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\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Montage de physique  &   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{MP13 : biréfringence et pouvoir rotatoire}\\[-0,3cm]
\HRule \\
\end{center} 

\section*{Niveau} 

\section*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 2013 à 2016 : Le candidat doit être capable d’expliquer le principe physique des protocoles utilisés pour l’étude de la biréfringence d’une lame mince. Le jury attend des mesures quantitatives avec confrontation aux valeurs tabulées. Une connaissance minimale des milieux anisotropes est indispensable. Jusqu’en 2013, le titre était : Milieux optiquement actifs : biréfringence, pouvoir rotatoire.
    \item 2011, 2012 : Le jury a vu de bons montages sur ce sujet. Cependant, la signification de certains termes comme lame taillée parallèlement ou perpendiculairement à l’axe, ou encore lignes neutres, doit être connue.
    \item 2010 : Ce sujet a été moins souvent confondu avec le suivant (Production et analyse d’une lumière polarisée) cette année. Le candidat doit toutefois être capable d’expliquer le principe physique des protocoles utilisés pour l’étude de la biréfringence d’une lame mince.
    \item 2009 : Ce montage est souvent confondu avec le suivant (Production et analyse d’une lumière polarisée). Comme le titre l’indique, il s’agit d’étudier des propriétés de matériaux et non d’ondes lumineuses, même si ces dernières constituent l’outil principal permettant d’effectuer les mesures.
    \item 2008 : Les notions d’axe optique et de lignes neutres sont trop mal connues.
    \item 2002 : Il ne suffit pas de connaître tous les gestes à effectuer et le matériel à utiliser. Par exemple, en optique cristalline, de beaux spectres cannelés ont été observés alors que le candidat avait du mal à différencier, au moins qualitativement, milieux uniaxes et milieux biaxes, et à donner un sens à la phrase « tailler dans un quartz parallèlement à l’axe.
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\section*{pré-requis}


\section*{Expériences}
\begin{itemize}
    \item Lame paralèle : mesure de $\Delta n$ avec un spectre canelé
    \item Compensateur de babienet
    \item Effet Faraday
\end{itemize}

\tableofcontents

\section*{Introduction}

\begin{tcolorbox}

On peut utiliser le rhomboèdre de spath et montrer que l'on observe 2 images lorsqu'on l'éclaire (Houard p. 250, Sextant p. 278). Utiliser le prisme P123.1 de spath.

\begin{itemize}
    \item Faire l'image d'un petit diaphragme avec une lampe QI + AC sur un écran assez loin (pour avoir des rayons pas trop inclinés).
    \item Placer le prisme de spath après la lentille. Ya plein de taches, mais on peut en repérer sur le côté qui sont polarisées. 
    \item Placer un polariseur avant le diaphragme. On voit que les tâches sont dues à des lumières polarisées orthogonalement.
\end{itemize}

\end{tcolorbox}

Les milieux qu'on considère sont toujours linéaires et homogènes, mais anisotropes.  On va parler de \textbf{biréfringence :} l'indice de réfraction dépend de la direction, et de \textbf{pouvoir rotatoire :} capacité d'un milieu à modifier l'angle de polarisation d'un rayon incident. Le pouvoir rotatoire est l'analogue de la biréfringence mais pour les polarisations circulaires : une polarisation rectiligne perçoit 2 indices dans un milieu biréfringent, tandis qu'une polarisation circulaire perçoit 2 indices dans les milieux possédant un pouvoir rotatoire.

