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\newcommand{\important}[1]{\begin{center}\fbox{
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#1
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}\end{center}
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\begin{center}
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\textbf{#1}
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\item[] \noindent #2
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\end{minipage}
\end{center}\vspace{0.1cm}
}


\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Montage 25  &   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{Mesure de fréquences temporelles (optique exclue)}\\[-0,3cm]
\HRule \\
\end{center} 

\section*{Niveau} 

\section*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item Le jury est visiblement beaucoup plus sensible à la pertinence du choix des manips et à la clarté des explications qu’à la complexité de celles-ci.C’est un montage de métrologie, pour lequel il faut beaucoup soigner la discussion sur les incertitudes, d’autant plus que les expériences sont simples. Pousser l’exploitation jusqu’au bout, notamment quand on obtient une valeur numérique d’une grandeur physique, il faut toujours se poser la question de sa cohérence (ordre de grandeur, signe, unité) et la comparer explicitement à une valeur attendue (notice, grandeur tabulée, constante fondamentale....) afin de conclure de façon pertinente la mesure(fidélité, justesse, précision....).
    
    \item Expliquer le choix des composants utilisés pour chaque partie du circuit, surtout si c’est un montage type « boîte-noire » précâblé (le jury est alors très critique voire dubitatif devant ceux-ci).
    
    \item Effet Doppler : Une fois la mesure de la vitesse du son bien obtenue, il est impératif de conclure et de citer une application (mesure de la température de la pièce par exemple, cf héliosismologie). 
    
    \item Il faut être au courant de la résolution spectrale de la FFT, du critère de Shannon, ce quoi est fondamental dans ce montage métrologique consacré aux fréquences. Le jury ne s’attend pas à ce qu’on présente des manips parfaites avec des incertitudes très petites, il vaut mieux avoir de grandes incertitudes et être honnête sur le résultat du moment qu’on peut le justifier et l’expliquer. On attend des illustrations de différents domaines : électronique, mécanique (pendule).
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item Des détails sur les éléments de circuits électriques : \href{http://electronique.aop.free.fr/AOP_lineaire_NF/13_multiplieur.html}{\underline{multiplieur}} et \href{http://electronique.aop.free.fr/AOP_lineaire_NF/11_amplilog.html}{\underline{ampli logarithmique}}.
\end{itemize}

\section*{Pré-requis}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\section*{Expériences}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\tableofcontents

\section*{Introduction}
Les mesures de fréquences ont une importance capitale en métrologie. Historiquement, c'est à partir de la fréquences d'oscillation de pendules que l'on mesurait $\vec g$. Mais la seconde est également définié à partir d'une mesure de fréquence : c'est 9 192 631 770 fois la période de radiation correspondant à la transition entre 2 niveaux d'énergie de l'atome de Césium 133. Ca permet aussi de mesurer des vitesses : de l'expansion de l'univers au voitures sur l'autoroute, on réalise des mesures de fréquences. 

On va ici présenter différentes méthodes de mesure de fréquences, en soulignant à chaque fois leurs intérêts et leurs limites, en commençant par mesurer $\vec g$


\section{Mesure de fréquence en chronométrant une période}

Expérience introductive (mais quantitative). On motive ce que l'on cherche dans une mesure de fréquence : remonter à des grandeurs physique.
\begin{figure}[hbtp]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.2\textwidth]{Pendule.png}
    \caption{Pendule}
    \label{Pendule}
\end{figure}

\remarque{Matériel :\\
\begin{itemize}
    \item Pendule pesant permettant de déplacer une masse
    \item Chronomètre
    \item Regressi
\end{itemize}}

Finalement on a pris un pendule simple.


\begin{tcolorbox}
On considère un pendule pesant dont la tige est caractérisé par un moment d'inertie $J$ sur laquelle on peut déplacer une masse $m$ :  
\begin{equation}
\dv[2]{\theta}{t} = \frac{-mgl}{(J+ml^2)}\sin(\theta)
\end{equation}
Attention on a supposé ici que le centre d'inertie était positionné au centre de la masse.
On se place dans l'approximation des petits angles :
\begin{equation}
\dv[2]{\theta}{t} = \frac{-mgl}{(J+ml^2)}\theta
\end{equation}
On a donc une fréquence d'oscillation de : 
\begin{equation}
    f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{mgl}{(J+ml^2)}}
\end{equation}

