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\newcommand{\important}[1]{\begin{center}\fbox{
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\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Leçon de physique 43  &   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{Evolution temporelle d'un système quantique à deux niveaux}\\[-0,3cm]
\HRule \\

\normalsize

\end{center} 

\section*{Niveau} L3

\section*{Commentaires du jury}

\begin{itemize}
    \item 2017 : Il est intéressant que les candidats s’appuient sur un exemple de système quantique à deux niveaux d’énergie pour construire cette leçon.
    \item 2015 : Il est étonnant de voir cette leçon s’appuyer sur les états stationnaires sans aucun élément de justification. L’évolution d’un système quantique en régime forcé est trop souvent totalement négligée. Jusqu’en 2014, le titre était : Oscillateurs à deux degrés de liberté en mécanique classique et en mécanique quantique
    \item 2009, 2010 : Le phénomène de battement (comme son analogue quantique) est au coeur de la leçon.
    \item 2005 : La notion de mode propre doit être parfaitement maîtrisée et définie avec précision.
    \item 2000 : Bien que couramment utilisé comme exemple de système quantique à deux niveaux, l’inversion de l’ammoniac est un exemple délicat, car le terme de couplage y est difficile à interpréter physiquement. On peut trouver d’autres systèmes à deux niveaux, plus simples à présenter
\end{itemize}

\section*{Pré-requis}
\begin{itemize}
    \item Équation de Schrödinger
    \item Puits de potentiel,effet tunnel
    \item Formalisme matriciel
    \item Interaction diplole champ
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item \href{https://www.youtube.com/watch?v=JZjEWDFcF7w}{Inversion ammoniac}
    \item Basedevant page 92
    \item Le Bellac page 156
\end{itemize}


\tableofcontents

\section*{Introduction}
En physique il faut trouver tous les états, souvent on peut se limiter à deux.

\textbf{Pertinence du système à 2 niveau}
Plus généralement, la pertinence de l’étude à deux niveaux est qu’elle s’applique réellement à des systèmes possédant réellement 2 niveaux comme le spin 1/2 ou la polarisation de la lumière (donc ca existe), mais aux systèmes plu scomplexes possédant un grand nombre de niveau d’énergie mais dont la dynamique est dominée par deux niveaux d’énergie, par exemple l’état fondamental et le premier état excité (si les autres niveaux d’énergie sont beaucoup plus haut) ou notamment deux niveaux interagissant avec un laser réglé à la fréquence de transition.

L'objectif de ce cours, en plus des aspects théoriques qui nous servirons dans d'autres problèmes, et d'expliquer le fonctionnement d'un MASER : Microwave ampli-fication by stimulated emission of radiation. Il a été inventé en 1951 par Townes, pour lequel il a reçu le prix Nobelen 1964. C’est un dispositif permettant d’émettre un faisceau cohérent de micro-ondes, analogue du laser dans le do-maine micro-ondes. Tout comme le LASER, il y a deux étapes essentielles : inversion de population et émission stimulée.

\section{Inversion de la molécule d'ammoniac}

\subsection{Modélisation}

La molécule d'ammoniac. 

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width =0.5\textwidth]{images/amoniac.PNG}
    \caption{Amoniac}
\end{figure}

Cette molécule à plusieurs degrés de liberté :

\begin{itemize}
\item Translation
\item Rotation $\simeq 10^{-3}$eV
\item Vibration $\simeq 10^{-1}$eV
\end{itemize}
On considère la molécule dans son état fondamentale. La géométrie piramydale fait que même si on ignore tous les degrès de liberté cité il reste encore deux configurations symétrique l'une de l'autre par réflexion $2A simeq 10^{-4}$eV. Ces deux configurations ne sont pas équivalentes car à température ambiante, les niveaux de rotation de la molécule autour de son axe de symétrie sont excités ?

On voit qu'il y a séparation des échelles des niveaux d'énergie ce qui nous permet de considérer uniquement la symétrie par rapport au plan.

Diagramme d'énergie très séparé donc on peut considéré que l'on a un système à deux niveaux.
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width =0.5\textwidth]{images/model.PNG}
    \caption{Modèle du potentiel de l'Amoniac}
\end{figure}

On considère par exemple, l'atome d'azote fixe et on observe la position du plan des hydrogène repère par $x$
Ordre de grandeur : $V_0 = 0.25eV$, $b= 0.4$angstrom.