Des définitions utiles (d'après le jury) :
\begin{itemize}
    \item anisotrope : les propriétés du milieu dépendent de la direction.
    \item axe optique : axe de symétrie de révolution du montage optique. Dans le cas des milieux biréfringents : c'est la direction dans laquelle l'indice est indépendant de la polarisation. 
    \item lame taillée parallèlement, perpendiculairement : c'est par rapport à l'axe optique. 
    \item ligne neutre : directions dans lesquelles la polarisation de l'onde incidente ne change pas lors de la traversée du milieu.
    \item milieu uniaxe : milieu avec un seul axe optique.  2 directions ont le même indice optique.
    \item milieu biaxe : Milieu avec 2 axes optiques. Les indices sont tous les 3 différents.
\end{itemize}

\section{Caractérisation d'un milieu biréfringent}

\subsection{Biréfringence du quartz}

On remonte à $e \Delta n $ puis $\Delta n$ par méthode du spectre cannelé. C'est une lame épaisse donc on mesure $e$ avec un pied à coulisse (mais il faut le faire sur le devant de la scene :) ba doum psssst).


Il faudra penser à faire des éclairages bien parallèles!!!

L'onde en sortie du polariseur s'écrit :
$$\vec{E} = E_0\vec{e_P}\exp(i\left(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right))$$
Il faut changer de base pour se mettre dans la base des axes neutre de la lame de quartz $(\vec{e_o}, \vec{e_e})$pour savoir ce qu'il se passe pour l'onde : 
$$\vec{E} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}\vec{e_e}\exp(i\left(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right))+\frac{E_0}{\sqrt{2}}\vec{e_o}\exp(i\left(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right))$$
les ondes polarisé selon les différents axes neutres ne ressente pas le même indice optique. On a donc en sortie de lame :
$$\vec{E} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}\vec{e_o}\exp(i\left(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x+\frac{2\pi}{\lambda}n_oe\right))+\frac{E_0}{\sqrt{2}}\vec{e_e}\exp(i\left(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x+\frac{2\pi}{\lambda}n_ee\right))$$
On peut réécrire cette polarisation comme :

$$\vec{E} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}\exp(i\left(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x+\frac{2\pi}{\lambda}n_oe\right))\left(\vec{e_o}+\vec{e_e}\exp(i\frac{2\pi}{\lambda}e\Delta n )\right)$$
Il y a un déphasage entre les deux ondes mais elle ont pour l'instant des polarisations orthogonales. Il faut l'analyseur pour tout projeter sur la même polarisation.
Finalement on a une différence de marche de $e\Delta n $, donc avec la formule de Frenet, on a :
$$I = 2I_0\left(1+\cos(\frac{2\pi}{\lambda}e\Delta n)\right)$$
On va avoir des interférences destructives si :
$$\frac{2\pi}{\lambda}e\Delta n =(2p+1)\pi$$.
En comparant deux ordre on trouve
$$e\Delta n= (p_2-p_1)\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}$$

\begin{tcolorbox}
Mesure de $\Delta n $ (Duffait 152, Sextant 290):

\begin{itemize}
    \item Utiliser une lumière blanche (QI), polariseur et analyseurs sont croisés. Ne pas coller les polariseurs : il faut de la place car ils fonctionnent mieux avec un éclairage parallèle.
    \item Placer la lame avec ses axes neutres à $45^\circ$ du polariseur d'entrée. En faisant tourner la lame, on observe des min et des max d'intensité. Se placer vers un max d'intensité : les axes neutres sont bien à 45°. Utiliser une lame d'au moins \SI{1}{mm} d'épaisseur pour voir suffisamment de cannelures.
    \item On remplace le prisme à vision directe par un spectromètre. On peut vérifier qu'on est à un max d'intensité plus facilement avec le spectro.
    \item On repère deux longeurs d'ondes $\lambda_1$ et $\lambda_2$ et on compte le nombre de cannelure $(p_1-p_2)$ entre ses longueurs d'ondes. On a alors :
    $$e\Delta n= (p_2-p_1)\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}$$. 
    Le moyennage permet de rendre le spectre plus joli.
    \item Il est a noté que trouver $e\Delta n$ c'est à priori ce qui nous intéresse le plus, puisque c'est ce qui décrit comment ma lame se comporte avec la lumière. Cependant, avec des valeurs constructeur ou un pied à coulisse on peut remonter à $e$ et dont déterminer $\Delta n$ (on attend $\Delta n$ de l'ordre de $10^-2$.

