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\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Leçon de physique 17 &   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{LP17 : rayonnement d'équilibre thermique, corps noir.}\\[-0,3cm]
\HRule \\
\end{center} 

\section*{Niveau} 
L3

\section*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\section*{pré-requis}
\begin{itemize}
    \item Notion de photon
    \item Statistique quantique
    \item Modes de transfert thermique
\end{itemize}

\section*{Expériences}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\tableofcontents

\section*{Introduction}

Parmi les modes de transfert thermique, on distingue ceux qui ont besoin d'un support pour se faire : la convection et la conduction, de ceux qui se font sans support : les transferts thermiques par rayonnement. Typiquement, on dit qu'on "sent" le soleil sur la peau quand il nous réchauffe. C'est un transfert thermique qui a lieu sans support, car la lumière parcourt le vide intersidéral entre le Soleil et la Terre avant de nous parvenir. Dans cette leçon, on va voir quels sont les mécanismes d'échange d'énergie entre la lumière et la matière, étudier le formalisme et les lois physiques en lien avec les phénomènes radiatifs, et enfin appliquer ces considérations à la Terre et à l'atmosphère en introduisant la notion de corps noir. Mais pour commencer, comment interagissent lumière et matière?

\section{Bilan radiatif}
\subsection{Modes d'interaction lumière matière}

Un matériau peut interagir avec la lumière de 4 manières : 
\begin{itemize}
    \item Emission : elle traduit la conversion d'énergie interne du matériau en énergie de radiation. 
    \item Absorption : C'est le mécanisme miroir, de conversion d'énergie de radiation en énergie interne du matériau.
    \item Réflexion : c'est le brusque changement de direction d'un rayon lumineux (en l'occurence) à l'interface entre 2 milieux. 
    \item Diffusion : un rayonnement incident est dévié dans plusieurs directions en interagissant avec les particules du milieu de propagation. Elle peut être isotrope ou non. On l'observe lorsqu'on éclaire un verre dépoli, par exemple.
\end{itemize}

Notons que réflexion et diffusion s'effectuent sans changement de longueur d'onde.

Tout ces modes d'interaction peuvent être caractérisés par des flux surfaciques radiatifs, exprimés en \SI{}{W \cdot m^{-2}} : $\phi_e$ pour l'émission, $\phi_a$ pour l'absorption, $\phi_d$ conjointement pour réflexion et diffusion. On les comptera positivement : cela revient à orienter la surface que l'on considère dans la direction du flux au quel on s'intéresse.

Ces définitions permettent de caractériser 2 types de milieu :
\begin{itemize}
    \item Les milieux transparents, pour lesquels $\phi_a = \phi_d = 0$.
    \item Les milieux opaques, pour lesquels $\phi_a \ne 0$ et/ou $\phi_d \ne 0$.
\end{itemize}

On peut aussi parler des milieux complètement réfléchissants.

Il est à noter que ce caractère dépend de la longueur d'onde du rayonnement ! Les métaux sont opaques dans les longueurs d'onde du domaine visible, mais pas pour les UV par exemple.

\subsection{Flux radiatif}

On considère un corps opaque $\mathcal{C}$, dans un milieu transparent.
Le flux entrant dans ce corps $\mathcal{C}$ à travers une surface $\mathrm{d}S$ (schéma) est donné par : $\phi_{in} = \phi_a + \phi_d$.
Le flux sortant, quant à lui, est $\phi_{out} = \phi_e + \phi_d$.

A partir de ces 2 flux, on construit le flux radiatif :  $$\phi_R = \phi_{out} - \phi_{in} = \phi_e - \phi_a$$

Ce flux mesure le rayonnement radiatif global émis par une surface unité $\mathrm{d}S$ de $\mathcal{C}$. Si l'absorption domine l'émission, on a $\phi_a \geq \phi_e$ et on retrouve que le flux radiatif est négatif. (et on retrouve l'inverse dans l'autre sens).

On dit alors qu'un corps est à l'équilibre radiatif si : $\phi_R = 0$.

