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}


\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Leçon de physique 39 &   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{LP39 : Aspects ondulatoires de la matière. Notion de fonction d'onde.}\\[-0,3cm]
\HRule \\
\end{center} 

\section*{Niveau} 

\section*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 2017 : Un exposé sans présentation de l’équation de Schrödinger ne paraît pas raisonnable.
    \item 2015 :Les dispositifs interférométriques avec les ondes de matière ne se résument par aux expériences du type fentes d’Young.
    \item 2009-2010 : La signification physique des différents termes de l’équation de Schrödinger n’est pas toujours connue. Le jury constate qu’un nombre significatif de candidats confondent équation aux valeurs propres et équation de Schrödinger. Enfin, les candidats sont invités à s’interroger sur les aspects dimensionnels de la fonction d’onde et sur sa signification physique précise.
    \item 2008 : La justification physique des relations de continuité aux interfaces est trop souvent éludée.
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item Le Pérez de quantique
    \item Le Basdevant de quantique
    \item J'intègre PC-PC* Sanz
    \item \href{https://toutestquantique.fr/dualite/}{Animation}
\end{itemize}

\section*{pré-requis}
\begin{itemize}
    \item Notion de photn
    \item Diffraction, interférences des ondes lumineuses
    \item Ondes planes, relation de dispersion, paquet d'ondes
\end{itemize}


\section*{Expériences}
\begin{itemize}
    \item Diffraction des électrons sur le graphite
\end{itemize}

\tableofcontents

\section*{Introduction}

L'intuition qu'on a de la matière est celle faite d'atomes : des particules ponctuelles, qui peuvent être presque libres comme dans un gaz, ou liées entre elles comme dans les solides et les liquides. La notion de matière est liée à celle de la localisation : l'atome est ou n'est pas à un endroit. Cette conception est celle que les physiciens ont jusqu'au début du XX\ieme siècle. A ce moment là, on connaît aussi la notion d'onde, qui sont des champs continus et pour qui la notion de localisation est moins claire : à moins d'avoir une seule vague, difficile de dire "où" est l'onde.

Mais on a vu que le caractère ondulatoire de la lumière va être remis en cause, avec l'introduction des photons. Cette dualité est-elle intrinsèque aux ondes électromagnétiques? La matière peut-elle se comporter comme une onde?


\begin{table}[htbp]
    \centering
    \begin{tabular}{c|cc}
         &Particules&Rayonnement\\
         \hline
          Description & $(\va r,\va p)$&$\va E, \va B$\\
          Dynamique& 2nd loi de Newton& Equation de Maxwell
    \end{tabular}
    \caption{Caption}
    \label{tab:my_label}
\end{table}
\section{Aspect ondulatoire de la matière}

\subsection{Hypothèse de de Broglie}

On a déjà vue les propriété des photons, notament que ça quantité de mouvement vaut $p = \hbar k$

Pendant sa thèse De Broglie (1923) propose la dualité onde corpuscule à la matière.
Il propose alors une relation liant les propriétés ondulatoire et corpusculaire d'une particule : 
\textbf{Pour une particule d'impulsion $p$, on peut lui associer une longueur d'onde $\lambda_{DB}$ : la longueur d'onde de De Broglie}
$$\lambda_{DB} = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$

$h$ est la constante de Planck :$h = \SI{6,626 070 15e-34}{J.s}$
$m$ est la masse dans le référentiel de la particule. Si on veux faire apparaître la masse propre, il faut $\lambda_{DB}= \frac{h}{\gamma m_0v}$


\textbf{ODG : }
\begin{itemize}
    \item Une personne qui marche : $m=100kg$ $v=1m/s$ $\implies \lambda_{DB}=\simeq\SI{1e-35}{m}$
    \item Un atome d'hydrogène à température ambiante $E_c\simeq \frac{p^2}{2m}\simeq k_BT$ on en déduit $p \simeq\sqrt{mk_BT} \simeq simeq\SI{1e-24}{kg.m.s^{-1}}$ $\implies \lambda_{DB}=\simeq\SI{10e-9}{m}$. C'est à comparer au rayon atomique
    \item Un électron accélère à $v=\SI{1e6}{m/s}$ $\implies \lambda_{DB}=\simeq\SI{10e-10}{m}$ C'est à comparer à la distance interatomique
\end{itemize}



