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\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Montage 1 &   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{Dynamique du point et du solide}\\[-0,3cm]
\HRule \\
\end{center} 

\section*{Niveau} 

\section*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\section*{pré-requis}


\section*{Expériences}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\tableofcontents

\section*{Introduction}

La dynamique du point et du solide s'interresse à l'échelle macroscopique au mouvement des corps soumis à des forces. On va tout au long de ce montage dans un référentielle galiliéen. C'est à dire un référentielle ou la première loi de Newton s'applique. 
\textbf{Rappel sur les lois de Newton :}
\begin{itemize}
    \item 1\iere loi de Newton (= principe d'inertie) : dans un référentiel galiléen, un corps sur lequel la résultante des forces qui s'applique est nulle est en mouvement rectiligne uniforme.
    \item 2\ieme loi de Newton (=PFD) : Dans un référentiel galiléen, $\sum \vb F = m \va a$.
    \item 3\ieme loi de Newton (= principe des actions réciproques) : Tout corps A exerçant une force sur un autre corps B subit une force d'égale intensité et de direction opposée de la part de B.
\end{itemize}


\section{Chute d'un corps}

On veux mesure l'accélération d'une règle dans le champ de pesanteur.
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/chute_libre.PNG}
    \caption{Principe de la manipulation (source poly de TP). On adapte pour le faire dans le cas d'une règles percé régulièrement. On n'a besoin que d'un capteur optique et celui-ci doit être relier à Latis pro }
    \label{figer:my_label}
\end{figure}
On s'intéresse au centre de masse de la règle en supposant qu'elle tombe verticalement sans frottement.
On a $\ddot{z} = -g$ donc
$$z(t) = \frac{-gt^2}{2}-v_0 t+ z_0$$
\begin{tcolorbox}
Chute d'une règle :\\

On fait tomber la règle grace à un éléctro aimant commander par un interupteur. On traite les donnés sous python.
On remonte à $g$\\
On peut aussi vérifié la conservation de l'énergie mécanique :
$$\frac{E_m}{m} = \frac{1}{2}v^2 -gz$$
\end{tcolorbox}

\textbf{Remarque}\\
Placer le détecteur près du départ, c'est là que l'on voit le mieux la parabole. Cependant il faut faire un compromis parce que le décrochage de l'électroaimant n'est pas parfait. Aussi il faut être assez "éloigné" pour s'en affranchir (1cm ?)


Le détecteur est une diode laser en face d'un phototransistor.

\subsection{Autre manip possible :}
\begin{itemize}
    \item Mesure d'un coefficient de frottement grâce à une masse sur un plan incliné liée à une masse en chute libre
    \item Mobile autoporteur : conservation de la quantité de mouvement
\end{itemize}

\section{Théorème du moment cinétique}

\subsection{Calibrage}
On étudie le pendule pesant.
\begin{tcolorbox}
Équilibrer le pendule et calibrage.\\
On montre que la tension sortie du potentiomètre est linéaire avec le l'angle sur la gamme considéré.
\end{tcolorbox}

\subsection{Mise en équation}

On applique le théorème du moment cinétique au pendule (auquel on a rajouter une masse bien sûr) :
$$\qty(J+mL^2) \ddot{\theta} = -Lmg\sin(\theta)$$
On se place au petits angles et on pose : $\omega_0^2 = \frac{mgL}{J+mL^2}$
$$\ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta =0$$
\begin{tcolorbox}
Détermination de $J$:\\
Pour différentes positions $L$ d'accroche de la masse, on mesure la fréquence. Toujours se placer pour des petits angles. \\
La mesure de fréquence peut se faire grâce une transformé de fourier ou en comptant des périodes...
On trace $\frac{mgL}{\omega_0^2}$ en fonction de $L^2$ et on en déduit $J$ l'ordonnée à l'origine. (On attends avec le pendule de lyon autour de $J\simeq 2.8\times 10^{-3}kg.m^2$
\end{tcolorbox}
\subsection{Étude énergétique}

$$E_m = \underbrace{\frac{mL^2+J}{2}\dot{\theta}^2}_{E_c}+\underbrace{mgL\qty(\cos(\theta)-1)}_{E_p}$$

\begin{tcolorbox}
Étude énergétique :
On trace $E_c$, $E_p$, $E_m$. On observe les échange énergétiques\\
On ajuste l'enveloppe avec une exponentielle décroissante (fonction \texttt{Env} dans latispro) pour retrouver le coefficient de dissipation visqueux.
\end{tcolorbox}
Nottons qu'il y a aussi des frottement solide que l'on néglige ici.

