<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\RequirePackage{amsmath,amssymb,latexsym}
\usepackage{chemfig}
\usepackage{ulem}
\title{LP04 - PrÃ©cession dans les domaines macroscopique et microscopique}
\renewcommand{\deg}{\si{\degree}}
\newcommand{\diff}{\text{d}}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{AurÃ©lien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}

\subsection*{Niveau : L2-L3}


\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\  \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{MÃ©canique}  \textbf{PÃ©rez} &amp; angles d'Euler, prÃ©cession classique \\ 
\textit{Physique atomique}  \textbf{Cagnac} &amp; Larmor \\
\end{tabular}
%\footnotetext{Par soucis de place toujours, je pense pas qu'il soit nÃ©cessaire de mettre les rÃ©fÃ©rences exactes surtout pour un livre classique.}
% Vous avez vu cette commande badass pour ne pas mettre les footnotes dans les environements locaux ??

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{PrÃ©requis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
    \item MÃ©canique du point
    \item ThÃ©orÃ¨me du moment cinÃ©tique
    \item Matrice dâ€™inertie
    \item ElectromagnÃ©tisme de base
    \item Portance dâ€™une aile (si on fait le boomerang)
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{ExpÃ©riences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item le gyroscope
	\item la toupie ?
	\end{itemize}
\end{minipage}




\tableofcontents\setlength{\parskip}{1em}

\newpage
\section*{Introduction}


\vspace{0.2cm}





\section{Positionnement thÃ©orique}
\subsection{Angles d'Euler}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/eulerangles.pdf}
    \caption{Les angles d'Euler}
    \label{fig:euler}
\end{figure}


Partons d'un rÃ©fÃ©rentiel $\mathcal{R}=(\mathcal{O},x,y,z)$. A partir de ce rÃ©fÃ©rentiel, on effectue 3 rotations l'une aprÃ¨s l'autre :
\begin{itemize}
    \item la \textit{prÃ©cession} : rotation d'angle $\alpha$ autour de l'axe $\mathcal{O}z$. On obtient alors le rÃ©fÃ©rentiel $\mathcal{R}_1=(\mathcal{O},x_1,y_1,z_1)$ oÃ¹ les axes $z_1$ et $z$ sont confondus ;
    \item la \textit{nutation} : rotation d'angle $\beta$ autour de l'axe $\mathcal{O}x_1$. On obtient alors le rÃ©fÃ©rentiel $\mathcal{R}_2=(\mathcal{O},x_2,y_2,z_2)$ oÃ¹ les axes $x_2$ et $x_1$ sont confondus ;
    \item la \textit{rotation propre} : rotation d'angle $\varphi$ autour de l'axe $\mathcal{O}z_2$. On obtient alors le rÃ©fÃ©rentiel $\mathcal{R}'=(\mathcal{O},x',y',z')$ oÃ¹ les axes $z'$ et $z_2$ sont confondus.
\end{itemize}


Le vecteur rotation de $\mathcal{R}'$ vaut alors $\overrightarrow{\omega}= \dot{\alpha} \overrightarrow{e_z} +\dot{\beta} \overrightarrow{e_{x_1}} +\dot{\varphi}\overrightarrow{e_{z_2}}$.


On veut obtenir les expressions de $\overrightarrow{\omega}$ dans $\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}'$. Pour cela, on Ã©crit les projections des nouveaux vecteurs de base sur le rÃ©fÃ©rentiel prÃ©cÃ©dent.

\begin{equation}
\left\lbrace
\begin{aligned}
\overrightarrow{e_{x_1}} &amp; = \cos(\alpha)\overrightarrow{e_x} + \sin(\alpha)\overrightarrow{e_y} \\
\overrightarrow{e_{y_1}} &amp; = -\sin(\alpha) \overrightarrow{e_x} + \cos(\alpha)\overrightarrow{e_y} \\
\overrightarrow{e_{z_1}} &amp; = \overrightarrow{e_z}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}

\begin{equation}
\left\lbrace
\begin{aligned}
\overrightarrow{e_{x_2}} &amp; = \overrightarrow{e_{x_1}} \\
\overrightarrow{e_{y_2}} &amp; = \cos(\beta) \overrightarrow{e_{y_1}} + \sin(\beta)\overrightarrow{e_{z_1}} \\
\overrightarrow{e_{z_2}} &amp; = -\sin(\beta) \overrightarrow{e_{y_1}} + \cos(\beta)\overrightarrow{e_{z_1}}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}