\subsection{Modes propres}
Potentiel en forme de nouveau puits avec au centre $V_0\simeq 0.25$ eV. Ce potentiel est pair et indépendant du temps

On considère d'abord que la molécule ne peut pas passer d'un coté à l'autre. Ainsi c'est presque comme si on avait 2 puits infini. On note alors $\ket{\psi_G}$ et $\ket{\psi_D}$ La fonction d'onde dans le puits de gauche et de droite. En vrai comme le puit est semi-infini d'un coté, la fonction d'onde déborde (on montre la première et la dernière image) : 

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width =0.5\textwidth]{images/evolution.PNG}
    \caption{Evolution}
\end{figure}
On suppose donc que $\braket{\psi_G}{\psi_D} =0$ Le problème est symétrique donc à priori ils ont mêmes énergie aussi le hamitonien qui décrit le système total s'écrit dans la base $\ket{\psi_G}$ et $\ket{\psi_D}$: 
$$H_0 = \begin{pmatrix}
E_0&0\\
0&E_0\\
\end{pmatrix}$$ 

Ce que ce formalisme des matrices représentes c'est simplement une représentation du problème de l'équation de Schrodinger stationnaire mais décomposer sur une base de solution. 

Pour prévoir l'évolution du système on décompose alors : 
$$\ket{\psi} = a(t)\ket{\psi_G}+ b(t)\ket{\psi_D}$$

L'équation de Schrodinger est alors : 
$$i\hbar \pdv{}{t}\ket\psi = H_0\ket\psi$$

Ainsi la probabilité de présence dans chaque puit ne change jamais $\abs{a(t)}^2 = \abs{a_0}^2$ de même pour $b$. C'est normal, on a dit que les deux puits ne s'influençaient pas. Mais en réalité, ce n'est pas vrai. Il y a un coupplage entre les deux état. La molécule d'ammoniac peut passer d'une configuration à l'autre par effet tunnel. Aussi le hamiltonien qui décrit notre système dois être modifié (on considère toujours que $\ket{\psi_G}$ et $\ket{\psi_D}$ sont une base) : 

$$H_0 = \begin{pmatrix}
E_0&-A\\
-A&E_0\\
\end{pmatrix}$$ 

Ce terme énergétique A traduit le passage possible d’un état à l’autre et sa valeur indique si le tunneling est favorisé ou non (A= 0est le cas où le tunneling est impossible). Typiquement on a $2A\simeq 10^{-4}$eV,ce qui est très faible (à comparer avec les 0.025 eV de l’énergie thermique), ce qui veut dire qu’il est assez difficile de tunneler.


Maintenant qu'il y a du couplage, c'est plus difficile parce que l'on a un couplage entre ce qu'il se passe à gauche et à droite. Heureusement on peut diagonaliser cette matrice. En fait ce que cela revient à faire c'est à trouver une nouvelle base, c'est à dire une nouvelle représentation des états possible qui respecte mieux notre géométrie. 

on introduit alors $\ket{\psi_A}$ et $\ket{\psi_S}$ :
\begin{align*}
    \ket{\psi_S} =& \frac{1}{\sqrt{2}}\qty(\ket{\psi_G}+\ket{\psi_D})\\
    \ket{\psi_A} =& \frac{1}{\sqrt{2}}\qty(\ket{\psi_G}-\ket{\psi_D})\\
\end{align*}

Dans cette nouvelle base le hamiltonien s'écrit  : 

$$H = \begin{pmatrix}
E_0-A&0\\
0&E_0+A\\
\end{pmatrix}$$ 


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width =0.5\textwidth]{images/symant.PNG}
    \caption{Fonction d'onde symétrique et antisymétrique}
\end{figure}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width =0.5\textwidth]{images/degenerscence.PNG}
    \caption{Dégénérescence}
\end{figure}
\textbf{Remarques :}
\begin{itemize}
    \item On remarque qu'il y a maintenant deux niveaux d'énergies distincts. Dont l'un est plus favorable
    \item Ici, on ne perds pas ou gagne de l'information, on se place simplement dans une base, c'est à dire une représentation qui simplifient nos calculs. Mais on peut très bien représenter le premier cas avec la base symétrique et antisymétrique ou inversement
    \item Le fait que les états puissent tunneler, ça créer des ondes évanescentes dans la zone intermédiaire, donc la particule est légèrement moins confinée, donc $E_0$ devient $E'_0$< $E_0$
\end{itemize}


\textbf{Deuxième approche (Julie):}
La fonction d'onde de la molécule vérifie l'équation de Schrödinger stationnaire :
$$\dv[2]{\psi}{x}+\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}=0$$


On a déjà fait le calcul avec les conditions aux bords : Continuité de $\psi$ et continuité de la dérivé sauf pour les divergence infini.
On projette?

