\documentclass{article}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{color}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{physics}
\usepackage{multirow}
\usepackage{babel}
\usepackage{upgreek}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{chemist}
\bibliographystyle{unsrt}
\usepackage[textfont={it},font=small]{caption}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{tcolorbox}
\newcommand{\hsp}{\hspace{20pt}}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.5mm}}

\newcommand{\important}[1]{\begin{center}\fbox{
\vspace{0.1cm}
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
#1
\end{minipage}
\vspace{0.1cm}
}\end{center}
}

\newcommand{\remarque}[2]{%
\begin{center}
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\fontfamily{cmss} \selectfont \vspace{0.1cm} %\small
\textbf{#1}
\begin{description}
\item[] \noindent #2
\end{description}
\end{minipage}
\end{center}\vspace{0.1cm}
}


\begin{document}
 
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{}l@{\extracolsep{\fill}}r@{}}
Montag de physique 33 &   Gey Lucas, Rossetti Sylvio \\
\end{tabular*}
\vspace{0.5cm}

\HRule \\
\LARGE \textsc{MP33 : Régimes transitoires}\\[-0,3cm]
\HRule \\
\end{center} 

\section*{Niveau} 

\section*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 2013-2017 :Il existe des régimes transitoires dans plusieurs domaines de la physique et pas uniquement en électricité ; de même, l’établissement de régimes forcés peut conduire à une physique bien plus variée que le retour à une situation d’équilibre. Par ailleurs, bien que le régime transitoire des systèmes linéaires, évoluant en régime de réponse indicielle, puisse parfois se ramener à l’étude d’un circuit RC, la simple mesure du temps de réponse d’un tel circuit ne caractérise pas l’ensemble des propriétés des régimes transitoires. Enfin, varier les échelles de temps dans la présentation serait appréciable.
\end{itemize}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
    \item 
\end{itemize}

\section*{pré-requis}


\section*{Expériences}
\begin{itemize}
    \item Circuit électrique
    \item Diffusion du glycérol
    \item temps de réponse d'une photodiode/photorésistance?
    \item Vase de Ruchardt?
    \item Etablissement des oscillations de l'oscillateur à pont de Wien?
\end{itemize}

\tableofcontents

\section*{Introduction}

Un régime transitoire est un régime d'évolution d'un système qui n'a pas atteint un régime stable ou un régime établi (stable ou forcé).

On caractérise le régime transitoire par 2 grandeurs : le facteur de qualité et le temps de relaxation. Ces 2 valeurs permettent de remonter à toutes les caractéristiques du système (période, pseudo-période, dépassement, coefficient d'amortissement,...).   

\section{Régime transitoire diffusif}
\subsection{Principe}
Le principe de cette expérience est d'étudier le temps caractéristique de diffusion du glycérol et de l'eau. On va le caractériser en remontant au coefficient de diffusion.\\
Pour repérer la diffusion on utilise le fait que les indices optiques dépend de la concentration en glycérol dans l'eau : $$n_\text{Mélange} = (1-c)n_\text{eau}+cn_\text{glycérol}$$

On part d'une situation initiale avec un mélange 50/50 de glycérol et d'eau en bas et de l'eau en eau. L'indice optique dépend alors de la hauteur. Un rayon incident est alors dévié vers les zone de fort $n$. Aussi en envoyant une nape laser à 45$^\circ$, seul les zones où il y a diffusion sont déviés et les rayon sont d'autant plus déviés que le gradient d'indice est fort.
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/glycerol2.PNG}
    \caption{BUP 819}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/glycerolclement.PNG}
    \caption{Observation (schéma des Cléments)}
\end{figure}

Pour mettre le problème en équation on utilise la de Fick : Une inhomogénéité de concentration en glycérol entraîne :
$$\va{j} = -D\grad c$$
L'équation de conservation des marticules en l'absence de vitesse d'ensemble est : 
$$\pdv{c}{t} = D\pdv[2]{c}{t}$$

Dans la limite où l'épaisseur de la cuve $e$ est petite on a : $\theta = e \pdv{n}{z}$. Ceci couplé avec le temps de réponse de la diffusion donne :
$$\theta = -e \qty(n_\text{eau}-n_\text{glycérol})\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\exp(-\frac{z^2}{4Dt})$$
Ainsi ce qu'on observe à l'écran ressemble à une gaussienne qui s'étale au cours du temps.
On peut alors repérer bas du pic (dans l'approximation où $tan(\theta) = \theta$): 
$$h = eL\frac{n_\text{eau}-n_\text{mélange}}{\sqrt{4\pi Dt}}$$
\subsection{Expérience}
\begin{tcolorbox}
\textbf{Diffusion de glycérol} :

