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\title{LP03 -- Caractère non-galiléen du référentiel terrestre}
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\newenvironment{alignement}
    {\begin{equation}
    \begin{aligned}
    }
    {
    \end{aligned}
    \end{equation}
    }

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    {\begin{equation}
    \left\{\begin{aligned}
    }
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    \end{aligned}\right.
    \end{equation}
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\newenvironment{systemein}
    {\left\{\begin{aligned}}
    {\end{aligned}\right.
    }

\date{\today}

\begin{document}

\titre{Aurélien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}

\subsection*{Niveau : L2}


\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\  \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Livre de prépa 2eme année}  \textbf{quelconque} &  \\ 
\textit{La physique par la pratique}  \textbf{Portelli} & \\
\end{tabular}
%\footnotetext{Par soucis de place toujours, je pense pas qu'il soit nécessaire de mettre les références exactes surtout pour un livre classique.}
% Vous avez vu cette commande badass pour ne pas mettre les footnotes dans les environements locaux ??

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Mécanique Newtonienne
 \item Changement de référentiels
 \item Mécanique des fluids (vents géostrophiques)
 \item Champ gravitationnel
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item 
	\end{itemize}
\end{minipage}

\tableofcontents

\setlength{\parskip}{1em}

\newpage
\section*{Introduction}
Le référentiel terrestre est le premier choix de référentiel que nous faisons lorsqu'on étudie un phénomène sur Terre. On y applique notamment les lois de Newton, qui sont censées être applicables à la condition que le référentiel d'étude soit galiléen. Cependant, on sait bien que le référentiel terrestre n'est pas galiléen de par le fait qu'il soit lié à la surface de la Terre et que la Terre tourne sur elle-même.
\vspace{0.2cm}
Dans cette leçon on va donc essayer de trouver un référentiel galiléen auquel comparer le référentiel terrestre.

\textbf{Remarque :} Le premier principe de la dynamique, c'est l'existence d'un référentiel galiléen.

\section{Le référentiel terrestre}

On a basé tout notre bordel sur les réf galiléens, est-ce que ça existe ? On va chercher.

\subsection{À la recherche d'un référentiel galiléen}
\textbf{Définitions :} On définit un référentiel comme trois axes spatiaux, un point de référence, et une horloge. En pratique l'horloge c'est que pour la relativité, mais bon. 

\begin{itemize}
    \item Ref terrestre $\R_T$
    
    On prend l'origine au centre de la terre, et les axes passent par deux villes sur l'équateur et par l'axe nord-sud. Il tourne sur lui-même et autour du soleil, et ça on le sait, essayons de se débarrasser de cette rotation. $\tau_{terre}\simeq$1 jour.
    
    \item Ref géocentrique $\R_G$
    
    On prend l'origine au centre de la terre, et on pointe les axes vers trois astres extrêmement lointains, tellement lointains qu'ils ont une parallaxe nulle. Ca tourne toujours autour du soleil. Mais c'est déjà mieux, $\tau_{gc}\simeq 400$ jours.
    
    \item Ref Copernic $\R_C$
    
    On prend les mêmes axes, mais on les fixe au centre de masse du système solaire. C'est pas mal, $\tau\simeq$250 millions d'années.
    
    \item Ref de la galaxie
    
    On prend le centre de masse de la galaxie et on fixe les axes vers des astres lointains.
\end{itemize}

On s'arrêtera au ref de copernic parce que pour ce que l'on fait, le temps caractéristique est supérieur à toute forme de vie...

Notre mécanique sera valable si $\tau_{exp}\ll\tau_{ref}$. On a alors une pseudo translation rectiligne uniforme.


\textbf{Conclusion :} Il s'avère donc impossible de mettre en évidence un référentiel rigoureusement galiléen.

Cependant, il n'est pas nécessaire de jeter toute la mécanique que vous avez étudié jusqu'à maintenant en considérant les référentiels comme galiléens. En effet, si on vous l'a présenté c'est que l'approximation de référentiel galiléen décrit bien la réalité et que ce n'est pas une hypothèse aberrante.

