\documentclass{article}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{color}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{physics}
\usepackage{multirow}
\usepackage{babel}
\usepackage{upgreek}
\usepackage{wrapfig}
%\usepackage{chemist}
\bibliographystyle{unsrt}
\usepackage[textfont={it},font=small]{caption}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{tcolorbox}
\newcommand{\hsp}{\hspace{20pt}}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.5mm}}
\usepackage{amssymb}

\newcommand{\important}[1]{\begin{center}\fbox{
\vspace{0.1cm}
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
#1
\end{minipage}
\vspace{0.1cm}
}\end{center}
}

\newcommand{\remarque}[2]{%
\begin{center}
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\fontfamily{cmss} \selectfont \vspace{0.1cm} %\small
\textbf{#1}
\begin{description}
\item[] \noindent #2
\end{description}
\end{minipage}
\end{center}\vspace{0.1cm}
}


\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Leçon de physique 48 &   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{Phénomène de résonance dans différents domaine de la physique}\\[-0,3cm]
\HRule \\
\end{center} 

\section*{Niveau} 

\section*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 2015 : Présenter l’exemple célèbre du pont de Tacoma n’est pas pertinent, sauf s’il s’agit d’effectuer une critique d’une interprétation erronée très répandue
    \item 2010 : L’analyse du seul circuit RLC est très insuffisante pour cette leçon. Le phénomène de résonance ne se limite pas aux oscillateurs à un degré de liberté.
    \item 2008, 2007 : Le jury regrette que les cavités résonnantes soient rarement présentées.
    \item 2006 : L’aspect énergétique de la résonance est ignoré la plupart du temps. Trop souvent, la notion même d erésonance n’est liée qu’à l’existence d’un maximum d’amplitude. Les applications dans le domaine microscopiquesont rarement abordées.
    \item 2003 : La leçon porte sur l’étude de phénomènes de résonance dans différents domaines de la physique. Le candidat ne doit pas se limiter à l’électricité et à la mécanique. Il doit prendre soin de dégager les propriétés communes aux différents exemples présentés. Quel lien y a-t-il entre le circuit RLC et la résonance du sodium ? Jusqu’en 2001, le titre était : Phénomènes de résonance dans les systèmes linéaires. Exemples.
    \item 1998 : Il est bien entendu nécessaire d’insister sur la généralité du phénomène de résonance en physique et de ne pas cantonner l’exposé à un domaine unique (mécanique ou électricité). Les relations entre le comportement des systèmes forcés et les propriétés des mêmes systèmes, libres, doivent être soulignées, de même que les aspects énergétiques des phénomènes de résonance.
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item \href{https://www.youtube.com/watch?v=1PsGZq5sLrw}{Vidéo POV corde de Melde}
\end{itemize}

\section*{pré-requis}
\begin{itemize}
    \item Electrocinétique
    \item Mécanique
    \item Interférences
\end{itemize}


\section*{Expériences}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\tableofcontents

\section*{Introduction}

Pour introduire la résonnance on peut parler de l'exemple de la balançoire (pas ouf...). Lorsqu'une personne est sur une balançoire et que quelqu'un la pousse, alors l'oppérateur doit pousser de manière régulière en accord avec la pulsation d'oscillation de la personne sur la balançoire. En effet si l'opérateur pousse quand la balançoire et de l'autre côté cela ne sert à rien ou si elle pousse trop top quand la balançoire arrive elle va devoir travailler plus. Or pousser la balançoire, c'est à dire exciter de manière périodique notre système se traduit en une augmentation de l'amplitude des oscillations. C'est la résonance. 

\textbf{Définition : }Phénomène se manifestant lors de l’excitation d’un système à une fréquence $\omega$ proche d’une des fréquences propres $\omega_0$ du système, et se traduisant par une réponse de très forte amplitude.

