\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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\title{LP05 - Lois de conservation en dynamique}
\renewcommand{\deg}{\si{\degree}}

\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\vb}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert}
\newcommand{\dv}[2]{\dfrac{\text{d}#1}{\text{d}#2}}
\newcommand{\ddv}[2]{\dfrac{\text{d}^2#1}{\text{d}#2^2}}
\newcommand{\dvv}[2]{\dfrac{\text{d}^2#1}{\text{d}#2^2}}
\newcommand{\derond}[2]{\dfrac{\partial#1}{\partial#2}}


\date{\today}

\begin{document}

\titre{Aurélien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}

\subsection*{Niveau : L3}


\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\  \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Symétrie en mathématique, physique et chimie (chap 45 et 47)}  \textbf{Sivardière} &  Base de la leçon \\ 
\textit{Physique tout-en-un PCSI}  \textbf{Salamito} & Théorèmes de base\\
\textit{Principes variationnels et Dynamique}  \textbf{} & Pour aller plus loin\\
\textit{Mécanique du point}  \textbf{BFR} & Problème à 2 corps \\
\textit{Atmospheric and Oceanic Fluid Dynamics : Fundamentals and Large-Scale Circulation}  \textbf{Geoffrey} & Approche avec la mécanique des fluides 
\end{tabular}
%\footnotetext{Par soucis de place toujours, je pense pas qu'il soit nécessaire de mettre les références exactes surtout pour un livre classique.}
% Vous avez vu cette commande badass pour ne pas mettre les footnotes dans les environements locaux ??

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Mécanique du point : PFD, TEC, TMC
 \item Systèmes de coordonnées
 \item Gravitation : force de Newton, lois de Kepler
 \item Thermodynamique classique
 \item Calcul vectoriel
 \item Bases d'hydrodynamiques : Bernoulli, lignes de courant
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item Conservation du moment cinétique : chaise + poids
	\end{itemize}
\end{minipage}




\tableofcontents\setlength{\parskip}{1em}

\newpage
\section*{Introduction}
Les cours précédents nous on permis de décrire la dynamique des points matériels. On a ainsi pu revoir la deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique qui donne l'accélération d'un point de masse m soumis à un ensemble de forces. On a aussi étudié le cas de la rotation en introduisant le théorème du moment cinétique, ainsi que le théorème de l'énergie cinétique pour étudier les variations d'énergie.

L'utilisation de ces lois requiert une connaissance des forces qui agissent sur le système et peuvent donner lieu à des calculs lourd, on a cependant aussi vu que dans de nombreux cas, on avait conservation de certaines quantités comme la quantité de mouvement ou de l'énergie mécanique, et que cette conservation nous permettait de simplifier les problèmes. Le but de cette leçon est de montrer que ces conservations sont liées à des principes plus généraux, et que ces principes ne se limitent pas à la mécanique classique.

\vspace{0.2cm}


\section{Lois fondamentales et invariances}
Dans cette partie, on repart des postulats de la mécanique newtonienne, on peut écrire le principe fondamental de la dynamique dans un référentiel galiléen :
\begin{equation}
    \dv{\overrightarrow{p}}{t} = \sum \overrightarrow{F}
\end{equation}
On suppose dans toute cette partie que les forces dérivent d'un potentiel : $\overrightarrow{F} = -\vb{\nabla}U$, où $U(x,y,z,t)$ est le potentiel dans lequel évolue le système.

On va alors considérer des \textit{invariances} : Ce sont des transformations qui laissent le système et sa dynamique inchangés.
On va tout de suite prendre un exemple.


\subsection{Invariances spatiales}
\subsubsection{Invariance par translation}
On dit que le problème est \textit{invariant par translation selon une direction $x$} lorsque la position $x_0$ n'a pas d'influence sur la dynamique d'un système. Cela implique que le potentiel $U$ ne dépendent pas de $x$. Ainsi, on projetant le PFD sur l'axe $x$, on obtient :
\begin{equation}
    \dv{p_x}{t}=F_x=-\dfrac{\partial U}{\partial x} = 0
\end{equation}
on a donc \textbf{conservation de la quantité de mouvement selon $x$}.

