\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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\title{LP01 -- Contact entre deux solides. Frottements.}
\renewcommand{\deg}{\si{\degree}}
\date{\today}
\let\vec\overrightarrow


\begin{document}



\titre{Aurélien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}

\subsection*{Niveau : L2}


\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\  \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Livres de prépa}  \textbf{quelconque} &  \\ 
\textbf{Pérez et Androetti} & \\
\textit{BUP 822-1 (03/2000)} & \\
\end{tabular}
%\footnotetext{Par soucis de place toujours, je pense pas qu'il soit nécessaire de mettre les références exactes surtout pour un livre classique.}
% Vous avez vu cette commande badass pour ne pas mettre les footnotes dans les environements locaux ??

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item mécanique du point 
 \item base de mécanique du solide
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item Plan incliné
	\item De Vinci
	\item Stick Slip
	\item Sommerfeld
	\item Effet rétro
	\end{itemize}
\end{minipage}




\tableofcontents\setlength{\parskip}{1em}

\newpage
\section*{Introduction}

\experience{Intro sur Coulomb}{}{2mn}{
Plan incliné avec divers matériaux, et on montre que le comportement est différent. On n'entre pas dans les détails.
}

Les frottements solides sont un phénomène complexe et varié, qu'il es convenu de traiter tôt dans la carrière d'un scientifique. Cette leçon au niveau 2eme année de prépa vise à discuter des lois de Coulomb par un point de vue micro et historique.

\vspace{0.2cm}

\section{Contact entre deux solides}
\subsection{Approche microscopique}
Quand on regarde une surface, on peut avoir l'impression qu'elle est lisse. Cependant, une surface présentera toujours des aspérités au niveau microscopique. Ainsi, quand 2 solides sont en contact, les rugosités les plus hautes des surfaces des 2 solides vont entrer en contact. Ainsi, la surface de contact entre les deux solides sera plus petite que la surface de contact apparente. Notons que ces aspérités peuvent s'enchevêtrer mais à cause des répulsions électrostatiques, elles ne peuvent pas se pénétrer.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.3\textwidth]{fig/rugosite_micro.png}
    \includegraphics[width = 0.6\textwidth]{fig/brosse_micro.png}
    \caption{\`A gauche : contact entre deux solides au niveau microscopique, la surface de contact effective est représentée en rouge. \`A droite : modèle de la brosse.}
    \label{fig:microsite}
\end{figure}

Un modèle intéressant pour expliquer les frottements à l'échelle microscopique est le modèle de la brosse. Dans ce modèle, les aspérités microscopiques sont modélisées par des poils élastiques. Lorsqu'on fait glisser un solide sur un autre, les poils sont d'abord mis en contact puis ils se déforment élastiquement. Si le mouvement continu, le contact entre les poils finit par se rompre et les poils vont se mettre à vibrer, ce qui dissipe de l'énergie. Avec ce modèle, on peut déjà intuitivement connaître la direction de la force de frottement en regardant la direction de déformation des poils.


\transition{L'aspect microscopique permet de comprendre d'où viennent les frottements mais il n'est pas pratique pour traiter des problèmes à l'échelle macroscopique. Il nous faut donc une nouvelle approche à cette échelle.}

\subsection{Approche macroscopique}
On peut modéliser le contact entre deux solides au niveau macroscopique selon trois géométries :
\begin{itemize}
    \item surfacique, comme par exemple un pavé sur un plan
    \item linéique, comme par exemple un cylindre sur un plan
    \item ponctuelle, comme par exemple une sphère sur un plan
\end{itemize}
Les contacts linéiques et ponctuels ne sont que des approximations : en réalité, il existe toujours une surface de contact puisque les aspérités sont en contact surfaciques, et les solides se déforment toujours légèrement.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/geometrie_contact.png}
    \caption{Les différentes géométries de contact : surfacique (à gauche), linéique (au centre) et ponctuelle (à droite).}
    \label{fig:geo_contact}
\end{figure}

On appelle \textbf{plan tangent} $\Pi$ le plan tangent à $(S1)$ et $(S2)$ au point de contact entre les solides (en supposant, comme c'est le cas ici, que les surfaces sont régulières). 