\subsection{Autres manips ?}
\begin{itemize}
    \item Montrer le portrait de phase
    \item Pendules aux grandes amplitudes avec la formule de Bordas.
    \item Pendule en rotation : oscilations parmétrique...
\end{itemize}

\section{Pendule tournant : bifurcation}

\begin{tcolorbox}
\textbf{Pas de protocole dans le fascicule.}
Il faut :
\begin{itemize}
    \item Un laser
    \item une lame quart d'onde
    \item un polariseur
    \item le pendule tournant avec le rond polarisant
    \item des noix, des pinces
    \item une photodiode
    \item un AO
    \item un oscillo
    \item des fils
    \item une résistance de \SI{100}{k \ohm}
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\subsection{Branchement de la photodiode}

Elle doit être reliée à l'oscillo et polarisée avec le montage à AO : on peut y prendre $E=0$.

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width = .5\textwidth]{images/photofdiode.png}
    \caption{Montage photodiode à AO}
\end{figure}

\subsection{Reste du montage}

Il faut faire passer le faisceau laser dans le trou au dessus de la tige du pendule. Intercaler la quart d'onde entre le Laser et le pendule. Le laser est polarisé : elle redistribue l'énergie dans toutes les directions de polarisation. 

Placer un analyseur entre le pendule et la photodiode.

\subsection{Mesures}

Il faut faire le zéro à l'arrêt : on mesure l'angle d'extinction. Toutes les mesures se font par rapport à cet angle.

En faisant tourner le pendule, on mesure l'angle que fait le pendule avec la verticale à l'aide du polariseur. Il faut repérer le bon pic sur l'oscillo, et l'annuler en tournant le polariseur.

En visualisant un (ou plus) période du signal à l'oscillo, on remonte à la vitesse de rotation du pendule. On peut donc mesurer un angle et une vitesse.

\subsection{Mise en équation du problème}

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width = .5\textwidth]{pendule_tournant.jpg}
    \caption{Schéma du problème.}
\end{figure}

On écrit le TMC en prenant en compte : le moment d'inertie $I$ du cercle polarisant, le moment d'inertie de la tige $m_t \frac{L^2}{3}$, le moment d'inertie de la masse $m L^2$.

Les forces prises en compte sont le poids et la force centrifuge.

$$\ddot \theta  \qty(mL^2 + I + m_t \frac{L^2}{2}) = -m g L \sin \theta - m_t g \frac{L}{2} \sin \theta + m \omega^2 L \sin \theta L \cos \theta + m_t \omega^2 \frac{L}{2} \sin \theta \frac{L}{2} \cos \theta $$

On aboutit à : $$\cos{\theta^*} = \frac{g \qty(m + m_t/2)}{\omega^2 L \qty(m + m_t/4)}$$

Il faut tracer le cos en fonction de $\frac{1}{\omega^2}$.

\section{Le gyroscope}

\subsection{Présentation}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/gyroscope.PNG}
    \caption{Le gyroscope (poly de TP)}
\end{figure}

\begin{tcolorbox}
Vérifier que le gyroscope est équilibrer sinon, l'équilibrer en déplaçant des petites masse fixé dessus. Il ne doit pas bougé une fois lancé.
\end{tcolorbox}
On remarque qu'en isolant chacune des rotation du gyroscope on a en fait des petits pendules pesant équilibré. En ajoutant des masses on peut alors les déséquilibrer et refaire la même mesure qu'à la partie précédente.
$$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{C+m_1a^2}{m_1ga}}~~\text{et}~~ T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{C+m_1b^2}{m_1gb}}$$
\begin{tcolorbox}
Détermination des moment d'inertie du gyroscope : (en préparation)\\
 
\begin{itemize}
    \item \textbf{A l'arret} placer une masse $m_1$ à une distance $a$ du centre de gravité du disque intérieur tournant. On mesure la prériode de petites oscillation (comme pour le pendule simple)
    \item \textbf{A l'arret}, placer une masse $m_2$ à une distance $b$ du centre de la deuxième partie mobile. On mesure la période de petites oscillation de nutation (comme pour le pendule simple)
\end{itemize}
\end{tcolorbox}


\subsection{Précession}
On déséquilibre le gyroscope avec une masse $m$. On a alors un mouvement de précession à vitesse constante.