\begin{equation}
\left\lbrace
\begin{aligned}
\overrightarrow{e_{x'}} &amp; = \cos(\varphi) \overrightarrow{e_{x_2}} + \sin(\varphi)\overrightarrow{e_{y_2}} \\
\overrightarrow{e_{y'}} &amp; = -\sin(\varphi) \overrightarrow{e_{x_2}} + \cos(\varphi)\overrightarrow{e_{y_2}} \\
\overrightarrow{e_{z'}} &amp; = \overrightarrow{e_{z_2}}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}

On peut donc exprimer $\overrightarrow{e_{x_1}}$ et $\overrightarrow{e_z}$ dans $\mathcal{R}$ et donc obtenir l'expression de $\overrightarrow{\omega}$ dans $\mathcal{R}$ :
\begin{equation}
    \overrightarrow{\omega}_{\mathcal{R}} = 
        \left( \begin{array}{c}
        \dot \beta \cos(\alpha) + \dot \varphi \sin(\beta) \sin(\alpha) \\
        \dot \beta \sin(\alpha) - \dot \varphi \sin(\beta) \cos(\alpha) \\
        \dot \alpha + \dot \varphi \cos(\beta)
        \end{array} \right)_\mathcal{R}
\end{equation}


Si on veut l'expression de $\overrightarrow{\omega}$ dans $\mathcal{R}'$, il faut cependant rÃ©aliser les projections inverses : 


\begin{equation}
\left\lbrace
\begin{aligned}
\overrightarrow{e_{x_2}} &amp; = \cos(\varphi)\overrightarrow{e_{x'}} - \sin(\varphi)\overrightarrow{e_{y'}} \\
\overrightarrow{e_{y_2}} &amp; = \sin(\varphi) \overrightarrow{e_{x'}} + \cos(\varphi)\overrightarrow{e_{y'}} \\
\overrightarrow{e_{z_2}} &amp; = \overrightarrow{e_{z'}}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}

\begin{equation}
\left\lbrace
\begin{aligned}
\overrightarrow{e_{x_1}} &amp; = \overrightarrow{e_{x_2}} \\
\overrightarrow{e_{y_1}} &amp; = \cos(\beta) \overrightarrow{e_{y_2}} - \sin(\beta)\overrightarrow{e_{z_2}} \\
\overrightarrow{e_{z_1}} &amp; = \sin(\beta) \overrightarrow{e_{y_2}} + \cos(\beta)\overrightarrow{e_{z_2}}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}

\begin{equation}
\left\lbrace
\begin{aligned}
\overrightarrow{e_{x}} &amp; = \cos(\alpha) \overrightarrow{e_{x_1}} - \sin(\alpha)\overrightarrow{e_{y_1}} \\
\overrightarrow{e_{y}} &amp; = \sin(\alpha) \overrightarrow{e_{x_1}} + \cos(\alpha)\overrightarrow{e_{y_1}} \\
\overrightarrow{e_{z}} &amp; = \overrightarrow{e_{z_1}}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}

On peut donc exprimer $\overrightarrow{e_{x_1}}$ et $\overrightarrow{e_z}$ dans $\mathcal{R}$ et donc obtenir l'expression de $\overrightarrow{\omega}$ dans $\mathcal{R}$ :
\begin{equation}
    \overrightarrow{\omega}_{\mathcal{R}'} = 
        \left( \begin{array}{c}
        \dot \beta \cos(\varphi) + \dot \alpha \sin(\beta) \sin(\varphi) \\
        -\dot \beta \sin(\varphi) + \dot \alpha \sin(\beta) \cos(\varphi) \\
        \dot \varphi + \dot \alpha \cos(\beta)
        \end{array} \right)_{\mathcal{R}'}
\end{equation}



\transition{On va voir en quoi les angles d'Euler nous seront utile dans l'Ã©tude d'un solide en rotation.}


\subsection{L'intÃ©rÃªt pratique des angles d'Euler}

Les angles d'Euler, introduit ici de maniÃ¨re thÃ©orique, sont trÃ¨s pratiques pour repÃ©rer les rotations d'objets particuliers dans l'espace. La plupart des cas que l'on Ã©tudiera sont en effet des cas Ã&nbsp; symÃ©trie de rÃ©volution (exacte ou approchÃ©e), comme des toupies, des gyroscopes ou des planÃ¨tes. Dans ces situations lÃ&nbsp;, il a Ã©tÃ© vu que la matrice d'inertie $\mathcal{I}$ est diagonalisable dans toute base comportant l'axe de symÃ©trie du solide.