On se restreint au systèmes linéaires

\section{Caractériser une résonance : l'oscillateur harmonique amorti}
\subsection{Modélisation et analogie}

On considère une circuit RLC (on fait un schéma). La lois des mailles nous permet d'écrire en utilisant $i=\dv{q}{t}$: 
$$e(t) = u_R+u_L+u_C \implies e = R\dv{q}{t}+L\dv[2]{q}{t}+\frac{1}{C}q$$

On peut réécrire cette équation sous une forme dites canonique : 
$$\dv[2]{q}{t} +\frac{\omega_0}{Q}\dv{q}{t}+\omega_0^2 q = e_2(t) \qq{avec} \omega_0^2=\frac{1}{LC} \qq{et} Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} $$

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{images/Analogie.PNG}
    \caption{Analogie}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/masseressort.png}
    \caption{Système masse ressort amortisseur}
\end{figure}

Ici on va s'interesser à des excitations sinusoïdale : $e = e_0\cos(\omega t)$

Ici on a pu faire une analogie mécanique simple, mais ce type d'équation va se retrouver dans beaucoup d'autres systèmes (Pendule à faible amplitude ou autre). Il faut insister sur deux choses, c'est une équation qui décrit plusieurs systèmes, donc on ne s'intéresse pas uniquement au circuit RLC. De plus les idées pour caractériser une résonance seront les même, même si le système est légèrement différents.

\subsection{Résonnance en tension}

L'équation est une équation différentielle linéaire à coefficient constant, on peut donc utiliser un formalisme complexe, c'est à dire se placer dans l'espace de Fourier pour étudier le régime sinusoïdale forcé. 

$$\undeline{e_c} =\undeline{E_c}e^{j\omega t} \qq{avec} \undeline{E_c} = E_ce^{j\phi}\qq{tel que} e_c(t) = Re(\undeline{e_c}) $$
On utilise cette notation pour toutes les grandeurs. On commence par s'intéresser à ce qu'il se passe en sortie sur $C$.

En notation complexe, l'équation précédente s'écrit : 
$$(j\omega)^2 q +\frac{Rj\omega}{L}q+\frac{1}{LC}q = \frac{e}{L}$$
Nous on s'interesse à ce qu'il se passe aux bornes du condensateur. On en a donc $u = \frac{q}{C}$. Donc on peut exprimer $u$ : 

$$u=\frac{e}{1+j\omega RC+LC(j\omega)^2}$$

On définit alors la fonction de transfert comme $H = \frac{u}{e} =\frac{1}{1+j\omega RC+LC(j\omega)^2}  = \frac{1}{1+j\frac{\omega}{Q\omega_0}-\qty(\frac{\omega}{\omega_0})^2}$


On s'intéresse à déterminer la pulsation telle qu'il y ait un maximum de l'amplitude. On réécrit la fonction de transfert en utilisant la pulsation réduite $x=\frac{\omega}{\omega_0}$ 
$$H = \frac{1}{1+jQx-x^2}\implies \abs{H} = \frac{1}{\sqrt{\qty(1-x^2)^2+\qty(\frac{x}{Q})^2}}$$
On cherche à trouver la résonance, donc à amplitude de l'excitation fixé on veux que la norme de la fonction de transfert soit maximale. Ceci ce traduit par un dénominateur minimale on pose $f(x)= \qty(1-x^2)^2+\qty(\frac{x}{Q})^2$ :
$$-4(1-x^2)x+2\frac{x}{Q^2} = 0\implies x^2 = 1-\frac{1}{2Q^2}\qq{ou} x=0 $$

On a alors 2 cas : 
\begin{itemize}
    \item $Q\leq 1/\sqrt{2}$, alors $f'\geq 0$, on en déduit que  $\abs{H}$ est décroissant et que maximum est pour $x=0$... Pas de résonnance.
    \item $Q> 1/\sqrt{2}$, Alors $\abs{H}$ est maximal en $x=\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}$
\end{itemize}

On a donc trouver une condition de résonnance. Elle correspond à une dissipation assez faible. Aussi on a la pulsation de résonnance : 
$$\omega_c=\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}$$


si $Q\rightarrow +\infty$, on retrouve un oscillateur harmonique. Mais si la dissipation est absente, il y a divergence à la résonance : la fonction de transfert a un pôle. Physiquement, ce sont la dissipation et les non-linéarités qui empêchent la divergence.
\begin{tcolorbox}
Faire le diagramme de bode d'un circuit RLC. 
Il y a également un code.
\end{tcolorbox}