L’influence des effets quantiques dépend du rapport entre la longueur d’onde de De Broglie et les dimensions caractéristiques du système (discussion Aslagul, p.297). Si la longueur d’onde de de Broglie est petite devant toutes les tailles caractéristiques du problème comme dans le premier cas, on peut négliger le comportement ondulatoire (de même qu’on néglige le comportement ondulatoire de la lumière en optique géométrique). En revanche, dans les deux autres exemples, ce n’est pas le cas, et donc tous les phénomènes ondulatoires qu’on a vus en optique devraient pouvoir être observés.
 
Le critère est analogue à l’optique ondulatoire. Si la longueur d’onde est très petite devant la taille caractéristique du système, on n’observe pas de diffraction.Pour les ondes de matière, c’est analogue.

\remarque{Une longueur d'onde pour la matière? Si on n'y croit pas, on le montre...}

\subsection{Expérience de Davisson et Germer (= électrons et graphite)}

L'expérience historique qui a montré en premier le caractère ondulatoire de la matière est celle de Davisson et Germer, en 1927.

\begin{figure}[htbp]
    \begin{subfigure}{0.65 \textwidth}
        \centering
        \includegraphics[width = .8\linewidth]{images/Davisson_Germer_dispo.jpg}
        \caption{Schéma du dispositif utilisé par Davisson et Germer.}
        \label{DGD}
    \end{subfigure}
    \begin{subfigure}{0.3 \textwidth}
        \centering
        \includegraphics[width = .8\linewidth]{images/Davisson_Germer_result.png}
        \caption{Résultats obtenus dans la direction $\phi =$ \SI{50}{^\circ}.}
        \label{prout}
    \end{subfigure}
\end{figure}


Elle consiste à envoyer sur un cristal de nickel des électrons extraits d’un filament de tungstène chauffé, par excitation thermiques, qui sont ensuite accélérés par une différence de potentiel.

\textbf{Remarques}
\begin{itemize}
    \item L'émission est du à l'émission thermoélectrique : "L’origine physique de l’effet thermoélectronique est la suivante. Les électrons sont confinés au sein du métal constituant le filament et doivent recevoir une énergie WS pour en sortir; Ws est de l’ordre de quelques eV, c’est-à-dire 50 à 100 fois $k_BT$ à T ambiant. D’un autre côté, en raison de l’agitation thermique, la vitesse (l’énergie) d’un électron donné fluctue rapidement au cours du temps et est distribuée suivant une certaine loi statistique. Il existe à tout instant des électrons dont l’énergie est grande : ce sont ceux qui, brièvement et de façon transitoire, se situent dans la queue haute énergie de la distribution. C’est en profitant d’une telle fluctuation spontanée qu’un électron peut sortir du métal (il s’agit, presque au sens propre, d’une évaporation de la mer de Fermi). Cette chance de sortie est bien sûr d’autant plus grande que la température est élevée ; comme les probabilités à haute énergie ont une dépendance à peu près exponentielle par rapport à la température($Ae^{-E/k_BT}$),une petite variation de température (d’un facteur 3 ou 4) donne des variations très importantes du taux d’émission thermoélectronique. À $T$ ambiant, le nombre d’électrons ainsi émis est ridiculement petit ; à 2000K une température typique pour un filament (tout comme le corps noir, c’est à une telle température que le filament apparait à peu près blanc brillant), ce taux devient assez grand - même si seules les queues de distribution sont efficaces - pour donner un courant mesurable
    \item La détection se faisait avec un cavité de Faraday amovible, qui pouvait être déplacé à différents angles. Le principe d'une cavité faraday est simplement un métal qui lorsqu'il reçoit les électrons se "charge" et on mesure sa décharge dans un circuit. Le courant mesuré nous permet de remonter au nombre d'électrons : $N = It/e$
    \item L'angle d'incidence sur le cristal est fixe
\end{itemize}

