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\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Montage de 28 &   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{Instabilités et phénomènes non-linéaires}\\[-0,3cm]
\HRule \\
\end{center} 

\section*{Niveau} 

\section*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\section*{pré-requis}


\section*{Expériences}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\tableofcontents

\section*{Introduction}
Jusqu'à présent, on s'est contenter d'étudier des phénomènes physiques linéaires, et si ce n'était pas le cas, on les a linéairisé autour de leurs points stables pour les étudié. Cela marche très bien jusqu'à un certain point. En effet les non linéarités donne une physique riche que nous allons illustrer aujourd'hui.
Et il y a instabilité aussi ...

\section{Le pendule pesant}

\subsection{Présentation du pendule}

Le pendule pesant est caractérisé par l'équation différentiel : 
$$\pdv[2]{\theta}{t}+\omega_0^2\sin(\theta) = 0 ~~~~\text{avec} ~~~~ \omega_0^2 = \frac{MgL}{J_0+ML^2}$$

Nous pouvons constater le pendule posède une position stable en $\theta = 0$ (modulo $2\pi$) et une position instable en $\theta = \pi$


Le pendule est équipé d'un potentiomètre et d'un circuit amplificateur qui délivre une tension $U\propto \theta$
\begin{tcolorbox}
Calibrage du capteur :\\
On montre que le capteur est bien linaire : on fixe une position et on mesure la tension en sortie du capteur. (faire un point devant le jury rapide)
\end{tcolorbox}
\subsection{Étude au grands angles : enrichissement spectrale}
\begin{tcolorbox}
On trace le portrait de phase pour différentes valeurs de positions initiales.
On fait la TF et on montre qu'il n'y a plus qu'une fréquence mais que l'on voit apparaître des harmoniques à $\3\omega_0$
\end{tcolorbox}
\subsection{Caractéristion du comportement non linéaire}
Formule de Bordas : 
$$T = T_0\qty(1+\frac{\theta_0^2}{16})$$
\begin{tcolorbox}
Formule de Bordas : (TP) attention aux $\theta$ qui doivent être en radian\\
\begin{itemize}
    \item thetaL = Lissage(theta)-Moy(theta)
    \item Env=CreteMaxi(thetaL;0.1) \textit{(permet de repérer l'enveloppe)}
    \item Tpas = Seuil(thetaL;0;1)\textit{(permet de repérer les passages à 0)}
    \item n= Rampe(1;10000;10000)
    \item Tper = Deriv(Tpas,n) \textit{(permet de calculer la période entre deux passage à 0)}
    \item Représenter Tper en fonction de Env.
\end{itemize}
On fait un ajustement en $Ter =T_0\qty(1+a Env^2+b Env^4)$. Pour l'ajustement sur notre ami a tous latis pro, bien penser a fair glisser la courbe $Tper = f(Env)$ et pas $Tper = f(t)$

\end{tcolorbox}
A priorie le terme en $\theta^4$ a un facteur : $11/3072$... 

\section{Oscillateur de Van der Pol (commencer par l'oscilateur anharonique pour éviter un recablage de plus)}

L'oscillateur de Van der Pol est décrit par l'équation : 
$$\dv[2]{s}{t}+\epsilon \omega_0 \qty(\qty(\frac{s}{s_0})^2-1)\dv{s}{t}+ \omega_0^2s = 0$$
C'est un oscillateur non linéaire avec un seul paramètre et très utilisé en pratique.
\subsection{Caractérisation de l'élément non linéaire}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width =0.5\textwidth]{images/nl_vdp.PNG}
    \caption{Element non linéaire de Van der Pol}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}
C'est un montage qui agit comme une résistance négative autour de 0.
$$s= \qty(-\frac{R_{4n}}{R_{3n}+R_{4n}}\frac{R_{1n}+R_{2n}}{R_{1n}}KV_0)e+\qty(\frac{K^2R_{2n}}{R_{1n}})e^3 = \alpha e+\beta e^3$$
\begin{tcolorbox}
Caractérisation \\
$R_{1n} = R_{3n} = 6.2k\Omegaup$, $R_{2n} = 82k\Omegaup$, $R_{4n}= 2k\Omegaup$
Attention : il faut mettre un inverseur en sortit (en fait le mutiplieur sur le shéma a un gain -K) Il faut donc bien mettre l'inverseur avant de calculer $\alpha$ et $\beta$
On peut montrer qu'en fonction de la valeur de $V_0$ on a pas le même caractéristique du composant.\\
On fixe $V_0$ à 1V et ne plus le toucher après (il fixe $\alpha$).\\
Faire l'acqisition sur latis Pro avec 3Vpp d'amplitude et f = 100Hz. on ajuste avec un polynome.\\
(Faire la FFT et montrer le pic à 3f.)
\end{tcolorbox}