\textbf{Application à la voiture : } Pour le confort des passager, on veux qu'il n'y ait pas de résonnance de l'ensemble pneu amortisseur voiture sous l'action d'une route accidenté que l'on modélisera periodiquement.
M= $10^3$kg, k= $10^5$N/m,$\alpha = 10^4kg/s$ suivant les voitures. Il y a 4 amortisseurs dans une voiture, donc la masse apparente est M/4: 
$Q = \frac{\sqrt{kM/4}}{\alpha} \simeq 0.5<0.7=\frac{1}{\sqrt{2}}$

On observe qu'à la résonnance il y a un déphasage de $\pi/2$


\subsection{Étude énergétique}

On peut se demander si cette résonance correspond à une transfert énergétique maximal.
Pour cela on repart de la loi des mailles en variables réelles et on multiplie par i : 
$$ei = Li\dv{i}{t}+Ri^2+Cu_c\dv{u_c}{t}$$

On reconnait alors les différents termes : 
\begin{itemize}
    \item $P_G = ei$Puissance fournit par le générateur
    \item $P_J = Ri^2$ Puissance dissipé par effet Joule dans la résistance
    \item  $P_L =Li\dv{i}{t} $ puissance reçu par la bobine
    \item  $P_C =Cu_c\dv{u_c}{t} $ puissance reçu par la le condensateur
\end{itemize}
Or en régime sinusoïdale forcé on a $<u_c\dv{u_c}{t}> \propto<\sin(\omega t)\cos(\omega t)> =0 $ Il n'y a pas de puissance transféré en moyenne dans le condensateur. On aurait pu le voir directement en observant la phase. Il y avait à la résonance en tension un déphasage de $\pi/2$. Il en va de même dans la bobine. 

On en déduit : $$<P_G> =<P_J> $$ Toute la puissance fournie est dissipé dans la résistance par effet joule.

On peut calculer cette puissance. Pour cela on a besoin de la fonction de transfert en intensité : 
$$i = jC\omega u_c\implies i = \frac{e}{R}\frac{1}{1+jQ(x-\frac{1}{x})}$$
C'est un passe bande d'ordre 2.
On a alors : 

\begin{align*}
    <P_J> &=<Ri^2>\\
    =&<RI^2\cos^2(\omega t+\phi)>\\
    =&R\frac{I^2}{2}\\
    =& \frac{E^2}{2R}\frac{1}{1+Q^2\qty(x-\frac{1}{x})^2} 
\end{align*}
Donc il y a résonnance en puissance, c'est à dire transfert maximal de puissance quand il y a un la résonance en $i$. Ici on observe que cela se produit pour $x=1$ c'est à dire pour $\omega = \omega_0$ C'est toujours le cas.

\textbf{Il y a transfert maximal d'énergie à la fréquence propre du système}

\subsection{Acuité}
Un dernier élément non abordé est la finesse de la résonance : par exemple ici, l'amplitude de l'intensité est elle grande sur une large gamme de fréquence ?
On continue sur l'intensité, on rappel 
$$ i = \frac{e}{R}\frac{1}{1+jQ(x-\frac{1}{x})}$$
\begin{tcolorbox}
Code Bode RLC tout faire varier Q. on observe que plus Q est grand est plus la résonnace est piqué. On veux le retrouver par le calcul
\end{tcolorbox}

On cherche alors la bande $\Delta \omega$ tel que dans cette bande $I(\omega)\geq\frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$ (pourquoi ce critère ? Parce que cela correspond à une énergie divisé par 2.

On cherche donc les $x$ tels que  :
$$\frac{1}{1+Q^2\qty(x-\frac{1}{x})^2} = \frac{1}{2}\implies Q(x-\frac{1}{x}) = \pm 1\implies x^2 \pm \frac{1}{Q}x-1=0$$

$$x=\pm\frac{1}{2Q}\pm\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{Q^2}+4}$$

On ne garde que les résultat positif c'est à dire tel que le second $\pm = +$. On en déduit : 
$$\Delta \omega = \omega_0\Delta x = \frac{\omega_0}{Q}$$

On appel acuité $ \frac{\omega_0}{\Delta \omega}$. Cela caractérise la finesse du pic. On en déduit que l'acuité correspond au facteur de qualité

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/cuite.PNG}
    \caption{Acuité}
\end{figure}

\section{Système à plusieurs degrés de liberté}
Les systèmes étudiés jusqu'à présent sont des systèmes à un degré de liberté. Les oscillations ne se produisent qu'à une seule fréquence déterminée par les paramètres du systèmes. 