Ainsi en pratique on pose les angles d'Euler pour suivre l'axe de symÃ©trie du solide. On aura alors toujours superposition de cet axe Ã&nbsp; l'axe $z'$, et rotation de $x'$ et $y'$ avec le solide, d'oÃ¹ le nom \textit{rotation propre} pour $\varphi$, et les axes $x'$, $y'$ et $z'$ forment Ã&nbsp; eux trois une base orthonormÃ©e directe dans laquelle le solide est en rotation pure autour de $z'$.

Le moment cinÃ©tique devient, dans $\mathcal{R'}$ :

\begin{equation}
    \overrightarrow{L}=\mathcal{I}\overrightarrow{\omega}=
\begin{pmatrix}
I_1 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; I_2 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; I_3
\end{pmatrix}_{\mathcal{R'}}
\overrightarrow{\omega}_{\mathcal{R'}}
\end{equation}

\textit{En prÃ©paration, trouver l'expression de tenseur I et la dÃ©river.}

\subsection{Approximation gyroscopique}




L'approximation gyroscopique revient Ã&nbsp; considÃ©rer que la rotation du solide autour de son axe de rÃ©volution est trÃ¨s grande devant le autres, \textit{i.e.} 

$$
|\dot{\varphi}|\gg|\dot{\alpha}|,~ |\dot{\varphi}|\gg|\dot{\beta}|
$$

Du fait que $\overrightarrow{\omega}=\dot{\alpha}\overrightarrow{e_z}+\dot{\beta}\overrightarrow{e_{x_1}}+\dot{\varphi}\overrightarrow{e_{z'}}$, en faisant l'approximation gyroscopique on a $\overrightarrow{\omega}=\dot{\varphi}\overrightarrow{e_{z'}}$, et finalement :

\begin{equation}
\overrightarrow{L}=\mathcal{I}\overrightarrow{\omega}=
\begin{pmatrix}
I_1 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; I_2 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; I_3
\end{pmatrix}_{\mathcal{R'}}
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\dot{\varphi}
\end{pmatrix}_{\mathcal{R'}}
= I_3 \dot{\varphi}\overrightarrow{e_{z'}}
\end{equation}

\remarque{Meilleure approche}{Une autre approche pour retrouver l'approximation gyroscopique est de considÃ©rer une comparaison entre les moments cinÃ©tiques sur les trois axes de $\mathcal{R'}$, et d'imposer la condition $L_{z'}\gg L_{x'},L_{y'}$. On aboutit au mÃªme rÃ©sultat si les $L$ sont similaires, mais la comparaison des vitesses est expÃ©rimentalement plus simple.}

\section{Domaine macroscopique}

Maintenant que nous avons posÃ© le cadre de l'Ã©tude, nous allons nous intÃ©resser aux applications les plus traditionnelles de ce formalisme et de l'approximation gyroscopique.

\subsection{Mise en Ã©quation de la toupie}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/toupie.png}
    \caption{SchÃ©ma de la toupie.}
    \label{fig:toupie}
\end{figure}


On appelle \textit{toupie} un solide de rÃ©volution avec une pointe, qui peut donc tenir "debout" sur une surface. Lorsqu'elle tourne suffisamment vite, la toupie se maintient en Ã©quilibre.

\manip{\textbf{mouvement d'une toupie}

On fait tourner une toupie et on constate l'existence d'un mouvement de prÃ©cession de son axe de rotation.}

Nous allons expliquer ce mouvement Ã&nbsp; l'aide des Ã©quations que nous venons de poser.