Si on regarde le pendule de Foucault, on s'aperçoit qu'au début de l'expérience, le pendule oscille bien dans un seul plan, le référentiel terrestre peut donc être considéré galiléen, ce n'est qu'au bout de quelques minutes que la rotation du plan d'oscillation est clairement visible. La durée de l'expérience joue un rôle essentiel dans la galiléanité du référentiel d'étude.

\subsection{Dynamique dans le référentiel terrestre}
Soient deux référentiels $\R$ de centre $O$ et $\R'$ de centre $O'$. $\R'$ a un mouvement quelconque par rapport à $\R$, translation et rotation, à la vitesse de rotation $\vec{\Omega_{\R'/\R}}$.

Loi de composition des vitesses et des accélérations, fait sur transparent sans le détail de calcul. Il faut tout de même savoir les refaire, et faire attentions aux différentes dérivées.

\begin{equation}
    \vec{v_{\R}}(M)=\vec{v_{\R'}}(M)+\vec{v_{\R}}(O')+\vec{\Omega_{\R'/\R}}\wedge\vec{O'M}
\end{equation}

\begin{equation}
    \vec{a_\R}(M)=\vec{a_{\R'}}(M)+\vec{a_\R}(O')+2\vec{\Omega_{R'/R}}\wedge \vec{v_{\R'}}+\vec{\Omega_{\R'/\R}}\wedge\left(\vec{\Omega_{\R'/\R}}\wedge\vb{O'M}\right)+\dv{\vec{\Omega_{\R'/\R}}}{t}\wedge\vb{O'M}
\end{equation}

Le PFD appliqué à une particule de masse $m$ dans le référentiel $\R$ galiléen s'exprime donc :

\begin{equation}
    m\vb{a_\R}(M)=\sum\vb{F_\text{ext}}
\end{equation}

Le PFD dans le référentiel $\R'$ non-galiléen s'exprime donc :

\begin{equation}
    m\vb{a_{\R'}}(M)=m\vb{a_\R}(M)+\vec{F_{ie}}+\vec{F_{ic}}
\end{equation}

$$\vec{F_{ie}} =-m\vec{a_\R}(O')-m\vec{\Omega_{\R'/\R}}\wedge\left(\vec{\Omega_{\R'/\R}}\wedge\vb{O'M}\right) - m \dv{\vec{\Omega_{\R'/\R}}}{t}\wedge\vb{O'M}$$

$$\vec{F_{ic}} = -2m \vec{\Omega_{R'/R}}\wedge \vec{v_{\R'}}$$

Deux pseudo-forces apparaissent dans $R'$ : la force d'inertie d'entraînement et la force de Coriolis. En particulier, le premier terme dans la force d'inertie d'entraînement est lié à la translation de $\R'$ par rapport à $\R$ tandis que les 2 autres termes sont liés à la rotation de $\R'$ par rapport à $\R$. Déterminer le caractère galiléen d'un référentiel c'est évaluer l'importance de ces termes dans le PFD. Si elles sont négligeables, on est en bonne approximation du caractère galiléen.

\textbf{Remarque :} Le terme en $\dv{\Omega}{t}$ est nommé \textit{terme d'Euler}, et on va très peu y toucher. C'est celui qui nous plaque au siège quand on appuie sur l'accélérateur en plein virage.


\transition{On va étudier les effets de ces forces dans différents exemples, pour évaluer la limite de galiléanité du ref terrestre.}

\section{Conséquences de la rotation}
On a vu que la rotation de la Terre fait apparaître deux pseudo-forces lorsqu'on étudie le mouvement d'un objet dans le référentiel terrestre : la force d'inertie d'entraînement (ou force centrifuge) et la force de Coriolis. Intéressons-nous aux effets qu'ont ces forces dans certaines situations.

\subsection{Centrifuge}

\subsubsection{Bourrelet équatorial}
cf \textit{Principles of Geophysics}, Sleep, Fujita \textit{et al.}, p 521

En quelques mots, les roches de la Terre sont soumises aux termes non galiléen, et le terme d'inertie d'entraînement les pousse vers l'extérieur, d'autant plus fort qu'on est proche de l'équateur. Ainsi la terre est un sphéroïde, pas une sphère. Les écarts sont de l'ordre de 20km entre le rayon équatorial et le rayon polaire.