\vspace{0.4cm}
\begin{itemize}
    \item Région G : $\psi(x) = \pm\lambda \sin(b+\frac{a}{2}+x)$
    \item Région M : $\psi(x)= \left\{
    \begin{array}{ll}
       \mu\text{cosh}\qty(Kx)  & \mbox{Solution symétrique}\\
       \mu\text{sinh}\qty(Kx)& \mbox{Solution antisymétrique}
    \end{array}
\right.$
\item Région D :  $\psi(x) = \pm\lambda \sin(-b-\frac{a}{2}+x)$
\end{itemize}
\vspace{0.4cm}
On observe deux types de solutions :
\begin{itemize}
\item Symétrique $\ket{\psi_S}$ d'énergie $E_0-A$
\item Antisymétrique $\ket{\psi_A}$ d'énergie $E_0+A$
\end{itemize}
Il y a levé de dégénérescence et abaissement de l'énergie moyenne.\\
On a diagonaliser le hamiltonien
$$H = \begin{pmatrix}
E_0-A&0\\
0&E_0+A\\
\end{pmatrix}$$ 

\subsection{Évolution temporelle libre}

Dans cette base, on regarde l'évolution temporelle de $\psi = \begin{pmatrix}
a(t)\\
b(t)\\
\end{pmatrix}$:
\begin{equation}
i\hbar \pdv{\psi}{t} = H\psi
\end{equation}

On a alors le système d'équation

$$\left\{ 
\begin{array}{ll}
     i \hbar \dot a &= (E_0 - A) a  \\
     i \hbar \dot b &= (E_0 + A) b 
\end{array}
\right.$$

Les équations sont découplées grâce à la diagonalisation du hamiltonien.

on trouve : 
\begin{equation}
\psi = \begin{pmatrix}
a(0)e^{-i\frac{E_0-A}{\hbar}t}\\
b(0)e^{-i\frac{E_0+A}{\hbar}t}\\
\end{pmatrix} 
\end{equation}
On note la pulsation de Bohr : 
$\omega_0 = \frac{2A}{\hbar}$

On peut toujours écrire les fonction d'onde droite et gauche en fonction de symétrique et antisymétrique.

Le passage se fait avec : 

$$\left\{ 
\begin{array}{ll}
     \ket{D} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \qty(\ket{\psi_A} + \ket{\psi_S})  \\
     \ket{G} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \qty(\ket{\psi_A} - \ket{\psi_S})
\end{array}
\right.$$

Si à $t=0$ $\ket{\psi (0)} = \ket{D}$ on trouve que la probabilité d'être dans l'état gauche est :
$$P_G = \braket{\psi}{G} = \sin^2(\frac{\omega_0t}{2})$$

Donc on est dans l'état $\ket{G}$ tous les $\frac{(2n+1)\pi}{\omega_0}$
On a alors une oscillation de fréquence 24Ghz ($10^{10}$oscillations par secondes). Ce sont des ondes centimétriques.


\href{http://cdrom2016.agregation-physique.org/index.php/programmes-informatiques/programme-python}{Banque de programme python}

Ces oscillations sont spontanées. Que se passe-t'il si on applique un forçage?

\section{Évolution temporelle forcée et application au MASER}

\subsection{Forçage statique}
Pour le vecteur qui va nous donner le moment dipolaire. L'existence du moment dipolaire repose sur la différence d'électronégativité entre les atomes d'hydrogène et d'azote. On introduit pour cela l’opérateur X qui donne la position de l’atome d’azote dans la molécule selon la définition suivante : si le résultat de la mesure est +1 alors l’atome d’azote est dans le puits droit, et si le résultat de la mesure est -1 alors l’atome est dans le puits gauche.
Dans la base DG
$$X = \begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1\\
\end{pmatrix}_{\ket{D}, \ket{G}}$$ 
dans la base symétrique et antisymétrique : 
$$X = \begin{pmatrix}
0&1\\
1&0\\
\end{pmatrix}_{\ket{S}, \ket{A}}$$ 