\begin{itemize}
    \item Faire une nappe laser à $45^\circ$ avec une lentille sphérique ou une fente.
    \item Introduire de l'eau à mis hauteur dans une cuve (cuve de spectro marche)
    \item Introduire à l'aide d'une seringue ultra fine (type p104.44) le glycérol au fond de la cuve. Faire l'opération la plus délicatement possible. Quand on enlève la seringue faire attention a ne pas faire tomber de goutes
    \item Réaliser un trait pour repérer la pente de la nappe laser. on repère ensuite les distances verticalement par rapport à cette pente.
    Ne pas hésiter a éloigner l'écran pour avoir une meilleur précision.
    \item Prévoir que la déviation est très grande au début, donc mettre l'interface assez haute et ne pas hésiter à prévoir des cales en bois en dessous de la cuve pour la surelever (si le suport boy est trop long).
    \item Penser à noter la distance à l'écran et l'épaisseur interne de la cuve.
    \item Prendre des $h$ pour différents temps (beaucoup au début et moins à la fin).
\end{itemize}
On trace $$\qty(\frac{eL \qty(n_\text{eau}-n_\text{mélange})}{h\sqrt{4\pi}})^2 = f(t)$$ On attends une droite de pente $D$ \\
$n_\text{glycérol} = 1.4730$, $n_\text{eau} = 1.33298$. Attention il nous faut prendre $n_{mélange}$. Piur cela on peut se réferer au Jolidon page 410. Normalement pour un mélange MASSIQUE 50/50, on a $n_{mélange} = 1.398$. Attention, il faut se placer sur la partie linéaire de l'évolution de n avec x, sans quoi on ne peux pas relier simplement h à l'indice optique. Dans ces conditions le jolidon estime $\Delta n = 0.065\pm 0.004$. 
On attends $D =\SI{1.06e-5}{cm^2s^{-1}}$ à 25$^\circ$. Attention même si on ne trouve pas la même valeur c'est peut être pas grave. En effet cela correspond à priori à la diffusion du glycérol dans l'eau mais nous on a la diffusion du mélange eau glycérol dans l'eau. Le Jolidon trouve $D = (5.3\pm0.5)\times 10^{-10}\SI{}{m^2/s}$.\\
Aller chercher le Jolidons pour voires toutes les sources d'incertitudes
\end{tcolorbox}

\section{Régime transitoire électrique :vers un état d'équilibre}

On s'intéresse à un circuit RLC, d'ordre 2, soumis à un échelon de tension. On prend la sortie sur C?

\subsection{Premières observations}

\begin{tcolorbox}
\textbf{Observations qualitatives :}
\begin{itemize}
    \item La valeur de sortie du filtre est toujours égale à la valeur de commande.
    \item Selon la valeur de la résistance, l'arrivée à la valeur finale se fait différement.
\end{itemize}

Attention : ne pas oublier la résistance interne du GBF! Si on veut s'en passer, il faut mettre un suiveur avant le rlc.
\end{tcolorbox}

\textbf{Valeurs des composants utilisables :}
\begin{itemize}
    \item C = \SI{10}{n F}
    \item L = \SI{46}{mH}
    \item R variable
    \item $R_L =$ \SI{8,6}{\ohm} 
\end{itemize}

Avec ces valeurs, on attend pour résistance critique (celle qui donne $Q = 1/2$) à \SI{4200}{\ohm}?

\subsection{Régime transitoire vers l'équilibre}

\begin{tcolorbox}
\textbf{Etude du régime apériodique: }

Mesure du temps de montée en fonction de $R$. On mesure le temps de montée à 63 \% $\tau$, et on trace $\tau$ en fonction de $R$, la pente doit être $2C$.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}
\textbf{Etude du régime pseudo-périodique}

Mesure de $Q$ et $\omega_0$ par la méthode du décrément logarithmique :

Mesurer le décrément logarithmique $\delta = \ln(D_1/D_2)$ avec $D_1$ et $D_2$ les amplitudes par rapport à la valeur final et la pseudo période pour plusieurs valeurs de résistance. On peut tracer $Q = \frac{1}{2} \sqrt{1+\qty(\frac{2 \pi}{\delta})^2}$ en fonction de $1/R$, la pente doit être $\sqrt{L/C}$ car $Q = \frac{1}{R}\sqrt{L/C}$.
On mesure également la pseudo-période $\Omega$. On remonte à la fréquence de résonnance  en traçant $\Omega$ en fonction de $\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}$ car $\Omega = \omega_0 =\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}$. (On a aussi $\omega_0 = \frac{2Q}{\tau} = \frac{4 \pi Q \Omega}{\delta}$ en fonction de $R$, qui doit être constante.)
\end{tcolorbox}