\remarque{Application : la balle lancée}{
On considère le skateboard sans frottement, la terre plate et infinie donc on a
invariance par translation selon $x$, on pourrait faire l'expérience 10 m à coté, on obtiendrait les mêmes résultats. On a donc conservation de la quantité de mouvement.
Si on considère la balle de 10 kg et l'ensemble \{skateboard + personne\} de 80kg. La balle a une vitesse initiale de 2 m/s, et par conservation de la quantité de mouvement $m_bv_b = (m_b + m_h + m_s)v_f$ donc on trouve une vitesse finale de 0.22 m/s.
}

\important{$$\text{Invariance par translation} \Rightarrow \text{Conservation de la quantité de mouvement}$$}

\transition{Quid des rotations ?}

\subsubsection{Invariance par rotation}
Cette fois, on écrit le potentiel en coordonnées sphériques : $U(r,\theta,\phi,t)$. L'invariance par rotation permet de simplifier l'écriture de $U$ pour avoir $U(r,t)$. Ainsi, la force s'appliquant sur le système s'écrit $\overrightarrow{F}=F_r \overrightarrow{e_r}$. Le TMC donne :
\begin{equation}
    \dv{\overrightarrow{L}}{t} = r\overrightarrow{e_r}\wedge \overrightarrow{F} = \overrightarrow{0}
\end{equation}
Le moment cinétique est donc conservé. 

\remarque{Application : la gravitation}{On verra ça dans la seconde partie.}

\important{$$\text{Invariance par rotation} \Rightarrow \text{Conservation du moment cinétique}$$}

\transition{On a vu les invariances spatiales, il reste à étudier l'invariance temporelle.}

\subsection{Invariance temporelle}
On considère maintenant un potentiel indépendant du temps : $U(x,y,z$. On repart du PFD pour obtenir :
\begin{equation}
    \begin{aligned}
    \dv{\overrightarrow{p}}{t} &= \overrightarrow{F} = - \overrightarrow{\nabla} U \\
    \dv{m\overrightarrow{v}}{t}\cdot\overrightarrow{v} &= - \overrightarrow{\nabla} U \cdot\overrightarrow{v} \\
    \dv{E_c}{t} &= - \overrightarrow{\nabla} U \cdot\overrightarrow{v} = \overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{v} = \mathcal{P}_F \qquad \qquad \text{TEC} \\
    E_c(t_2)-E_c(t_1) &= - \int_{t_1}^{t_2} \overrightarrow{\nabla} U \cdot\overrightarrow{v}\text{d}t \\ 
    &= - \int_{t_1}^{t_2} \overrightarrow{\nabla} U \cdot\text{d}\overrightarrow{r} \qquad \text{car}\qquad 
    \text{d}U= \dfrac{\partial U}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} U \cdot\overrightarrow{v}\text{d}t\\
    &= - \int_{U_1}^{U_2} \text{d}U
    \end{aligned}
\end{equation}
donc on obtient :
\begin{equation}
    E_c(t_2)+U(t_2) = E_c(t_1)+U(t_1) \iff E_m(t_2)=E_m(t_1)
\end{equation}
On obtient donc la conservation de l'énergie mécanique car $U$ est le potentiel dont dérive les forces s'appliquant sur le système et donc $U$ est l'énergie potentielle du système.
Les forces dérivant d'un potentiel indépendant du temps sont dites \textit{conservatives} car elles conservant l'énergie mécanique. le système est alors dit \textit{conservatif}.