\transition{Du contact naissent les actions mécaniques.}

\subsection{Actions mécaniques des forces de contact}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{fig/actions_contact.png}
    \caption{Actions mécaniques de contact entre 2 solides.}
    \label{fig:actions_contact}
\end{figure}

Le contact entre les deux solides va créér une résultante de force $\overrightarrow{R}=\overrightarrow{R_N}+\overrightarrow{R_T}$ et de moment $\overrightarrow{\mathcal{M}}=\overrightarrow{\mathcal{M}_\parallel}+\overrightarrow{\mathcal{M}_\perp}$. On appelle $\overrightarrow{\mathcal{M}_\parallel}$ \textit{moment de roulement} (comme pour une roue) et $\overrightarrow{\mathcal{M}_\perp}$ \textit{moment de pivotement} (comme pour une toupie).

Dans le cadre de l'approximation du contact ponctuel, $\overrightarrow{\mathcal{M}}=\overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{R}$ s'applique en I. Cette approximation a ses limites, notamment dans l'exemple de la toupie qui ne tourne pas indéfiniment parce que $\overrightarrow{\mathcal{M}_\perp} \neq \overrightarrow{0}$. On se placera néanmoins dans ce cadre pour le reste de la leçon.

\transition{On a décrit les actions causées par le contact, mais qu'en est-il du mouvement des solides en contact ?}

\subsection{Cinématique}

Deux solides en contact peuvent être en mouvement l'un par rapport à l'autre. En notant $\mathcal{R}$ le référentiel dans lequel ce mouvement est décrit, il est possible de définir la vitesse de glissement de $(S1)$ par rapport à $(S2)$ comme étant :
\begin{equation}
    \overrightarrow{v_{gl}}(S1/S2) = \overrightarrow{v_\mathcal{R}}(I_1) - \overrightarrow{v_\mathcal{R}}(I_2) 
\end{equation}
où $I_1$ et $I_2$ sont les points appartenant au solide 1 et au solide 2 respectivement et qui coïncident avec le point $I$ à l'instant t. Ainsi, $I_2$ peut avoir une vitesse nulle même si $I$ peut changer d'endroit au cours du temps. Si $\overrightarrow{v_{gl}} \neq \overrightarrow{0}$ alors il n'y a pas de glissement entre les solides. 

\vspace{0.2cm}
Prenons l'exemple d'une roue se déplaçant sur le sol. La vitesse de glissement vaut alors
\begin{equation}
    \begin{aligned}
    \overrightarrow{v_{gl}} &=  \overrightarrow{v_\mathcal{R}}(I_1) - \overrightarrow{v_\mathcal{R}}(I_2) =  [\overrightarrow{v_{\mathcal{R}1}}(I_1) + \overrightarrow{v_\mathcal{R}}(G)]+\overrightarrow{0} \\
    &= \overrightarrow{\omega} \wedge \overrightarrow{GI} + \dot x_G\overrightarrow{u_x} = (-\dot \theta \overrightarrow{u_z})\wedge(-R\overrightarrow{u_y}) + \dot x_G\overrightarrow{u_x}
    &= (\dot x_G-R\dot\theta)\overrightarrow{u_x}
    \end{aligned}
\end{equation}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{fig/cinematique_contact.png}
    \caption{Roue se déplaçant sur le sol.}
    \label{fig:roue}
\end{figure}

On distingue 3 cas dans cette situation :
\begin{itemize}
    \item  \textbf{À l'équilibre :} on a 2 inconnues, $\overrightarrow{R_T}$ et $\overrightarrow{R_N}$, et 3 équations avec le théorème du centre d'inertie (TCI) et le TMC ;
    \item \textbf{Sans glissement :} on a 4 inconnues, $\overrightarrow{R_T}$, $\overrightarrow{R_N}$, $\dot x_G$ et $\dot \theta$ et on a 4 équations avec le TCI, le TMC et la relation $\overrightarrow{v_{gl}}=\overrightarrow{0} \iff \dot x_G = R \dot \theta$ ; 
    \item \textbf{Avec glissement :} on a toujours 4 inconnues mais plus que 3 relations car $\overrightarrow{v_{gl}} \neq \overrightarrow{0}$.
\end{itemize}

Dans les deux premiers cas, on a autant voire plus d'équations que d'inconnues. Cependant, dans le cas avec glissement, \textbf{il manque une équation pour fermer le problème}.