On mesure la fréquence d'oscillation en chronométrant plusieurs périodes : pour $n$ périodes on chronomètre $\Delta t \pm \delta t$. On a donc $ f = \frac{n}{\Delta t} \pm \frac{n\delta t}{(\Delta t)^2}$


On mesure la fréquence pour différentes valeurs de $l$. On peut ensuite ne déduire $g$.
\begin{itemize}
    \item Si on considère $J$ connue, alors en traçant $\left(2\pi f\right)^2\frac{J+ml^2}{m} = f_{unc}(l)$ on a une droite de pente $g$
    \item Si on ne connait pas $J$, alors il faut tracer  :
    $\left(2\pi f_0\right)^2 ml^2 =  f_{unc}\left(\frac{ml}{\left(2\pi f_0\right)^2}\right)$ car on a la relation : $\left(2\pi f_0\right)^2 ml^2 =  g\left(\frac{ml}{\left(2\pi f_0\right)^2}\right)-J$. La pente donne alors à nouveau $g$
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

Nous avons pu ici mesurer la fréquence car les périodes sont assez longue, qu'en est-il quand les oscillation sont plus rapide ? Par exemple dans le cas d'un diapason. La note que l'on entend correspond à la propagation d'une onde de surpression, qui oscille à une fréquence $f$ que nous ne pouvant pas mesure qu'en chronométrant.



\section{Mesure au fréquence-mètre}
On va essayer de mesurer la fréquence d'une note d'un diapason.
Pour cela on va fabriquer notre propre fréquence mètre.


\remarque{Matériel :\\
\begin{itemize}
    \item 1 diapason
    \item 1 micro et son adaptateur
    \item 1 AO (ou 2 si on veux faire le suiveur)
    \item 4 résistance avec $R_1<<R_2$ et $2R_4 = R_3$
    \item Diode
    \item Porte ET (ou deux porte NON ET)
    \item Porte NON ET
    \item Bascule JK
    \item Horloge TBF
    \item Compteur 
\end{itemize}
}

\begin{tcolorbox}
Le principe est de compter le nombre d'oscillations que l'on a en une seconde ce qui nous donne directement la fréquence.

\begin{itemize}
    \item On commence par transformer le signale d'entrée pour qu'il puisse être compté par notre compteur (qui permet de compter le nombre de dents d'un créneaux d'amplitude 0-5V) :
    \begin{itemize}
        \item On utilise un comparateur a hystérésis à seuil très faible. On a alors en sortit un créneaux $-15/ 15 V$ avec la même fréquence que le signal d'entrée. On choisit un seuil très faible de sorte que l'on change de $+15$ à $-15$ dès que l'on passe par 0. 
        \item On redresse le courant pour ne garder que les tension positive à l'aide d'une diode. On a alors un signal $0/15V$.
        \item Avec un pont diviseur de tension pour se ramener à une tension entre $0/5V$.
    \end{itemize}
    \item On multiplie le signal avec le signale issue d'une horloge de fréquence $\SI{0.5}{Hz}$ (avec une porte ET). On a alors pendant une seconde un créneaux à la fréquence recherché et pendant 1s rien.
    \item On compte le nombre de dent du créneaux grâce au compteur
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\begin{figure}[hbtp]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.6\textwidth]{frequence_metre.PNG}
    \caption{Prince du fréquence mètre source \href{http://perso.ens-lyon.fr/clement.de-la-salle/Agregation/MP/MP25}{De La Salle}, On notera qu'il y a un suiveur en sortie de $u_2$ dans le facicule de TP}
    \label{Pendule}
\end{figure}
\begin{figure}[hbtp]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.6\textwidth]{Compteur_notes.PNG}
    \caption{Prince du compteur détaillé}
    \label{Pendule}
\end{figure}

Là soit on mesure qu'une fréquence, soit on fait plusieurs mesures en fonction de la position d'une masse sur un diapason mais je ne suis pas sûr qu'il y ait une loi sympa...