Par ailleurs, à l'équilibre thermodynamique de $\mathcal{C}$, il y a équilibre thermique. L'équilibre thermique implique que le flux de rayonnement absorbé est égal au flux de rayonnement émis, c'est-à-dire : $\phi_a = \phi_e$. L'équilibre thermodynamique implique donc l'équilibre radiatif. La réciproque est fausse !

On définit alors le \textbf{rayonnement d'équilibre thermique :} lorsque $\mathcal{C}$ est en équilibre thermodynamique avec le milieu extérieur, il émet un rayonnement électromagnétique appelé le rayonnement d'équilibre thermique.

\section{Caractérisation du rayonnement d'équilibre thermique}



\subsection{Densité spectrale d'énergie}

Le rayonnement à l'équilibre thermique est continue en fréquence (ou en longueur d'onde).
On définit le densité spectral d'énergie en écrivant l'énergie interne comme : 
$$U = \int u_\lambda \dd \lambda$$

On a alors $u_\lambda$(J.m$^{-4}$) la densité spectrale d'énergie de sorte que l'énergie entre $[\lambda,\lambda + \dd\lambda ]$ s'écrive : $\dd u = u_\lambda \dd \lambda$

On a également la relation : $u_{\lambda} = \frac{c}{\lambda^2}u_\nu

De la même manière on définit la densité spectrale de flux énergétique $\phi_\lambda$ comme : $\dd\phi = \phi_\lambda \dd\lambda$

On cherche le lien entre les deux : 

A l'équilibre thermodynamique on a ?  :
$$\phi_\lambda^{out}=\phi_\lambda^{in}=\phi_\lambda$$


L'énergie que reçois une surface de normale $\dd \vec{S}$ est alors par définition du flux surfacique de puissance : 
$$\dd E = \dd \phi\dd S\dd t = \phi_\lambda \dd\lambda\dd S\dd t$$

Si on raisonne maintenant sur l'énergie rayonné par une surface $\dd S$.
On considère d'abord un angle solide $\dd \Omega$ autour d'une direction qui fait un  angle $\theta$ avec la normale.
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/energie.PNG}
    \caption{Schéma (Hprépa thermodynamique MP page 85)}
    \label{dfjg}
\end{figure}

Le rayonnement se propage à la vitesse $c$. Ainsi, l'énergie contenue dans le cylindre ayant une direction caractérisé par $\theta$ est  : 
$$\dd u = u_\lambda \dd\lambda \dd S c\dd t \cos(\theta)$$
On considère la fraction rayonné dans un angle solide $\dd \Omega = \sin(\theta)\dd \theta \dd \phi$, en supposant le rayonnement isotrope, on a donc :
$$\dd[2]E = u_\lambda \dd\lambda \dd S ~c\dd t \cos(\theta)\frac{\dd\Omega}{4\pi}$$

Donc en intégrant sur la demis sphère correspondante à l'extérieur, on a 
$$\dd E = \int_{\theta =0}^{\pi/2}\int_{\phi =0}^{2\pi} u_\lambda \dd\lambda \dd S ~c\dd t \cos(\theta)\frac{\dd\Omega}{4\pi} =\frac{u_\lambda c}{4}  \dd\lambda \dd S \dd t $$

On a donc : 
$$\phi_{lambda} = \frac{u_\lambda c}{4}$$
\subsection{Loi de Planck}

Au XIX\ieme{} siècle, Lord Rayleigh et monsieur Jeans proposent une loi pour l'expression de la densité spectrale d'énergie de radiation d'équilibre thermique d'un corps à la température $T$ : $$u_\lambda (T) = \frac{8 \pi k_BT}{\lambda^4}$$.

Le modèle est basé sur une modélisation des états vibratoires du champ électromagnétique en oscillateur harmonique à une dimension.

\begin{tcolorbox}
\textbf{Loi de Rayleigh-Jeans :} On considère une cavité aux parois parfaitement réfléchissantes, au sein de laquelle règne un champ EM. Ce champ est stationnaire (les dimensions finies de la cavité impliquent une quantification du vecteur d'onde dans toutes les directions), et est donc quantifié.

