<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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\title{LP06 -- CinÃ©matique relativiste}
\renewcommand{\deg}{\si{\degree}}

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\newcommand{\R}{\mathcal{R}}

\date{\today}

\begin{document}

\titre{AurÃ©lien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}

\subsection*{Niveau : L3}


\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\  \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Cours de Samtleben}  \textbf{} &amp; Le dieu \\ 
\textit{Introduction Ã&nbsp; la relativitÃ©}  \textbf{Langlois} &amp; \\
\textit{RelativitÃ© restreinte}  \textbf{Simon} &amp; \\
\textit{MÃ©canique I}  \textbf{BFR} &amp; \\
\textit{RelativitÃ© et invariance}  \textbf{PÃ©rez} &amp; \\
\end{tabular}
%\footnotetext{Par soucis de place toujours, je pense pas qu'il soit nÃ©cessaire de mettre les rÃ©fÃ©rences exactes surtout pour un livre classique.}
% Vous avez vu cette commande badass pour ne pas mettre les footnotes dans les environements locaux ??

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{PrÃ©requis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Maxwell
 \item RelativitÃ© GalilÃ©enne
 \item MÃ©canique
 \item Notations tensorielles
 \item Doppler classique
 \item Optique
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{ExpÃ©riences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item 
	\end{itemize}
\end{minipage}




\tableofcontents\setlength{\parskip}{1em}

\newpage
\section*{Introduction}

A la fin du 19e siÃ¨cle, la physique Ã©tait presque rÃ©solue, il ne restait que quelques problÃ¨mes Ã&nbsp; traiter Ã&nbsp; la marge.
L'un d'eux est le mode de propagation de la lumiÃ¨re dans le vide qui restait inexpliquÃ©. De plus, Ã&nbsp; l'Ã©poque, c'est la
mÃ©canique de Newton qui est reine, il faut donc trouver comment concilier l'Ã©lectromagnÃ©tisme de Maxwell qui fait
apparaÃ®tre une vitesse c absolue et cette mÃ©canique de Newton qui nous dit que la vitesse dÃ©pend du rÃ©fÃ©rentiel.
On va commencer par Ã©tudier les limites de la mÃ©canique classique.



\vspace{0.2cm}


\section{NÃ©cessitÃ© de la relativitÃ© restreinte}


\subsection{RelativitÃ© galilÃ©enne}

Tout d'abord dÃ©finissons la relativitÃ© de l'Ã©poque. C'est une relativitÃ© de l'espace, pas du temps. Le temps est le mÃªme pour tous les observateurs.

\textbf{Ã©venement} = un couple $(x,y,z,t)$.

\textbf{Transfo de galilÃ©e} = On passe de $\R$ Ã&nbsp; $\R'$ par une translation Ã&nbsp; vitesse uniforme, ici selon $x$. (On peut poser un temps $t'$, mais il sera dÃ©fini par une translation pure, de telle sorte que $\Delta t=\Delta t'$.)

\includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/RR_referentiel1.png}

\begin{align}
t'&amp;=t\\
x'&amp;=x - vt\\
y'&amp;=y\\
z'&amp;=z
\end{align}

Sous une telle transfo, on peut Ã©crire le PFD dans $\R$ ou $\R'$ indÃ©fÃ©rement, il est invariant. Cependant les Ã©quations de l'Ã©lectromagnÃ©tisme ne sont pas GalilÃ©e-invariantes.

\subsection{ElectromagnÃ©tisme et translation}

Pour un petit calcul dÃ©taillÃ© voir \ref{sec:ann1}.