Par rapport aux incertitudes : 
\begin{figure}[hbtp]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.3\textwidth]{incertitude.png}
    \caption{Incertitude}
    \label{Pendule}
\end{figure}
La moitié du temps, le compteur comptera une monté de moins que le nombre de période. On a donc un incertitude de $\SI{1}{Hz}$ quelque soit la fréquence (tant que cela reste mesurable par le compteur).

On peut noter que s'il y a du bruit, ou qu'il n'y à pas qu'une seul fréquence contenue dans le signal, il est possible que notre comparateur a hystérésis induisent des créneaux supplémentaire non voulue, ce qui fausse la mesure.


Attention il est important de mettre une résistance et une capa en parallème de la dernière porte ET du fréquence mètre sinon à haute fréquence, il y a du bruit du aux portes ET. 

\textbf{Transition :}\\
Cela marche bien si on a un signal bien définit avec une seule fréquence, ce n'est pas le cas pour tout les signaux, en effet si on prends une flûte par exemple, même si l'on peut reconnaître une note (une fondamentale), elle possède plusieurs harmoniques. 

\section{Mesure de fréquence avec la transformé de Fourier}
\remarque{Matériel :\\
\begin{itemize}
    \item Flûte
    \item Micro et addapteur
    \item Plaquette latis pro
    \item Ordinateur
\end{itemize}}

\begin{tcolorbox}
On veux mesurer la fréquence du fondamentale d'un la$_3$ d'une flûte à bec et de ses 3 premiers harmoniques.
Finalement on l'a fait avec deux diapasons l'un en face de l'autre.
L'intérêt de cette manip est de déterminer les paramètres optimaux permettant de faire la TF. On doit respecte le critère de Shanon qui est  : 
\begin{equation}
    f_e >2f_{max}
\end{equation}
On veux avoir les 3 premiers harmoniques, donc $f_max = \SI{1760}{Hz}$. De plus la résolution de la FFT est $\frac{f_e}{N}$ où $N$ est le nombre de point que l'on prends. Aussi plus on augmente $f_e$ et mieux on vérifie le critère de Shanon mais plus on diminue la résolution. Le choix du nombre de point dépend aussi de la duré du signal.
Si on choisit $f_e = \SI{4}{kHz}$ on a alors $T_e = 2.5\times 10^{-4}$. On veux au moins 100 oscillations de la fréquence la plus faible par exemple. On veux donc une acquisition de $\delta t > 100/f_{la} = \SI{0.23}{s}$. On peut par exemple prendre $\delta t =  \SI{0.3}{s}$

On peut pointer les première harmonique et montrer qu'elle sont toutes multiple de la première.

\end{tcolorbox}


Alors moi je suis pas contre, par contre, ce qui m'embête c'est que l'aspect expérimentale des TF nécessite de faire beaucoup d'explications. Genre en gros, il me semble pour que ce soit vraiment intéressant il faut le faire sur latis pro (direct sur l'oscillo c'est trop boite noire et les paramètres important de quantification sont déjà fait pour toi), parce que ce qui est intéressant c'est de bien choisir la fréquence d'échantillonnage et le temps d'acquisition. Du coup pour que ce soit intéressant il faut les justifier. Genre il faut pas que tu rentres des valeurs et que tu sorte un spectre direct... Mais si c'est bien présenté ca peut être très bien, surtout qu'il me semble que c'est quelque chose d'important en TP au lycée et prépa. \textit{Après en 30 minutes c'est chaud quoi...}

\section{Mesure de deux fréquences proche grâce à la détection synchrone}

Quand on a deux fréquences proche on peut vouloir les séparer. Pour cela on peut par exemple utiliser la détection synchrone.
On va illustrer ce principe avec le banc a effet Doppler. C'est le principe qui est utiliser dans les radars (de la route mais pas à la même fréquence).