\textbf{Résultats :} 
L'expérience contient principalement 2 résultats :
\begin{itemize}
    \item L'existence d'un pic d'intensité d'électrons pour $\phi =$ \SI{50}{^\circ}. La position de ce pic est indépendante de la tension à la quelle les électrons sont accélérés.
    \item Ce pic n'apparaît pas toujours : pour certaines tensions, il disparait (comme le montre la figure \ref{prout}).
\end{itemize}

\textbf{Interprétation :} Les électrons sont accélérés par le potentiel V. Ils acquièrent une certaine quantité de mouvement que l'on obtient à partir de la vitesse : $$\frac{1}{2} m v^2 = eV \implies p = mv = \sqrt{2 m e V}$$

Qui donne : $$\lambda = h/p = \frac{h}{\sqrt{2 m e V}}$$

Cette longueur d'onde est bien celle d'une \textbf{onde :} le comportement ondulatoire des électrons implique que l'on peut appliquer la relation de Bragg pour les réseaux : $$2 d \sin \theta = n \lambda = n\frac{h}{\sqrt{2 m e V}}$$

$d$ est la distance entre 2 plans réticulaires et $\theta$ l'angle d'incidence des rayons par rapport à ce plan. D'après la figure \ref{DGD}, on a la relation $2\theta + \phi = \pi$, qui pour $\phi = 50 ^\circ$ donne $\theta = 65^\circ$.

Les longueurs d'ondes possibles sont alors quantifiées par la relation de Bragg. Cela se répercute sur les potentiels donnant lieu à un pic diffracté.

\textbf{Application numérique :} $d = \frac{n \lambda}{2 \sin \theta}$. Pour $V = 54$V, $\lambda =$ \SI{1.67e-10}{m}, d'où $d =$ \SI{92}{pm}.

Le paramètre de maille de Nickel est \SI{215}{pm} : la diffraction n'est pas due aux plan du reseau cubique. Ce ne sont pas non plus des plans à 90 degrés, mais les plans à 45 degrés qui donnent ce résultat.

Pour trouver la distance interréticulaire, il faut calculer la hauteur du triangle rectangle dessiné sur la figure \ref{dessin}.

\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .4\textwidth, angle = 90]{images/plan_reticulaire.jpg}
    \caption{A : dessin de divers plans réticulaires. B : calcul de $d$ et triangle rectangle.}
    \label{dessin}
\end{figure}

Le théorème de Pytahgore donne la longueur de l'hypoténuse $a\sqrt{5}$. L'aire du triangle vaut $1/2 \times a \time 2a = a^2$. On en déduit la hauteur $2d = \frac{2a}{\sqrt{5}}$, qui donne $d =$ \SI{96}{pm}, en acoord avec la valeur mesurée.

\textit{J'ai fait le calcul de 2d sinon on voit rien sur mon schéma...}

\begin{tcolorbox}
Expérience diffraction des électrons (voir montage mesure de longueur)\\
On se propse de constaté expérimentalement ce que Davinsson et Germer ont mis en évidence (avec un autre montage). Ici il y a tous les angles incident possible sur le cristal parce que l'on a mis une poudre.
\end{tcolorbox}

Cette expérience est celle de Debye et Scherrer. Voir fascicule de TP.