Les Ã©quations de Maxwell sont dÃ©finies dans n'importe quel rÃ©fÃ©rentiel galilÃ©en, et donnent le calcul suivant.

\begin{align}
  \nabla \cdot \mathbf{E} &amp;= 0 \quad &amp; \nabla \times \mathbf{E} &amp;= -\dfrac{\partial\mathbf B}{\partial t}, \\
  \nabla \cdot \mathbf{B} &amp;= 0 \quad &amp; \nabla \times \mathbf{B} &amp;= \mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t}.
\end{align}

\begin{align}
  \mu_0\varepsilon_0  \dfrac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{E} = 0 \\
  \mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{B} = 0
\end{align}

\begin{align}
  \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{E} = 0 \\
  \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{B} = 0
\end{align}

On fait apparaÃ®tre une vitesse absolue, indÃ©pendante du rÃ©fÃ©rentiel choisi, qui est $c=\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$.

DÃ¨s lors, deux cas sont possibles :
\begin{itemize}
    \item il existe un rÃ©fÃ©rentiel privilÃ©giÃ© telles que les Ã©quations de Maxwell sont exactes uniquement dans ce rÃ©fÃ©rentiel. Dans ce rÃ©fÃ©rentiel, la vitesse de propagation des phÃ©nomÃ¨nes Ã©lectromagnÃ©tiques est bien Ã©gale Ã&nbsp; c (la transformation de GalilÃ©e est alors respectÃ©e, mais le principe de relativitÃ© galilÃ©enne est abandonnÃ©)
    
    \item les Ã©quations de Maxwell sont valables dans tous les rÃ©fÃ©rentiels galilÃ©ens sans distinctions, et la vitesse c reste la mÃªme dans tous les rÃ©fÃ©rentiels. (la transformation de GalilÃ©e ne fonctionne donc plus, mais le principe de relativitÃ© est toujours valable.)
\end{itemize}

Pour choisir, on fait appel Ã&nbsp; Michelson et Morley !

\transition{\textit{Tananana nanana} Morleeeey !}

\subsection{ExpÃ©riences dÃ©terminantes}

\subsubsection{ExpÃ©rience de Michelson}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/michel.png}
    \caption{InterfÃ©romÃ¨tre de Michel.}
    \label{fig:michel}
\end{figure}

\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Michelson-Morley_experiment}

Les physiciens du 19eme siÃ¨cle ont tout d'abord songÃ© Ã&nbsp; la premiÃ¨re hypothÃ¨se, Ã&nbsp; savoir l'existence d'un rÃ©fÃ©rentiel privilÃ©giÃ©, nommÃ© Ã©ther ($\R_e$). L'Ã©ther aurait Ã©tÃ© le milieu de propagation de l'Ã©lectromagnÃ©tisme, ce qui colle encore plus avec le savoir de l'Ã©poque : une onde a forcÃ©ment un milieu.

\textbf{But :} prouver que l'Ã©ther n'existe pas. Si on parvient Ã&nbsp; invalider l'hypothÃ¨se d'inexistence de l'Ã©ther, on prouve que l'Ã©ther existe.

Le but de cette expÃ©rience
Ã©tait de dÃ©tecter par des moyens optiques dâ€™interfÃ©romÃ©trie le mouvement de la Terre par rapport Ã&nbsp; lâ€™Ã©ther. Une premiÃ¨re hypothÃ¨se, facile Ã&nbsp; admettre et Ã&nbsp; considÃ©rer, consiste Ã&nbsp; dire que lâ€™Ã©ther nâ€™est pas liÃ© Ã&nbsp; la Terre. Ainsi, si la vitesse de la lumiÃ¨re vaut c dans lâ€™Ã©ther, elle vaut dans le rÃ©fÃ©rentiel Terrestre :

\begin{equation}
\vb{c'}_{lum/Terre}=\vb{c}_{lum/Ether}-\vb{c'}_{Terre/Ether}
\end{equation}


On construit l'appareil de telle sorte que les miroirs M1 et M2 soient Ã&nbsp; Ã©gale distance, $L$, de la lame sÃ©paratrice.

Alors, si la Terre est immobile par rapport Ã&nbsp; l'Ã©ther, les deux trajets dans les deux directions perpendiculaires sont Ã©gaux (mÃªme distance parcourue, mÃªme durÃ©e de trajet). 