\important{$$\text{Invariance temporelle} \Rightarrow \text{Conservation de l'énergie mécanique}$$}



\transition{Passons maintenant à un exemple d'application de ces principes avec la gravitation.}


\section{Problème à deux corps}

On va s'intéresser à un système de deux points matériels de masse $m_1$ et $m_2$, tels que le système est pseudo-isolé.

La seule force qui s'applique sur un point matériel est la force d'attraction gravitationnelle de l'autre :

\begin{equation}
    \overrightarrow{F}_{12} = -\mathcal{G}\dfrac{m_1m_2}{r_{12}~^2}\dfrac{\overrightarrow{r_{12}}}{r_{12}}
\end{equation}

où $\mathcal{G}$ est la constante universelle de gravitation ($\SI{6.674e-11}{\metre\cubic\per\kilogram\per\second\squared}$), et $r_{12}=\norm{\overrightarrow{r_{12}}}=\norm{\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1}}$


\subsection{Conservation de la quantité de mouvement}
La force dérive d'un potentiel $U=-\mathcal{G}\dfrac{m_1m_2}{r_{12}}$ qui ne dépend que de la différence $\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1}$. On a donc une invariance par toute translation, qui se traduit par une \textbf{conservation de la quantité de mouvement} (prévisible vu que le système est pseudo-isolé). On a donc :
\begin{equation}
    m_1\overrightarrow{v_1}+m_2\overrightarrow{v_2}=\vec{cste}
\end{equation}


Or par définition du barycentre : $(m_1+m_2)\overrightarrow{OG}= m_1\overrightarrow{OM_1}+m_2\overrightarrow{OM_2}$. Donc en dérivant par rapport au temps, et en utilisant la loi de conservation : $\vec{v_G}=\vec{cste}$, le centre de gravité est en translation rectiligne uniforme, le référentiel barycentrique est donc galiléen, et on va dans la suite se placer dans celui-ci.

On peut alors écrire dans ce référentiel :
\begin{align}
    \overrightarrow{r_1}&=\overrightarrow{GM_1}=-\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\overrightarrow{M_1M_2}=-\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\overrightarrow{r}\\
    \overrightarrow{r_2} & = \dfrac{m_1}{m_1+m_2}\overrightarrow{r}\\
    \overrightarrow{r}&=\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}=\overrightarrow{r_{12}}=\overrightarrow{M_1M_2}
\end{align}

La dynamique du système s'obtient donc en étudiant celle d'un point matériel fictif situé en $\overrightarrow{r}$, on lui applique donc le PFD.

\begin{align}
    m_1\ddv{\overrightarrow{r_1}}{t}&=\overrightarrow{F}_{12}\\
    m_2\ddv{\overrightarrow{r_2}}{t}&=\overrightarrow{F}_{21}=-\overrightarrow{F}_{12}\\
    m_2m_1\ddv{\overrightarrow{r}}{t} &= (m_1+m_2)\overrightarrow{F}_{21} \qquad \text{par~multiplication~et~différence}
\end{align}



La dynamique du point fictif est donc déterminée par le PFD, en prenant une \textbf{masse fictive} $\mu=\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ qui est la masse réduite du système.

\important{On étudie donc une masse fictive $\mu=\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ soumise au potentiel $U(r) = -\mathcal{G}\dfrac{m_1m_2}{r}$. On peut en déduire toute la physique du système.}


\transition{On a posé le problème dans un référentiel galiléen, avec un potentiel $U(r)$. on peut donc continuer avec les quantités conservées.}

\subsection{Conservation du moment cinétique}

On a invariance par rotation, donc on a \textbf{conservation du moment cinétique} :
\begin{equation}
    \overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \wedge \mu \overrightarrow{v}
\end{equation}


Puisque le vecteur $\overrightarrow{L}$ est constant, sa direction l'est aussi. Or $\overrightarrow{L}$ est normal à la fois à $\overrightarrow{r}$ et à $\overrightarrow{v}$ donc au mouvement. Ainsi, le mouvement est plan.