\transition{On obtient cette équation supplémentaire grâce à des lois phénoménologiques.}

\section{Histoire de l'étude tribologique : lois phénoménologiques}

\textit{Etymologie : "tribos" = frottement et "logos" = la science, l'étude.}

\vspace{0.2cm}

Nous venons d'étudier la formulation cinématique des actions de contacts, mais nous avons encore des inconnes dans cette formulation. Il nous faut une loi reliant la réaction normale à la réaction tangentielle ! Les lois utilisées traditionnellement sont des lois empiriques.


\subsection{De Vinci}
C'est de Vinci qui le premier au 14ème siècle, au début de la renaissance italienne, a fait les premières observations expérimentales de tribologie.

\experience{Expérience de De Vinci}{wikipedia}{3mn}{

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/vinci.png}
    \caption{Schéma expérimental de l'expérience de De Vinci.}
    \label{fig:vinci}
\end{figure}

Les observations :

\begin{itemize}
    \item Les masses ne se déplacent qu’à partir d’une certaine force $F_T$ appliquée sur la corde.
    \item Dans les deux situations, $F_T$ est identique. Ainsi, $F_T$ est indépendante de la surface de contact.
    \item $F_T$ est proportionnelle à la charge normale (ici, l’opposé du poids).
    \item Une fois le mouvement initié, la force nécessaire à entretenir le mouvement est inférieure à la force nécessaire pour l’initier.
\end{itemize}
}

\subsection{Amontons-Coulomb}
Deux siècles plus tard Amontons puis Coulomb ont formulé des lois du frottement, toujours à partir d’expériences de glissement de patins sur un plan. Nous allons les revérifier en en ayant la connaissance !

\remarque{observations de A--C :}{
Il existe deux coefficients $f_d<f_s$ tels que :
\begin{itemize}
    \item En partant du repos, $v_g=0$, il faut atteindre $R_T=f_sR_N$ pour mettre le patin en mouvement. Avant mise en mouvement on a $R_T<f_sR_N$.
    \item Une fois le patin en mouvement on a $R_T=f_dR_N$. Alors on a $\overrightarrow{R_T}\parallel\overrightarrow{v_g}$ en sens opposé.
    \item Les coefficient $f_s$ et $f_d$, coef de frottement statique et dynamique ne dépendent que des matériaux en contact. On a typiquement $0.05\leq f_d\leq f_s\leq1$.
\end{itemize}
}

Une remarque intéressante à faire est celle sur la lubrification. Lubrifier ou graisser un support c'est insérer des petites molécules très rondes qui vont rouler sur elles-mêmes comme des billes, comme de l'eau par exemple.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.35\textwidth]{fig/fsfd.png}
    \caption{Quelques valeurs de coef de friction, \textit{Taillet, Dictionnaire de la Physique}.}
    \label{fig:fsfd}
\end{figure}



L'introduction de ces coefficients permet de définir le concept de Cône de Frottement. En effet si on trace $\overrightarrow{R}$ on voit qu'il est la somme de $R_N$ et $R_T$, donc il fait un angle $\phi$ avec $\overrightarrow{R_N}$ qui est donné par $\tan\phi=\dfrac{R_N}{R_T}$. Cela permet de définir le cône critique de frottement, qui est le cône dans lequel doit être inclus $\overrightarrow{R}$ pour que l'objet soit statique.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/Cone_frottement.pdf}
    \caption{Le cône de frottement.}
    \label{fig:cone}
\end{figure}


\subsection{Illustration expérimentale : le plan incliné}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/planincline.png}
    \caption{Schéma du montage du plan incliné en situation de non glissement. Le point $I$ est le projeté du point $G$.}
    \label{fig:gliss}
\end{figure}


Pour tester les lois d'AC on fait le montage ci-dessus. Sur ce montage on voit tracé les point G et I. G est le centre de gravité du patin, et I le projeté de ce dernier sur le plan incliné. On retrouve un cône de frottement. Ici les équations donnent que $\overrightarrow{R}=-m\overrightarrow{g}$, d'où $R_N=mg\cos\alpha$ et $R_T=mg\sin\alpha$.


\experience{Plan incliné}{}{5mn}{
\textbf{Matériel :} masses en bois avec surface au choix P82 ; plan incliné P82.

~

On observe l’angle minimal de mise en mouvement de trois patins de surfaces différentes pour montrer l’influence de la nature des surfaces sur $f_s$ : les patins ont des angles de mise en mouvement différents.