Si, en revanche, la Terre est en mouvement par rapport Ã&nbsp; l'Ã©ther, Ã&nbsp; la vitesse $v$ dans une direction (vers M1 par exemple), alors les deux trajets ne sont pas faits Ã&nbsp; la mÃªme vitesse, et le temps nÃ©cessaire n'est pas le mÃªme dans les deux directions :

$\bullet$ un aller et retour dans le sens de la marche de la Terre (vers M1) nÃ©cessite un temps $t_1 = \dfrac {L}{c-v} + \dfrac {L}{c+v} = \dfrac {2L\cdot c}{c^2-v^2}$ soit, en nÃ©gligeant les termes de second ordre : $\dfrac{2L}{c}\left(1 + \dfrac {v^2}{c^2}\right)$.

$\bullet$ un aller-retour perpendiculairement Ã&nbsp; la marche de la Terre (vers M2) nÃ©cessite un temps 
$t_2 = \dfrac{2L}{\sqrt{c^2 - v^2}}$ ou, dans la mÃªme approximation, $\dfrac{2L}{c}\left(1 + \dfrac {v^2}{2c^2}\right)$.



La diffÃ©rence de temps de parcours entre les deux trajets est alors:

\begin{equation}\Delta t = t_1 - t_2 = L \dfrac {v^2}{c^3}\end{equation}

On pose $\Delta\delta = c\cdot \Delta t$, et on calcule l'ordre d'interfÃ©rence $\Delta p$ par dÃ©finition, et compte tenu de la vitesse orbitale de la Terre sur son orbite 30 km/s : $ \Delta p = \dfrac{\Delta \delta}{\lambda} = \dfrac{c\cdot  \Delta t}{\lambda} $, ou encore

\begin{equation} \Delta p = \dfrac{c\cdot \Delta t}{\lambda} = \dfrac{L}{\lambda} \beta^2 \end{equation}

\begin{equation} \beta = \dfrac{v}{c} = \dfrac{3\times 10^4}{3\times 10^8} = 10^{-4} \end{equation}

Par exemple, dans le domaine visible pour la longueur d'onde $\lambda = 500 \text{ nm} = 5\times 10^{-7} \text{ m}$ et pour un bras L = 10 mÃ¨tres,

\begin{equation} \Delta p = \dfrac{10}{5\times 10^{-7}} \times 10^{-8}= 0.2 \text{ frange}\end{equation}

ce qui serait trÃ¨s visible et donc parfaitement observable. Or, l'expÃ©rience de Michelson-Morley n'a jamais permis une telle mesure : le rÃ©sultat Ã©tait toujours nÃ©gatif.

Enfin, comme on ne sait pas a priori quelle est la vitesse de la Terre par rapport Ã&nbsp; l'Ã©ther, ni mÃªme si l'on n'est pas, par hasard, dans un endroit et Ã&nbsp; un moment oÃ¹ sa vitesse est nulle, il faut refaire l'expÃ©rience dans plusieurs directions, et avec plusieurs mois d'Ã©cart pour profiter du fait que la vitesse de la Terre par rapport Ã&nbsp; l'Ã©ther est modifiÃ©e.

\subsubsection{ExpÃ©rience de Fizeau}
\textit{Pas utile Ã&nbsp; prÃ©senter mais intÃ©ressant Ã&nbsp; connaÃ®tre...}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/fizeau.png}
    \caption{L'expÃ©rience de Fizeau (en simplifiÃ©).}
    \label{fig:Fiz}
\end{figure}

\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Fizeau_experiment}


MÃªme idÃ©e, l'Ã©ther est portÃ© par l'eau, ce qui modifie la vitesse dans les deux bras et donne des franges d'interfÃ©rence si on se dÃ©merde bien.

