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}


\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Leçon de physique 19 &   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{LP19 : Bilan thermique : flux conductif, convectif et radiatif}\\[-0,3cm]
\HRule \\
\end{center} 

\section*{Niveau} 

\section*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 2017 : Il ne faut pas oublier de faire des bilanes thermiques dans cette leçon qui ne consiste pas en un catalogue des divers flux.
    \item 2016 : Le jury attend un bilan mettant en \oe{}uvre les divers types de flux. Jusqu'en 2015, le titre était : \textit{Flux conductifs, convectifs, radiatifs, bilans thermiques.}
    \item 2015 : Le traitement d'au moins un exemple mettant en jeu plusieurs mécanismes de transferts thermiques est l'un des objectifs de cette leçon.
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\section*{pré-requis}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}


\section*{Expériences}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\tableofcontents

\section*{Introduction}

On s'est intéressé à l'équilibre thermodynamique de corps macroscopiques, et on a modélisé des transferts thermiques entre ces corps. Mais tout était caché sous la forme d'un $Q$ ou d'un $\delta Q$ : on n'a pas décrit les modes de transferts thermiques. C'est ce qu'on va essayer de modéliser ici : dans la vie courante, on rencontre de nombreux types de transferts thermiques :
\begin{itemize}
    \item On dit que le soleil nous chauffe la peau,
    \item On différencie les courants d'eau froide et d'eau chaude dans l'eau,
    \item On se brûle sur la poignée de la fourchette qu'on a laissée dans la poële
    \item ...
\end{itemize}

Tous ces modes de transferts ont un cadre et une définition physique précise, et ne se font pas selon des mécanismes identiques. C'est ce que nous allons développer aujourd'hui.

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{images/chauffeeau.PNG}
    \caption{Chauffe eau}
    \label{fghabel}
\end{figure}


\section{Bilan thermique}

On considère que l'on peut  définir toutes les grandeurs localement (à l'échelle mésoscopique), c'est à dire que l'on considère que l'on puisse définir l'\textbf{Équilibre thermique local} (cela revient à dire que si l'on isole un sous système brutalement, il est à l'équilibre).

On veux effectuer un bilan pour déterminer l'équation d'évolution de la tempérture dans un milieu. 
Pour ce faire on commence par considérer un cas unidimentionnel.
On utilise la conservation de l’énergie.

Elle sécrit : 
$\dd U = P\dd t +\delta Q$

\begin{itemize}
    \item U est l’énergie interne que l’on peut relier à la température par $\dd U = C_V\dd t$, avec $C_V$ la capacité calorifique.
    \item $P$ est la production volumique d’énergie. Elle peut venir d’un chauffage, de réactions chimiques, ect...
    \item $\delta Q$ correspond au transfert thermique entre le système et l’extérieur
\end{itemize}
Pour se mettre dans un cadre le plus général possible, on considère que le système a une vitesse v.
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{images/bilan1D.PNG}
    \caption{Bilan}
    \label{fghabel}
\end{figure}

On considère une tranche de fluide : 

$$\dd U = S \dd x \qty(u(x+v \dd t,t+\dd t)-u(x,t)) =S \dd x \qty(\pdv{u}{t}+v\dd t \pdv{u}{x}) $$

De plus on a $\delta Q = S\qty(j_q(x,t)-j_q(x+\dd x,t))\dd t$. et la puissance : $P\dd t = p S\dd x \dd t$
On a donc $$\pdv{u}{t}+v\pdv{u}{x}+\pdv{j_q}{x} = p$$

Soit  $$\rho c_V\pdv{T}{t}+\rho c_V v\pdv{T}{x}+\pdv{j_q}{x} = p$$

On peut généraliser à 3D.


$$\rho c_V \frac{\partial T}{\partial t} + \rho c_V \qty(\vb v \cdot \grad) T + \grad \cdot \vb j_Q = p$$

A vitesse fixé l'équation est linéaire et on va pouvoir la résoudre.
\begin{itemize}
    \item Les deux premiers termes correspondent à une dérivé convective. Le second correspond notamment à un terme d'advection. Il permet de caractériser le transfert thermique quand il y a mouvement du fluide (c'est le cas quand on mélange son café)
    \item Le troisième terme est un terme de diffusion (pas besoin de mouvement du milieu)
\end{itemize}
On vas ici se demander quelles sont les termes $j_q$ et $p$ pour caractériser complètement T.