\remarque{Les électrons se comportent comme une onde : on a besoin d'un nouveau formalisme pour les décrire. C'est un onde de quoi ? On va se servir de l'expérience des troues d'Young pour développer le formalisme}

\section{Description ondulatoire de la matière}

\subsection{Première approche : expériences des fentes d'Young (à mettre dans la partie d'avant ?)}

Un phénomène bien connu et caractéristique des ondes est le phénomène d’interférences, si les électrons sont bien des ondes alors on devrait pouvoir observer des figure d’interférences d’électrons ! Plusieurs expériences ont permis de montré des phénomènes d’interférences d’ondes de matière. La première est due à Jönsson en 1974, qui a réalisé une version des fentes d’Young avec des électrons, et observé une figure d’interférence similaire à celle de la lumière. On présente ici une version plus récente de cette expérience, réalisée en 1989 par Tonomura et al..Cette expérience est analogue au biprisme de Fresnel, avec ici une tige chargée positivement entre deux plaques métalliques. Les électrons sont accélérés par un potentiel de 50 kV et sont envoyés un par un sur le dispositif. Ils sont déviés par la tige, soit vers le bas, soit vers le haut, et passent par une série de lentilles électromagnétiques avant d’impacter un détecteur de position



\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .4\textwidth]{images/young.PNG}
    \caption{Experience de Tonoruma d’interférences d’électrons L’interfrange réel est de 0.7$\mu m$}
\end{figure}
Aslangul tome 1 page 323.

Les électrons arrivent 1 par 1, comme on peut s’y attendre pour des particules. Mais quand on détecte un nombre suffisant d’impacts, on voit que ces impacts se distribuent suivant un système de franges semblable à celui obtenu dans le cas des interférences lumineuses ou acoustiques : des zones sombres (beaucoup d’impacts donc flux d’atomes intense), parallèles à la direction des fentes, alternent avec des zones claires (peu ou pas d’impacts donc flux d’atomes faible).





Cette video (\href{https://www.youtube.com/watch?v=ZqS8Jjkk1HI}{lien cliquable}\href{https://www.youtube.com/watch?v=ZUI3lhRje_0}{ou celle là}) le montre tout à fait : les impacts un à un ont l'air aléatoires, mais au bout d'un grand nombre d'impact, une figure d'interférences se dessine.

plus grosse molécule jamais diffractée : le fullerène $C_{60}$.
Pour des atomes il faut d'abord les refroidir avec des piège magnéto optique, puis on libère le piège est les atomes "tombent" sur le dispositifs.

\textbf{Objectifs}
\begin{itemize}
    \item \textbf{Décrire} l'état du système (on avait jusqu'à présent la position et la vitesse). On va donc avoir recourt à une formalisation mathématique
    \item \textbf{Savoir interpréter physiquement l'outil mathématique} que l'on va introduire.
    \item Établir les \textbf{Lois d'évolutions}.
\end{itemize}

\remarque{Pour interpréter ça, on a besoin d'un formalisme qui reste probabiliste car les impacts sont aléatoires.}

\subsection{Interprétation probabiliste de l'expérience des fentes d'Young?}


\textbf{Interprétation probabiliste :} La position de l’impact d’une particule a manifestement un caractère aléatoire.Des conditions initiales semblables conduisent à des résultats différents. En chaque position $x$, on peut associer une probabilité qu'un électron arrive $p(x)$. Si on attend pour enregistrer un nombre statistique d’impacts, on peut identifier la fréquence statistique et la densité de probabilité $p(x)$. On définit $p_1(x)$ et $p_2(x)$ les densités de probabilités qu'on obtiendrait si une seule des fentes étaient ouvertes. On les dessine : ça fait deux bosses. On observe qu'on n’obtient pas une combinaison linéaire (ou même une fonction quelconque) de $p_1$ et $p_2$. La description classique est mise à mal.



Pour proposer une description quantique, on s’inspire des interférences en optique, acoustique etc. En fait, la figure d’interférence est la même qu'en optique, où l’intensité $I(x)$ est analogue de $p(x)$. L’inter frange qui utilise la longueur d’onde de De Broglie. 


On se souvient qu'en optique, on ne somme pas les intensité mais les amplitudes des champs. Aussi on va introduire, une grandeur analogue à l'amplitude des champs. On l'appel l'amplitude de probabilité de présence $A_i(x)$. Elle est telle que $\abs{A_i(x)}^2 = p(x)$. Comme en optique, elle est définie à une phase globale près.