\transition{On a donc besoin de la relativitÃ© restreinte. On va maintenant voir quels sont ses principes et consÃ©quences.}

\section{Fondements de la relativitÃ© restreinte}
\subsection{Postulats et dÃ©finitions}
La relativitÃ© restreinte repose sur 2 postulats fondamentaux :
\important{\begin{itemize}
    \item Les lois de la physique sont identiques dans tous les \textbf{rÃ©fÃ©rentiels inertiels} (c'est une gÃ©nÃ©ralisation de la premiÃ¨re loi de Newton donc ce n'est pas contre-intuitif). Cela signifie que les relations traduisant des lois physiques (Ã©quations d'Alembert, de Maxwell, ...) ont la mÃªme structure dans des rÃ©fÃ©rentiels inertiels diffÃ©rents. 
    \item La vitesse de la lumiÃ¨re est identique dans tous les \textbf{rÃ©fÃ©rentiels inertiels} (c'est contre-intuitif).
\end{itemize}}
Cette leÃ§on porte sur l'Ã©tude \textit{cinÃ©matique}, donc on va surtout s'intÃ©resser au second postulat.

Pour cela, quelques dÃ©finitions :
\begin{itemize}
    \item \textbf{RÃ©fÃ©rentiel :} comme en mÃ©canique classique, c'est une origine Ã&nbsp; laquelle on associe trois axes. La diffÃ©rence avec la mÃ©canique classique rÃ©side dans le fait qu'on lui associe une horloge qui mesure le \textit{temps propre} dans ce rÃ©fÃ©rentiel :
    \begin{equation}\R_{classique}=(\mathcal{O},x,y,z) \rightarrow \R_{relat}=(\mathcal{O},x,y,z,t)\end{equation}
    \item \textbf{Espace-temps :} espace Ã&nbsp; 4 dimensions (3 spatiales + 1 temporelle) dans lequel on dÃ©crit les Ã©vÃ¨nements
    \item \textbf{Ã‰vÃ¨nement :} point $(x,y,z,t)$ de l'espace-temps
\end{itemize}

\subsection{Transformation de Lorentz}
On appelle \textit{transformation de Lorentz} ou \textit{boost de Lorentz} selon l'axe $x$ la transformation permettant de passer d'un rÃ©fÃ©rentiel galilÃ©en $\R=(\mathcal{O},x,y,z,t)$ Ã&nbsp; un autre rÃ©fÃ©rentiel galilÃ©en $\R'=(\mathcal{O}',x',y',z',t')$ en translation rectiligne uniforme selon l'axe $x$ par rapport $\R$ tout en satisfaisant \textbf{l'invariance de la vitesse de la lumiÃ¨re}.
Cette transformation s'Ã©crit :

\begin{equation}
    \begin{pmatrix}
    ct'\\x'\\y'\\z'
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
    \gamma &amp; -\beta\gamma &amp; 0 &amp; 0\\
    -\beta\gamma &amp; \gamma &amp; 0 &amp; 0\\
    0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0\\
    0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
    ct \\ x \\ y \\ z
    \end{pmatrix}
\end{equation}

en introduisant le \textit{facteur de Lorentz}

\begin{equation}
    \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
\end{equation}

On peut Ã©galement Ã©crire cette transformation directement :

\begin{equation}
\begin{cases}
ct' &amp;= \gamma (ct- \beta x) \\
x' &amp;= \gamma (x - \beta ct) \\
y' &amp;= y \\
z' &amp;= z \\
\end{cases}
\end{equation}

Remarquons que dans le cas oÃ¹ $v \ll c$, on a $\gamma \simeq 1$ et $\beta \ll 1$. On retrouve alors la transformation de GalilÃ©e

\begin{equation}
\begin{cases}
t' &amp;= t \\
x' &amp;= x - vt \\
y' &amp;= y \\
z' &amp;= z \\
\end{cases}
\end{equation}