On note $C$ le centre d'inertie de la toupie, et on applique le TMC au point $O$, pointe de la toupie reposant sur le sol. On note $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{\ell}$. Alors on a :

\begin{equation}
    \dfrac{\diff\overrightarrow{L_O}}{\diff t}\bigg|_{\mathcal{R}}=\overrightarrow{\ell}\wedge m\overrightarrow{g}
\end{equation}

Or $\overrightarrow{\ell}$ est parallÃ¨le Ã&nbsp; $\overrightarrow{L_O}$, donc on a, par un habile produit scalaire avec $\overrightarrow{L_O}$ :

\begin{equation}
    \overrightarrow{L_O} \cdot \dfrac{\diff\overrightarrow{L_O}}{\diff t}\bigg|_{\mathcal{R}}=0
\end{equation}

D'oÃ¹ la fatidique Ã©quation de conservation du moment cinÃ©tique :

\important{
\begin{equation}
    \dfrac{1}{2}\dfrac{\diff\overrightarrow{L_O}^2}{\diff t}=0,~i.e.~||\overrightarrow{L_O}||=\text{constante}.
\end{equation}
}

Une opÃ©ration similaire avec $\overrightarrow{e_{z}}$ donne 

\begin{equation}
    \dfrac{\diff\overrightarrow{L_O}\cdot\overrightarrow{e_{z}}}{\diff t}=0,~i.e.~\overrightarrow{L_O}\cdot\overrightarrow{e_{z}}=L_{0z}=\text{constante}.
\end{equation}

Ainsi le moment cinÃ©tique, et donc $\overrightarrow{e_{z'}}$, dÃ©crivent un cÃ´ne de sommet $O$, de demi-angle $\beta_0$.


\subsection{PrÃ©cession de la toupie}

Ã‰tant donnÃ© que $\overrightarrow{\ell}$ est colinÃ©aire Ã&nbsp; $\overrightarrow{L_O}$, on peut Ã©crire

\begin{equation}
    \dfrac{\diff\overrightarrow{L_O}}{\diff t}\bigg|_{\mathcal{R}}=\overrightarrow{\omega_p}\wedge\overrightarrow{L_O}
\end{equation}

avec $\overrightarrow{\omega_p}=-\dfrac{m\overrightarrow{g}\ell}{L_O}$, vecteur rotation de prÃ©cession.

Pour calculer la vitesse de prÃ©cession de la toupie, on applique l'approximation gyroscopique. L'approximation semble justifiÃ©e Ã&nbsp; premiÃ¨re vue, puisque la toupie tourne trÃ¨s vite sur elle mÃªme, et prÃ©cesse lentement, comme la petite manip d'avant vous l'a montrÃ©. On a alors $L_O\simeq I_3\dot{\varphi}$.

Ainsi on trouve que $\overrightarrow{L_O}$ tourne autour de $\overrightarrow{e_z}$ dans $\mathcal{R}$ Ã&nbsp; la vitesse angulaire $\omega_p=\dfrac{mg\ell}{I_3\dot{\varphi}}$.

~

Il est bon de se poser la question de la validitÃ© des approximations faites \textit{a posteriori}. Pour ce faire, Ã©valuons l'ordre de grandeur de la vitesse angulaire de prÃ©cession par rapport Ã&nbsp; la vitesse de rotation propre. On a :
\begin{itemize}
    \item $\ell\simeq$ 5 cm
    \item $R\simeq$ 3 cm
    \item $\dot{\varphi}\simeq50\times2\pi~\si{\radian\per\second}$
    \item $m\simeq100$ g
\end{itemize}

Avec comme approximation que $I_3\simeq mR^2$, on a $\omega_p\simeq2~\si{\radian\per\second}$ On vÃ©rifie bien l'hypothÃ¨se Ã&nbsp; postÃ©riori !

Nous allons maintenant regarder une toupie trÃ¨s particuliÃ¨re, le gyroscope.

\url{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Gyroscope_precession.gif}

\subsection{Gyroscope}

Un gyroscope, c'est un solide de rÃ©volution parfait, avec en plus un plan de symÃ©trie orthogonal Ã&nbsp; son axe de symÃ©trie, tournant Ã&nbsp; grande vitesse autour de son axe et suspendu par son centre de masse $C$ de faÃ§on parfaite. Autrement dit, c'est une roue. On cherche gÃ©nÃ©ralement Ã&nbsp; maximiser son moment d'inertie $I_3$ et sa vitesse de rotation propre.