\subsection{Régime transitoire vers un régime forcé}

On propose d'étudier l'établissement du régime sinusoïdal forcé. 
\begin{tcolorbox}
On peut observer différent cas :
\begin{itemize}
    \item Le cas apériodique : le système rejoint les oscillations forcées, plus ou moins rapidement selon la valeur de la résistance.
    \item Le cas pseudo-périodique : le système rejoint les oscillations forcées en oscillant à sa fréquence propre : si le facteur de qualité est assez grand, et $\omega$ proche de $\omega_0$, on observe des battements! Pour observer les batemment on excite par exemple à la fréquence 6500Hz sous forme de burst pour une fréquence de résonnance de 7418Hz. On observe des batement autour de 1090Hz
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\subsection{Utilisation des régimes transitoires}

\begin{tcolorbox}
\textbf{Tracé du diagramme de Bode par la méthode de la réponse indicielle :}

Tout est dans le titre. 
\begin{itemize}
    \item on envoie un signal créneau de faible fréquence (il faut que du point de vu du signal ce soit un échelon)
    \item On fait une acquisition sur Latis pro. Le pas d'échantillonnage fait l'objet d'un compromis : en effet plus on prends un pas d'échantillonnage petit et plus on observera de fréquence dans le diagramme de bode à la fin. Cependant on va passer par une étape de dérivation qui est très sensible au bruit numérique. Aussi il ne faut pas prendre un pas d'échantillonage trop petit pour que le signal ne soit pas trop bruité une fois dérivé\footnote{Pour comprendre pourquoi un il faut prendre peu de point quand on dérive, on considère un signal bruité très faiblement croissant. Si on prend plein de points, on ne va pas pas voir la pente en dérivant car le bruit va faire que la dérivé va être tanto positive, tanto négative, cependant si on prends des points très espacées alors, on pourra remonter à la pente car le bruit jouera moins. Il faut donc comparer en fonction de l'amplitude des dérivées étudié et du bruit numérique }. Cependant on peut prendre beaucoup de points si on le souhaite (donc faire une acquisition longue en tirant profit du maximum de la taille du créneaux car cela va augmenter la résolution de la transformé de fourier.
    \item On lisse fortement (toujours pour couper du bruit pour la dérivé)
    \item On dérive
    \item On fait la transformé de fourier de la dérivé
\end{itemize}
Ajuster ensuite avec l'expression de la fonction de transfert pour remonter à $Q$ et $f_0$?
Par exemple prendre 15000  points sur 30 ms pour R = \SI{20}{\ohm}. 
\end{tcolorbox}

La fonction de transfert du systeme (Systeme Linéaire Invariant dans le Temps) est la TF de la réponse du système à un Dirac (aussi appelée "fonction de Green" par les personnes qui s'y connaissent). On regarde la réponse à un créneau, qu'on dérive ensuite pour retomber sur nos pattes (voir TP page 9 pour avoir le détail des calculs).

On s'est intéresser jusqu'à présent à un régime transitoire jusqu'à l'équilibre. On s'intéresse maintenant à une régime transitoire caractérisant la naissance d'une instabilité.

\section{Régime transitoire électrique : vers un état instable}

On s'intéresse à l'oscillateur de Wien : 
\subsection{Présentation}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/Wien.PNG}
    \caption{Oscilateur de Wien}
\end{figure}

Le montage de l'oscillateur de Wien se décompose en deux partie, l'amplificateur que l'on peut modéliser par la fonction de transfert : 
$$A(j\omega) = 1+\frac{R_2}{R_1}$$
Et un filtre de fonction de transfert :
$$B(j\omega) = \frac{jRC\omega}{1+3j\omega RC+\qty(jRC\omega)^2} = \frac{1}{\frac{1}{Q}+j\qty(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega})}~~\text{Avec}~~\omega_0 = \frac{1}{RC}~~\text{et}~~Q = \frac{1}{3}$$
Quand le système est bouclé. On considère un signal donné. Il est amplifié par $A$ et il passe ensuite dans le filtre. Ensuite en fonction de sa fréquence il est plus ou moins atténué par le filtre. Si il est a une fréquence qui est trop atténuée par le filtre alors en revenant dans l'amplificateur opérationnel il est plus petit et finit donc par disparaître. Cependant si le passage dans le filtre est à la fréquence de résonance du filtre alors le signal en sorti est plus grand que celui d'entrée, et le signal est amplifié.