On remarque l'indépendance en masse, et l'indépendance en surface.

Avec le patin qui accroche le plus, on refait l’expérience en inclinant jusqu’à la mise en mouvement, puis on réduit l’angle tout en gardant le mouvement pour visualiser $f_d < f_s$.

\textbf{Quantitatif :} Moyenne de différentes expériences pour remonter à un $f_s$ "tabulé".

\textbf{Quantitatif :} Régression linéaire sur la masse avec un newton-mètre pour remonter à un $f_s$ "tabulé".

}



\subsection{Aspect énergétique}

D'un point de vue énergétique, on s'attend à ce que la puissance totale des actions de contact soit négative, à savoir que l'on dépense de l'énergie. En effet les actions de contact sont purement des pertes énergétiques.

Considérons deux solides $S_1$ et $S_2$ en contact au point $I=I_1=I_2$ à l'instant $t$. La puissance reçue par $S_1$ est $P_1=\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{v(I_1)}$, celle de $S_2$ est $P_2=-\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{v(I_2)}$ d'après la seconde loi de Newton (R vs -R). Ainsi la puissance totale des forces est donc $\mathcal{P}=\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{v_{gl}}$.

Ainsi $$\mathcal{P}=-R_Tv_{gl}\leq0$$ car $R_T$ et $v_{gl}$ sont opposés.

Ainsi, la puissance totale des forces de frottement est nulle s’il n’y a pas de frottement, ou s’il n’y a pas de glissement.
On peut donc bien avoir une force de frottement non nulle sans avoir de dissipation d’énergie par frottement.



\transition{Passons maintenant à l'application de ces lois.}

\section{Conséquences expérimentales}

\subsection{Stick-Slip}

\manip{Expérience de Sommerfeld}{
L’expérience prend une minute. On place une règle en appui sur ses doigts. On essaye d’exercer une force égale à droite et à gauche pour rapprocher les deux doigts. Les doigts collent et glissent à tour de rôle pour enfin se rejoindre au centre de la règle. Cette expérience est plutôt marrante et permet de montrer qualitativement comment une variation de la réaction normale exercée par un doigt permet d’être en régime de glissement ou
}


\experience{Stick-Slip}{\textit{Les milieux granulaires}, \textbf{Andreotti}}{3 min}{
\textbf{Matériel :}
\begin{itemize}
    \item masse en bois avec surface au choix P82
    \item dépoli P128.8 ou assimilé
    \item moteur P95.22/2 avec le cylindre fait pour l'occasion
    \item un ressort \textbf{bien choisi}
    \item un bout de ficelle
    \item savoir faire des noeuds
\end{itemize}
}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/stick_slip.png}
    \caption{(a) Schéma de la situation. (b) Allure de $\varepsilon(t)$.}
    \label{fig:stick_slip}
\end{figure}



Un patin de masse $m$ est accrochée à un ressort de raideur $K$, lui-même relié par un fil à un moteur qui tourne à vitesse constante $\overrightarrow{V}$. On appelle $F_T$ la tension du ressort, $R_T$ la force de friction et $F_N = mg$ la force normale, avec $g$ la constante de pesanteur. Pour des vitesses suffisamment faibles, on observe une succession de deux régimes :
\begin{itemize}
    \item un où le ressort s’étire sans que le mobile ne bouge (phase \textit{stick}) ;
    \item un où le mobile est en mouvement et le ressort se recontracte (phase \textit{slip}).
\end{itemize}

\subsubsection{Phase \textit{stick}}
À $t=0$, le ressort est au repos ($\varepsilon=0$) et le patin est en $x=0$, immobile. On commence à tirer l'extrémité du ressort : l'allongement du ressort est alors $\varepsilon(t) = Vt$ donc $\dot \varepsilon(t) = V$. 
Le PFD donne alors $F_T=R_T$ et $F_N=mg$. Or $F_T=K\varepsilon=KVt$, et d'après les lois d'Amontons-Coulomb le patin ne bouge pas tant que $R_T \le f_s F_N$.
Ainsi,
\begin{equation}
    \begin{aligned}
    \text{On reste dans la phase \textit{stick}} &\Leftrightarrow R_T \le f_s F_N \iff F_T \le f_s F_N\\
    &\Leftrightarrow KVt \le f_s mg \\
    &\Leftrightarrow t \le t_1 = \dfrac{f_s m g}{K V}\\
    &\Leftrightarrow \varepsilon \le \varepsilon(t_1) = V t_1 = \dfrac{f_s m g}{K}\\
    \end{aligned}
\end{equation}