Nombre d'états vibratoires entre $[\nu, \nu+\mathrm{d\nu}]$ : $\frac{8 \pi V }{c^3} \nu^2 \mathrm{d} \nu$ (pour les calculer, il faut passer dans l'espace des phases et déterminer le nombre d'états vibratoires entre $[k, k+\mathrm{d}k]$ à partir de l'expression des $k_{i,n} = \frac{2n\pi}{L_i}$; un moyen est de calculer le nombre d'états qui ont un $k \leq k_0$ sous la forme d'une intégrale. La densité d'état est ce qu'il y a sous l'intégrale.). 

On applique ensuite le théorème d'équipartition de l'énergie (hyp : variables quadratiques et indépendantes de l'énergie, à l'équilibre thermo d'un corps classique dans la limite thermo) : chaque OH compte pour $k_B T$ (attention : terme cinétique + potentiel) pour connaître la densité d'énergie.
\end{tcolorbox}

Cette loi est en bon accord aux grandes longueurs d'onde, mais diverge lorsque $\lambda \rightarrow 0$ : c'est la catastrophe ultraviolette.

En 1900, Planck quantifie les oscillateurs harmoniques, en postulant que leur énergie est quantifiée : suivant alors la distribution de Bose-Einstein, on aboutit à  la loi de Planck pour le rayonnement d'équilibre thermique : $$u_\lambda (\lambda, T) = \frac{8 \pi}{\lambda^4} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}} - 1} \frac{hc}{\lambda}$$

\textbf{Remarques :}
\begin{itemize}
    \item Cette loi est valable à l'équilibre radiatif de $\mathcal{C}$.
    \item C'est "simplement" une formule de la forme : nbre de modes $\times$ nbre de photons dans 1 mode $\times$ énergie du mode.
    \item $u_\lambda$ dépend de $\lambda$ et $T$.
\end{itemize}

Lors de l'introduction de cette loi par Planck, la constante $h$ est un facteur qui a une unité d'action, et qui quantifie les niveaux d'énergie des OH. Planck ne croie pas à cette idée... En 1905, Eisntein introduit la notion de photon pour expliquer cette quantification. On assiste à l'avènement de la mécanique quantique.

Tracer les 2 versions sur un graphe et les comparer.

\subsection{Lois de Wien et de Stefan}

Les lois de Wien et de Stefan sont des lois d'origine empirique, établies dans la seconde moitié du XIX\ieme{} siècle. 

\subsubsection{Loi de Wien (1896)}

On observe dans la loi de Planck qu'il existe une longueur d'onde $\lambda_m$ pour laquelle $u_\lambda$ est maximal : on parle du maximum d'émission.

La loi de Wien stipule que : $\lambda_m \times T = \text{cste} \approx$ \SI{2900}{\micro m \cdot K}.

Cette loi permet notamment de mesurer la température d'un corps, en mesurant la longueur d'onde de son maximum d'émission. Cela se fait par exemple avec le corps humain (montrer image, $\lambda_m \simeq$ \SI{10}{\micro m}) qui émet surtout dans l'infrarouge, ou avec le soleil($\lambda_m \simeq 500$nm).

Sauf que, en pratique, lorsque le soleil nous réchauffe, on est sensible au flux total...