\remarque{Matériel :\\
\begin{itemize}
    \item Banc Doppler avec alimentation
    \item Capteur de position relié à un chronomètre pour détermination de la vitesse de l'émetteur mobile.
    \item Multiplieur
    \item R et C pour passe bas
\end{itemize}}
Le principe de l'effet Doppler est que lorsqu'un émetteur et un récepteur ont une vitesse relative non nulle, la fréquence reçu par le récepteur est modifié par rapport à celle émise par l'émetteur.
Ici on considère un émetteur qui avance à une vitesse $v_e$ vers le récepteur. 
\begin{equation}
    f_r = \frac{c}{c-v_e}f_e
\end{equation}
On fait une détection synchrone pour trouver la variation de fréquence.
\begin{tcolorbox}
Le principe de la détection synchrone est le suivant :
\begin{itemize}
    \item On multiplie le signal de sortie avec celui d'entrée. On a donc un produit de cosinus de fréquence différentes qui peut se réécrire : 
    \begin{equation}
        \cos(2\pi f_e t)\cos(2\pi f_r t) = \frac{1}{2}\left(\cos(2\pi (f_e+f_r) t)+ \cos(2\pi (f_e-f_r) t)\right)
    \end{equation}
    On a donc deux fréquences dont une très grande et l'autre petite ($\delta f$).
    \item On utilise un filtre passe bas pour couper la haute fréquence. Un filtre d'ordre 1 fonctionne bien avec une fréquence de coupure de l'ordre de $\SI{50}{Hz}$
\end{itemize}
\end{tcolorbox}
La question est comment mesure-t-on cette fréquence à la fin ? On a tout fait pour pas utiliser l'oscilloscope.... Si on es serain on utilise notre fréquence mètre !!



\section{Questions}

\begin{itemize}
    \item C'est quoi un pendule simple (non pesant) ?
    \begin{itemize}
        \item C'est un pendule dont la taille caractéristique de la masse qui oscille est petite devant la distance à l'axe de rotation.
    \end{itemize}
    \item Comment tu justifie l'incertitude sur le temps pour la période d'un pendule ?
    \item Quel sens donné à la fréquence d'un signal amortie ?
    \item C'est quoi la caisse en dessous du diapason ? Une caisse de résonnance ?
    \begin{itemize}
        \item C'est une caisse qui permet une bonne adaptation d'impédance.
    \end{itemize}
    \item C'est quoi l'intérêt du montage à hystérésis dans le fréquence mètre ?
    \begin{itemize}
        \item Il permet de s'affranchir d'un certain niveau de bruit de la source.
    \end{itemize}
    \item Quelle précision est nécessaire en musique ? Comment fonctionne un accordeur ?
    \item C'est quoi la bande passant de l'AO dans la manière où on l'utilise ?
    \begin{itemize}
        \item Ici on est limiter par le Slew-Rate : la pente en temps pour passer de $-V_{sat}$ à $+V_{sat}$ qui est de l'ordre de $10^5\SI{V.s^{-1}}$
    \end{itemize}
    \item Comment fonctionne la FFT
    \begin{itemize}
        \item Cela fonctionne avec une méthode récursive pour calculer les coefficient de fourrier. Grâce à ce choix récursif on a une complexité en $O(n\ln(n))$
    \end{itemize}
    \item Quel est l'intérêt de la détection synchrone ? (pensez à expliciter plus l'objectif en présentant)
    \item Quel est le fonctionnement du chronocapteur ?
    \item Est-ce qu'il y a de la diffraction au niveau de l'emetteur dans le banc Doppler ? \begin{itemize}
        \item Oui
    \end{itemize}
    \item Comment on peut s'affranchir de la dépendance en amplitude avec l'éloignement ?
    \begin{itemize}
        \item Faire une lentille (avec un gaz par exemple)
    \end{itemize}
    \item c'est quoi le spectre du signal après la détection synchrone et comment on peut améliorer la détection synchrone ?
    \begin{itemize}
        \item Fréquence à $\delta f$ et $f_e + f_r$. On peut optimiser en prenant un filtre d'ordre supérieur (pas utile ici.)
    \end{itemize}
    
\end{itemize}
\section{Manipulation surprise :}
Déterminez le coefficient de restitution d'une balle de ping pong.

En répétant plusieurs fois un laché d'une hauteur déterminée et en mesurant la hauteur de rebond, on peut remonter au rapport : énergie finale sur énergie initiale. 
Il est également possible de remonter à ce rapport en chronométrant le temps entre deux rebond grâce à un micro par exemple. 
Il faut avoir en tête que l'on suppose ici que le coefficient de restitution est indépendant de la vitesse.
\end{document}