Dans le cas de notre expérience, on peut interpréter les observation en considérant que l'électron passe par les deux fentes à la fois, avec une description ondulatoire. Les deux ondes issues des deux fentes interférent ensuite. Enfin, lorsque l'électron arrive au niveau de l’écran, son comportement redevient de type corpusculaire et il est détecté en un seul point de l’écran. Ce n'est pas incompatible. En effet la probabilité de détecter l’atome en un point est donnée par l’aspect ondulatoire, et redonne en moyenne la figure d’interférences. Lorsque les deux fentes sont ouvertes, la densité de probabilité est alors $p(x) =\abs{A_1(x) +A_2(x)}^2$. Le calcul est analogue à celui des fentes de Young.



Pour un dispositif similaire, on utilise des atomes de Néons refroidit. On considère alors qu'ils tombent sur le dispositif : 
\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .4\textwidth]{images/expyongneo.PNG}
    \includegraphics[width = .4\textwidth]{images/slitneao.PNG}
    \caption{Expérience avec Néon Shimizu et al. 1992 et résultat (une autre figure est dans les images)}
\end{figure}
Pour la chute libre sur une distance $d+D$, on trouve $v=\sqrt{2g(d+D)}\simeq 2.0 m/s$. La relation de De Broglie avec $M(Ne) = 20.12g/mol$ donne $\lambda =\frac{hN_a}{vM} = \SI{9.9e-9}{m}$. Avec $a = 6\mu m$ et $D = 113mm$ on s'attend à $i = \frac{\lambda D}{a} = 0.18mm$ on lit sur la partie basse (seule partie fiable) $i=0.2mm$. Ainsi, la longueur d’onde calculée s’interprète bien en raisonnant sur une particule en chute libre : c’est une autre signature de la dualité onde-corpuscule.

\textbf{Le caractère corpusculaire se manifeste lors de la détection des atomes: chaque atome produit un impact ponctuel, comme le ferait une particule classique. L’aspect ondulatoire se manifeste lui dans la répartition des différents impacts sur l’écran, qui forme une figure d’interférences caractéristique d’un phénomène ondulatoire.}
\subsection{Fonction d'onde}

On a introduit la notion d'amplitude de probabilité. On va alors introduire la \textbf{fonction d'onde} : on fait le postulat qu'une particule de masse $m$ dans l'espace à l'instant $t$ est complètement décrite par une fonction d'onde complexe $\psi(\vec r,t)$.

\textbf{Interprétation de la fonction d'onde :} c'est l'interprétation de Born. 

\begin{tcolorbox}
La probabilité de trouver la particule décrite par la fonction d'onde $\psi$ dans un volume élémentaire $\dd \vec r$ centré sur $\vec r$ à l'instant $t$ est $$\dd P = \abs{\psi(\vec r ,t)}^2 \dd \vec r$$
\end{tcolorbox}

\textbf{Remarques :}
\begin{itemize}
    \item Parallèle avec l'optique : $\psi$ désigne l'amplitude de probabilité, on optique on utilise l'amplitude du champ. Mais ce qu'on mesure, c'est $I = AA*$ en otpique, et $\abs{\psi}^2 = \psi \psi*$ en MQ.
    \item Si la particule existe, $$\int_{\mathbb{R}^3} \abs{\psi(\vec r,t)}^2 \dd \vec r = 1$$
    \item Dimension : $\psi$ est homogène à $L^{-3/2}$. En revanche, $\psi \psi*$ est homogène à une densité de probabilité.
    \item 2 fonctions d'ondes ne différenciant que d'une phase décrivent le même état physique.
    \item Toute combinaison linéaire de fonction d'onde est aussi une fonction d'onde possible. C'est ce que l'on a utiliser pour interpréter les fentes d'young. C'est le \textbf{principe de superposition} il découle de la linéarité des équations que l'on va voire (mais donc on s'attend a avoirs des équations linéaires)
\end{itemize}