\subsubsection{Loi de Stefan (1884)}

Faire la version naïve où on calcule le flux total à l'aide de la loi de Planck, pour arriver à la loi de Stefan.

\begin{align*}
    \phi =& \int_{0}^{\infty} \phi_{\lambda}\dd \lambda\\
    {}=&\int_{0}^{\infty}\frac{u_\lambda c}{4}\dd\lambda\\
    {}=&\int_{0}^{\infty}\frac{2 \pi}{\lambda^4} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}} - 1} \frac{h}{\lambda}\dd\lambda\\
    {}=&\int_{0}^{\infty}\frac{2 \pi}{\lambda^4} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}} - 1} \frac{hc^2}{\lambda}\dd\lambda\\
\end{align*}
On pose $x = \frac{hc}{\lambda k_B T}$, on a alors :
\begin{align*}
    \phi =&\frac{2 \pi k_B^4}{h^3c^2} \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{e^{x} - 1} \dd x T^4\\
    {}=&\sigma T^4\\
\end{align*}

On identifie alors $\sigma = \frac{2 \pi^5}{15} \times \frac{k_B^4}{h^3 c^2}$ la constante de Stefan, qui vaut $\sigma \approx$ \SI{5.67e-8}{W \cdot m^{-2} \cdot K^{-4}}. Cette loi permet églament de mesurer la température d'un corps, mais en mesurant cette fois-ci le flux d'énergie reçue par unité de surface. 

La loi a été obtenue empiriquement par Stefan, et démontrée par Boltzmann, alors doctorant de Stefan.

\section{Corps noir}

\subsection{Définition}
Un corps noir est un modèle théorique de source qui absorbe la totalité du rayonnement incident (dans la totalité du spectre). On a donc $\phi_i = \phi_a$

On suppose le corps à l'équilibre thermique. On peut donc étudier son rayonnement d'équilibre thermique.


Il est à noter que c'est une approximation : aucun corps n'absorbe absolument tous les rayonnements. Le plus souvent, elle est valable sur une certaine fenêtre spectrale. On retrouve toutefois l'idée d'absorber tous les rayonnements dans le "noir".

Le corps noir a beaucoup été étudié expérimentalement par Wien en 1896.

On l'appelle corps noir car à température ambiante un corps noir émet dans l'infrarouge donc est invisible à l'oeil.

Dans la partie précédente on a parlé du flux émis par un corps à l'équilibre thermodynamique, mais on ne savait pas comment cela se relier au flux absorbé. Pour le corps noir ces deux flux s'identifient.



Une réalisation pratique d'un corps noir approché consiste à considérer une enceinte vide (ou contenant de l'air) avec des parois à température T. Il y a une ouverture de faible diamètre de sorte que tous rayonnement qui rentre par l'ouverture subit un grand nombre de rebond dans la cavité et est absorbé (car il a peu de chance de ressortir.)

On définit un corps gris dans le cas ou l'absorption n'est pas totale. On introduit alors un coefficient d'emmissivité (dépendant de la nature de l'objet) dans la lois de Planck, qui caractérise à quel point le corps est noir.
$$P = \epsilon\sigma T^4$$
On a $0 \leq \epsilon \leq 1$ (on ne peut avoir un corps plus noir que le corps noir). On dit qu'un corps gris avec $\epsilon$ proche de 0 est un corps "blanc" (bon ça n'a pas grand chose à voir). Le flux obéit à la loi de Planck.

On peut également généraliser le corps noir en supposant que seul les couches superficielles sont isotherme. Il n'y a pas forcément équilibre thermodynamique sur l'échelle de tout le corps, l'équilibre thermodynamique local (sur une couche suffit). On verra également l'émission de Planck.

\subsection{Estimation naïve de la température terrestre}

On suppose que le soleil est un corps noir sphérique de rayon $R_S$, de température $T_S$ (du coup, on se place dans le cas où on ne regarde que les couches externes!) et on va essayer de déterminer la température de la Terre avec une approche simple.
Comme le soleil est un corps noir, nous avons $P_s = \sigma T_s^4$
Par conservation du flux nous avons $4\pi R_S^2P_s = 4\pi d_{TS}^2P_{S\rightarrow T}$, où $d_{TS}$ est la distance Terre-Soleil (faire un schéma!).