\subsubsection{Phase \textit{slip}}
Dès que $t=t_1$, on sort de la phase \textit{stick}. Le patin est alors mis en mouvement à la vitesse $_dot x$ et on a $R_T=f_d m g$. Ainsi, $\varepsilon(t)=Vt-x$ d'où $\dot \varepsilon = V-\dot x$
Un nouveau PFD donne alors
\begin{equation}
    m \ddot x = K \varepsilon - f_d m g \iff \ddot \varepsilon + \omega_0^2 \varepsilon = f_d g \qquad \text{avec} \qquad \omega_0 = \sqrt{\dfrac{K}{m}}
\end{equation}

Les solutions de cette équation sont de la forme $\varepsilon(t > t_1) = L \cos(\omega_0(t-t_1)+\phi) + \dfrac{f_d m g}{K}$. On peut ensuite utiliser les conditions initiales :
\begin{itemize}
    \item $\varepsilon(t1) = \dfrac{f_s m g}{K} \iff L\cos{\phi} = (f_s-f_d)\dfrac{mg}{K}=\dfrac{\Delta f m g}{K}$ 
    \item $\dot \varepsilon(t1) = V \iff L\sin(\phi)=-\dfrac{V}{\omega_0}$
\end{itemize}
Finalement, on obtient
\begin{equation}
    \varepsilon(t > t_1) = L \cos(\omega_0(t-t_1)+\phi) + \dfrac{f_d m g}{K} 
    \qquad \text{avec} \qquad L^2= \left( \dfrac{\Delta f m g}{K} \right)^2 + \left( \dfrac{V}{\omega_0} \right)^2
    \qquad \text{et} \qquad \phi=-\arctan\left( \dfrac{VK}{\Delta f m g \omega_0} \right)
\end{equation}

\subsubsection{Diagramme de phase}
Des calculs fastidieux (cf annexe) permettent d'obtenir le diagramme de phase $(\varepsilon, \dot \varepsilon)$, avec \textbf{$\dot \varepsilon(t>t_1) = -L \omega_0 \sin(\omega_0(t-t1)+\phi)$}. on obtient une ellipse de centre C d'abscisse $\dfrac{f_d m g}{K}$ et d'ordonnée nulle, parcourue dans le sens horaire, avec comme demi grand-axe horizontal $L$ et comme demi petit-axe vertical $L\omega_0$. On a $\varepsilon(t_1)$ au point B qui vaut $\dfrac{f_s m g}{K}$ et on trouve par symétrie \textbf{$\varepsilon(t_2) = (2f_d-f_s)\dfrac{mg}{K}$}.

Le mouvement résultant est donc une succession d'étapes "collées" où le patin est à l'arrêt et où le ressort s'allonge, et d'étapes "glissées" où le patin avance. C'est un phénomène non linéaire (oscillation avec forçage constant dans le temps), et l’oscillation est non harmonique ! La non linéarité provient de la non linéarité de la loi de Coulomb. Conséquences : violon, grincement des portes, crissement des craies, modèle simplifié pour les tremblements de terre (dérive lente des continents)...

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig/DiagrammePhase.png}
    \caption{Diagramme de phase de l'oscillateur stick-slip. On est dans la phase \textit{stick} entre D et B.}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}



\subsection{Effet Rétro}

Au billard, booling, football, tennis, autres, il existe une technique très particulière de lancé qui revient à donner une rotation en sens inverse à la balle. La balle avance en glissant sur une surface, et elle a un roulement qui augmente la vitesse de glissement réelle. Lorsque le glissement cesse, l'objet est en roulement pur.

On prend une balle de rayon $r$, et on se place pour calculer cet effet dans le référentiel terrestre, de tel sorte que $$\overrightarrow{\omega}=\omega\overrightarrow{u_z}$$ $$\overrightarrow{v}(G)=\dot{x}\overrightarrow{u_x}$$ $$\overrightarrow{R}=-R_T \vec{u_x} + R_N \vec{u_y}$$

On prend $\omega(t=0)=\omega_0>0$ et $\dot x(t=0)=v_0>0$, de façon à ce que le solide tourne dans un sens qui s'oppose au mouvement. Le mouvement se déroule donc en deux phases, une phase de glissement et une phase roulement (ou d'arrêt).