L'opérateur moment dipolaire s'écrit alors : $$D = d \cdot X$$

L'interaction avec le champ s'écrit alors avec $\eta = d\epsilon$ : 
$$W = -\vec{\epsilon}\vec{D}$$
$$W = \begin{pmatrix}
0&-\eta\\
-\eta&0\\
\end{pmatrix} $$
Donc 
$$H = \begin{pmatrix}
E_0-A&-\eta\\
-\eta&E_0+A\\
\end{pmatrix} $$

On peut alors séparer les états. La diagonalisation du hamiltonien donne une nouvelle base  $(\psi_+, \psi_-)$, d'énergies : $$E_\pm = E_0 \pm \qty(A\pm\sqrt{A^2 + \eta^2})$$

Les états $(\ket{\psi_-})$ et $\ket{\psi_+}$ ont pour coordonnées dans la base $\ket{S}, \ket{A}$ : 

\begin{align*}
    \ket{\psi_-} &= \begin{pmatrix}
    \cos \qty(\frac{\eta}{2A}) \\
    \sin \qty(\frac{\eta}{2A}) \\
    \end{pmatrix} \\
    \ket{\psi_+} &= \begin{pmatrix}
    -\sin \qty(\frac{\eta}{2A}) \\
    \cos \qty(\frac{\eta}{2A}) \\
    \end{pmatrix}
\end{align*}

La représentation du diagramme énergétique associé en fonction du champ appliqué donne la figure \ref{prout} :

\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/diag_energ_statique.png}
    \caption{Diagramme énergétique en présence d'un champ statique.}
    \label{prout}
\end{figure}

Plus le champ appliqué est fort, plus on favorise la configuration de la molécule avec un dipôle aligné avec le champ électrique. Lorsque le champ devient grand, on retrouve les états droite et gauche de tout à l'heure.

\textbf{Champ faible :} lorsque le champ est faible, on mène les calculs à l'ordre le plus bas : 

$$\ket{\psi_-} \approx \ket{\psi_S} \qq{et} \ket{\psi_+} \approx \ket{\psi_A} \qq{;} E_\pm \approx E_0 \mp\qty(A + \frac{d_0 \epsilon^2}{2A})$$

Tout se passe comme si les états symétriques étaient soumis à un potentiel extérieur $U_-$ et les états antisymétriques à un potentiel extérieur $U_+$ tel que : $$U_\pm = \pm \frac{d_0^2 \epsilon^2}{2A}$$

Avec un champ non uniforme, cela se traduit par une force : $$\vec F_\pm = \mp \grad \qty(\frac{d_0^2 \epsilon^2}{2A})$$

Les états antisymétriques vont alors se concentrer dans les zones de champ intense,et les états symétriques dans les zones de champ faible. En faisant interagir un faisceau de molécules d'ammoniac avec un champ extérieur faible, il est possible de sélectionner un état. En pratique, on isole les états antisymétrique de cette manière : les états thermodynamiquement défavorisés peuvent être isolé, ce qui constitue une inversion de population.

\subsection{Forçage oscillant et émission stimulée}

\textbf{Position du problème :} en se désexcitant, les molécules d'ammoniac vont toutes émettre un photon de même fréquence : ce peut être une source de rayonnement EM intéressante. Mais le temps caractéristique de la désexcitation spontanée est de l'ordre du mois. C'est inutilisable. On va contourner l'obstacle en appliquant un champ électrique variable dans le temps, oscillant à une fréquence proche de la fréquence d'émission.

\textbf{Mise en équations :} on prend un champ oscillant de la forme : $ \mathcal{E} = \mathcal{E}_0 \cos \omega t$, selon l'axe de révolution de la molécule. Le hamiltonien s'écrit :

 $$H(t) = \begin{pmatrix}
E_0-A&-\eta \cos(\omega t)\\
-\eta \cos(\omega t)&E_0+A\\
\end{pmatrix} $$


Cette fois-ci, on utilise l'équation (la vraie) de Schrödinger car le couplage dépend du temps. On se place dans la base $(\ket{S}, \ket{A})$, en écrivant : $$\ket{\psi(t)} = \begin{pmatrix} a(t) \\ b(t) \end{pmatrix}$$
 
On en déduit l'équation différentielle sur les coefficients $a$ et $b$: 

$$\left\{ \begin{array}{ll}
     i \hbar \dot a &= (E_0 - A) a - \eta b \cos(\omega t)  \\
     i \hbar \dot b &= (E_0 - A) b - \eta a \cos(\omega t)
\end{array}
\right.$$