De plus, $\norm{\overrightarrow{L}}=\mu r^2 \dot \theta$ est constante. Cependant, le point balaye une aire d$A = \dfrac{\norm{\overrightarrow{r} \wedge \mu \overrightarrow{v}}\text{d}t}{2}$ pendant d$t$. On a donc

\begin{equation}
    \dv{A}{t} = \dfrac{\norm{\overrightarrow{L}}}{2\mu} = cste = \dfrac{\mathcal{C}}{2}
\end{equation}


On retrouve la deuxième loi de Kepler : le rayon Terre-Soleil balaie des aires égales pendant des temps égaux.

\transition{Il reste à exploiter l'invariance temporelle}

\subsection{Conservation de l'énergie}
le potentiel est indépendant du temps donc on a \textbf{conservation de l'énergie mécanique} :
\begin{equation}
    E_m = \dfrac{1}{2}\mu v^2 - \mathcal{G} \dfrac{m_1m_2}{r}
\end{equation}

Or on peut écrire : 

\begin{align}
    \overrightarrow{r}&=r\overrightarrow{e_r}\\
    \overrightarrow{v}&=\Dot{r}\overrightarrow{e_r}+r\Dot{\theta}\overrightarrow{e_\theta}\\
    v^2& = \Dot{r}^2+r^2\Dot{\theta}^2=\Dot{r}^2+\dfrac{\mathcal{C}^2}{r^2}
\end{align}

On obtient donc une énergie mécanique :

\begin{align}
    E_m = \dfrac{1}{2}\mu\Dot{r}^2 + E_{p,eff}(r)\\
    E_{p,eff}=\mu\dfrac{\mathcal{C}^2}{2r^2}-\mathcal{G}\dfrac{m_1m_2}{r}
\end{align}

Intérêt ? On s'est maintenant ramené à un problème à une dimension, de variable r. On s'intéresse à une masse sur un rail, soumise au potentiel $E_{p,eff}$.
\textcolor{red}{Faire le tracé, et schématiser les trajectoires, \livre Sanz.}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.7\textwidth]{potentiel.png}
    \caption{Potentiel.}
    \label{fig:potentiel}
\end{figure}

On distingue alors plusieurs cas de trajectoires :
\begin{itemize}
    \item Cas 1 : L'énergie cinétique radiale est nulle et l'énergie mécanique est négative et égale à la valeur minimale de l'énergie potentielle effective : la trajectoire est circulaire de rayon r0.
    \item Cas 2 : L'énergie cinétique radiale s'annule en $r_{min}$ et en $r_{max}$ et l'énergie mécanique est négative : la trajectoire est bornée, contenue dans [$r_{min}$; $r_{max}$].
    \item Cas 3 : L'énergie mécanique est nulle et le système arrive à l'infini avec une énergie cinétique nulle : la trajectoire est minorée mais non bornée.
    \item Cas 4 : L'énergie mécanique est positive et la particule fictive arrive à l'infini avec une énergie cinétique non nulle : la trajectoire est minorée par r1 et non bornée. On définit alors les états liés (cas 1 et 2) correspondant à des trajectoires bornées et les états de diffusion (cas 3 et 4) correspondant à des trajectoires non bornées.
\end{itemize}
On peut ainsi déterminer si les trajectoires seront bornées (états liés) ou si on a un état de diffusion, mais pour avoir l'allure de la trajectoire, il faudrait intégrer cette équation ce qui peut être fastidieux.


\transition{On a une information supplémentaire sur le problème : le potentiel est en 1/r}

\newpage

\subsection{Runge-Lenz}

La symétrie\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace-Runge-Lenz_vector##Conservation_and_symmetry}} associée est bizarre.