\textbf{Exemple simple :} une masse reliée à un support fixe par un ressort, glissant sans frottement. C'est un oscillateur harmonique, il a une seule fréquence propre.

\subsection{Chaine de pendules}

Imaginons à présent que l'on couple 2 de ces oscillateurs à l'aide d'un ressort. 

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/Inkedpendules_couples_LI.jpg}
    \caption{Schéma et dessin des modes.}
\end{figure}

Les 2 masses ont une masse $m$ et les ressorts ont des constantes de raideur $k$. Les parois sont fixes. En forçant une des 2 masses avec un mouvement sinusoïdal, on obtient les équations du mouvement : 

$$\left\{ \begin{array}{cl}
    \ddot \psi_1 + 2 \omega_0^2 \psi_1 - \omega_0^2 \psi_2 &= \frac{F_0}{m} \cos\omega t  \\
    \ddot \psi_2 + 2 \omega_0^2 \psi_2 - \omega_0^2 \psi_1 &= 0
\end{array}
\right.
$$

où l'on a posé $\omega^2 = k/m$. On pose $u = \psi_1 + \psi_2$ et $v = \psi_1 - \psi_2$ de sorte que :

$$\left\{ \begin{array}{cl}
    \ddot u + \omega_1^2 u &= \frac{F_0}{m} \cos \omega t  \\
    \ddot v + \omega_1^2 v &= \frac{F_0}{m} \cos \omega t 
\end{array}
\right.
$$

On a découplé les équations. On a posé $\omega_1^2 = \omega_0^2$ et $\omega_2^2 = 3 \omega_0^2$ qui sont les 2 pulsations caractéristiques de notre système.

On obtient :

$$\left\{ \begin{array}{cl}
     u &= \frac{F_0}{m\qty(\omega_1^2- \omega_0^2)} \cos \omega t  \\
    v &= \frac{F_0}{m\qty(\omega_1^2- \omega_2^2)} \cos \omega t 
\end{array}
\right.
$$

On remonte aux amplitudes de $\psi_i = A_i(\omega) \cos \omega t$ :

$$\left\{ \begin{array}{cl}
     A_1(\omega) &= \frac{F_0}{2m} \qty(\frac{1}{\omega_1^2 - \omega^2} + \frac{1}{\omega_2^2 - \omega^2} ) \\
     A_2(\omega) &= \frac{F_0}{2m} \qty(\frac{1}{\omega_1^2 - \omega^2} - \frac{1}{\omega_2^2 - \omega^2} )
\end{array}
\right.
$$

On a donc bien une résonance en amplitude pour $\omega = \omega_i$.

\remarque{On a augmenté le nombre de degrés de liberté (on est passé de une position à 2 positions), et le nombre de fréquences de résonance a augmenté de la même quantité. De manière générale, un système de N oscillateurs couplés a N fréquences de résonances.}


\subsection{Corde de Melde}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/melde.png}
    \caption{Schéma de la corde de Melde.}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

Plaçons nous alors dans un cas limite : si on a une infinité de positions. Le cas correspondant est la corde de Melde.

\textbf{Hypothèses du modèle :}
\begin{itemize}
    \item Le poids, la raideur de la corde et les dissipations (frottements avec l'air et efforts internes) négligeagble devant la tension de la corde.
    \item Petits déplacements transverses de la corde et petites variations de tensions en conséquence.
    \item Les déformations restent dans le plan de vibration de la source.
\end{itemize}

\textbf{Mise en équations :}

Le PFD appliqué à un tronçon élémentaire $\dd x$ de corde s'écrit :

$$\left\{ \begin{array}{cl}
     \mu \dd x \pdv[2]{x}{t} &= T(x + \dd x) \cos \theta \qty(x + \dd x) - T(x) \cos \theta (x) \\
     \mu \dd x \pdv[2]{y}{t} &= T(x + \dd x) \sin \theta \qty(x + \dd x) - T(x) \sin \theta (x) \\
\end{array}
\right.
$$