\end{itemize}
\end{tcolorbox}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/spectre_canele.PNG}
    \caption{Spectre cannelé (Duffait Page 152)}
    \label{fig1}
\end{figure}


\subsection{Mesure de la biréfringence d'une lame mince}

Avec le compensateur de Babinet-Soleil (Jolidon I p. 254)

On fait dans l'autre sens : on suppose $\Delta n$ connu pour mesurer $e$. Il faut étalonner le compensateur pour que ça marche, avec un filtre interférentiel. 

Un compensateur de Babinet est constitué de 2 prismes triangulaires biréfringents aux axes optiques orthogonaux. 

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/compensateur_babinet.png}
    \caption{Schéma du compensateur de Babinet-Soleil (wikipedia)}
    \label{soleil}
\end{figure}

Il induit le déphasage entre 2 polarisations orthogonales entre elles et parallèles aux axes optiques de chaque prisme : 
$$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} (n_o - n_e)(d_2-d_1)$$

L'idée est ed compenser le déphasage induit par une lame placée avant ou après le compensateur.

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width = .7\textwidth]{images/montage_babinet.png}
    \caption{1,2,3... Soleil (wikipedia)}
    \label{montage_soleil}
\end{figure}

\begin{tcolorbox}
\textbf{Compensateur de Babinet Soleil}
Fruchard page 253.
\begin{itemize}
    \item On place le compensateur de Babiner à 45$\%$ des polariseur et analyseur croisé. On observe des franges irisé et on centre, une frnage noir (on relève sa position au vernier).
    \item Étalonnage : on place un filtre interférentiel de longeur d'onde $\lambda$. On relève la différence sur le vernier ($X_0$) pour se déplacer d'une raie noire. (Prendre plusieurs extinction pour être plus précis). Pour obtenir la différence de marche induite par une lame, on utilise la relation$$\delta (X)=\frac{\lambda_0}{X_0}X $$
    Avec $X$ le déplacement sur le vernier qu'il faut effectuer pour placer une frange noir (entre des franges irisé) au centre des réticules.
    \item mesure
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\remarque{Transition:\\
Nous avons vu que certains matériaux (birefringents) on un indice optique qui dépend de la polarisation rectiligne de l'onde. Il existe la même chose pour les polarisation circulaire. Cela se traduit par un pouvoir rotatoire : un onde polarisé réctilignement qui passe par un milieux ayant un pouvoir rotatoire non nulle ressortira polarisé rectilignement mais avec avec un angle différent. Ceci s'explique par le fait que l'on peut décomposer une polarisation rectiligne en deux polarisations circulaire gauche et droite.}


\section{Pouvoir rotatoire}

\subsection{Loi de Biot}

La loi de Biot relie l'angle $\alpha$ de rotation du plan de polarisation de la lumière et sa concentration.

$$\alpha = [\alpha_0]_{\lambda,  T} l c$$

$[\alpha_0]_{\lambda,  T}$ est appelé pouvoir rotatoire spécifique (d'une espèce, dépend de la température, du solvant et de la longueur d'onde) et s'exprime souvent en \SI{}{\deg.dm^{-1}.L.mol^{-1}} ou en \SI{}{\deg.dm^{-1}.mL.g^{-1}}.

\begin{tcolorbox}
\textbf{Solution de saccharose :} diluer \SI{100}{g} de sucre alimentaire dans \SI{100}{mL} d'eau, dans un erlenmeyer. Pour aider à dissoudre, chauffer + agiter. 

On va prendre des mesures à 1000, 750, 500, 250 et 200 \SI{}{g.L^{-1}}, parce que c'est facile à faire comme dilution. On fait le mélange à l'éprouvette, en mesurant la qté d'eau + la qté d'eau sucrée séparément, puis en les mélangeant dans un bécher (il est difficile de mélanger dans une éprouvette). Il faut penser à rincer toute la verrerie à chaque fois. 

