$v_r$ est appelée vitesse de recul. Après l'absorption, l'atome est dans un état excité mais avec une vitesse moindre.\\


\textbf{Emmission spontanée} Il y a ensuite émission. Si l'émission est stimulée, l'atome retrouve sa vitesse initiale, si l'émission est spontanée, alors elle est isotrope. et la vitesse finale est :
$$\va v_{a} =\va v_0+\frac{\hbar}{m} \va k+\frac{\hbar}{m} \va k_s$$
Avec $\va k_s$ de direction aléatoire. et de module $\abs{\va k_s}=\abs{\va k}$.

Si on répète le processus N fois on a :
$$\va v_{a} =\va v_0+N\frac{\hbar}{m} \va k+\sum_N \frac{\hbar}{m} \va k_s$$
Comme les $\va k_s$ sont aléatoires, on a en moyenne : $$v_a = v_0-\frac{N\hbar}{m}k$$


"Ce processus peut-il être efficace pour ralentir des atomes ? Pour répondre à cette question, prenons l’exemple de l’atome de césium. La vitesse des atomes de césium dans une vapeur diluée à température ambiante est typiquement de 300m/s. Pour la raie du césium située à 852nm, la vitesse de recul est $v_r=$ \SI{3.5e−3}{m/s}, ce qui semble ridiculement faible pour ralentir un atome se déplaçant à 300m/s. Cependant, la durée de vie du niveau excité du césium est de \SI{3e−7}{s}, ce qui fait que le processus peut se répéter jusqu’à 3 millions de fois par seconde ! L’atome peut donc être complètement arrêté en quelques dixièmes de seconde. On peut d’ailleurs calculer que la force qu’exerce la lumière sur l’atome est équivalente à 1800g, où g est l’accélération de la pesanteur. Réduire la vitesse des atomes par cette méthode est donc parfaitement réalisable.
\textbf{Mais c'est quoi le lien avec Doppler ?}
L’équation n’aboutit pas à un ralentissement de l’atome : une fois le sens de la vitesse inversé ($n\hbar k/m > v_0$), l’atome est accéléré. Pour éviter cela, on plonge l’atome dans deux ondes contra-propageantes de fréquence inférieure à la fréquence de résonance atomique $\nu_a$. \\

\textit{Pour retrouver le signe, on se souvient si on est sur la plage et que des des petites vagues arrivent, alors il est très intuitif que si l’on nage vers le large, on rencontre alors des vagues plus souvent que si l’on revient vers le bord en nageant avec la même vitesse par rapport au fond. Un déplacement par rapport aux ondes que constituent les vagues engendre donc une modification de la fréquence apparente de cette onde.}\\

Par effet Doppler, l’atome voit toujours l’onde se propageant dans le sens opposé au sien avec une fréquence plus proche de $\nu_a$ que l’onde se propageant dans le même sens que lui. L’onde de sens opposé (plus résonante) le freine donc toujours davantage que l’onde de même sens (moins résonante) ne l’accélère. Si l’on fait appel à trois paires de faisceaux lumineux contra-propageants décalés vers le rouge en longueur d’onde, les atomes subissent une force de frottement dès qu’ils se déplacent ; ils sont ainsi repoussés vers le point de convergence des faisceaux à cause de l’effet Doppler, et ils conservent leur très faible vitesse. Ils se retrouvent comme englués dans le réseau des faisceaux lumineux comme dans un pot de miel : on parle de mélasse optique. ou refroidissement Doppler.

\remarque{prix Nobel 1997: Chu, Cohen-Tannoudji et Phillips reçurent le PN pour leurs travaux sur le développement de "méthodes de refroidissement et de piégeage d’atomes par de la lumière laser"}

\textbf{Limite} On peut refroidir ainsi jusqu'à des vitesse de l'ordre de 10cm/s ce qui correspond au $\mu K$. Mais on comprend que ça ne marche plus quand la variation de fréquence par effet Doppler du aux vitesse relatives aux laser est comparable à la largeur de la bande spectrale d'absorption de l'atome. 
$$k_bT_{min}\simeq h\Delta \nu\implies T_{min}\simeq \frac{\hbar}{k_B\tau}$$
avec $\tau$ le temps de désexcitation. Avec le calcul complet de FOX on trouve : $T_{min}= \frac{\hbar}{2k_B\tau}$


\subsection{Recette de Condensat de Bose Einstein (pour les question ?)}
Voilà une "recette" pour faire des condensats:
\begin{itemize}
    \item On ralentit d’abord un jet d’atomes avec un laser à résonance allant en sens opposé au jet. Pour compenser l’effet Doppler et le changement de fréquence apparente au cours du ralentissement, on utilise un ralentisseur à effet Zeeman qui crée un gradient de champ magnétique tout le long du ralentissement.
    \item Une fois qu’ils sont à une vitesse faible (20 cm/s), on les piège en allumant six faisceaux contra-propageants dans les trois directions de l’espace. On obtient une mélasse optique. La force qui retient les atomes est une force de frottement visqueux (pression de radiation). C’est le principe du refroidissement Doppler Avec une mélasse optique, on ne piège pas les atomes durable- ment. Il faut un piège magnéto-optique : on rajoute un gradient de champ magnétique qui correspond à l’analogue d’une force de rappel pour les atomes vers le centre du piège.Dans un piège magnéto-optique la température est de 100$\mu$K.
    \item Pour arriver au condensat, il faut réaliser un refroidissement par évaporation consistant à diminuer la profondeur d’un piège (optique ou magnétique) : on perd des atomes mais on garde les plus froids donc dans l’ensemble, on refroidit. Et là on peut arriver aux températures de condensation, environ 100 nK.
\end{itemize}
\subsection{Effet Compton}

LP07.
$$\Delta\lambda = \frac{2h}{mc}\sin^2\qty(\frac{\theta}{2})$$

\section*{Conclusion}

L'avènement de la notion de photon et sa reconnaissance par l'entièreté de la communauté scientifique ont pris du temps. Et pour cause, le traitement ondulatoire de la lumière et des ondes électromagnétiques rendait compte de tous les phénomènes connus. La première expérience pour laquelle seule la nature corpusculaire du photon permet d'expliquer le résultat date de 1977 ! Aujourd'hui, on jongle avec les 2 représentations, et on arrive à expliquer un bon nombre de résultats par les 2 approches.

Néanmoins, \href{https://www.researchgate.net/publication/334644701_Wave-particle_duality_revisited_Neither_wave_nor_particle}{un article récent (cliquable)} semble remettre en cause à la fois le caractère particulaire et ondulatoire des photons!

\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .5\textwidth]{images/ni_onde_ni_particule.png}
    \caption{Schéma issu de l'article.}
\end{figure}

On place des détecteurs M et N de manière à voir des interférences constructives sur l'un et destructives sur l'autre. Ce n'est pas ce qu'on observe : il faut donc considérer que les photons sont des particules? On s'attend alors à mesurer autant de photons de chaque côté... mais ce n'est pas le cas non plus!

\end{document}