\manip{\textbf{PrÃ©sentation du gyroscope}

Les observations Ã&nbsp; faire sur le gyroscope :
\begin{itemize}
    \item en l'absence de couple extÃ©rieur il garde sa direction de rotation, ce qui le rend utile pour, par exemple, guider des bateaux.
    \item en prÃ©sence d'un couple extÃ©rieur (petite masse sur le cÃ´tÃ©), il a une rÃ©action tout Ã&nbsp; fait contre-intuitive mais trÃ¨s calculable : si on essaye de changer $\beta$, son axe de rotation va tourner selon un axe perpendiculaire Ã&nbsp; la direction de la force appliquÃ©e et Ã&nbsp; l'axe de rotation, il va prÃ©cesser. Cette propriÃ©tÃ© peut servir Ã&nbsp; stabiliser un bateau, si le gyroscope est assez consÃ©quent.
\end{itemize}
}

On va maintenant tacher de comprendre par le calcul la rÃ©action Ã&nbsp; un couple extÃ©rieur $\overrightarrow{\Gamma}$, comme par exemple le dÃ©sÃ©quilibrage du gyroscope par une masse. Pour ce faire, refaisons un thÃ©orÃ¨me du moment cinÃ©tique :

\begin{equation}
    \dfrac{\diff\overrightarrow{L_O}}{\diff t}\bigg|_{\mathcal{R}}=\overrightarrow{\Gamma}
\end{equation}

De plus on a par application de la dÃ©rivation en rÃ©fÃ©rentiel tournant :

\begin{equation}
    \dfrac{\diff\overrightarrow{L_O}}{\diff t}\bigg|_{\mathcal{R}}=\dfrac{\diff\overrightarrow{L_O}}{\diff t}\bigg|_{\mathcal{R'}}+\overrightarrow{\omega_p}\wedge\overrightarrow{L_O}
\end{equation}

Or on sait que $\dfrac{\diff\overrightarrow{L_O}}{\diff t}\big|_{\mathcal{R'}}=0$, donc $\overrightarrow{\Gamma}=\overrightarrow{\omega_p}\wedge\overrightarrow{L_O}$. On a directement ce que l'on souhaite.

On trouve ainsi qu'il y a apparition d'une prÃ©cession, exactement comme attendu ! Lorsqu'on veut faire tourner une roue de vÃ©lo, on la penche.

\manip{\textbf{Roue de vÃ©lo}

Si cela est possible, on peut illustrer cela par la manip de la roue de vÃ©lo que l'on fait tourner et que l'on suspend par son axe. Sinon on peut montrer cette vidÃ©o :

\url{https://youtu.be/8H98BgRzpOM}
}

\subsection{Le cas du boomerang}

\remarque{remarque}{Cette partie qualitative peut Ãªtre raccourcie selon les besoins de l'exposÃ©}

Un boomerang est en fait deux ailes d'avions collÃ©s l'une Ã&nbsp; l'autre, du point de vue de sa forme. Ainsi si on le lance et le fait tourner Ã&nbsp; une grande vitesse, chaque pale subit une portance proportionelle Ã&nbsp; la vitesse de l'air au carrÃ©.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.2\textwidth]{fig/boomer.png}
    \caption{SchÃ©ma de la forme du boomerang.}
    \label{fig:boomer}
\end{figure}

Cependant, la vitesse de la pale avant est nettement plus grande que celle de la pale arriÃ¨re du boomerang, par consÃ©quent il s'Ã©tablit une diffÃ©rence de force entre l'avant et l'arriÃ¨re, c'est Ã&nbsp; dire un couple. Or on l'a vu juste avant, un couple sur un objet tournant se traduit par une prÃ©cession. Ainsi, le boomerang lancÃ© Ã&nbsp; la verticale va tourner, et revenir sur ses pas !

\vspace{0.2cm}

Cependant, l'Ã©tude plus poussÃ©e  du boomerang sort dÃ©finitivement du cadre de la leÃ§on puisque la rÃ©sultante des effets hydrodynamiques ne s'applique pas au centre de masse du boomerang.