Pour des petites déformations verticales, $x = $ constante et $\theta \ll 1$. On se place au premier ordre d'approximation, et on obtient :

$$\left\{ \begin{array}{cl}
     \pdv{T}{x} &= 0 \\
     \mu \pdv[2]{y}{t} &= T \pdv{\theta}{x} \\
\end{array}
\right.
$$

Or, $\tan \theta \approx \theta \approx \pdv{y}{x}$, d'où : $$\pdv[2]{y}{t} - c^2 \pdv[2]{y}{x} = 0$$

avec $c^2 = T/\mu$. On reconnaît une équation de d'Alembert. Les conditions aux limites s'écrivent : 

$$\left\{ \begin{array}{cl}
     y(x=0,t) &= y_0 \cos \omega t \\
     y(x = L,t) &= 0
\end{array}
\right.
$$

On cherche des solutions sous forme d'ondes stationnaires, de la forme $y(x,t) = f(x) g(t)$. La recherche de solutions oscillantes mène à : 

$$y(x,t) = y_0 \frac{\sin \qty(k (L-x))}{\sin kL} \cos \omega t
$$

Il y a divergence de l'amplitude pour $sin kL = 0$, ce qui implique : $$k_p = \frac{p \pi}{L} \qq{et} f_p = \frac{pc}{2L}, \qq{} p \in \mathbb{Z}$$

\textbf{Non divergence des oscillations :} le modèle n'est plus applicable lorsque les oscillations divergent, cas on ne peut plus mener les calculs au premier ordre.

\begin{tcolorbox}
Corde de Melde. Ou en vidéo : \href{https://youtu.be/ondUO1Cmw-s?t=7}{Ce lien.}
\end{tcolorbox}

Le nombre de fréquences de résonance est infini : le système est continu.


\subsubsection{autre méthodes}
\textbf{Hypothèse et observations}
\begin{itemize}
    \item Il n'y a pas de frottement fluide
    \item On note $r$ les coéfficient de réflexions ne bout de cordes que l'on considère égaux. On note qu'il ya un déphasage de $\pi$ à la réflexion sur la vidéo. On suppose $r$ réel mais négatif
    \item On note $a$l'amplitude l'excitation au niveau du pot vibrant.
    \item En régime établit, l'amplitude en un point $x$ de la corde résulte d'un la sommes de toute les ondes réfléchies. On note $A_i(x)$ leurs amplitude
    \item Il y a un déphasage du à la propagation $\phi= kx$
\end{itemize}
On a 
$$A(x) = ae^{-ikx}+are^{-ikL}e^{-ik(L-x)}+ar^2e^{-i2kL-ikx}+....$$
On en déduit, en séparant en pair et impair : 
\begin{align*}
    A(x) =& ae^{-ikx}\sum_n \qty(r^2e^{2ikL})^n+are^{-ik(2L-x)}\sum_n \qty(r^2e^{2ikL})^n\\
    =&a\frac{e^{-ikx}+re^{-ik(2L-x)}}{1-r^2e^{2ikL}}\\
\end{align*}
L'amplitude est donc $Re(A)$. Pour déterminer la résonance, on va s'intéresser au module de $A$ on pose $\phi  =2kL$:
\begin{align*}
    AA^*(x) =&\abs{a}^2 \frac{\qty(e^{-ikx}+re^{ikx-i\phi})\qty(e^{ikx}+re^{-ikx+i\phi})}{1-2r^2\cos(\phi)+r^2}\\
    =&\abs{a}^2\frac{1+re^{-2ikx+i\phi}+re^{2ikx-i\phi}+r^2}{(1-r^2)^2+4r^2\sin^2(\phi/2)}\\
    =&\abs{a}^2\frac{1+2r\cos(2kx-\phi)+r^2}{(1-r^2)^2+4r^2\sin^2(\phi/2)}\\
    =&\abs{a}^2\frac{(1+r)^2-4r\sin^2(kx-\phi/2)}{(1-r^2)^2+4r^2\sin^2(\phi/2)}\\
\end{align*}