On appelle \textit{vecteur de Laplace-Runge-Lenz} le vecteur $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{L}-\mathcal{G}m_1m_2\overrightarrow{e_r}$. On le dérive par rapport au temps pour obtenir :
\begin{equation}
\begin{aligned}
    \dv{\overrightarrow{R}}{t} &= \dv{\overrightarrow{v}}{t}\wedge\overrightarrow{L} + \overrightarrow{v}\wedge\dv{\overrightarrow{L}}{t} - \mathcal{G}m_1m_2\dot \theta \overrightarrow{e_\theta} \\
    &= -\mathcal{G}\dfrac{1}{\mu}\dfrac{m_1m_2}{r^2}\overrightarrow{e_r} \wedge \mu r^2 \dot \theta \overrightarrow{e_z} - \mathcal{G}m_1m_2\dot \theta \overrightarrow{e_theta} \\
    &= \mathcal{G}m_1m_2\dot \theta \overrightarrow{e_theta} - \mathcal{G}m_1m_2\dot \theta \overrightarrow{e_theta} \\
    &= \overrightarrow{0}
\end{aligned}
\end{equation}

Le vecteur de Runge-Lenz est bien une \textbf{quantité conservée}. Pourquoi utiliser ce vecteur ? Il permet d'obtenir rapidement l'expression de la trajectoire. on choisit le grand axe comme axe de référence pour les angles. 
\begin{equation}
    \begin{aligned}
    \overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{r} = Rr\cos\theta &= (\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{L})\cdot r\overrightarrow{e_r}-\mathcal{G}m_1m_2 r \\
    &= r \dot \theta L r - \mathcal{G}m_1m_2 r \\
    &= \mu \mathcal{C}^2 - \mathcal{G}m_1m_2 r
    \end{aligned}
\end{equation}
On peut alors écrire l'équation de la trajectoire :
\begin{equation}
    r=\dfrac{r_0}{1+e\cos(\theta)} \qquad \text{avec} \qquad r_0 = \dfrac{\mathcal{C}^2}{\mathcal{G}m_1m_2} \qquad \text{et} \qquad e = \dfrac{R}{\mathcal{G}m_1m_2}
\end{equation}
On peut le tracer pour différents cas :
\begin{itemize}
    \item $e=0$ : cercle de rayon $r_0$
    \item $e<1$ : ellipse
    \item $e=1$ : parabole
    \item $e>1$ : hyperbole
\end{itemize}
On peut d'ailleurs montrer que $E_m=\mathcal{G}\dfrac{m_1m_2}{2p}(e^2-1)$. Pour $E_m<0$, la trajectoire est non seulement bornée mais srtout elle est \textbf{fermée} ! (OdG : cf Salamito p767).



\section{Mécanique des Fluides}
\livre Leçon de 2017.

On se place dans le cadre des fluides parfaits. Un fluide parfait incompressible obéit aux équations d'Euler de conservation de la masse et de la quantité de mouvement, ces deux équations formant les équations de base des fluides non dissipatifs, ainsi qu'à une version du premier principe de la thermodynamique, ces deux aspects (mécanique des fluides et thermodynamique) étant intimement liés.

\vspace{1cm}

On va prouver les équations là dessous :

$$
\dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \vb{\nabla} \cdot (\rho {\vb{v}}) = 0
$$

$$
\dfrac{\partial {\vb{v}}}{\partial t} + ({\vb{v}} \cdot \vb{\nabla}) {\vb{v}} = - \dfrac{\vb{\nabla} P}{\rho} + {\vb{f}}
$$

\subsection{Conservation masse}

$\delta V=\delta x \delta y \delta z$, avec un fluide de masse volumique $\rho$, de vitesse $\vb{v}=\sum v_i\vb{e_i}$.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/cube.png}
    \caption{Conservation de la masse}
    \label{fig:cube}
\end{figure}

On fait un bilan de flux de matière $\phi_m$ :

$$
\delta\phi_{m,x}=\phi_{m,x}(x,y,z,t)-\phi_{m,x+\delta x}(x+\delta x,y,z,t)
$$

Or on a $\phi_{m,x}(x,y,z,t)=\delta y\delta z[\rho v_x]$. Attention considérer $[\rho v_x]$ comme une fonction à part entière. D'où

$$
\delta\phi_{m,x}=\delta y\delta z\delta(-\rho v_x)=-\delta V\dfrac{\partial\rho v_x}{\partial x}
$$