\subsection{Ordres de grandeur}
\begin{itemize}
    \item la prÃ©cession des Ã©quinoxe a Ã©tÃ© dÃ©couverte en -150
    \item pÃ©riode de prÃ©cession de la terre : 26 000 ans
    \item nutation de la terre : 23\si{\degree}26'12.555'', variant de + ou - 9.2'' avec une pÃ©riode de 18.6 ans.
    \item 26 000 ans par rapport Ã&nbsp; un jour Ã§a fait 10 000 000. 2 secondes par rapport Ã&nbsp; 50 tours / seconde Ã§a fait 100.
\end{itemize}


\newpage

\section{Domaine microscopique}
\subsection{Moment magnÃ©tique et moment cinÃ©tique}
ConsidÃ©rons le modÃ¨le atomique de Bohr, avec un Ã©lectron tournant autour d'un noyau atomique. C'est un modÃ¨le empirique qui permet de s'affranchir de l'Ã©tude prÃ©cise en mÃ©canique quantique du systÃ¨me, et qui (par chance ou presque) mÃ¨ne aux mÃªmes rÃ©sultats.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/momentmag.jpg}
    \caption{ModÃ¨le de Bohr}
    \label{fig:bohr}
\end{figure} 
L'Ã©lectron possÃ¨de un moment cinÃ©tique

$$\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \wedge m_e \overrightarrow{v} = m v r \overrightarrow{n}$$

oÃ¹ $\overrightarrow{n}$ est un vecteur unitaire normale Ã&nbsp; la surface dÃ©limitÃ©e par le mouvement de l'Ã©lectron.

Il possÃ¨de Ã©galement un moment magnÃ©tique $\overrightarrow{\mu}$ dÃ©finit par $\overrightarrow{\mu}=i A \overrightarrow{n}$.
On Ã©crit alors :
\begin{equation}
    \begin{aligned}
    \overrightarrow{\mu} &amp;= \dfrac{\text{d}q}{\text{dt}} \pi r^2 \overrightarrow{n} \\
    &amp;= \dfrac{-e}{T} \pi r^2 \overrightarrow{n} \qquad \text{oÃ¹} \qquad T=\dfrac{2\pi r}{v} \quad\text{est la pÃ©riode de rotation}\\
    &amp;= - \dfrac{evr}{2}\overrightarrow{n} 
    \end{aligned}
\end{equation}


On obtient donc finalement :
\begin{equation}
    \overrightarrow{\mu} = \gamma \overrightarrow{L} \qquad \text{oÃ¹} \qquad \gamma=-\dfrac{e}{2m_e}\simeq -8.8\times10^{10}\si{\coulomb\per\kilo\gram} \quad \text{le rapport gyromagnÃ©tique.}
\end{equation}

Comme indiquÃ© prÃ©cÃ©demment, ce rÃ©sultat trouvÃ© avec un modÃ¨le classique, le modÃ¨le de Bohr, reste valide dans la thÃ©orie quantique. Il faut tout de mÃªme noter la principale faiblesse du modÃ¨le : un Ã©lectron qui tourne, Ã§a rayonne, et donc Ã§a perd de l'Ã©nergie, et donc Ã§a s'effondre sur le noyau.

\transition{Cette colinÃ©aritÃ© va avoir d'importantes consÃ©quences, comme on va le voir dans la partie suivante.}

\subsection{Action d'un champ magnÃ©tique}
On considÃ¨re un champ magnÃ©tique $\overrightarrow{B_0}$ uniforme dans lequel on plonge l'atome Ã&nbsp; 1 Ã©lectron Ã©tudiÃ© prÃ©cÃ©demment. Puisque l'Ã©lectron possÃ¨de un moment magnÃ©tique $\overrightarrow{\mu}$, il va subir un moment $\overrightarrow{\mathcal{M}}=\overrightarrow{\mu}\wedge\overrightarrow{B_0}$.

En appliquant le TMC Ã&nbsp; l'Ã©lectron dans un rÃ©fÃ©rentiel galilÃ©en $\mathcal{R}$, on obtient alors
\begin{equation}
    \begin{aligned}
    \dfrac{\text{d}\overrightarrow{L}}{\text{dt}} \bigg | _\mathcal{R} &amp;= \overrightarrow{\mu}\wedge\overrightarrow{B_0} \\
    &amp;= \gamma \overrightarrow{L}\wedge\overrightarrow{B_0} \\
    &amp;= \overrightarrow{\omega_0} \wedge \overrightarrow{L} \qquad \text{avec} \qquad \overrightarrow{\omega_0}=-\gamma \overrightarrow{B_0}
    \end{aligned}    
\end{equation}