\subsection{Composition des vitesses}
En diffÃ©rentiant les formules de transformation de Lorentz, on obtient

\begin{equation}
\begin{cases}
\text{d}t' &amp;= \gamma (\text{d}t- v \dfrac{\text{d}x)}{c^2} \\
\text{d}x' &amp;= \gamma (\text{d}x - v\text{d}t) \\
\text{d}y' &amp;= \text{d}y \\
\text{d}z' &amp;= \text{d}z \\
\end{cases}
\end{equation}

On obtient alors les vitesses dans $\R'$, \textit{i.e.} la loi de composition des vitesses :

\important{\begin{equation}
    \begin{aligned}
    \dv{x'}{t'} &amp;= \dfrac{\dv{x}{t}-v}{1-\dfrac{v}{c^2}\dv{x}{t}} \\
    \dv{y'}{t'} &amp;= \dv{y}{t} \dfrac{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}{1-\dfrac{v}{c^2}\dv{x}{t}} \\
    \dv{z'}{t'} &amp;= \dv{z}{t} \dfrac{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}{1-\dfrac{v}{c^2}\dv{x}{t}} \\
    \end{aligned}
\end{equation}}

Remarquons de nouveau que dans le cas oÃ¹ $v \ll c$, on retrouve alors la loi classique d'addition des vitesses en mÃ©canique Newtonienne.

\transition{Quelles sont les consÃ©quences de la relativitÃ© restreinte ?}

\section{ConsÃ©quences}
\subsection{Invariant relativiste}
Soient 2 Ã©vÃ¨nements $(x_1,y_1,z_1,t_1)$ et $(x_2,y_2,z_2,t_2)$ dans le rÃ©fÃ©rentiel $\R$. On dÃ©finit \textit{le carrÃ© de l'intervalle d'espace-temps} $(\Delta s)^2$ par :
\begin{equation}(\Delta s)^2 = c^2(t_2-t_1)^2 - (x_2-x_1)^2-(y_2-y_1)^2-(z_2-z_1)^2\end{equation}
On Ã©crit Ã©galement $(\Delta s)^2 = (c\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2$.

\vspace{0.2cm}
Appliquons la transformation de Lorentz Ã&nbsp; cette quantitÃ© :
\begin{equation}
    \begin{aligned}
    (\Delta s')^2 &amp;= (c\Delta t')^2-(\Delta x')^2-(\Delta y')^2-(\Delta z')^2 \\
    &amp;= (\gamma c \Delta t- \gamma\beta \Delta x)^2 - (\gamma x - \gamma\beta c\Delta t)^2 - (\Delta y)^2 -(\Delta z)^2 \\
    &amp;= \gamma^2(c\Delta t)^2 - 2 \gamma^2 \beta c \Delta t \Delta x + \gamma^2 \beta^2 (\Delta x)^2 - \gamma ^2 (\Delta x)^2 + 2 \gamma^2 \beta c \Delta t \Delta x - \gamma^2 \beta^2 (c\Delta t)^2 - (\Delta y)^2 -(\Delta z)^2 \\
    &amp;= \gamma^2[1-\beta^2](c\Delta t)^2 - \gamma^2[1-\beta^2](\Delta x)^2 - (\Delta y)^2 - z^2 \\
    &amp;= (c\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2 \\
    &amp;= (\Delta s)^2
    \end{aligned}
\end{equation}

\important{La quantitÃ© $(\Delta s)^2$ est donc un \textit{invariant relativiste}, c'est-Ã&nbsp;-dire que $(\Delta s)^2$ est invariant par transformation de Lorentz.}

On peut lister plusieurs cas :
\begin{itemize}
    \item $(\Delta s)^2 &lt; 0$ : l'intervalle espace-temps est dit \textit{de genre espace}, on ne peut relier les Ã©vÃ¨nements par un signal physique. Il n'existe pas de relation de cause Ã&nbsp; effet pour de tels Ã©vÃ¨nements.
    \item $(\Delta s)^2 &gt; 0$ : l'intervalle espace-temps est dit \textit{de genre temps}, on peut relier les Ã©vÃ¨nements par un signal physique.
    