Il y a donc résonance pour $\sin^2(\phi/2) = 0\implies \lambda_n = \frac{2L}{n}$

On a alors une amplitude qui fait des pics régulièrement espacées (comme pour le Fabry perrot). 
Ces pics ont une certaines largeurs : On peut définit un facteur de qualité pour définir la bande tel que $I\geq I_{max}/2$ : 
$$Q = \frac{f}{\Delta f} = \frac{n\pi\sqrt{rr'}}{1-rr'}= \frac{n\pi r}{1-r^2}$$
On observe qu'il dépend essentiellement de $r$ en effet c'est le paramètre qui quantifie nos pertes.

\textbf{On a ainsi montré que plus il y avait de degrès de liberté et plus il y avait de mode propre pouvant entrer en résonance.}
En faisant tendre le nombre de degrès de liberté vers l'infini en passant en continue, on observe que l'on prévoit un nombre infinie de résonance. Bien sûr ceci n'arrive pas en vrai et il y a des limites physique qui font qu'on ne pourra pas voir un nombre infini de mode
En fait ce que l'on a mis au jour ici c'est un mode de cavité



\section{Cavité résonnante}


On va aborder le concept de cavité résonante avec l'interféromètre de Fabry-Pérot.

\subsection{Analogie et cavité fabry perrot}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/fabry-perot.png}
    \caption{Schéma Fabry-Pérot (femto-phyisque)}
\end{figure}

Le fabry-Pérot est constitué de 2 lames parallèles. Mais en quoi ca diffère du Michelson? C'est comme un multi-Michelson, parce que les rayons font plusieurs allers-retour dans la cavité. A chaque réflexion, il y a un petit décalage donc on augmente le nombre d'ondes qui interfèrent. Cela aura pour effet d'augmenter la résolution des images obtenues : on a donc intérêt à avoir des miroirs très réfléchissants!

L'interféromètre est donc un interféromètre à N ondes. Il est conçu par Fabry et Pérot à la fin du XIX\ieme siècle. Typiquement, le coefficient de réflexion en énergie est de 99\%; la lame d'air fait quelques mm d'épaisseur.

\textit{Lien entre coef de réflexion/transmission en amplitude et en énergie : $R = r^2$ et $T = tt'$. On distingue $t$ et $t'$ pour le passage air-cavité et cavité air.}

\textbf{Figure d'interférence :} le schéma proposé ressemble à la situation du Michelson. Les rayons émergents sont parallèles, donc les franges sont localisées à l'infini. La figure d'interférence est constituée d'anneaux d'égale inclinaison.

\textbf{Analogie avec la corde de Melde :} Le forçage se fait par l'envoi d'une OEM dans la cavité. L'onde va subir des réflexions successives dans la cavité. On obtient le même comportement que pour la corde de Melde : dans le cas de la corde de Melde, une onde incidente est envoyée de l'origine, puis se réfléchit à l'extrémité. Au fil de quelques réflexions, une superposition d'ondes propagatives se met en place et donne des ondes stationnaires. Le déphasage entre deux rayons successivement réfléchis s'écrit $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \delta = \frac{4 \pi}{\lambda} e \cos i$. 
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{table}[htbp]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c}
         Corde de Melde& Cavité Fabry Pérot \\
         \hline
         Excitation du Pot vibrant $f$&Rayonnement incident $f$\\
         Amplitude $A$& Champ Électrique $\va E$\\
         Réflexion au bord $R = r^2$ &Réflexion aux miroirs $R=r^2$\\
         Longueur de la corde $L$& Épaisseur de la cavité $e$\\
         $\phi = 2kL$&$\phi = 2kne\cos(i)$\\
         Mode $n$&Ordre d'interférence $p$
    \end{tabular}
\end{table}



Un dessin permet de voir l'analogie. Attention toutefois, on ne travaille pas aux mêmes ordres de grandeur. Si les noeuds de la corde sont visibles et que la fréquence d'oscillations est de l'ordre de la dizaine de Hertz, pour une lumière verte de longueur d'onde $\lambda = 500nm$, les fréquences sont de l'ordre de $10^{14}$Hz. Si la cavité fait 1mm d'épaisseur, on est au mode 2000! Les coefficients d eréflexion sot difficiles à comparer, je ne sais pas combien ils valent pour la corde.