On retrouve alors Ã&nbsp; Ã©quation similaire Ã&nbsp; celle obtenue dans le domaine macroscopique oÃ¹ $\overrightarrow{B_0}$ est l'analogue de la pesanteur $\overrightarrow{g}$. On en dÃ©duit que $\overrightarrow{L}$ a un mouvement de prÃ©cession autour de la direction du champ $\overrightarrow{B_0}$ Ã&nbsp; la vitesse angulaire $\omega_0$.
On appelle $\omega_0$ la pulsation de \textsc{Larmor}. 
De plus, $\overrightarrow{\omega_0}$ et $\overrightarrow{B_0}$ ont la mÃªme direction puisque $\gamma$ est nÃ©gatif. La rotation s'effectue donc dans le sens autour de $\overrightarrow{B_0}$. Ainsi, un champ magnÃ©tique n'oriente pas mais fait tourner l'axe de rotation de l'Ã©lectron autour du noyau. 

\vspace{0.2cm}
\remarque{\textbf{Ordres de grandeur :}}{
\begin{itemize}
    \item Champ magnÃ©tique terrestre : $B \simeq 10^{-4}$ T $\Rightarrow \omega_0 = |\gamma| B = \dfrac{e}{2m_e}B \simeq 8.8 \cdot 10^{6}$ rad$\cdot$s$^{-1}$
    \item En laboratoire : $B \simeq 1$ T $\Rightarrow \omega_0 \simeq 8.8 \cdot 10^{10}$ rad$\cdot$s$^{-1}$
\end{itemize}
}


\subsection{Principe de la RÃ©sonance MagnÃ©tique NuclÃ©aire}


On considÃ¨re maintenant un second champ magnÃ©tique faible $\overrightarrow{B_1}$, perpendiculaire Ã&nbsp; $\overrightarrow{B_0}$ et en rotation uniforme Ã&nbsp; la vitesse angulaire $\omega$ autour de $\overrightarrow{B_0}$.

Le TMC appliquÃ© Ã&nbsp; l'Ã©lectron toujours dans le rÃ©fÃ©rentiel galilÃ©en $\mathcal{R}$ donne cette fois
\begin{equation}
    \begin{aligned}
    \dfrac{\text{d}\overrightarrow{L}}{\text{dt}} \bigg | _\mathcal{R} &amp;= \overrightarrow{\mu}\wedge(\overrightarrow{B_0}+\overrightarrow{B_1}) \\
    &amp;= \gamma \overrightarrow{L}\wedge(\overrightarrow{B_0}+\overrightarrow{B_1}) \\
    &amp;= (\overrightarrow{\omega_0}+\overrightarrow{\omega_1}) \wedge \overrightarrow{L} \qquad \text{avec} \qquad \overrightarrow{\omega_1}=-\gamma \overrightarrow{B_1}
    \end{aligned}
\end{equation}

PlaÃ§ons-nous maintenant dans le rÃ©fÃ©rentiel $\mathcal{R}'$ tournant Ã&nbsp; la vitesse $\omega$ autour de l'axe donnÃ© par $\overrightarrow{B_0}$. La formule de dÃ©rivation en base mobile donne :
\begin{equation}
    \begin{aligned}
    \dfrac{\text{d}\overrightarrow{\mu}}{\text{dt}} \bigg | _\mathcal{R} &amp;=  \dfrac{\text{d}\overrightarrow{\mu}}{\text{dt}} \bigg | _{\mathcal{R}'} + \overrightarrow{\omega}\wedge \overrightarrow{\mu} \\
    \text{donc} \qquad \dfrac{\text{d}\overrightarrow{\mu}}{\text{dt}} \bigg | _{\mathcal{R}'} &amp;= \dfrac{\text{d}\overrightarrow{\mu}}{\text{dt}} \bigg | _\mathcal{R}-\overrightarrow{\omega}\wedge \overrightarrow{\mu} \\
    &amp;= (\overrightarrow{\omega_0}+\overrightarrow{\omega_1}-\overrightarrow{\omega}) \wedge \overrightarrow{\mu} \\
    &amp;= (\overrightarrow{\omega_1}-\delta\overrightarrow{\omega}) \wedge \overrightarrow{\mu} \qquad \text{avec} \qquad \delta\overrightarrow{\omega}=\overrightarrow{\omega}-\overrightarrow{\omega_0}
    \end{aligned}
\end{equation}