\subsubsection{Première phase}

Phase de glissement à $v_g=\dot x+r\omega$.

On applique le PFD, $\begin{cases}R_N=mg \\ m\ddot x = -R_T \end{cases}$, on applique le TMC dans le référenciel du barycentre, $J\dot\omega=-R_Tr$.

On a glissement donc $R_T=fR_N$. On insère dans le TMC et le PFD, et on obtient :

$$
\begin{cases}
\dot\omega &= -\dfrac{fmgr}{J} \\ \ddot x &= -fg
\end{cases}
$$

On cherche dont $t_1$ tel que $v_g(t_1)=0$. On trouve

$$t_1=\dfrac{v_o+r\omega_0}{fg(1+\dfrac{mr^2}{J})}$$

On en déduit

$$\dot x(t_1)=v_0-\dfrac{v_0+r\omega_0}{1+\dfrac{mr^2}{J}}$$

La balle s'arrète et revient en arrière ssi cette valeur est négative.


\subsubsection{Deuxième phase}
On distingue deux cas :
\begin{itemize}
    \item $\omega_0 > \dfrac{v_0 m g}{J}$ donc $\dot x (t_1) <0$ : \textbf{le solide revient} (exemple : cerceau) ;
    \item $\omega_0 < \dfrac{v_0 m g}{J}$ donc $\dot x (t_1) >0$ : \textbf{le solide ne revient pas} (exemple : bowling).
\end{itemize}

\experience{Montrer l'effet rétro}{}{20s}{Avec l'objet de ton choix.

Possibilités : cerceau, effaceur, autre objet qui roule.}

\subsection{Frottement en rotation}

\url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Résistance_au_pivotement}


\section*{Conclusion}
Sujet complexe, se joue au niveau microscopique, simplification heureuse avec les lois de Coulomb en première approximation, à l’échelle macroscopique. Permet de traiter les frottements solides dans de nombreux cas (porte, craie, violon, freinage sur différentes chaussées, etc.). Les frottements peuvent être dissipatifs, mais sont aussi nécessaires au mouvement :

~~--Une roue utilise les frottements pour avancer sans que ceux-ci ne dissipent d’énergie

~~--Lors de la marche, les frottements fournissent l’accélération, mais pas l’énergie qui, elle, est fournie par la puissance des forces intérieures (muscles).

La tribologie est la science qui étudie les systèmes matériels en contact : nous avons fait de la tribologie dans cette
leçon !

\subsection*{Ouvertures possibles :}

- Fonctionnement de l’ABS : revenir dans le cône de frottement statique en débloquant les roues.

- Frottement de pivotement et résistance au roulement. Conséquence : la position d’équilibre d’un appareil comme un voltmètre analogique n’est pas exactement définie par l’égalité du couple électromagnétique et du couple de rappel du ressort, il y a une plage d’équilibre qu’il faut donc réduire au maximum pour limiter l’incertitude.

- L’adhésion influe très peu sur le frottement, mais il y a tout de même une force proportionnelle à la surface de contact apparente A qui s’ajoute : $RT=fRN+\kappa A$.

- On peut aussi citer la conclusion du livre d’Andreotti qui apporte pas mal de précisions :

Les lois du frottement solide, bien que vérifiant en première approximation les lois de Coulomb, sont en réalité plus complexes. Tout d’abord, la proportionnalité entre la force de frottement et la charge normale n’est plus vérifiée pour de très fortes charges et/ou des matériaux très mous. Dans ce cas, la force de friction sature vers une constante. Ce phénomène, bien connu des pilotes de F1, provient du fait que la rugosité des surfaces est alors totalement écrasée. L’aire réelle de contact est donc égale à l’aire apparente et ne dépend plus de la charge. L’autre approximation concerne l’hypothèse des coefficients de friction $f_s$ et  $f_d$ constants. Des phénomènes comme le vieillissement statique (augmentation de $f_s$ avec l’âge mais diminution avec polissage) ou l’affaiblissement cinétique (diminution de $f_d$ avec la vitesse de glissement) sont observés.

\end{document}