    On peut Ã©galement dÃ©finir plusieurs zones de l'espace-temps :
    \begin{itemize}
        \item la zone oÃ¹ $\Delta t&lt;0$ dÃ©signe le passÃ© ;
        \item la zone oÃ¹ $\Delta t&gt;0$ dÃ©signe le futur
    \end{itemize}
    
    \item $(\Delta s)^2 = 0$ : c'est le \textit{cÃ´ne de lumiÃ¨re}, qui sÃ©pare les 2 zones indiquÃ©es ci-dessus.
\end{itemize}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/cone_lumiere.png}
    \caption{CÃ´ne de lumiÃ¨re.}
    \label{fig:cone_lum}
\end{figure}

Par convention, on prÃ©fÃ¨re manipuler non pas $(\Delta s)^2$ mais une quantitÃ© homogÃ¨ne Ã&nbsp; un temps, appelÃ©e \textit{temps propre} et notÃ©e $\tau$. On dÃ©finit ce temps par la relation
\begin{equation}
    (c \Delta \tau)^2 = (\Delta s)^2 = (c \Delta t)^2 - (\Delta x)^2 - (\Delta y)^2 - (\Delta z)^2
\end{equation}
On peut Ã©galement dÃ©finir le \textit{temps propre infinitÃ©simal} pour des intervalles \textbf{de genre temps} (\textit{i.e.} $\text{d}s^2 &gt; 0$) par :
$$
\text{d}\tau = \dfrac{\text{d}s}{c} = \dfrac{1}{c} \sqrt{c^2 \text{d}t^2 - \text{d}x^2 - \text{d}y^2 - \text{d}z^2}
$$

\subsection{Perte de simultanÃ©itÃ©}
La notion de simultanÃ©itÃ© est un notion trÃ¨s intuitive. Il est ainsi difficile de concevoir que 2 Ã©vÃ¨nements simultanÃ©s pour un observateur A ne le soit pas pour un observateur B. Pourtant, on a vu qu'en relativitÃ© restreinte, la notion de temps dÃ©pendait du rÃ©fÃ©rentiel est donc n'Ã©tait plus absolue. La notion de simultanÃ©itÃ© a-t-elle donc encore un sens ?

\vspace{0.2cm}
On considÃ¨re un train de longueur $L$, se dÃ©plaÃ§ant Ã&nbsp; vitesse $v$ constante. Un observateur situÃ© au centre du train Ã©met deux photons en mÃªme temps : le premier photon vers lâ€™avant et le deuxiÃ¨me photon vers lâ€™arriÃ¨re. On note $A$ lâ€™Ã©vÃ¨nement dâ€™arrivÃ©e du premier photon au bout du train et $B$ celui du deuxiÃ¨me photon. Ces Ã©vÃ¨nements peuvent Ãªtre dÃ©crits dans le rÃ©fÃ©rentiel $\R'$ du train ou dans $\R$ le rÃ©fÃ©rentiel terrestre supposÃ© inertiel (donc celui du train lâ€™est aussi).
\begin{itemize}
    \item dans $\R'$ : le train est immobile, chaque photon parcourt la moitiÃ© du train en se dÃ©plaÃ§ant Ã&nbsp; la vitesse $c$. Alors 
    $$
    t'_A = \dfrac{L/2}{c} = t'_B
    $$
    Les deux Ã©vÃ¨nements sont alors simultanÃ©s.
    \item dans $\R$ : le train bouge et les photons doivent parcourir des distances diffÃ©rentes, toujours Ã&nbsp; la vitesse $c$ car $c$ est absolue. Alors
    $$
    \begin{cases}
    t_A = \dfrac{L/2+vt_A}{c} \Rightarrow t_A =\dfrac{L/2}{c-v}\\
    t_B = \dfrac{L/2-vt_B}{c} \Rightarrow t_B = \dfrac{L/2}{c+v}
    \end{cases}
    $$
    On voit alors que $t_A \neq t_B$ : les Ã©vÃ¨nements ne sont pas simultanÃ©s, le photon atteindra l'arriÃ¨re du train avant que l'autre photon atteigne l'avant du train.
    On remarque que $$t_A-t_B = \dfrac{\beta\gamma^2}{c}L$$
\end{itemize}