Expliquons avec les mains : 
Si on note $u$ la sortie du premier multiplieur et $s_0$, le montage a AO est globalement un soustracteur avec des coeffs bizarre : $$s_0 = A(u-b V_0) ~~\text{Donc} ~~s = e\times s_0 = e\times\qty(A(e^2-b V_0))$$
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/inverseur.PNG}
    \caption{Inverseur}
\end{figure}
Il faut que le balayage pour tracer la réponse du composant non linéaire soit assez lent pour qu'il n'y ait pas d'hystérésis des multiplieurs et que l'amplitude soit raisonnable pour ne pas saturer les AO.

\subsection{Le fameux Van der Pol}
\remarques{Attention au sens du composant non linéaire}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/vdp.PNG}
    \caption{Van der Pol}
    \label{fig:my_labsdfgel}
\end{figure}
$$\dv[2]{s}{t}+\epsilon \omega_0 \qty(\qty(\frac{s}{s_0})^2-1)\dv{s}{t}+ \omega_0^2s = 0$$
Ici $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}$
et $\epsilon = -\sqrt{\frac{R_1R_2C_2}{C_1}}\frac{\alpha R_{C1}+R_{NL}}{R_{C1}R_{NL}}$


\begin{tcolorbox}
On montre qu'a partir d'une résistance critique on observe des oscillation : on trace le portrait de phase à l'oscillo ou sur Latis pro. \\
On peut faire des TF pour montrer comment en fonction de la valeur de $\epsilon$ on s'écarte d'un comportement linéaire ?

Valeurs de composants : $R_1 = R_2 = \SI{10}{k\ohm} $, $R = \SI{1}{k\ohm}$, $C_1 =C_2 = 0.1\mu F $,$R_{C1} = \SI{100}{k\ohm} $ et $R_{NL}$ résistance variable
\end{tcolorbox}
\subsection{Notion de stabilité : bifurcation}

\begin{tcolorbox}
Pour différentes valeurs de $R_{NL}$ proche de la bifurcation on relève l'amplitude des oscillations. On remonte ainsi au diagramme de bifurcation.\\
En tracant $s_{cc}$, l'amplitude crète à crète de oscilation en fonction de $R_{NL}$ on peut remonter à $\alpha$ et $\beta$ : $s_{cc}= 4\sqrt{-\frac{\alpha}{3\beta}-\frac{R_{NL}}{3\beta R_{C1}}}$
\end{tcolorbox}

\section{Pendule double puit}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width =0.5\textwidth]{images/double_puit.PNG}
    \caption{Double puits}
    \label{fig:my_labsdfgdfgel}
\end{figure}
L'équation de ce système est  :
$$\dv[2]{x}{t}+r\dv{x}{t}+\delta x+\lambda x^3 =0$$
avec  $r = \frac{1}{R_{C1}}$, $\delta = \frac{\alpha}{R_1R_2C_1C_2}$ et $\lambda = \frac{\beta}{R_1R_2C_1C_2}$

\begin{tcolorbox}
Caractérisation :\\
$R =R_1 = 1k\Omega$, $R_2 =  10k\Omega$,$C_1=C_2 = 3\mu F$ et $R_{C1}$ résistance variable de l'ordre d'un méga ohm.
\end{tcolorbox}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/voltcraft1.jpg}
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/voltcraft2.jpg}
    \caption{Notice Voltcraft}
\end{figure}

