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\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Montage 09 &   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{Diffraction des ondes lumineuses}\\[-0,3cm]
\HRule \\
\end{center} 

\section*{Niveau} 

\section*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 2010-2017 :  Une condition nécessaire est de connaître la différence entre diffraction de Fraunhofer et diffraction de Fresnel, et on doit s’assurer que les conditions de Fraunhofer sont remplies si l’on utilise les formules associées.
    \item 2014-2017 : La détermination de la taille d’un fil ou d’un cheveu est d’autant plus intéressante que la valeur mesurée peut être comparée à une valeur tabulée ou mesurée par une technique complémentaire.
    \item 2017 : Le jury voit trop souvent des expériences de diffraction par des fentes, généralement mal calibrées, servir à mesurer des longueurs d’ondes de lasers !
    \item 2014-2016 : Attention aux expériences de filtrage spatial qui sont souvent mal comprises.
    \item 2010-2013 : Rappelons que les phénomènes de diffraction peuvent s’observer avec d’autres sources lumineuses que des lasers, dont le « speckle » peut parfois nuire à la précision des mesures.
    \item 2008 : Dans toute expérience d’optique, les figures sont de bien meilleure qualité quand les appareils sont convenablement alignés.
    \item 2000 : La diffraction est certes un phénomène gênant, mais pas uniquement : le principe de fonctionnement d’instruments comme les réseaux optiques repose sur son existence. L’optique diffractive prend de plus en plus d’importance industrielle.
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\section*{pré-requis}


\section*{Expériences}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\tableofcontents

\section*{Introduction}

Aujourd'hui on s'intéresse au phénomène de diffraction des ondes lumineuses, dans lequel il existe plusieurs régimes : le régime de Fresnel et le régime de Fraunhofer.

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width = .5\textwidth]{image/diffraction.png}
    \caption{Echelles caractéristiques.}
\end{figure}

3 longueurs entrent en jeu : la taille de l'objet diffractant, $a$, la longueur d'onde $\lambda$ et la distance $D$ entre l'objet diffractant et l'écran. Dans le développement de la phase dans le principe d'Huygens-Fresnel, le terme d'ordre 2 en la taille de l'objet est : $$\mathcal{F} = \frac{a^2}{\lambda D}$$ Ce nombre est appelé nombre de Fresnel.

\begin{itemize}
    \item Si $\mathcal{F} \ll 1 $ : la diffraction est dite en champ lointain ou en régime de Fraunhofer ; approché si $\mathcal{F} \ll 1$, exact si $\mathcal F = 0$.
    \item Si $\mathcal{F} \gg 1 $ :la diffraction est dite en champ proche ou en régime de Fresnel.
\end{itemize}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{image/fresnel.PNG}
    \caption{Interprétation en terme de zonne de Fresnel : Le nombre de Fresnel peut s'interpréter ce terme du nombre d'anneaux à l'intérieur de la tache principale de diffraction.(\href{http://res-nlp.univ-lemans.fr/NLP_C_M09_G02/co/Contenu_23.html}{source}) l'idée est que l'on sépare les contribution de l'objet diffractant en fonction de leur distance au point d'observation. On considère alors des sphère de rayon D,$D+\lambda$.... On peut alors calculer l'intégrale du champ diffracté plus facilement. On peut alors relier $\mathcal{F}$ au nombre de zones successives  }
\end{figure}

\textit{Il faut un banc d'optique pour l'alignement.}

\section{Diffraction de Fresnel}

La Diffraction de Fresnel correspond à le diffraction en champ proche. L'amplitude complexe du champ diffracté en P(X,y,d) s'écrit : 

$$U(P) = \frac{-iA}{\lambda}e^{i\phi}\int\int \frac{e^{\frac{2i\pi}{\lambda}\qty(\frac{(x-x_1)^2}{2d}+\frac{(y-y_1)^2}{2d})}}{d}\dd x_1 \dd y_1$$

Dans la diffraction de Fresnel, le terme $\frac{x_1^2+y_1^2}{2d}$ n'est pas négligeable dans la phase, c'est a dire que : $$\frac{2\pi}{\lambda}\frac{r_1^2}{d}\gg 2\pi ~~\implies ~~ r_1^2\gg \lambda d$$. Ceci correspond à être "proche" de l'objet diffractant (proche selon le critère que l'on vient de se donner). Une situation où on est toujours dans le cas de la diffraction de Fresnel est la diffraction par le bord d'un écran ou d'une lame de razoir. 