On distingue alors 2 cas :
\begin{itemize}
    \item $\overrightarrow{\omega_0}$ et $\overrightarrow{\omega}$ sont trÃ¨s diffÃ©rents. Alors $|\delta \overrightarrow{\omega}| \gg |\overrightarrow{\omega_1}|$ car $\overrightarrow{B_1}$ est un champ faible. On obtient alors :
    $$\dfrac{\text{d}\overrightarrow{\mu}}{\text{dt}} \bigg | _{\mathcal{R}'} \simeq -\delta\overrightarrow{\omega} \wedge \overrightarrow{\mu}$$
    Le moment magnÃ©tique prÃ©cesse autour de $\overrightarrow{B_0}$.
    \item On est proche de la rÃ©sonance : $|\delta \overrightarrow{\omega}| \simeq 0$. On obtient alors :
    $$\dfrac{\text{d}\overrightarrow{\mu}}{\text{dt}} \bigg | _{\mathcal{R}'} \simeq \overrightarrow{\omega_1} \wedge \overrightarrow{\mu}$$
    Le champ $\overrightarrow{B_1}$ provoque la prÃ©cession autour de son axe. 
\end{itemize}
Le second cas est particuliÃ¨rement intÃ©ressant. En effet, l'observation de ces mouvements de prÃ©cession permet de dÃ©duire la pulsation de Larmor $\omega_0$ qui dÃ©pend du rapport gyromagnÃ©tique $\gamma$.

\subsection{Usages de la RMN}   

Tout l'intÃ©rÃªt du phÃ©nomÃ¨ne de la RMN rÃ©side dans le fait que le rapport gyromagnÃ©tique d'un Ã©lectron dÃ©pend grandement du noyau autour duquel il "orbite", ainsi que de son environnement chimique. On peut ainsi, en mesurant les frÃ©quences de rÃ©sonance d'un Ã©chantillon, remonter soit Ã&nbsp; sa composition en certains isotopes d'un noyau, soit Ã&nbsp; son environnement chimique.

Le premier exemple est l'application de la RMN Ã&nbsp; l'Imagerie par RÃ©sonance MagnÃ©tique (IRM). On injecte Ã&nbsp; un patient un certain isotope d'une substance qui se fixe dans des zones d'intÃ©rÃªt, ce qui permet (Ã&nbsp; l'aide de champs non homogÃ¨nes et de physique nettement plus velue) de faire une image dÃ©taillÃ©e d'une zone d'intÃ©rÃªt.

La deuxiÃ¨me exemple est l'application de la RMN du proton Ã&nbsp; la dÃ©termination de l'environnement chimique des protons prÃ©sents dans un Ã©chantillon, et donc Ã&nbsp; la dÃ©termination des espÃ¨ce chimiques prÃ©sentes. En effet l'environnement chimique a tendance Ã&nbsp; modifier le champs $B_0$ ressenti par les protons, et donc Ã&nbsp; changer lÃ©gÃ¨rement sa pulsation de Larmor. La mesure des diffÃ©rentes pulsations de Larmor pour les protons d'un Ã©chantillon permet de remonter Ã&nbsp; sa composition chimique\footnote{On laisse l'explication dÃ©taillÃ©e de l'interprÃ©tation d'un spectre RMN de cÃ´tÃ©, sauf si on a vraiment du temps Ã&nbsp; combler}.


\section*{Conclusion}
On a pu voir dans cette leÃ§on comment dÃ©crire le mouvement d'un solide en rotation et notamment comment Ã©tablir l'Ã©quation de sa prÃ©cession. On a Ã©galement montrÃ© qu'il Ã©tait possible d'observer un tel comportement Ã&nbsp; des Ã©chelles microscopiques avec l'exemple de l'Ã©lectron et son application en RMN, que nous pourrions dÃ©tailler dans le cadre d'une autre leÃ§on.

Cette leÃ§on se repose principalement sur l'approximation gyroscopique. Cependant, l'utilisation de cette approximation masque l'existence de comportements plus complexes comme par exemple la nutation, qu'il serait intÃ©ressant d'Ã©tudier.

\end{document}

</pre></body></html>