Dans l'approximation gyroscopique on a avec $\dot{\theta}$ la nutation, $\dot{\psi}$ la précession  et $\dot{\phi_0}$ la rotation propre et $C$ le moment d'inertie autour de l'axe de rotation propre:
\begin{align*}
    \ddot{\theta}  +\qty(\frac{C\dot{\phi_0}}{A})^2\theta \mp \frac{mga}{A}\sin(\theta) &= -\frac{C\dot{\phi_0}}{A}K\\
    \dot{\psi}\sin(\theta)& = \frac{C\dot{\phi_0}}{A}\theta +K
\end{align*}
Avec $K$ une constante dépendant des condition initiales et $\mp$ correspondant au coté où on accroche la masse.

On se place dans le cas où $\theta$ est environ constant (en effet on ne voit pas de variation de la nutation). De plus on suppose également que $\dot{\phi_0}$ est une constante.
La première équation permet alors de définir $\theta$. Pour résoudre on fait disparraitre $K$
$$K = -\qty(\frac{C\dot{\phi_0}}{A})\theta \pm \frac{mga}{C\dot{\phi_0}}\sin(\theta) $$
Donc en remplaçant dans la deuxième équation et en divisant par $\sin(\theta)$ : $$\dot{\psi} =\pm \frac{mga}{C\dot{\phi_0}} $$

\subsubsection{Autre démo}
$\va{\sigma_0} = L \va{e_{z'}}$\\ avec $L = C\qty(\dot{\phi} + \dot{\psi}\cos(\theta))$ et $ \va{e_{z'}} =  \va{e_{z}}\cos(\theta) -\va{v}\sin(\theta)$ avec $\va{v}$ le vecteur $e_y$ décalé de $\psi$ par la première rotation dans les angles d'euler (il forme un triaèdre $\va{u},\va v, \va e_z$).
On développe : $\dv{\va{\sigma_0}}{t} = mga\sin(\theta)\va{u}$
Dans l'approximaiton giroscopique on a $\dv{L\cos(\theta)}{t} = 0$ et $\dv{L\sin(\theta)}{t} = 0$. On a alors :
$$\dot{\psi} = \frac{mga}{L}\simeq \frac{mga}{C\dot{\phi}}$$

\begin{tcolorbox}
Mesure de $C$ moment d'inertie autour de l'axe de rotation propre\\
On chronomètre une rotation entière et on mesure la vitesse de rotation propre. Faire cela pour plusieurs vitesses de rotation propre.
On déduit donc $C$
\end{tcolorbox}

On peut discuter du ralentissement de la vitesse de rotation propre à l'échelle d'un tour...


\subsection{Nutation et précession}

Quand le gyroscope n'est pas déséquilibré on peut remonter au rapport $C/A$ 

\begin{align}
    \theta &= K+\frac{\lambda}{\omega}\sin(\omega t+\delta)\\
    \psi &= K'-\frac{\lambda}{\omega \sin(\theta_0)}\cos(\omega t+\delta)
\end{align}

avec $K,K',\lambda$ des constantes issus des conditions initiales. $$\omega = \frac{C\dot{\phi_0}}{A}$$

\begin{tcolorbox}
Mesure du rapport $ \frac{C}{A}$, pour remonter à $A$:
\begin{itemize}
    \item On perturbe le système équilibré. (Il peut être intéressant de taper dans un sens et dans l'autre pour perturber le système mais rester autour de l'endroit ou est le laser)
    \item On observe les oscillations sur une diode à effet latérale grâce à un laser et un miroir sur le gyroscope
    \item On relève la vitesse de rotation propre
    \item Le faire pour plusieurs vitesses de rotations.
\end{itemize}
On trace $\omega = \frac{C\dot{\phi_0}}{A}$
On déduit $A$
\end{tcolorbox}

On peut comparer si le temps le permet aux valeurs en mode pendule.

\section*{Conclusion}
On a mis en évidence le principe fondamentale de la dynamique appliqué au solide ainsi que le théorème du moment cinétique pour un solide indéformable. Nous avons ensuite fait un application plus complexe illustrant les comportement riches de solides ayant plusieurs axes de rotation couplées.




Polariser avec 100k$\omega$
\end{document}