A quel moment a-t'on réellement une résonance? Il est nécessaire que la distance parcourue par la lumière dans la cavité soit un multiple entier de la longueur d'onde. Le même phénomène que pour la corde de Melde apparaît : c'est la condition d'interférences constructives.

\textbf{Remonter à la formule du FB :} on cherche la condition d'interférence constructive ; cela revient à chercher les ventres de l'amplitude. 

On maximise le numérateur de $\abs{A}$. Il faut donc que le sinus soit nul.(car on observe en sorti du Fabry Pérot). Cela donne l'amplitude $$AA^* = \frac{a^2 (1-r)^2}{(1-r^2)^2 + 4 r^2 \sin^2 \qty(\phi/2)}$$

On prend le coefficient de réflexion en puissance : $r^2 = R$. Alors $$\abs{A} = \frac{a^2}{1 + m \sin^2 \qty(\phi/2)}$$

avec $m = \frac{4R}{1-R^2}$.

\begin{tcolorbox}
Expérience du fabry pérot pour trouver le facteur de qualité du laser, voire montage spectroscopie. (On peut mesurer l'écart en fréquence de deux mode mais aussi le facteur de qualité)
\end{tcolorbox}
Le pouvoir de résolution est
$$PR = \frac{\lambda}{\Delta \lambda}=p\frac{\pi\sqrt{R}}{1-R} = p\mathcal{F} $$


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/fabry.PNG}
    \caption{finesse}
\end{figure}

\subsection{Applications}

Laser piou piou sélection de fréquence.



Verre anti reflet
Accoustique? ondes stationnaires dans les instruments à vent, cordes d'instruments (à cordes hihi).

\href{http://bupdoc.udppc.asso.fr/consultation/article-bup.php?ID_fiche=6111}{BUP 794} L’effet Larsen est un effet de résonance qui se produit lorsqu’on approche un microphone d’un hautparleur. Les deux sont en général relié par un amplificateur. Les bruits captés par le micro sont donc amplifiés, émis par le haut parleur puis recaptés par le micro, à nouveau amplifiés, etc... Si le micro est suffisamment proche du haut-parleur, le gain de l’amplificateur va pouvoir compenser les pertes entre haut-parleur et micro. Un bruit strident est alors émis par le haut-parleur dont le spectre est constitué de modes propres acoustiques de la pièce dans laquelle le dispositif est placé. Cela s’explique par le fait que les ondes sonores sont réfléchies et diffractées par tous les objets environnants en raison de longueurs d’onde de l’ordre du mètre.Pour y remédier, un procédé consiste à analyser le spectre et atténuer ou déphaser automatiquement une fréquence qui reste à un niveau élevé pendant plus de quelques dixièmes de secondes, ce qui n’arrive pas dans le signal de la voix humaine. On utilise des filtres coupe-bande de bande passante ajustable. Pour en fabriquer, on utilise un passe-bande à fréquence fixe et on multiplie la fréquence d’entrée par une fréquence judicieusement choisie f1pour créer les fréquences f+f1 qui seront coupées par le filtre
\section*{Conclusion}

On a vu différents phénomènes de résonance en physique. La résonance ne peut intervenir que dans des systèmes d'ordre 2. On distingue les systèmes résonants par le nombre de résonance qu'ils présentent. 

récapitulatif : la résonance apparaît dans certains systèmes lorsqu'on les sollicite à des pulsations bien précises, dites de résonance.  La pulsation de résonance dépend uniquement des caractéristiques du système qui oscille (et pas de comment on le sollicite par exemple). La résonance est d'autant plus marquée que l'amortissement est faible.

Néanmoins, il existe de fortes analogies entre des résonances issue de différentes domaines physique.

On n'a pas abordé la notion de résonance paramétrique, essentielle pour faire de la balançoire tout seul...

La résonance de l'oscillateur de Wien
\end{document}