Deux choix s'offrent à nous : 
\begin{itemize}
    \item Ce qu'à fait Clément Gidel avec le code envoyé par Rémi. J'avais trouvé ca très stylé mais il s'était planté au moment de le présenter, le code était à l'envers par rapport à sa courbe
    \item Le truc du TP (mais j'ai pas un très bons souvenir que ca ait marché...)
\end{itemize}

\subsection{Diffraction de Fresnel par une lame de rasoir}

\begin{tcolorbox}
Fruchart page 314-315
\begin{itemize}
    \item On prend un laser suivi d'un épurateur de faisceau (Sextant p. 195 pour l'épurateur).
    Réglage de  l'épurateur : commencer sans l'objectif de microscope. Avec un écran, on ajuste la position du trou. Le laser doit passer dans le trou, on doit voir Frauhnofer. Le faire dans le noir pour mieux voir.Lorsque le trou est loin, régler avec les vis "loin". Lorsqu'il est près, le faire avec les vis "près". Il faut faire plusieurs aller retour jusqu'à ce que le laser vise bien le trou indépendament de sa position. Ensuite, mettre le trou en position loin et rajouter l'objectif. Avec les vis de l'objectif, il faut ajuster pour ramener la tache lumineuse au centre. En même temps, on chariote avec la vis du trou pour obtenir une teinte uniforme à l'écran. Encore une fois, il faut faire des aller retour.
    \item On envoie la source à l'infini grâce à une lentille (focale 10cm par exemple).
    \item On place une lame de rasoir pour obstruer la moitié du faisceau. 
    \item On récupère avec une caméra IDS.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}
Il faut mesurer la distance $D$ entre la lame et le détecteur. On capte une photo (en format PNG), on réalise le profil selon une ligne élargie sur imageJ (double clic sur l'outil ligne ou dans edit, option, linewidth). On récupère le "plot profile" dans "analyze". On le traite avec python. On trace l'intensité moyennée en fonction de $u = \frac{x}{\sqrt{\lambda D/2}}$, où $x$ est la distance au début des franges sur le capteur.


\section{Diffraction de Fraunhofer}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{image/fraunofer.PNG}
    \caption{Montage de Fraunhofer. La premère lentille correspond soit à un épuratuer de faisaux, soit à un condenseur pour élargir le faiscau. On fait ensuite un éclairrage parallèle pour éclairer l'objet diffractant. On sait alors que la figure de diffraction de fraunhoffer se trouve à l'infini, c'est à dire au foyer d'une lentille convergente: au niveau du plan de fourier.}
\end{figure}

\subsection{Détermination de la taille d'une fente}
Diffraction par une fente : 
$$I = I_0 \text{sinc}^2\qty(\frac{\pi a x}{\lambda d})$$

\begin{tcolorbox}
\textbf{Diffraction par une fente ou un trou circulaire :} Sextant p. 109.

C'est l'expérience proposée dans le fascicule de TP.
\end{tcolorbox}


\begin{tcolorbox}
\textbf{Diffraction avec une source polychromatique :} Fruchart p. 323

On se place dans le régime de Frauhnofer exact, avec point source et écran à l'infini.

Avec une barrette CCD, on regarde l'image de diffraction produite par une fente de largeur inconnue. Avec différents filtres interférentiels, on mesure la largeur à mi-hauteur du pic central (ou si on est chaud on a un code python qui fait l'ajustement en $sinc^2$).

La relation à vérifier est donnée dans le Fruchart : $\Delta x = 2 \frac{\lambda f_2}{b}$ aux petits angles, où $f_2$ est la focale de la 2\ieme{} lentille.
\end{tcolorbox}

\subsection{Propriétés de la diffraction}

La diffraction de Fraunhofer a plusieurs propriétés rapides à vérifier :

\begin{tcolorbox}
\textbf{Translation de la fente :}

Avec une fente translatable, observer l'influence du mouvement de la fente sur la figure.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}
\textbf{Théorème de Babinet :}

Avec 2 objets complémentaires, observer les figures de diffraction et voir qu'elles sont identiques (prendre un cheveu).
\end{tcolorbox}


On peut allier la diffraction et les interférences. En effet, si on considères plusieurs objets diffractant, par exemple pour commencer 2 fentes côte à côte, alors chaque fente va faire une figure de diffraction mais ses figures vont interférer entre elles.
Pour le cas de deux fentes espacé de b, on trouve :
$$I = I_0 \underbrace{\text{sinc}^2\qty(\frac{\pi b x}{\lambda d})}_{\text{Diffraction}}\underbrace{\qty(1+\cos(\frac{2\pi}{\lambda}\frac{bx}{d}))}_{\text{interférence}}$$

Le facteur de forme correspond au facteur donné par diffraction, c'est à dire à la transformée de Fourier de l'objet diffractant. Le facteur de structure correspond à la répartition dans l'espace et donc au terme d'interférence. (Sextant page 123)