\section{Conduction thermique}

\subsection{Loi phénoménologique : Loi de Fourier}

La conduction thermique est un phénomène se produisant dans un milieu donné. Elle caractérise l'homogénéisation de la température sans transfert global de matière, via les chocs entre particules. C'est ce qui explique pourquoi la poignée d'une casserole est chaude alors qu'on ne chauffe que le dessous de la casserole.

En 1822, Joseph Fourier propose une loi phénoménologique pour la diffusion de chaleur : elle relie le vecteur densité de flux de chaleur $j_Q$ au gradient de température par $$\vec j_Q = - \lambda \grad T$$

Où $\lambda$, la conductivité thermique, s'exprime en \SI{}{W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}}, ou dans le système d'unité MKSA : \SI{}{kg \cdot m \cdot s^{-3} \cdot K^{-1}}. Elle est spécifique au milieu considéré.

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/conductivites_thermiques.png}
    \caption{Tableau de valeur de conductivités.}
\end{figure}

\textbf{Remarques :}
\begin{itemize}
    \item La loi de Fourier montre bien un transfert du chaud vers le froid (signe "-"). Le transfert thermique nécessite un gradient de température.
    \item On considère généralement que $\lambda$ est indépendante de la température. C'est faux en général, mais assez bien  vérifié sur des plages de températures raisonnables.
    \item La loi de Fourier a ses limites : le gradient thermique ne doit pas être trop fort. Le milieu est considéré homogène et isotrope.
\end{itemize}

\subsection{Equation de diffusion}

Pour comprendre plus profondément de quoi il s'agit, on va reprendre l'équation du bilan et y réinjecter cette expression de $j_Q$, en considérant un fluide au repos. On aboutit à :

$$\rho c_V \pdv{T}{t} = \grad \cdot \qty(- \lambda \grad T)$$

D'où : $$\pdv{T}{t} = D \Delta  T$$ avec le coefficient de diffusion $D = \frac{\lambda}{\rho c_V}$, qui est l'analogue du coefficient de diffusion de particules, mais pour la chaleur. Cette équation est appelée équation de la chaleur.

\begin{itemize}
    \item Elle caractérise l'irréversibilité du phénomène de diffusion : si T(x,t) est solution, T(x,-t) ne l'est pas.
    \item La forme de l'équation nous permet de donner une loi d'échelle :$\delta = \sqrt{Dt}$. Si on impose une variation de température à un endroit elle se propage comme $\sqrt{t}$
\end{itemize}

\subsection{Résolution en régime stationnaire et résistance thermique}

On considère une tige à une dimension $x$, homogène, de section $S$, soumise à ses extrémités à des températures différentes $T_1$ en $x=0$ et $T_2$ en $x=L$. En régime stationnaire, la dérivée seconde de la température $T(x)$ est nulle et ainsi le profil de température est linéaire : 

$$T(x) = \frac{T_2 - T_1}{L}x + T_1$$

Avec l'expression du vecteur densité de flux $j_Q = \lambda \frac{T_1 - T_2}{L}$, le flux thermique s'écrit : $\phi_Q = j_Q S$, d'où : $$T(x) = - \frac{\phi_Q}{\lambda S} x + T_1$$.

Et notamment : $$T_1 - T_2 = \frac{\phi_Q}{\lambda S}L$$

Par analogie avec la conduction électrique et la loi d'Ohm : 

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
    \hline
     & \'Electricité & Diffusion thermique \\
     \hline
     Flux & $I$ & $\phi_Q$ \\
     "force motrice" & $\Delta V$ & $\Delta T$ \\
     Loi d'Ohm & $R = \frac{\Delta V}{I}$ & $R_{th} = \frac{\Delta T}{\phi_Q}$ \\
     Résistance & $R = \frac{1}{\rho} \frac{L}{S}$ & $R_{th} = \frac{L}{\lambda S}$ \\
     \hline
     
\end{tabular}
\end{center}



\section{Convection}

La convection est un transport thermique qui se fait par déplacement d'un fluide. L'idée est qu'un élément de fluide à température $T$ propage sa température à mesure qu'il se déplace.