Idem selon les autres axes :

$$
\delta\phi_{m,i}=-\delta V\dfrac{\partial\rho v_i}{\partial x_i}
$$

Or on a $\derond{\delta m}{t}=\delta\phi_m$, et $\delta m = \rho\delta V$, d'où

$$\derond{\delta m}{t}=\delta V\derond{\rho}{t}=-\delta V\left( \sum_{i=x,y,z} \derond{\rho v_i}{x_i} \right)$$

Et finalement

$$\dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \vb{\nabla} \cdot (\rho {\vb{v}}) = 0
$$

Soit encore avec $\dfrac{\text{D}}{\text{D}t}=\derond{ }{t}+\vb{v}\cdot\vb{\nabla}$

$$
\dfrac{\text{D}\rho}{\text{D}t}+\rho\vb{\nabla}\cdot\vb{v}=O
$$

\textbf{Interprétation : Écoulement stationnaire}

\begin{center}
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/tuyau.png}
\end{center}


On a Green Ostrogradski qui donne la conservation du débit massique $Q_m=\rho Sv$ dans un tuyau de lignes de courant. On peut y voir une analogie aux tubes de courant : \si{\kilogram\per\second} -- \si{\coulomb\per\second}

Cette conservation du débit massique permet une première compréhension des vents qui existent en altitude et à
certaines latitutes : les courant-jets. Il s'agit de forts courants d'air en altitude (vers 10 km) et où les vents dépassent les 100 \si{\kilo\metre\per\hour}. La forme qu'ils
prennent et leur étendue spatiale dépend des dépressions en anti-cyclones proches. Grossièrement, la conservation du
débit massique appliquée à un courant-jet nous fait assimiler la surface à la différence de pression entre dépression et
anti-cyclone. Ainsi, une différence de pression plus grande va rendre plus dense et accélérer le courant-jet\footnote{\url{https://www.bbc.com/weather/feeds/16578747}}.


\subsection{Bernoulli (conservation de l'énergie)}

À l'instar de la mécanique du point et du solide, il est courant de s'intéresser au bilan énergétique en mécanique
des fluides, et encore plus dans la météorologie et l'océanographie.

On reprend le schéma préccédent, A et B dans un champs de force potentiel qu'on appelle $\vb{g}=-g\vb{e_z}$ (oui c'est le poids). L'énergie volumique $\epsilon=\epsilon_c+\epsilon_p+\mu+\pi\text{d}t$ est la somme d'un terme cinétique, potentiel, interne et de puissance volumique algébrique reçue.

$$\epsilon_i=\epsilon_{c,i}+\epsilon_{p,i}+\mu_i+\pi_i\text{d}t\qquad i=A~\text{ou}~B$$

$$
\epsilon_i=\dfrac{1}{2}\rho_i\vb{v_i}^2+\rho_igz_i+P_i+\mu_i+\pi_i\text{d}t
$$

On écrit l'enthalpie (volant, comme Alladin) : $h:=\mu+P$

$$
\epsilon_i=\dfrac{1}{2}\rho_i\vb{v_i}^2+\rho_igz_i+h_i+\pi_i\text{d}t
$$

On se place en régime stationnaire, ce qui impose que l'énergie volumique en A est la même que celle en B car on a une invariance temporelle\footnote{CF partie 1.}. On fait la différence et on tombe sur la relation générale de Bernoulli.

$$
\dfrac{1}{2}\rho\vb{v}^2+\rho gz+h+\pi\text{d}t=cst
$$

\textbf{Fluide parfait sans puissance}

$$
\dfrac{1}{2}\rho\vb{v}^2+\rho gz=cst
$$

Plus que 4 inconnues, on peut s'en sortir !!