L'oscillateur de Wien est donc un oscillateur quasi sinusoïdale.
\begin{tcolorbox}
Présente l'oscilateur et montrer les oscillations qui sont à une fréquence donné. On peut mentionner que cela n'est possible que pour certaines valeurs de résistance de $R_2>2R_1$.
\end{tcolorbox}

\subsection{Naissance des oscilations}
On s'intérresse à la naissance des oscillations. En effet, les oscillation naissent d'une instabilité dans le bouclage. On veux remonter au temps caractéristique de divergence. 
\begin{tcolorbox}
On court circuite $R_2$ puis on lance une aquisition avec un pre trig.  On débranche le court circuit et sur Latis pro, on trace $\dv{v_s}{t}$ en fonction de $v_s$. On observe une spirale croissante vers un cycle limite. C'est la dynamique de cette spiral qui nous interesse.  
\end{tcolorbox}

\subsection{Caractérisation : Détecteur de crète}
On utilise un détecteur de crète pour détermier l'amplitude des oscillations en fonction du temps.
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/detecteurcrete.PNG}
    \caption{Détecteur de crête avec diode sans seuil}
\end{figure}
Le principe du détecteur de crête est de mettre à profit le régime transitoire d'un circuit RC. En effet, le temps typique de décroissance d'un circuit RC est $\tau_\text{crete} =\frac{1}{RC}$. Aussi quand la diode est passante la tension de sorti suit exactement la tension d'entrée mais quand la diode est bloquante la tension décroît exponentiellement avec le temps caractéristique $\tau_\text{crete}$. Il est en générale nécessaire de faire un compromis entre temps de décroissance et fréquence du signal. En effet il faut que le temps de décroissance soit grand (devant la période du signal) pour ne prendre que les crête du signal mais suffisamment petit pour qu'il puisse quand même détecter les décroissances du signale d'intérêt. Ici, on ne considère qu'un signal croissant donc pas de problème, on peut prendre un temps de décroissance très lent.

\begin{tcolorbox}
\textbf{Naissance des oscillations}:\\
On place le montage de la diode sans seuil en paralèle de $v_s$. \\
Tracer $\ln(v_\text{crete}) = f(t)$. Le temps de croissance des oscillation et l'inverse du coefficient directeur.\\
On attend : $$\tau = \frac{R_1C}{\frac{R_2}{2R_1}-1}$$
Tracer $\frac{1}{\tau} =f(R_2)$. On trouve une droite que l'on relie à $R_1$ et $C$
\end{tcolorbox}
\textbf{Materiel :}\\
\begin{itemize}
    \item 2 résistance pour Wien \SI{1}{k\ohm} par exemple
    \item 2 condensateur $\SI{1}{\mu F}$ 
    \item 2 AO
    \item Une résitance variable pour$R_2$
    \item $R_1 = \SI{1}{k\ohm}$
    \item Un diode
    \item $C_c = 1 \mu F$, $R_c = 1 M\Omega$
\end{itemize}
\section{Alternative : utilisation des régimes transitoires}

A l'aide de l'étude du régime transitoire, on peut remonter à des caractéristiques du système. 

\begin{tcolorbox}
Sur un pendule grand angle muni d'une sortie en tension proportionnelle à l'angle, faire une acquisition très longue. On peut détecter l'enveloppe. Si les frottements solides sont négligeables, on peut ajuster avec une exponentielle décroissante. S'ils sont prédominants, on peut ajuster avec une droite. On doit réaliser l'étalonnage du pendule avant la mesure.

L'étude des oscillations de relaxation du pendule permettent de remonter à une caractéristique du système.
\end{tcolorbox}

Ici, il n'est pas possible de comparer les valeurs de coefficients d'amortissement obtenues : on connaît la force de Stokes pour un écoulement perpendiculaire à un cylindre, mais ici la vitesse n'est pas constante à l'échelle du pendule. 

En revanche, on remarque que les pertes visqueuses, proportionnelles à la vitesse, dominent dans le cas des grandes oscillations, où la vitesse est importante. Les pertes par frottement solide dominent à basse vitesse.

\section*{Conclusion}
Ici, nous avons mis en évidence différents type de régimes transitoires, d'abord diffusif qui contrôle (en parti) le transport de particule mais aussi de chaleur. Nous avons ensuite, grâce à des modèles électriques, appris à caractériser des régimes transitoir et identifier ce qui leurs ait propre. Nous avons ensuite utiliser nos aquis sur les régimes transitoires pour caractériser un autre type de régime transitoire : la divergence d'oscillations vers un cycle limite.\\

Nous pouvons noter que les régimes transtoire nous informe sur le systèmes, mais ils ne sont pas toujours à notre avantage. En effet ils imposent un temps caractérisitque que l'on ne peut dépasser. Par exemple si on utilise un photo-récepteur tel qu'une photorésistance. Le temps de réponse du capteur nous empèhe de caractériser des évènement plus rapide que la reconbinaison electron trou. Cependant, L'étude de se temps de réponse nous renseigne justement sur des caractérisitques des supraconducteurs.

\begin{tcolorbox}
Manip tampon : mesure du temps de réponse d'une photorésistance (voir montage sur les semi conducteur) C'est une manip en un point qui peut aller assez vite ... Mais le reste est déjà long. (mais si quelque chose de marche pas, on peut toujours se rabattre dessus)
\end{tcolorbox}
\end{document}