Considérons maintenant le cas d'une répartition aléatoire d'objet diffractant.
Le facteur de structure s'écrit : 
$S(q) = \abs{\sum_n \exp(-2i\pi q r_n)} = \sum_m\sum_n \exp(-2i\pi q (r_n-r_m))$
On remarque que chaque terme est égale à 1 pour m=n et on peut conjugué tous les autres termes 2 à 2 : 
$$S(q) = N+2\sum_{1<m<n} \cos(2\pi q r_{m-n})$$

Finalement comme la répartition est aléatoire, on a 
$$S(q)  = N \text{pour} q\neq 0 et S(0) = N^2$$

\begin{tcolorbox}
\textbf{Diffraction par des objets différents :}

On peut comparer les figures obtenues avec des fentes, des trous, avec une ou plusieurs ouvertures à chaque fois.
On peut estimer l'ordre de grandeur de la tailles des spores
\end{tcolorbox}

\subsection{Critère de Rayleigh}

Fascicule de TP p.44. Le critère de Rayleigh est une condition que l'on doit respecter en observation optique pour que la diffraction ne perturbe pas l'image observée. Ce critère correspond à la séparation de 2 taches de diffraction sur les bords des instruments optiques.

\begin{tcolorbox}
Former l'image agrandie de 2 fentes d'Young sur un écran en lumière polychromatique. Diaphragmer avec une fente réglable la lentille jusqu'à n'observer qu'une seule fente : le critère de Rayleigh n'est plus respecté.
\end{tcolorbox}

\section{Optique de Fourier}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width = .8\textwidth]{image/Fourier.png}
    \caption{Montage pour filtrage de Fourier.}
\end{figure}

L'optique de Fourier c'est littéralement du filtrage, comme en électricité (mais en spatial et à 2D). C'est également à la base de l'épurateur de faisceau qu'on a utilisé tout à l'heure.

\begin{tcolorbox}

Le montage est OK avec L1 de focale 20 cm et L2 30 cm. On règle la position de L1 par autocollimation et celle de L2 en fixant l'écran. Repérer le plan de Fourier.
\textbf{Plusieurs expériences qualitatives :}
\begin{itemize}
\item Avec une grille : on peut observer la TF de la grille, en forme de croix. En filtrant, on récupère les lignes verticales ou horizontales uniquement. On retrouve les propriétés de symétrie :  fente verticale $\implies$ lignes horizontales.
\item Photo de Fourier, n'importe quelle image tramée : on peut voir sa TF, et ensuite flouter l'image avec un diaphragme (c'est du détramage ; c'est le principe de l'épurateur de faisceau) ou couper le fond avec une tête d'épingle (principe de la strioscopie).
\item On peut aussi le faire avec une plume : sans rien, floutée avec un diaphragme, on voit mieux les détails avec une tête d'épingle.
\item Empreinte digitale : c'est assez sympa : il faut une lame de microscope. La laver à l'éthanol et attendre qu'elle sèche. Y coller son doigt et la mettre à la place de l'objet. Sans filtrer, on ne distingue rien. En strioscopie, on voit bien l'empreinte. 
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

On peut filtrer une grille : Fruchart p. 333

Ou une image... Ou les 2. On peut faire du détramage en coupant les hautes fréquences (comme pour l'épurateur), ou de la strioscopie en coupant les basses fréquences et l'ordre 0.

L'optique de Fourier est une méthode d'observation des détails d'une image.

\section*{Conclusion}

Notons en premier lieu que ces expériences forment une preuve irréfutable du caractère ondulatoire de la lumière. Le critère de Rayleigh implique une limitation des instruments d'optique, et dans ce cas la diffraction est gênante. Mais elle peut aussi être utilisée : c'est notamment le cas pour les réseaux, qui permettent de mesurer les longueurs d'ondes de sources lumineuses ; la diffraction est aussi beaucoup utilisée en cristallographie pour déterminer des réseaux cristallins, mais ce sont des rayons X dans ce cas.

\section*{Matériel}

\subsection{Optique de Fourier}
\begin{itemize}
    \item Banc d'optique, des pieds, un pied réglable.
    \item laser
    \item objectif de microscope
    \item Lentilles de 20 et 30 cm
    \item écran
    \item porte diapo fois 2, porte objet
    \item diapo avec épingle, plume, Fourier
    \item fente réglable
    \item trous de diverses tailles assez petits (jusqu'à \SI{0.8}{mm})
    \item Grille 2 traits/mm
    \item statif, noix, pince pour accrocher le laser
\end{itemize}

\end{document}