Il est courant de voir la relation de Bernoulli écrite avec la pression à la place de l'enthalpie ; il faut
pour cela supposer que l'énergie interne volumique du fluide ne varie pas.

Il faut donc encore diminuer le nombre d'inconnue et/ou ajouter des équations pour résoudre le système d'équation.
Si on se place dans le cas incompressible, souvent pris en compte avec la relation de Bernoulli, la seconde équation est
alors la conservation du débit volumique et une inconnue a été supprimé. Mais cela reste un système de 2 équations à
3 inconnues.
Pour le résoudre, on va alors chercher une position où les grandeurs sont connues, par exemple à une ouverture sur
l'extérieur où la pression est assimilée à la pression atmosphérique et la vitesse du fluide, nul. Il va donc s'agir de
remonter de proche en proche jusqu'à déterminer les grandeurs là où on le désire.
Un autre point intéressant est de constater qu'à altitude constante, et pour un rétrécissement de la section, la vitesse
du fluide augmente par conservation du débit volumique et que la pression diminue. Ce qui peut être contre-intuitif : il
n'aurait pas été forcément absurde de considérer qu'une vitesse de fluide plus élevée implique un pression plus grande 3 .
En tout cas, la relation de Bernoulli découle d'un conservation de l'énergie, telle qu'on en croise souvent en
mécanique du point et du solide.

\subsection{Conservation de la vorticité potentielle}

Voir leçon de 2017, ou wikipédia : \url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Tourbillon_potentiel}.



Important : ce n'est pas la vorticité qui est conservée, mais le produit de la vorticité avec la température.


\section{Formalisme lagrangien}

Un formalisme plus puissant pour mettre en évidence le lien entre symétries et quantités conservées est le formalisme Lagrangien.

\subsection{Lagrangien}

Considérons un système dynamique repéré par des paramètres de position $q_i$ (aussi appelés coordonnées généralisées). Au cours du temps, ces paramètres varient, leur taux de variation étant $\dot q_i = \dfrac{\mathrm dq_i}{\mathrm dt}$. L'ensemble des paramètres $\varphi_i$ du système est constitué des $q_i$, des $\dot q_i$ et du temps $t$. Dans un grand nombre de situations, il est possible de définir une fonction $\mathcal L[\varphi_i]$ telle que, si on pose :

$$p_i = \dfrac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}$$

(la dérivée partielle étant calculée comme si les paramètres étaient indépendants entre eux), alors les équation du mouvement sont données par :

\begin{equation}
\dfrac{\mathrm dp_i}{\mathrm dt} = \dfrac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}.\end{equation}


Formellement on constate que ces équations s'obtiennent par application du principe de moindre action (ou principe d'action extrémale), qui s'écrit :


\begin{equation}\dfrac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0 \end{equation}


avec l'Action $ \mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,\mathrm d^ns}$.

\vskip 2cm

Les équations du mouvement obtenues sont alors équivalentes aux équation d'Euler-Lagrange issues du principe précédent. Un système dynamique dont les équations du mouvement peuvent s'obtenir à partir d'un lagrangien est un système dynamique lagrangien. C'est le cas de la version classique du modèle standard (physique des particules), des Lois du mouvement de Newton, des équations de la relativité générale, et de problèmes purement mathématiques comme les équation des géodésiques.

\subsection{Le Lagrangien de la mécanique classique}

Le lagrangien de la mécanique classique est la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle, considérées comme des fonctionnelles.

\begin{equation}
    \mathcal{L}=T-V=E_c-E_p
\end{equation}


Les coordonnées sont alors les $q_{ij}=x_i,y_i,z_i$ de chaque particule dans le système, et leurs dérivées.