En vrai c’est Schrödinger qui, en prenant connaissance des travaux de de Broglie en 1925 qui développe en premier cette notion de fonction d’onde à travers huit articles publiés en 1926. Cependant l’interprétation probabiliste est due à Max Born (Nobel 1954) plus tard vers fin 1926, début 1927


\textbf{Pour les fentes d'young :}

$\psi = \frac{1}{\sqrt{2}}\qty(\psi_1+\psi_2)$, donc : 
$$\abs{\psi}^2 = \frac{1}{2}\qty(\abs{\psi_1}^2+\abs{\psi_2}^2+2Re(\psi_2\psi_2^*))$$
\remarque{Comment on trouve l'évolution d'une telle fonction?}

\section{Dynamique de la fonction d'onde}

On cherche à  déterminer l'évolution de $\psi$.

\subsection{Equation de Schrödinger}

On considère une particule de masse $m$ dans un potentiel $V(\vec r,t)$. La fonction d'onde de la particule vérifie l'équation de Schrödinger : $$i \hbar \pdv{\psi}{t} = \frac{-\hbar^2}{2m}\laplacian \psi + V \psi$$

\textbf{Remarques :}
\begin{itemize}
    \item Equation linéaire : on peut superposer les solutions
    \item Equation réversible... il faut prendre le complexe conjugué (admis)
    \item Ca ressemble à une équation de diffusion... mais attention, on est en complexe et il y a un $i$ qui traine.
    \item Premier ordre en temps donc déterministe (on connaît la fonction d’onde en chaque instant et en chaque point si on nous donne une condition initiale). Donc même si le résultat d'une expérience est aléatoire, en revanche la distribution de probabilité elle est bien déterministe.
    \item Il ne nous manque plus que des conditions aux limites et on sait résoudre $\psi$
\end{itemize}

\textbf{Autre approche :}

Pour une particule libre, son énergie s'écrit : $E = E_c = \frac{p^2}{2m}$. Mais si cette particule se comporte comme une onde, on lui associe une longueur d'onde et une fréquence : on écrit $E = \hbar \omega$.

Enfin, la relation de de Broglie donne $p = \hbar k$, d'où : 

\begin{align*}
    \frac{\hbar^2 k^2}{2m} &= \hbar \omega \\
    \implies i \hbar (-i\omega) &= \frac{\hbar^2}{2m} k^2
\end{align*}

On interprète cette relation comme une relation de dispersion pour des ondes planes : $(-i\omega) \times \leftrightarrow \pdv{}{t}$ et $k^2 \times \leftrightarrow -\pdv[2]{}{x}$. On retrouve l'équation de Schrödinger pour une particule libre !

\subsection{Particule libre et notion de paquet d'onde}

$$i \hbar \pdv{\psi}{t} = \frac{-\hbar^2}{2m}\laplacian \psi$$

On a déja vu la relation de dispersion pour une onde plane : $\psi(\vec r,t) = \psi_0 e^{i(\vec k \cdot \vec r - \omega t)}$. On peut calculer les vitesse de phases et de groupe :

\begin{align*}
    & v_\phi = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar^2}{2m} \\
    &v_g = \dv{\omega}{k} = \frac{\hbar^2}{m}
\end{align*}

La propagation est dispersive.

\textbf{Problème: } sous forme d'onde plane, la fonction d'onde n'est pas normalisable. Elle n'est pas une solution physiquement acceptable de l'équation de Schrödinger. Toutefois, elle reste intéressante pour former des paquets d'onde à l'aide de la transformée de Fourier.


On reste dans le cas d'une particule dans le vide.
Pour résourde le problème de la non normalisation des ondes planes on considère un \textbf{Paquet d'onde } c'est à dire une somme continue d'ondes planes.

$\psi(x,t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}A(k)e^{i\qty(kx-\omega t)} \dd k$

\textbf{C'est quoi un paquet d'onde : }En fait c'est juste la chose physique à laquelle on s'attend (c'est pas que pour la méca q). C'est à dire c'est une onde qui oscille globalement à une fréquence donné, qui a un début et une fin. Rien de plus.