\section{Commentaire}
\begin{itemize}
    \item Incertitudes sur la position de la tige ? c'est $\pm  \sigma$ ou $3\sigma$ 
    \begin{itemize}
        \item On repère une incertitude dans laquelle on est sûr d'être, donc $3\sigma$
    \end{itemize}
    \item C'est quoi les unités de tes droites 
    \begin{itemize}
        \item Unité internationales
    \end{itemize}
    \item Pourquoi le point et pas sur la droite ?
    \begin{itemize}
        \item Dérive de l'amplificateur
    \end{itemize}
    \item Quelles montages dérives avec les AO
    \begin{itemize}
        \item L'intégrateur
    \end{itemize}
    \item Comment tu a choisit entre incertitude type et intervalle de $95\%$
    \begin{itemize}
        \item Il faut le préciser au tableau si on prends les incertitudes à  $95\%$
    \end{itemize}
    \item Critère de Shanon ?
    \item Refaite une acquisition aux petits angles avec 100 points et 1 s. On observe un battement dans l'écrêtement des sinus, pourquoi ?
    \begin{itemize}
        \item On a une fréquences d'échantillonage qui est une fraction entière de la fréquence de l'oscilation
    \end{itemize}
    \item A quoi est du la forêt de pics autour du pic centrales
    \begin{itemize}
        \item C'est du à la convolution avec la porte de la fenêtre temporelle. 
    \end{itemize}
    \item Pourquoi on attendait un pic au double de la fréquence ?
    \begin{itemize}
        \item Non linéarité : produits, mais en fait on attendait le triple parce que le DL du sinus mais intervenir du $\theta^3$
    \end{itemize}
    \item Comment vous avez la fréquences instatané ?
    \begin{itemize}
        \item On dérive un le tableau des temps entre les maximum.
    \end{itemize}
    \item Pourquoi avoir une acquisition longue ?
    \begin{itemize}
        \item Pour voir plus loin l'évolution de la période avec l'amplitude
    \end{itemize}
    \item Vous obtenez une valeur de $b$ dans les choux (le terme en $\theta^4$) est ce que vous pouvez l'imposer et voir ce que ca fait ?
    \begin{itemize}
        \item Bof mais c'est pas trop mal quand même
    \end{itemize}
    \item Qu'est ce qui est non linéaire ? : les multiplieur
    \item Si on met pas d'inverseur à la fin?
    \begin{itemize}
        \item Pour avoir une résistance négative
        \item Pour avoir des oscillations qui diverge. Ça met une instabilité. Ca entretient le système en énergie
    \end{itemize}
    \item On peut faire des oscilateur sans résistance négative
    \begin{itemize}
        \item Oui avec les AO, on fait un 
    \end{itemize}
    \item Van der pol, justifie sa place dans le montage
    \begin{itemize}
        \item Instabilité : C'est la résistance négative qui fait le taffe
        \item Non linéaire : éléments et a haute amplitude
    \end{itemize}
    \item Que se passerait-il si $\alpha$ et $\beta$ de même signes ?
    \begin{itemize}
        \item Fonction monotone... Moins d'intérêt
    \end{itemize}
    \item Comment vous savez que c'est bien la bonne chose que vous mesurer dans la période en fonction de l'amplitude.
    \item Pourquoi les offset de l'AO peut faire des problèmes
    \item C'est quoi le lien entre van der pol et le double puit ?
    \begin{itemize}
        \item Les deux sont non linéaires.
    \end{itemize}
    \item mesure des résistance ? RLC mètre, comment ca marche ?
    \begin{itemize}
        \item Circuit dont la fréquence d'oscillations qui dépend du dipole connecter.
    \end{itemize}
\end{itemize}
Latis pro : il faut des incertitudes
\textbf{Manip surprise : }\\
Mesurer un coefficient de frottement statique et dynamique (avec le dispositif avec moteur et capteur de force a disposition)
\textbf{Commentaires :}
Globalement c'était bien, avec regressi et latis pro. \\
Pour le choix du nombre de points, c'était un peu bizarre. Il ne faut pas négliger le plaisir des yeux.\\
Penser à utiliser tous les entrées de l'oscilloscope pour voir un peu partout dans le montage.\\
C'est dommage, mais c'est normal d'avoir des problèmes. C'est pas dramatique. \\
Pour la manip surprise, tu as fait ce qu'il fallait. Il faut bien penser a mettre le matos sur la paillasse.\\
Bien faire ressortir le lien avec le sujet et bien insister sur l'élément non linéaire.
\end{document}