\subsection{Dilatation des durÃ©es}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.7\textwidth]{fig/time.png}
    \caption{SchÃ©ma de la situation.}
    \label{fig:time}
\end{figure}

Prenons un exemple bÃªte et simple. On prend deux Ã©metteurs-rÃ©cepteurs immobiles dans le rÃ©fÃ©rentiel $\R$. L'un est en A, l'autre en B, sÃ©parÃ©s d'une distance $L$. Un aller retour d'information lumineuse entre les deux prend un temps de $\Delta t = \dfrac{2L}{c}$ dans le rÃ©fÃ©rentiel $\R$.

Supposons maintenant que les deux Ã©metteurs soient dans une fusÃ©e Ã&nbsp; vitesse $v$. Le rÃ©fÃ©rentiel $\R'$ est donc en translation rectiligne uniforme Ã&nbsp; vitesse $-v$ dans $\R$. On observe le mÃªme Ã©vÃ¨nement depuis $\R'$.


En regardant la fusÃ©e, on voit l'information lumineuse faire une distance $D=\sqrt{\left (\dfrac{1}{2}v \Delta t'\right )^2 + L^2}$ supÃ©rieure Ã&nbsp; $L$. Or dans $\R$ et $\R'$ la vitesse de la lumiÃ¨re est $c$, donc le temps de l'aller retour mesurÃ© dans $\R'$ est $\Delta t' = \dfrac{2D}{c}$. On peut ainsi calculer $\Delta t'$ en fonction de $\Delta t$ :

\begin{equation}
\Delta t' = \dfrac{\Delta t}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}=\gamma\Delta t
\end{equation}

Ainsi depuis le sol on voit un temps plus grand, la durÃ©e s'est dilatÃ©e. De mon point de vue, ma montre va plus vite que celle de l'astronaute, et du point de vue de l'astronaute, c'est l'inverse !

\textit{Parler de la durÃ©e de vie des muons ?} Les muons ont une demie vie de $2.2\mu$s. Plus rapide que la lumiÃ¨re ? NON, dilatation des durÃ©es.

\subsection{Effet Doppler relativiste}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/doppler0.7c.jpg}
    \caption{Effet Doppler Ã&nbsp; 0.7$c$ vers la droite.}
    \label{fig:Doppler}
\end{figure}

On voit tout de suite, si on pense un peu Ã&nbsp; l'effet Doppler, que quelquechose de pas net se trame ici !

Supposons que l'observateur et la source s'Ã©loignent l'un de l'autre Ã&nbsp; une vitesse relative de $v$, ($v$ est nÃ©gative si l'observateur et la source se dÃ©placent l'un vers l'autre). Analysons ce problÃ¨me depuis le rÃ©fÃ©rentiel de la source en supposant qu'un front d'onde arrive Ã&nbsp; l'observateur.

Le prochain front d'onde est donc Ã&nbsp; la distance $\lambda=c/f_s$ de lui (oÃ¹ $\lambda$ est la longueur d'onde, $f_s$ est la frÃ©quence de l'onde au moment de son Ã©mission et $c$ la vitesse de la lumiÃ¨re). Puisque le front d'onde se dÃ©place Ã&nbsp; la vitesse $c$ et que l'observateur se dÃ©place Ã&nbsp; la vitesse $v$, la durÃ©e (telle que mesurÃ©e dans le rÃ©fÃ©rentiel de la source) entre les crÃªtes Ã&nbsp; l'arrivÃ©e est donnÃ©e par :

$$t = \dfrac{\lambda}{c-v} = \dfrac{c}{(c-v)f_s} = \dfrac{1}{(1-\beta)f_s}$$

oÃ¹ $\beta = v / c$ est la vitesse de l'observateur en fonction de la vitesse de la lumiÃ¨re.