\subsubsection{Non uniformité du champ de pesanteur}
Soit un corps de masse $m$, situé au point $P$ au voisinage de la surface terrestre. Le PFD dans $\R_T$ non galiléen :
\begin{equation}
    m\vec{a_{\R_T}} = \vec{F} + m\vec{G_T}(P) + \vec{F_{ie}} + \vec{F_{ic}}
\end{equation}
où $\vec{F}$ est la résultante des forces autres que celle d'attraction gravitationnelle terrestre $m\vec{G_T}(P)$, et avec les forces d'inertie d'entraînement 
$$
\begin{cases}
\vec{F_{ie}} &= -m \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{TP}) \\
\vec{F_{ic}} &= -2m\vec{\Omega}\wedge \vec{v_{\R_T}}
\end{cases}
$$
où $T$ est le centre de la Terre. L'équation du mouvement de $P$ dans le référentiel terrestre $\R_T$ est donc
\begin{equation}
    m\vec{a_{\R_T}} = \vec{F} + m\left(\vec{G_T}(P) - \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{TP}) \right) -2m\vec{\Omega}\wedge \vec{v_{\R_T}}
\end{equation}

\important{
Le poids d'un corps est la résultante de l'attraction gravitationnelle terrestre et de la force (centrifuge)
d'inertie d'entraînement due à la rotation propre de la Terre :
$$
\vec{P}= m\left(\vec{G_T}(P) - \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{TP}) \right)
$$
}

\important{
On définit alors le \textit{le champ de pesanteur} comme le rapport du poids sur la masse :
$$
\vec{g}= \vec{G_T}(P) - \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{TP}) =\vec{G_T}(P) + \Omega^2\vec{HP}
$$
où $H$ est le projeté orthogonal de $P$ sur l'axe de rotation de la Terre.
}

Bien que $\vec{G_T}$ soit dirigé vers le centre de la Terre (Terre $\simeq$ sphère), ce n'est pas le cas du terme centrifuge (qui fuit l'axe de rotation). \textbf{Le champ de pesanteur $\vec{g}$ n'est donc pas dirigé, de manière générale, vers le centre de la Terre.} Pourtant, on définit bien la \textit{verticale en un lieu donné de la surface terrestre} avec ce champ, par exemple avec un fil à plomb.

\remarque{Ordre de grandeur de $\vec{g}$}{
\begin{itemize}
    \item L'accélération centrifuge dépend de la latitude et elle est maximale à l'équateur :
    $$
    R_T \Omega^2 \simeq 6.4 \cdot 10^6 \times \left( \frac{2\pi}{86164} \right)^2 \simeq \ \SI{3e-2}{\metre\per\second\squared}
    $$
    \item Aux pôles : $\norm{\vec{g}} \simeq \SI{9.83}{\metre\per\second\squared}$ 
    \item A l'équateur : $\norm{\vec{g}} \simeq \SI{9.78}{\metre\per\second\squared}$
    \item Angle entre la verticale et la direction au centre de la Terre $\le \SI{0.1}{\degree}$
\end{itemize}
$\Rightarrow$ Nous pouvons négliger l'effet du terme centrifuge et considérer que $\vec{g}$ est radial, de norme $g=\SI{9.8}{\metre\per\second\squared}$ avec une approximation inférieure à 0.5 \%.

\vspace{0.2cm}
Lorsqu'on est à une altitude $h$ au-dessus de la surface de la Terre, on a
$$
g(h) \simeq \mathcal{G}\frac{M_T}{(R_T+h)^2} \simeq \frac{\mathcal{G}M_T}{R_T^2}\left(1-2\frac{2h}{R_T}\right)
$$
donc la variation relative vaut :
$$
\Bigg|\frac{g(h)-g(0)}{g(0)}\Bigg| \simeq 2 \frac{h}{R_T}
$$
Pour considérer $g$ constant avec cette même approximation de 0.5 \%, il faudrait être à une altitude inférieure à $h \simeq 16$ km. Au dessus de cette altitude, le terme centrifuge est trop grand pour que cette approximation de 0.5 \% soit encore valide.
}




\subsection{Coriolis}

\subsubsection{Déviation vers l'Est}
Une manifestation remarquable du caractère non galiléen de $\R_T$ est ladite "déviation vers l'Est". Voyons tout de suite de quoi il s'agit !