Comme $v_g \neq v_\phi$ et que $\dv[2]{\omega}{k} =\frac{\hbar}{m}$ il y a étalement du paquet d'onde.
\begin{tcolorbox}
Code étalement du paquet
\end{tcolorbox}
\subsection{Principe d'incertitude}
Avec notre paquet d'onde on a une onde qui est localisé dans l'espace, mais si je trace les spectre, c'est à dire les composante fréquentiel du paquet d'onde, je me rend compte qu'il n'y à plus qu'une seule fréquence ou plus qu'une seule impulsion.

Qu'est ce que cela signifie dans notre vision probabiliste. On a vue que le carré de la fonction d'onde représentait la densité de probabilité de présence. Aussi on peut déterminer la position moyenne d'une particule : 
$$<X(t)> = \int X(\va r,t)\abs{\psi(\va r,t)}^2\dd r$$

On trace une courbe ne cloche pour la position. On définit la position moyenne. 
Mais du coup elle à quand même une certaine extension spatiale :
\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .4\textwidth]{images/paquet.PNG}
    \caption{Paquet d'onde}
\end{figure}

On peut alors définir cette extension spatial : 
$$\Delta X = \sqrt{<X^2>-<X>^2}$$

Cet écart-type quantifie la précision avec laquelle on connait la grandeur X.

Supposons par exemple que l’on veuille mesurer à la fois la position d’une particule $x$  et son impulsion $p_x$, il existe une limite de résolution théorique connue sous le nom de principe d’indétermination d’Heisenberg: 
$$\Delta x\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{2}$$

Ce n'est pas une limite de résolution instrumentale, c'est une limite de résolution théorique.

\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .4\textwidth]{images/heinse.PNG}
    \caption{Heisenberg}
\end{figure}
Pour comprendre, on considère que l'on connait éxactement l'impulsion d'une particule. Dans dans notre dualité onde corpuscule, cela revient à connaitre avec précision sa longueur d'onde, donc qu'elle est décrite par un sinus infini. Mais alors elle prend tout l'espace ! On a alors une grande incertitude sur sa position. A l'inverse, si on suppose que l'on connait exactement la positon de la particule. Alors il devient difficile de définir la longueur d'onde à laquelle elle correspond .


La limite classique est celle où $\Delta x$ et $\Delta p_x$ sont tous les deux beaucoup plus petits que la précision des instruments de mesure. Étant donné la valeurde $\hbar\simeq 10^{-34}Js$ ,c’est de loin le cas le plus fréquent lors d’observations macroscopiques. Considérons un objet de masse m= 1gramme, un appareil qui donne la position avec une précision de 10$^{-15}m$(diamètre d’un noyau) et la vitesse avec une précision de 10$^{-15}m/s$(appareil assez performant !). Ces précisions sont insuffisantes pour détecter les incertitudes quantiques.

\textbf{Cette incertitude permet de comprendre la stabilité de la matière : }
En effet, à priori, l'électron soumis à l'attraction Coulombienne du noyau devrait s'écrouler sur lui (car il perd de l'énergie par rayonnemenet : charge accéléré). Cependant, l'incertitude d'Heinseberg permet d'écrire : 
$$E = E_c+E_p\geq \frac{\hbar^2}{2m_e<r>^2}-\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 <r>}\implies E_{min} = \frac{-m_e}{2\hbar^2}\qty(\frac{q^2}{4\pi\eplsion_0})^2=-13.6eV$$

\subsection{Puits infini-analogie avec la corde de Melde}

Puits infini 1D. 