On effectue le changement de variable : $$a(t) = e^{-i(E_0 - A)t/\hbar} \alpha(t) \qq{et} b(t) = e^{-i(E_0 + A)t/\hbar} \beta(t)$$
 
Qui mène au système d'équations suivant : 
$$\left\{ \begin{array}{ll}
     2 i \dot \alpha  &= - \omega_1 \beta \qty(e^{i(\omega - \omega_0)t} e^{-i(\omega + \omega_0)t})  \\
     2 i \dot \beta  &= - \omega_1 \alpha \qty(e^{-i(\omega - \omega_0)t} e^{i(\omega + \omega_0)t})
\end{array}
\right.$$
 
Où l'on a posé : $\omega_0 = 2A/\hbar$ et $\omega_1 = \eta/\hbar = d \mathcal{E}_0/\hbar$.

La résolution analytique du système est impossible, mais on peut donner une solution approchée lorsque $\omega \approx \omega_0$. On néglige les termes qui oscillent rapidement (donc avec des $\omega + \omega_0$).

On obtient alors (après calculs) la probabilité de mesurer l'état symétrique en partant de l'état antisymétrique à $t = 0$ :

$$P_{A \rightarrow S} (t) \approx \frac{\omega_1^2}{(\omega - \omega_0)^2 +\omega_1^2} \sin^2 \qty(\sqrt{(\omega - \omega_0)^2 + \omega_1^2} \frac{t}{2})$$

\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .7 \textwidth]{images/proba_transition.png}
    \caption{Probabilité de transition au cours du temps, et en fonction de la fréquence.}
\end{figure}

On voit que la proba de trouver un état préparé dans l'état antisymétrique à $t=0$ à l'état symétrique à $t$ oscille au cours du temps à la pulsation $\Omega$ et l'amplitude $P_{max}$ telles que : 

\begin{align*}
    \Omega &= \frac{1}{2} \sqrt{(\omega - \omega_0)^2 + \omega_1^2} \\
    P_{max} &= frac{\omega_1^2}{(\omega - \omega_0)^2 +\omega_1^2}
\end{align*}
 
Ces oscillations de la probabilité sont appelées oscillations de Rabi, et $\Omega$ est la pulsation de Rabi.
 
Code où on observe que la résonance est piqué mais que plus on est piqué et plus la période est grande.
 
On peut passer d'une transition sur un temps caractéristique de 1mois à 70ns pour $\mathcal{E}\simeq 1$kV.m$^{-1}$
C'est de l'émission stimulée.
 
\subsection{MASER et application}
Schéma de principe : 

\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .8\textwidth]{images/schema_MASER.png}
    \caption{Principe de fonctionnement d'un MASER}
\end{figure}

On fait rentrer un jet d'ammoniac dans une cavité qui sépare les états symétriques et antisymétriques (application d'un champ constant). Les états A est envoyé dans une cavité dans laquelle règne un champ électrique oscillant qui induit l'émission stimulée. La longueur de la cavité est telle que le le faisceau de sortie est constitué uniquement d'états S ($\frac{L}{v}=(2n+1)T$). La fréquence des photons émis est de 24 GHz. On récupère un faisceau monochromatique : c'est l'effet MASER.

Une caractéristique du MASER est que le spectre est très piqué. $\frac{\delta \omega}{\omega}=10^{-7}$
De tels masers mais avecd’autres molcéules que NH3 furent utilisés en 1965 par A. Penzias et R. W. Wilson lorsqu’il firent la découverte durayonnement fossile à 3 Kelvin, qui constitue l’une des preuves observationnelles les plus nettes du Big Bang.
\section*{Conclusion}

Application : horloge atomique, jet de $^{133}Cs$
$$\nu = 9162631770 Hz$$
Précision$10^{-15}$ soit une seconde de décalage tout les 300000ans. 

Autre application : amplification de signaux très faibles en astronomie, PN 1965 pour Penzias et Wilson pour l'observation du rayonnement fossile.
Leçon de Pascal.
\textbf{Bonus :} électrode quadrupolaire pour séparer les molécules.

\section{Remarque}
Autre propriété du maser : longueur de cohérence.\\
Comment on fait l'inversion de population dans un Laser ? Pour le Lazer on utilise 4 niveau. Or la désexitation entre E1 et E0 est très lente devant E2 et E1, donc on peut avoir E2 beaucoup plus peuplé.\\
Champ quadripolaire  : défocalise les $\ket{\psi_S}$\\
Rabi libre = Ramsey.

\end{document}