On retrouve 

$$L(\vec{x}, \dot{\vec{x}}, t) \ = \ E_c - E_p \ = \ \dfrac{1}{2} \ m \ {\vec{v}}^2 \ - \ V(\vec{x}) \ = \ \dfrac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \ - \ V(\vec{x})$$

Les équations du mouvement sont donc :

$$\dfrac{\mathrm d~}{\mathrm dt} \ \left( \, \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \, \right) \ - \ \dfrac{\partial L}{\partial x_i} \ = \ 0$$

$$\dfrac{\partial L}{\partial x_i} \ = \ - \ \dfrac{\partial V}{\partial x_i}$$

$$\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \ = \ \dfrac{\partial ~}{\partial \dot{x}_i} \, \left( \, \dfrac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \, \right) \ = \ m \, \dot{x}_i$$

$$\dfrac{\mathrm d~}{\mathrm dt} \ \left( \, \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \, \right) \ = \ m \, \ddot{x}_i$$

$$m \, \ddot{x}_i \ + \ \dfrac{\partial V}{\partial x_i} \ = \ 0$$

Soit finalement le PFD :

$$m\ddot{\vec{x}}=-\vec{\nabla}V$$

\subsection{Théorème de Noether}

\textbf{Théorème de Noether :} À toute transformation infinitésimale qui laisse le Lagrangien d'un système invariant à une dérivée temporelle totale près correspond une grandeur physique conservée.

\textbf{Démonstration}

Soit un Lagrangien $L=L(q_i, \dot q_i, t)$ qui dépend de $N$ [[coordonnées généralisées]] $q_i=q_i(t)$, avec $i=1, ..., N$. Selon le [[principe de moindre action]], l'action $S=\int Ldt$ est stationnaire sur une trajectoire physique. Ceci mène directement aux [[équations d'Euler-Lagrange]] :

$$\forall i\quad\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial q_i} = 0.$$

Aussi, sous une transformation infinitésimale des coordonnées $q_i\rightarrow q_i'=q_i+\alpha.\delta q_i$, si le Lagrangien est invariant à une dérivée temporelle totale près (c.-à-d. : $L\rightarrow L'=L+\alpha.\delta L=L+\alpha \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}F(q_i,t)$, pour une fonction quelconque $F(q_i, t)$ qui ne dépend que des coordonnées généralisées et du temps), alors les équations du mouvement sont inchangées. Sous cette hypothèse, en calculant le Lagrangien au premier ordre du développement de Taylor, on obtient :

\begin{align}
\alpha.\delta L &= \dfrac{\partial L}{\partial q_i}\alpha.\delta q_i + \dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\alpha.\delta \dot{q}_i\\
&= \dfrac{\partial L}{\partial q_i}\alpha.\delta q_i + \dfrac{\partial L}{\partial\dot q_i} \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\alpha.\delta q_i\\
&=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot q_i}\alpha.\delta q_i\right) + \left[\dfrac{\partial L}{\partial q_i} -\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right)\right]\alpha.\delta q_i.
\end{align}

Notons que le deuxième terme de la seconde ligne n'est autre que l'un des termes obtenable via la règle de Leibniz: 

\begin{align}
\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot q_i}\delta q_i\right) =  \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right)\cdot \delta q_i + \dfrac{\partial L}{\partial\dot q_i} \cdot \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\delta q_i\right)
\end{align}


Nous avons donc simplement remplacé $\dfrac{\partial L}{\partial\dot q_i} \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\cdot\delta q_i $ par les autres termes de la règle en tenant compte du facteur $\alpha$.

Enfin, dans notre dernier ligne, le deuxième terme est nul car il s'agit de l'équation d'Euler-Lagrange pour $q_i$. Ainsi, par comparaison avec l'hypothèse de départ, on a :

$$F(q_i, t) = \dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}.\delta q_i.$$

On définit la quantité conservée du système :

$$C(q_i, t) = F(q_i, t) - \dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}.\delta q_i = 0$$

car $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}C(q_i, t) = 0.$


\end{document}