Nous avons déjà indentifier le terme convectif dans l'équation de la chaleur.
$$\rho c_V \frac{\partial T}{\partial t} + \rho c_V \qty(\vb v \cdot \grad) T + \grad \cdot \vb j_Q = p$$
On remarque que c'est un terme non linéaire. En effet dans des cas complexes, il faudra également utiliser l'équation de Navier Stockes pour déterminer de manière conjointe $v$ et $T$.
\begin{itemize}
    \item Convection forcé : c'est le cas avec un ventilateur par exemple.
    \item Convection naturelle. C'est un couplage avec $\rho(T)$ via navier stockes. (complexe, mais en gros c'est Rayleigh Benard)
\end{itemize}

Ici on va se contenter d'un cas simple
\subsection{Loi de Newton}

Le modèle de Newton permet de caractériser le flux convectif à l'interface entre un solide et un fluide. Ce modèle à l'avantage d'être linéaire. Cependant c'est pas vraiment de la convection, car on considère que le fluide dans la couche limite ne se déplace pas avec le fluide.

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{images/newton.PNG}
    \caption{Source les cléments}
    \label{fghabefgl}
\end{figure}

On a ainsi une épaisseur $e$ de fluide soumise à une différence de température.
Dans ce modèle on écrit le gradient de température dans le couche limite comme : 
$$\pdv{T}{z}|_{Couche} = \frac{\Delta T}{e}$$
Comme on suppose que le transfert est convectif dans la couche limite on a :
$$\va{j}_Q = -\lambda_{f}\frac{\Delta T}{e}\va{e}_z$$

On déduit donc la loi de Newton : 
\begin{tcolorbox}
$$\va{j}_{conv} = h (T_s-T_f)\va{n}$$
$h$ est le coefficient de conducto convection de Newton en $Wm^{-2}K^{-1}$ et  $\va{n}$ normale à l'interface.
\end{tcolorbox}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{images/h.PNG}
    \caption{Valeurs numériques}
    \label{fghasdfgbefgl}
\end{figure}

\texit{Bonus :Nous pouvons alors déduire la résistance thermique associé à un transfert thermique à l'interface entre un solide et un liquide : 
$$R_{conv} = \frac{1}{hS}$$
}



\section{Rayonnement thermique}

Dans le chauffe-eau solaire, la source d'énergie de chauffage est le rayonnement du soleil. L'énergie est transportée par le rayonnement électromagnétique. On peut se demander quelle énergie le soleil apporte au chauffe-eau?

\subsection{Loi de Stefan}

\textbf{Rappel :} Un corps noir est un modèle théorique de source qui absorbe la totalité du rayonnement incident (dans la totalité du spectre).

la loi de Stefan stipule que, pour un corps noir à l'équilibre thermique, la puissance surfacique émise par rayonnement est liée à sa température $T$ via : $P = \sigma T^4$, ou $\sigma$ est la constante de Stefan, qui vaut environ \SI{5,67e-8}{W \cdot m^{-2} \cdot K^{-4}}.

On peut également généraliser le corps noir en supposant que seul les couches superficielles sont isotherme. Il n'y a pas forcément équilibre thermodynamique sur l'échelle de tout le corps, l'équilibre thermodynamique local (sur une couche suffit). C'est le cas pour le soleil.

\subsection{Estimation du flux de rayonnement solaire sur Terre}

On suppose que le soleil est un corps noir sphérique de rayon $R_S$, de température $T_S$ (du coup, on se place dans le cas où on ne regarde que les couches externes!) et on va essayer de déterminer la température de la Terre avec une approche simple.
Comme le soleil est un corps noir, nous avons $P_s = \sigma T_s^4$
Par conservation du flux nous avons $4\pi R_S^2P_s = 4\pi d_{TS}^2P_{S\rightarrow T}$, où $d_{TS}$ est la distance Terre-Soleil (faire un schéma!).

Donc la puissance surfacique reçue par la Terre est donnée par : $$P_{S\rightarrow T} = (1-A)\left(\frac{R_S}{d_{TS}}\right)^2\sigma T_S^4$$

Cela nous donne, avec :
\begin{itemize}
    \item $R_S =$ \SI{6.97e5}{km}
    \item $d_{TS} =$ \SI{1.49e6}{km}
    \item $T_S =$ \SI{5600}{K} en surface
\end{itemize}

$P_{S \rightarrow T} \approx$ \SI{1}{kW \cdot m^{-2}}.