\textbf{Rappel :} expliquer avec les mains comme suit. Un objet lâché d'une certaine hauteur par l'expérimentateur a une vitesse lattérale qui est celle de rotation de la terre. $v=r_1\dot{\theta}$. En tombant il garde cette vitesse (Translation Rectiligne Uniforme) mais le rayon diminue, donc il se décale plus vite que le sol sous lui. Ainsi il décale vers l'est.

Un objet (une balle par exemple) est lâché d'une hauteur $h$ au point $A$. Si $\R_T$ est supposé galiléen, il rencontre le sol à la verticale de $A$, mais des mesures précises mettent en évidence un décalage vers l'Est du point de chute. Cela ne peut être expliqué qu'en tenant compte de la force de Coriolis. En effet $\vb{\Omega}\wedge \vb{v}$ est orienté vers l'est pour une chute vers le centre de la terre.

Historiquement, cette expérience réalisée par Reich en 1831, a fourni la première preuve expérimentale de la rotation de la Terre.

\remarque{OdG}{
$L_{xp}=V\times T$, or $L_{corio}=a_c\times T^2=\Omega v T^2$, donc $L_{corio}/L_{xp}=\Omega T=T/T_{rot}$.

Le caractère non galiléen n'apparaît donc de façon notable que si la durée du phénomène est de l'ordre de la
journée.

Le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen pour l'étude de phénomènes se produisant au voisinage de la surface terrestre et dont la durée est très inférieure à la journée. Il faut se placer à des échelles de temps comparable à 24 heures pour observer l'effet
}

Faisons le calcul précis, à l'aide des notations suivantes :
\begin{center}
    \includegraphics[width=.4\textwidth]{figures/latitude.jpg}
\end{center}

\textbf{Hypothèses :} Système de masse $m$ dans $\R_T$ non galiléen, lâché à une hauteur $h\ll10$ km de façon à garder $g$ constant. On considère alors une chute de quelques dizaines de secondes seulement.

\textbf{Résolution :}

On applique le principe fondamental de la dynamique
\begin{equation}
    m\vb{a}=n\vb{g}+\vb{F_{ic}}
\end{equation}

Or on a

\begin{equation}
    \vb{F_{ic}}=-2m\vb{\Omega}\wedge\vb{v}=-2m\matrice{-\Omega\cos\lambda\\0\\\Omega\sin\lambda}\wedge\matrice{\dot x\\\dot y\\\dot z}
\end{equation}


\begin{systeme}
    \ddot x &= 2\Omega\sin\lambda\dot y\\
    \ddot y &= -2\Omega\left( \sin\lambda\dot x+\cos\lambda\dot z \right)\\
    \ddot z &= -g+2\Omega\cos\lambda\dot y
\end{systeme}

Or on a qu'en ordre de grandeur, $\ddot x\sim\dfrac{\Delta x}{T^2}$, et idem en $y$ et en $z$. Par conséquent

\begin{systeme}
    \Delta x &\sim \Omega T\Delta y&\ll\Delta y & \text{ car } \Omega\times T\ll 1 \\
    \Delta y &\sim \Omega T\Delta z&\ll\Delta z,g &\\
    \Delta z &\sim g&&
\end{systeme}

On a donc

\begin{systeme}
    \ddot x &= 2\Omega\sin\lambda\dot y\\
    \ddot y &= -2\Omega\cos\lambda\dot z\\
    \ddot z &= -g
\end{systeme}

Et la résolution donne ensuite :

\begin{systeme}
    x(t)&=\dfrac{\Omega^2\cos\lambda\sin\lambda gt^4}{6}\\
    y(t)&=\dfrac{\Omega\cos\lambda gt^3}{3}\\
    z(t)&=h-\dfrac{gt^2}{2}
\end{systeme}


Ainsi dans le plan horizontal, la déviation principale est vers l'Est, tandis que la déviation vers le Sud est négligeable. Pour une expérience de quelques secondes, on obtient typiquement des ordre de grandeur de type :

\begin{systeme}
    x(T)\sim \SI{1}{\centi\metre}\\
    y(T)\sim\SI{1}{\micro\metre}
\end{systeme}



\subsubsection{Pendule de Foucault}
Vidéo stylée
\url{https://youtu.be/b14l3-A8iUQ}

Petit gif
\url{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0f/Foucault-anim.gif}

Petit cours
\url{https://youtu.be/qGK2r4qWwQI}


Cette expérience, réalisée par Léon Foucault, consiste simplement à laisser osciller un pendule, lâché sans vitesse initiale. Son installation en mars 1851 d'un pendule de 67 mètres au Panthéon permit aux Parisiens de "venir voir tourner la Terre" (d'après les propres mots de Foucault).