On suppose qu'une partie du rayonnement est réfléchie par l'albedo $A$. 

\begin{tcolorbox}
\textbf{Notion d'albédo :} L'albédo est défini comme le pouvoir réfléchissant d'une surface et s'écrit comme le rapport de l'énergie lumineuse réfléchie à l'énergie lumineuse incidente. Il vaut 0 pour un corps noir parfait et 1 pour un miroir parfait. L'albedo moyen terrestre vaut 0.3. La neige a un albedo de 0.8, et la lave durcie de 0.04.
\end{tcolorbox}

Donc la puissance surfacique reçue par la Terre est donnée par : $$P_{S\rightarrow T} = (1-A)\left(\frac{R_S}{d_{TS}}\right)^2\sigma T_S^4$$

Donc la puissance totale reçu par la Terre est :
$$P_{S\rightarrow T} = (1-A)\left(\frac{R_S}{d_{TS}}\right)^2\sigma T_S^4 \pi R_T^2$$


Bilan radiatif : on suppose que la Terre est un corps noir vérifiant la loi de Stefan : 
$P = 4\pi R_T^2\sigma T_T^4 = $ 
Donc $$T_T = (1-A)^{1/4}\sqrt{\frac{R_S}{2d_{TS}}}T_S = -18^\circ C$$

Pas terrible comme valeur... mais on n'a pas pris en comte quelque chose de fondamental, l'atmosphère !

\subsection{Rôle de l'atmosphère}

On remarque que le rayonnement émis par la Terre est caractérisé par $\lambda_m \simeq$ \SI{10}{\micro m} alors que celui du soleil $\lambda_m \simeq$ \SI{500}{nm}

On fait l'hypothèse que l'atmosphère est un milieu totalement transparent pour le rayonnement issu du soleil mais opaque (corps noir) pour la Terre.

On fait les hypothèses suivantes :
\begin{itemize}
    \item l’atmosphère rayonne sensiblement la fraction $\beta$ de l’énergie que rayonnerait un corps noir de même température moyenne Ta
    \item l’atmosphère absorbe une fraction $\alpha$ et la Terre une fraction 1-$\alpha$  du rayonnement solaire
    \item la Terre absorbe la totalité du rayonnement de l’atmosphère vers la Terre et l’atmosphère absorbe une fraction $\beta$ du rayonnement terrestre.
\end{itemize}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/terre.PNG}
    \caption{Schéma (Hprépa thermodynamique MP page 98)}
    \label{dfjgdf}
\end{figure}
On fait séparément des bilans sur la terre et l'atmosphère : 
L'exercice est fait dans Hprépa thermodynamique MP page 98... 

On fait alors un bilan plus complet. On a modélisé l'effet de serre, aussi appelé forçage radiatif.
On trouve $T_T = 30^\circ$C. Cet ordre de grandeur est plus correct.

Ce modèle est approché : les corps considérés ne sont pas totalement noirs ou transparents, on a négligé les autres sources d'énergie, les fluctuations dues aux saisons, les fluctuations de distance Terre-Soleil et les variations du rayonnement solaire... On met toutefois en évidence le fait que l'atmosphère joue un rôle capital dans la température de la surface de la Terre, et que le fait de modifier sa composition avec des gaz à effet de serre peut avoir une influence sur la température qui règne.

\section*{Conclusion}

La loi du rayonnement de Planck est perçue comme une étape importante dans l'histoire de la physique : c'est la première loi physique en contradiction avec la physique classique. Sa découverte en 1900 est considérée comme le lancement de la mécanique quantique. Mais cela va encore plus loin ! Si le modèle trouve son origine dans la quantification des niveaux d'énergie, le rayonnement du corps noir est un exemple frappant d'universalité en physique statistique : la lumière émise par un corps ne dépend pas de sa composition, mais uniquement de sa température. On a également découvert récemment que la loi du rayonnement de Planck était en très bonne adéquation avec le rayonnement fossile, avec des écarts de 0,5 \% au plus !


Pour avoir a peu près un corps noir, il doit ne doit pas être transparent a des endroits ou il émet
\section{annexe}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/sol1.PNG}
    \caption{Schéma (Hprépa thermodynamique MP page 98)}
    \label{dfjgdf}
\end{figure}
\end{document}
 