\textit{On a négligé le rôle de l'atmosphère. La valeur du flux obtenue est ok donc on s'en passe...}

\subsection{Bilan des bilans :P}

On revient au chauffe-eau solaire. Noter $T_{haut}$, $T_{bas}$ sur le schéma, la vitesse d'écoulement $v$, les températures $T_1$ et $T_2$ d'entrée et de sortie d'eau, la longueur $L$ de la conduite, la dimension $b$ de la conduite selon $O\va y$. On note $Q$ le débit massique d'écoulement, $S$ la section de la conduite, $\rho$ la masse volumique du fluide, $\Sigma$ la surface du chauffe-eau (faire une diapo pour ça ça ira plus vite).

On résume la situation en régime stationnaire par : 

\begin{figure}[!h]
    \centering
    \includegraphics[width = .5\textwidth]{images/schema_1.png}
    \caption{1\ier{} schéma. On a remplacé $S$ par $\Sigma$.}
\end{figure}

On écrit d'un côté l'égalité des flux en haut de la plaque de cuivre : 

$$(1-R) P_{S\rightarrow T} \Sigma + h_1 \qty(T_{ext} - T_{haut}) \Sigma = \frac{T_{haut} - T_{bas}}{R_{Cu}}$$

Et de l'autre l'égalité des flux au bas de la plaque : 

$$\frac{T_{haut} - T_{bas}}{R_{Cu}} = \int_0^L h_2 b  \qty(T_{bas} - T(x)) \dd x = h_2 L (T_{bas}-\bar T)$$

En bas, tout se passe comme si la température de l'eau était uniforme et égale à $\bar T$.

\textbf{Calcul de $\bar T$ :}
On effectue un bilan sur une tranche $\dd x$ de la conduite : prendre en compte les flux entrants et sortants selon $Ox$, et le flux entrant par le haut. On néglige les pertes vers le bas. En régime stationnaire,

$$0 = Q \rho c_V T(x) \dd t - Q \rho c_V T(x + \dd x) \dd t + h(T_{bas} - T(x)) \dd x \dd t b$$ donc 

$$\pdv{T}{t} - \frac{T}{\delta} = \frac{T_{bas}}{\delta}$$

avec $\delta = \frac{Q \rho c_V}{hb}$. Cette équation donne accès à $T(x)$ puis à $\bar T$ moyennée sur $L$ :

$$\bar T = T_{bas} - \frac{\delta}{L} \qty(T_1 - T_{bas}) \qty[e^{\frac{L}{\delta}} - 1] $$

D'où en réinjectant : 

$$h_2 \Sigma \frac{\delta}{L} \qty[1 - e^{\frac{L}{\delta}}] \qty(T_{bas} - T_1) \equiv \frac{T_{bas} - T_1}{R_{equiv}}$$

Du point de vue des échanges thermiques, tout se passe comme si l'eau avait une température $T_1$ et que la résistance thermique équivalente était donnée par $R_{equiv}$. On retrace un nouveau schéma équivalent en remplaçant $\bar T$ par $T_1$ et la résistance du bas par $R_{equiv}$. On connaît tous les flux, on n'a plus qu'à faire de l'élec. Le rendement s'écrit :

$$\eta = \frac{P_{Cuivre \rightarrow eau}}{P_{S \rightarrow T}} = \frac{h_2 \qty(T_{bas} - \bar T)}{P_{S \rightarrow T}}$$

Diviseur de tension entre $T_{bas}$ et $T_1$, et on calcule $T_{haut}$ en écrivant la conservation du flux. On en déduit l'expression de $T_{bas}$ en fonction des données du problème. 

On donne vraiment la valeur 0.7? Vu tous les paramètres c'est long...

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/sol1.PNG}
    \caption{Schéma (Hprépa thermodynamique MP page 98)}
    \label{dfjgdf}
\end{figure}

\section{Conclusion}

On a identifié aujourd'hui plusieurs paramètres importants du phénomène de transfert thermique, et montré comment les modéliser à travers l'exemple du chauffe-eau solaire. L'étude est facilitée en régime stationnaire : on peut alors calculer des flux et des résistances, et dresser une analogie électrique assez poussée. 
Lorsque l'on conserve l'aspect dynamique du problème, et que l'on modélise la variation de masse volumique des fluides avec la température, on aboutit à la modélisation du phénomène de convection naturelle : l'instabilité de Rayleigh-Bénard.

\end{document}