Ã€ cause de la dilatation du temps, l'observateur va mesurer cette durÃ©e comme Ã©tant : $t_o = \dfrac{t}{\gamma}$ oÃ¹ $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$ est le facteur de Lorentz.


La frÃ©quence observÃ©e correspondante est $f_o = \dfrac{1}{t_o} = \gamma (1-\beta) f_s = \sqrt{\dfrac{1-\beta}{1+\beta}}\,f_s$.

Le rapport $\dfrac{f_s}{f_o} = \sqrt{\dfrac{1+\beta}{1-\beta}}$ est appelÃ© \textit{facteur de Doppler} de la source relative Ã&nbsp; l'observateur. Les longueurs d'onde correspondantes sont donnÃ©es par $\dfrac{\lambda_o}{\lambda_s} = \dfrac{f_s}{f_o} = \sqrt{\dfrac{1+\beta}{1-\beta}}$ et le dÃ©calage vers le rouge, qui a lieu dans le cas oÃ¹ l'observateur et la source s'Ã©loignent l'un de l'autre, $z = \dfrac{\lambda_o - \lambda_s}{\lambda_s} = \dfrac{f_s - f_o}{f_o}$ peut Ãªtre Ã©crit comme $z = \sqrt{\dfrac{1+\beta}{1-\beta}} - 1$.

Lorsque la vitesse n'est pas relativiste ($v \ll c$), ce dÃ©calage vers le rouge  vaut environ $z \simeq \beta = \dfrac{v}{c}$, ce qui correspond Ã&nbsp; l'effet Doppler ordinaire.

\subsection{Contraction des longueurs : paradoxe du train}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.2\textwidth]{fig/train1.png}
    \includegraphics[width=.2\textwidth]{fig/train2.png}
    \caption{I like trains.}
    \label{fig:train}
\end{figure}

Le paradoxe du train est une expÃ©rience de pensÃ©e destinÃ©e Ã&nbsp; illustrer des effets paradoxaux de la relativitÃ© restreinte : non-pertinence des notions de simultanÃ©itÃ© et d'antÃ©rioritÃ© absolues et contraction des longueurs.


On prend un train qui roule Ã&nbsp; une vitesse $v$ dans le rÃ©fÃ©rentiel $\R$. On dÃ©finit par la prÃ©sence d'une horloge dans le train un rÃ©fÃ©rentiel $\R'$ en translation rectiligne uniforme par rapport Ã&nbsp; $\R$. On met un Ã©metteur et un miroir d'un bout Ã&nbsp; l'autre du train, et on dÃ©finit 3 Ã©vÃ¨nements :

\begin{itemize}
    \item A : Ã©mission d'un rayon
    \item B : RÃ©flexion
    \item C : dÃ©tection
\end{itemize}

On mesure la longueur du train par mesure de temps. Dans $\R'$ on a $2L'=c\Delta t'$ et dans $\R$ on a :

\begin{equation}
\begin{cases}
AB \quad &amp; L+v\Delta t_1 = c\Delta t_1 \\
BC \quad &amp; L+v\Delta t_2 = c\Delta t_2
\end{cases}
\end{equation}


D'oÃ¹ $\Delta t = \Delta t_1 + \Delta t_2 = \dfrac{2L}{c}\gamma^2$, et finalement :

\begin{equation}
L'=\gamma L    
\end{equation}

Ainsi, il y a contraction des longueurs : un objet en mouvement paraÃ®t contractÃ© ($L\leq L'$).

LÃ&nbsp; aussi, si deux objets vont dans des directions opposÃ©es, il sont chacun contractÃ©s l'un par rapport Ã&nbsp; l'autre.

\textit{morale de l'histoire :} le train rentre et ne rentre pas, Ã§a dