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\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Montage 15 &   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{Production et mesure de champ magnétique}\\[-0,3cm]
\HRule \\
\end{center} 

\section*{Niveau} 

\section*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 217 : La mesure de champs de différents ordres de grandeur peut être intéressante. L'utilisation d'un électromaimant nécessite de savoir justifier le choix des pièces polaires, les non-linéarités champ-courant.
    \item 2015,2016 : La sonde à effet Hall est souvent le seul instrument de mesure présenté dans ce montage. D'autre part, les mesures de champs magnétiques ne sont pas limitées à ceux qui règnes dans l'entrefer d'un éléctroaiamant
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\section*{pré-requis}
Montage pas très fun aha



\section*{Expériences}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\tableofcontents

\section*{Introduction}

On se sert de la boussole depuis le moyen-âge (1117 : 1\iere{} utilisation en mer) : grâce au champ magnétique terrestre, on repère la direction du pôle Nord (composante horizontale en France : \SI{2e-5}{T}). Aujourd'hui, l'utilisation de champs magnétiques a de nombreuses applications : transformateurs, IRM, moteurs, mais aussi les aimants pour accrocher les cartes postales sur le frigidaire. Aujourd'hui, nous allons appréhender comment produire un champ magnétique, et ensuite comment le mesurer.

Dans un premier temps, nous allons mesurer des champs afin de vérifier des modèles : cela nécessite un appareil de mesure, que nous supposerons acquis au départ. Nous allons ensuite revenir sur le principe de divers appareils.

\textbf{Définition Tesla :}  c'est l'induction magnétique qui, répartie normalement et uniformément sur une surface de \SI{1}{m^2}, produit à travers cette surface un flux d'induction électromagnétique total de \SI{1}{Wb} : \SI{1}{T} = \SI{1}{kg \cdot A^{-1} \cdot s^{-2}}.

\textit{1Wb = \SI{1}{T m^2}}

\textit{Avant on utilisait le Gauss : 1G = \SI{1e-4}{T}.}

\begin{tcolorbox}
\textbf{Manip d'intro :} on a l'habitude des aimants permanents pour faire des champs magnétiques : on mesure le champ d'un aimant. 2 choses à noter : 
\begin{itemize}
    \item Le champ magnétique est vectoriel : si on tourne la sonde on mesure pas pareil
    \item un aimant ca fait pas des champs très puissants. On va plutôt utiliser autre chose.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\section{Production de champ magnétique}

Les équations de Maxwell nous permettent de lier un champ magnétique au courant. C'est un moyen de production de champs magnétiques : on utilise la loi de Biot : 
$$B = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_D\frac{\va{j}(\va{r}-\va{r'})\cross (\va{r}-\va{r'})}{\abs{r-r'}^3}\dd \va{r'}$$

\subsection{Production d'un champ par une bobine (plate)}

Le champ produit par une bobine en un point de son axe situé à une distance $x$ s'écrit :

$$ \vb B(x) = \frac{\mu_0NI}{2R}\qty(1+\frac{x^2}{R^2})^{-3/2} \va{e_{bob}}$$
On veut vérifier cette relation : 
\begin{tcolorbox}
Fascicule de TP :\\
On alimente avec $I = 5$A. On utilise un teslamètre réglé sur le calibre 20mT. \\
On mesure le champ en fonction de la position au centre de la bobine.\\
On veux faire un ajustement de $B^{-2/3} = f(x^2)$ mais on connais pas la $x_0$ on fait donc un ajustement directement avec la formule : 
$$B = a\qty(1+\frac{x^2}{R^2})^{-3/2}$$
On peut montrer si o veux que ca rend bien en $B^{-2/3} = f((x-x_0)^2)$

Les incertitudes du teslamètre jeulin adapté aux bobines est : 0.03mT + 2$\%$ de la valeur. 

$N = 95$ spires, $R = 0.06m$ est mal tabulé dans les notices.
\end{tcolorbox}

\textbf{Matériel :}
\begin{itemize}
    \item ampèremètre
    \item 2 bobines P64.18 réglables + teslamètre P64.22 adapté. Si le zéro est pas fait, un petit tournevis plat
    \item Alimentation 5A P53.24
    
\end{itemize}

\textit{Hypothèses : bobine plate, mesure effectuée exactement sur l'axe de la bobine.}

\subsection{Modulation du champ : Bobine de Helmholtz}

A l'aide de plusieurs bobines de Helmholtz, on peut façonner le champ un peu comme on veut.

On a deux choix : 
\begin{itemize}
    \item Configuration Helmholtz : Deux bobines identiques, parcourue par un courant dans le même sens, distantes de $R$. Le champ résultant entre les deux bobine est approximativement constant : $$B(\abs{x}<R) =\frac{8}{5\sqrt{5}}\frac{\mu_0IN}{R} $$
    \item Configuration anti-Helmholtz : On obtient ainsi entres les bobines un champ de gradient constant : 
    $$B(\abs{x}<R) =\frac{48}{25\sqrt{5}}\frac{\mu_0IN}{R^2}x $$
\end{itemize}

On peut mesurer $N$ ou $\mu_0$ si on connaît $N$.

Ces formules sont valables à l'ordre 2 en $\frac{x}{R}$ et sont issues de l'application du théorème de superposition.

Ces mesures, dans la configuration Helmohltz permettent d'introduire l'électroaimant. La mesure an antihelmholtz permet de montrer comment faire un gradient déterminé de champ. 
\begin{tcolorbox}
Plutôt faire la configuration anti-Helmholtz pour avoir une droite mais c'est en facultatif, parce que globalement c'est la même mesure que juste avant.
\end{tcolorbox}



\subsection{Caractéristique de l'électroaimant}

L'électroaimant contient un matériau ferromagnétique doux ($\mu_r$ grand, \SI{5e3}{} pour le fer doux), qui a la capacité de guider les lignes de champ magnétique. Cela limite les pertes de champ, mais la disposition des bobines suit le même principe.
L'avantage de l'utilisation du fer doux est qu'il y a peu d'hystérésis.

\begin{tcolorbox}
On mesure $B = f(I)$ en montant et en descendant, légère hystérésis. Ces points ajustables par un polynôme d'ordre 3 ($B = B_0 + a I + b I^3$) constituent un étalonnage de l'électroaimant, qui va nous servir dans la suite pour vérifier que les appareils que nous utilisons sont corrects.

L'expression du champ dans l'entrefer peut aussi être donnée par : $B = \frac{\mu_0NI}{e}$ tant que l'on ne perçoit pas la saturation du cycle.\\
On ne considère que des termes impairs pour des raisons de symétries (en fait on mets tous les ordres jusqu'à 3, normalement ca fit bien. L'important c'est d'avoir un calibrage)

Attention a ne pas mettre moins de 2cm pour être sûr que la sonde a effet hall en germanium puisse passer pour la dernière manip.\\
B varie entre 0 et 550mT (environ, ca peute etre plus)

Attention dès qu'on rallume l'ampèrmètre il se remet en AC. Toujours vérifier qu'il est bien en DC
\end{tcolorbox}

\textbf{Matériel :}
\begin{itemize}
    \item Electroaimant
    \item Alim qui balance plus de 6A
    \item ampèremètre
    \item Statif, noix
    \item teslamètre
\end{itemize}

\section{Mesure de champs magnétique}

L'électroaimant permet la production de champs relativement intenses (même si on peut faire mieux). Mais sur quoi repose la mesure d'un champ magnétique?

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width = .8\textwidth]{images/odg B.png}
    \caption{Quelques ordres de grandeur.}
\end{figure}

\subsection{Fluxmètre}

Le principe du flux mètre est la loi de Faraday : 
$$e = -\dv{\phi}{t}$$
Or on $\phi = \oint_S \va{B}\va{\dd S}$
On en déduit pour une bobine constitué de $N$ spires, lorsque le flux mètre passe d'une région de champ nulle à une région de champ $\va{B}$ : $\Delta \phi = BNS$. En intégrant la tension aux bornes de la bobine on a : 
$$B = \frac{\Delta \phi}{NS} = \frac{-1}{NS}\int_0^\tau e\dd t$$

On peut utiliser un montage à intégrateur RC à AO. Cependant il a tendance à dérivé aussi on prend peut être celui tout cablé ? a voir...:
$$U = -\frac{1}{RC}\int_0^\tau e\dd t = \frac{BNS}{RC}$$
\begin{tcolorbox}
On mesure pour différents courants $I$ dans l'electroaimant, la valeur de la tension. \\
Attention il est important de bien faire le zéro avant chaque mesure en déchargeant le condensateur.\\
Comme on veux vérifier que notre capteur marche bien, on peut soit repalcer les points sur la courbes précédentes, soit uniquement se placer sur la zone linéaire et comparer les droites.

Il peut être interssant de dire un mot sur la sensibilité ici : $$S = \dv{U}{B} = \frac{NS}{RC}$$
\end{tcolorbox}

\textbf{Matériel :}
\begin{itemize}
    \item bobine P50 400 tours (NS = \SI{0.4}{m^2})
    \item AO
    \item électroaimant, ampèremètre
    \item R = \SI{100}{k \ohm}
    \item C = \SI{1}{\micro F}
    \item un bouton poussoir
    \item R = \SI{1}{k \ohm}
    \item oscillo
\end{itemize}

\subsection{Teslamètre}

Le fonctionnement du teslamètre repose sur l'effet Hall.

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width = .6\textwidth]{images/hall.png}
    \caption{Schéma de principe de l'effet Hall}
\end{figure}

Afin de mesurer une différence de potentiel pas trop basse, on utilise un matériau qui n'a pas une conductivité trop haute : un semi-conducteur, ici le germanium.

On fait parcourir un courant $I_{sc}$ dans la sonde. La différence de potentiel que l'on mesure, appelée tension de Hall, a pour expression : $$U_H = \frac{I_{sc}B}{neb}$$ où n est la densité de porteurs de charge, $e$ la charge élémentaire et $b$ l'épaisseur de la sonde dans la direction du champ.

\begin{tcolorbox}
Lorsqu'on fait une mesure : on retourne la sonde!! Cela permet de : 
\begin{itemize}
    \item Minimiser les erreurs d'orientation de la sonde
    \item Se passer de l'influence des soudures pour la mesure de $U_H$ qui peuvent ne pas être en face.
\end{itemize}

Pour la sonde au germanium, on a $I_{sc} \approx$ \SI{50}{mA}. Il faut penser à faire le zéro. Les mesures se font au Fluke 187 pour de la précision.
\end{tcolorbox}

Connaissant $b$, on remonte à la constante de Hall de la sonde : $R_H = \frac{1}{ne}$, et à la densité de porteur de charges $n$ du germanium.

On peut ensuite mesurer la résistance de la portion semi-conductrice $R_{Ge}$. Si on connaît les dimensions du semi-conducteur $a,c$ on en déduit la résistivité $\rho = R_{Ge} \frac{ab}{c}$ et la mobilité des porteurs de charge $\mu = \frac{1}{\rho n e}$ (mais c'est pas très précis).

\textbf{Matériel :}
\begin{itemize}
    \item plaquette germanium P64.36
    \item électroaiamant, alim puissante, ampèremètre
    \item potence, noix
    \item boitier d'alimentation P64.37
     
\end{itemize}

\section*{Conclusion}

Ya pas 1000 manière de faire un champ et d'en mesurer un.

\end{document}