Si $\R_T$ était galiléen, le pendule devrait osciller dans un plan vertical constant déterminé par sa position initiale. Or s'il oscille suffisamment longtemps, une rotation lente du plan des oscillations est constatée. C'est la force de Coriolis qui dévie en permanence le pendule vers la droite de l'hémisphère nord, ce qui entraîne une rotation du plan des oscillations dans le sens horaire. Dans l'hémisphère sud la rotation s'effectue dans l'autre sens ! À l'équateur, le pendule n'est pas dévié.


En reprenant l’équation précédente, on a pour des mouvements horizontaux :

$$
\vec{F}_{ic,horiz}=-2m\Omega\sin(\lambda)\vb{e_z}\wedge\vb{v}
$$

\url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_de_Foucault#Mise_en_équation}

$$
\begin{cases}
\ddot{x}&=-2m\Omega\sin\lambda\dot{y}
\\
\ddot{y}&=2m\Omega\sin\lambda\dot{x}
\end{cases}
$$

$$
\dot{\vb{v}}=-2\Omega\sin\lambda\vb{e_z}\wedge\vb{v}=\vb{\Omega}\wedge\vb{v}
$$

Donc on a bien rotation de l'axe d'oscillation du pendule, à la vitesse angulaire $\Omega$, et donc à la période $T=\frac{2\pi}{\Omega\sin\lambda}$. Elle dépend de la latitude $\lambda$.


\subsubsection{Mouvements atmosphériques}

\livre Brasselet p.182

\textbf{Anticyclones et dépressions}

On considère l’atmosphère à l’équilibre selon la verticale, son poids étant compensé par une pression diminuant avec l’altitude. Mais dans le plan horizontal, les couches d’air peuvent se déplacer les unes par rapport aux autres : la composante horizontale de la force de Coriolis joue un rôle majeur dans la circulation atmosphérique. Elle est à l’origine de la formations des tourbillons d’anticyclones et de dépressions. Sur toute la Terre, l’air a tendance à se déplacer des zones de haute pression (anticyclones) vers les zones de basse pression (dépressions). Dans l’hémisphère nord, la force de Coriolis dévie ces courants d’air vers la droite, si bien qu’un tourbillon se forme autour d’une dépression dans le sens trigonométrique (la force de Coriolis centrifuge s’oppose aux forces de pression centripètes). Dans l’hémisphère sud, c’est l’inverse : les anticyclones tournent dans le sens trigo et les dépressions dans le sens horaire.

\url{https://www.windfinder.com/}

\subsection{L'usure des rails de train}

Prenons un train qui roule sur ses rails, du nord vers le sud, à la vitesse $v$. Il subit son poids et la réaction des rails, et la force de Coriolis. Par conséquent les rails compensent la force de coriolis en effectuant une force opposée.

$$\vec{R}=-m\vb{g}+2m\vb{\Omega}\wedge\vb{v}$$

Ainsi le rail de l'ouest pousse plus fort que le rail de l'est, et s'use plus vite !

\url{http://uel.unisciel.fr/physique/meca/meca_ch08/co/chapitre7_07.html}





\section{Translation elliptique}
Le référentiel $\R_G$ est en translation elliptique par rapport à $\R_C$, avec les caractéristiques suivantes :
\begin{itemize}
    \item excentricité $\simeq$ 0.017
    \item aphélie = 152 millions de km
    \item périhélie = 147 millions de km
\end{itemize}
Ainsi, puisqu'on est en translation, $\vb{\Omega_{\R_g/\R_C}}=\vb{0}$ donc on n'a pas de force de Coriolis. 

On étudie maintenant le mouvement d'un point à la surface de la Terre dans le référentiel de Copernic supposé galiléen.

\subsection{Terme de marée}
\textit{Brasselet, p163}

\vspace{0.2cm}
On se place dans $\R_C$ galiléen. On note $T$ le centre de la Terre. On a par ailleurs $\vec{\Omega}_{\R_G/\R_C}=\vec{0}$.

$\bullet$ Le PFD appliqué à la Terre dans $\R_C$ galiléen donne :
\begin{equation}
    M_T \vec{a}(T) _{\R_C} = \sum_i M_T \vec{G_i}(T)
\end{equation}
où $G_i=\frac{\mathcal{G}M_i}{D_i}$ le champ créé par l'astre $i$ en $T$.


\vspace{0.2cm}
$\bullet$Le PFD appliqué à un point $P$ de la surface terrestre dans $\R_G$ non galiléen donne 
\begin{equation}
    m \vec{a}(P) _{\R_G} = \vec{F} + m \vec{G_T}(P) + \sum_i m \vec{G_i}(P) + \vec{F_{ie}}
\end{equation}
Or$\vec{F_{ie}} = -m \vec{a} _{\R_C} = \sum_i m \vec{G_i}(T)$, ce qui donne
\begin{equation}
    m \vec{a}(P) _{\R_G} = \vec{F} + m \vec{G_T}(P) + \sum_i m \left( \vec{G_i}(P)-\vec{G_i}(T)\right)
\end{equation}
\important{
Le terme $m \sum_i \left( \vec{G_i}(P)-\vec{G_i}(T)\right)$ est appelé \textbf{terme de marée}.
}

\remarque{OdG : influence de divers astres $i$}{
\begin{equation}
    \vec{G_i}(P)-\vec{G_i}(T) \lesssim M_i\mathcal{G}\left( \frac{1}{(D_i-d)^2}-\frac{1}{D_i^2}\right) \simeq \frac{2\mathcal{G}M_i d}{D_i ^3}
\end{equation}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/tableau_maree.pdf}
    \caption{OdG de termes de marée pour différents astres}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}
$\Rightarrow$ On ne considère que l'influence de la Lune et du Soleil.
}

\vspace{0.2cm}
$\bullet$ On a $G_T \simeq \SI{10}{\metre\per\second\squared}$ qui apparaît également dans le PFD, donc pour l'étude du mouvement d'un corps au voisinage de la Terre la force de marée est complètement négligeable.

On observe cependant des marées océaniques. Comment est-ce possible si le terme de marée est négligeable ? En réalité, les marées océaniques sont bel et bien négligeables à l'échelle de la Terre mais pas à l'échelle humaine !


\transition{Cependant, il est possible que le terme de marée ne soit plus du tout négligeable devant le champ de gravité d'un astre.}


\subsection{Limite de Roche}
Lorsque la distance entre deux astres diminue, on peut déterminer la distance critique à partir de laquelle, la force de marée deviendra égale en norme à la force gravitationnelle (cf schéma). A partir de cette limite, il ne peut y avoir existence de l'astre et il se fragmente.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.8\textwidth]{figures/roche.png}
    \caption{Force de marée vs force gravitationnelle.}
    \label{fig:roche}
\end{figure}

Calculons la distance minimale nécessaire entre une astre $T$ et un astre $i$ pour que $T$ ne soit pas désintégré. Pour cela, prenons un point $P$ à la surface de l'astre $T$ tel que $T$, $P$ et $O_i$ soient alignés.
Il faut :
$$
\begin{aligned}
\text{terme de marée} &\le \norm{\vec{G_T}(P)} \\
\frac{2\mathcal{G}M_i R_T}{D_i ^3} &\le \frac{\mathcal{G}M_T}{R_T^2} \\
D_i \ge R_T \left(\frac{2M_i}{M_T}\right)^{1/3}
\end{aligned}
$$
Pour que la Lune ne détruise pas la Terre, il faut $D_{T-L} \ge \SI{2e6}{\metre}$



\newpage
\section*{Commentaires à la suite de l'oral blanc du 20 mai 2020}
\begin{itemize}
    \item Passer quelques minutes en début de leçon à définir ce qu'est un référentiel, ce que veut dire galiléen. Un référentiel c'est 3 axes spatiaux + une horloge (en relativité) et le premier principe de Newton postule \textbf{l'existence} d'un référentiel galiléen tel qu'un système isolé ou pseudo-isolé était soit immobile, soit en translation rectiligne uniforme. 
    \item Quelle est la différence entre la masse inertielle est la masse pesante ? C'est important de le savoir pour cette leçon quand on écrit le poids comme somme d'un terme gravitationnel (donc masse pesante) et d'un terme centrifuge (masse inertielle). Actuellement, on n'a pas mis en évidence de différence entre ces 2 masses avec la précision permise apr la technologie actuelle. Parmi les expériences comparant ces masses, on cite la balance d'Eötvös qui compare Coriolis et la gravité, ou toute autre expérience mettant en jeu des effets inertiels.
    \item Pour juger de la galiléanité d'un référentiel, on peut penser un gyroscope. 
    \item L'idée générale de cette leçon est de mesurer les écarts entre les observations expérimentales et le modèle du référentiel galiléen pour construire un référentiel galiléen virtuel.
    \item Dans l'inertie d'entraînement , on a le terme d'Euler avec $\dv{\vb{\Omega}}{t}$. Ce terme intervient par exemple quand on étudie la précession du gyroscope ou le fait d'appuyer sur la pédale en voiture dans un virage et de ce retrouver cloué au siège par exemple.
    \item Le terme de Coriolis et le terme d'Euler sont associés à la loi de conservation du moment cinétique.
    \item La non verticalité de $\vb{g}$ a une conséquence notamment en architecture : les piliers sont dans la direction de $\vb{g}$ (on utilise un fil à plomb) et non pas vers le centre de la Terre.
    \item Quelle différence entre le mouvement du pendule de Foucault, dévié par Coriolis, et celui d'une chute libre; également déviée par Coriolis ? Le mouvement du pendule est tangent à la Terre donc la déviation par Coriolis dépend de l'hémisphère alors que le mouvement de chute libre est normal à la surface de la Terre donc Coriolis déviera toujours le mouvement vers l'Est, peu importe où on est. Autrement dit, la Terre tourne alors que le plan du pendule ne tourne pas dans le référentiel héliocentrique alors que pour la chute libre c'est le sol qui prend du retard par rapport à l'objet en chute libre (même vitesse angulaire mais altitude différente et $v=h\omega$) 
    
    $\Rightarrow$ voir \url{https://www.youtube.com/watch?v=KiJ9xr8_GSI}
    
    \item En plus de la déviation vers l'Est, il y a aussi une déviation vers le Sud mais qui est bien plus faible (terme d'ordre 2) et très difficile à voir expérimentalement.
    \item Décrire le mouvement des particules dans l'atmosphère : en régime transitoire, les particules vont selon le gradient de pression et en régime établi il a équilibre entre le gradient de pression et Coriolis. Les particules forment un vortex avec des orbites constants (vorticité nulle). Les lignes de courants suivent les isobares et la règle de Buys-Ballot dit alors que dans l'hémisphère nord, les vents géostrophiques se déplacent avec les zones de forte pression sur la droite. 
    \item L'utilisation de WindFinder pour visualiser ça est très très bien.
    \item L'expérience du lavabo est censée montrer que le sens de rotation du vorext dépend de l'hémisphère. Cependant, on ne le voit pas en pratique car c'est un faible effet, notamment devant les effets convectifs.
    \item Quand on regarde le système Terre-Lune, qu'on suppose isolé (c'est pas vraiment le cas), on a conservation du moment cinétique total $$L=l_\text{spin Terre} + L_\text{orbital}$$
    Notons qu'on a négligé la rotation de la Lune. On a un couplage spin-orbite entre la Terre et la Lune via les forces de marées.
    Le spin de la Terre est alors convertit en énergie orbitale : la Terre tourne moins vite et la Lune s'éloigne de la Terre.
    
    \item Les conditions pour juger de la galiléanité d'un référentiel repose sur des échelles de temps (temps de l'expérience $\ll$ 1 jour pour Coriolis par exemple) mais également sur des échelles de taille et de vitesse (Coriolis dépend de la vitesse $v'$).
    \item Quelle serait la conséquence de la non-existence d'un référentiel galiléen ? L'espace serait non euclidien.
\end{itemize}
\end{document}