\textbf{Mesure du pouvoir rotatoire de la solution :} Laser + polariseur + cuve + analyseur gradué + écran.
Il faut faire le zéro avec la cuve vide. On remplit la cuve, on mesure l'angle. Bien rincer la cuve à chaque fois.

+ bonus : déterminer une concentration inconnue...
\end{tcolorbox}

\textbf{Interprétation :} Pouvoir rotatoire spécifique du saccharose : \SI{+20}{^\circ \cdot L \cdot g^{-1} \cdot dm^{-1}} . Pour le saccharose hydrolisé : \SI{+20}{^\circ \cdot L \cdot g^{-1} \cdot dm^{-1}} ; on obtient une valeur intermédiaire : c'est lié au fait que l'hydrolyse du saccharose est lente.

\textbf{Attention !} Le pouvoir rotatoire spécifique est mesuré pour la longueur d'onde du doublet jaune du sodium (\SI{589.0}{} et \SI{589.6}{nm}). Soit on prend un lumière blanche avec un filtre interférentiel, soit une lampe à vapeur de sodium, soit un laser (vert de préférence) mais on sait qu'on n'est pas à la bonne longueur d'onde. L'écart à la valeur n'est pas très grave...

\subsection{Effet Faraday}

Sextant p. 320

C'est la rotation du plan de polarisation lors de l'application d'un champ magnétique. \'A cause du champ appliqué, les polarisations circulaires ne se propagent pas à la même vitesse. La lumière est un champ électrique qui fait bouger localement les particules constituant le milieu : une onde polarisée circulairement met en mouvement de rotation ces particules. La rotation de particules chargées induit un champ magnétique : la rotation peut donc être favorisée ou facilitée selon son sens par le champ déjà existant.

Si $\beta$ est l'angle de rotation de la polarisation après la traversée d'un milieu de longueur $d$ soumis à un champ uniforme $\mathbf{B}$ parallèle à l'axe de propagation, la constante de Verdet $\mathscr{V}$ est définie comme : $$\beta = \mathscr{V} d B$$.

On peut en quantifier la dépendance en longueur d'onde ($\propto \lambda^2$ d'après wikipédia?).

\begin{tcolorbox}
Mesure le la constante de Verdet\\
On croise polariseur et analyseur de part et d'autre des bobines percé. On applique un champ B (Attention au cycle d'hystérésis, toujours faire dans le même sens, mais on s'en fiche si on mesure B par effet hall). On mesure par effet hall le champ et l'angle duquel il faut tourner l'analyseur pour retrouver l'extinction. \\
En inversant B, on inverse l'angle, aussi il est plus précis de mesurer $2\alpha$ en éteignant pour $B$ et en mesurant $2\alpah$ pour $-B$ 
\end{tcolorbox}


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/faraday.PNG}
    \caption{Faraday (Sextant Page 320)}
    \label{fig2}
\end{figure}

Sert à faire des polarimètres ou des mesures de champs magnétiques...



\subsection{Pouvoir rotatoire du quartz}

Je vois pas trop ce que c'est... Sextant P.318 Si on fait l'effet Faraday ca peut passre à la trappe.

\section*{Conclusion}

On a vu 2 aspects de la biréfringence linéaire. Les phénomènes sont analogues mais selon l'état de polarisation, leurs interprétations sont différentes. 

Ces propriétés de biréfringence peuvent servir à fabriquer des lames quart d'onde ou demi-onde, très utiles pour déterminer la polarisation d'une source lumineuse. 

Par ailleurs, les effets liés à ces effets de biréfringences permettent la mesure d'épaisseurs, des contraintes, des champs électriques (effet Kerr), la visualisation des domaines de Weiss dans les matériaux ferromagnétiques...

\end{document}