\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/puits_infini.png}
    \caption{Schéma et notation puits infini.}
\end{figure}


Le potentiel est indépendant du temps : on cherche des solutions stationnaires de l'équatoin de Schrödinger, c'est à dire que l'on sépare espace et temps : $\psi(x,t) = \psi_0 e^{-i \omega t} \phi(x,t)$. \textit{On ne fait pas le calcul pour la partie temporelle?} On parle de solution stationnaire car la norme de la fonction d'onde ne dépend pas du temps. \textit{L'équation de Schrödinger indépendante du temps est cette fameuse équation aux valeurs propres à ne pas confondre avec l'équation de Schröndinger.}

On obtient l'équation : $$\dv[2]{\phi}{x} + \frac{2m}{\hbar^2} \qty(E - V(x)) \phi(x) = 0$$

\textbf{Relation de continuité :}
Comment se comporte la fonction d'onde lors d'une variation discontinue de potentiel? La démo est un peu longue.

On se place dans le cas d'un saut de potentiel de $0$ à $V$ en $x=0$. On intègre l'équation de Schrödinger indépendante du temps entre $x = -\epsilon$ et $x = \epsilon$ :

$$\int_{-\epsilon}^\epsilon \dv[2]{\phi}{x} \dd x = \dv{\phi}{x}_{x = \epsilon} - \dv{\phi}{x}_{x = - \epsilon} = \int_{-\epsilon}^\epsilon \dd x \frac{2m}{\hbar^2} \qty(V(x) -E) \phi(x) $$
 
Toutes les grandeurs sont finies, sauf $V(x)$ qui peut être infini. Lorsque $\epsilon \rightarrow 0$, 
\begin{itemize}
    \item Soit $V$ est fini et alors l'intégrale tend vers 0, et $\dv{\phi}{x}$ est continue au saut de potentiel.
    \item Soit $V$ est infini, et $\dv{\phi}{x}$ est discontinue au saut de potentiel.
\end{itemize}
 
Dans tous les cas, $\phi$ (et donc $\psi$) est continue au saut de potentiel. Ce calcul montre aussi que $\phi$ est nulle lorsque $V$ est infini, sinon l'intégrale diverge. 

\textbf{Retour sur le puits de potentiel :} on a donc $\phi(0) = \phi(a) = 0$ et $$ \forall x \in \qty[0,a], \dv[2]{\phi}{x} + \frac{2m}{\hbar^2} E \phi(x) = 0$$

C'est une équation d'OH avec $K^2 = \frac{2mE}{h}$. Avec les conditions aux limites, $K$ est quantifié et finalement : $$\phi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\qty(\frac{n \pi x}{L})$$

La quantification sur $K$ impose une quantification sur $E$ : $$E_n = \frac{\pi^2 h^2}{2 m L^2} n^2, \qq{avec} n \in \mathbb{N} $$

\textbf{Analogie avec la corde de Melde :} Ca se voit avec des dessins de $\phi$ et de $\abs{\psi}^2$.

Plus formellement, 

\begin{tabular}{l|c|c}
    & Corde de Melde & Fonction d'onde \\
    \hline 
    Solution stationnaire & $y(x,t) = f(x) g(t)$ & $\psi(x,t) = \phi(x) e^{- i \omega t}$ \\
    Equation d'onde & D'alembert $\implies f'' + kf = 0$ & $\phi'' + K \phi = 0$ \\
    Vecteur d'onde & $k = \omega/c$ & $K = \frac{2 m E}{\hbar^2} = \frac{2 m \omega}{\hbar}$ \\
    Conditions aux limites & $f(0) = f(L) = 0$ & $\phi(0) = \phi(a) = 0$ \\
    Quantification & $k_n = \frac{n \pi}{L}$ & $K_n = \frac{n \pi}{a}$
\end{tabular}

Insister sur l'aspect ondulatoire.

\section*{Conclusion}

Description en terme de fonction d'onde qui rend bien compte des observations, et qui permet de retrouver des comportements cohérents avec les situations classiques. Le comportement ondulatoire ne s'arrête pas là, on peut aussi observer d'autres types d'onde (les ondes évanescentes dans l'effet tunnel), et observer des phénomènes de transmission et réflexion de densité de probabilité.

\end{document}
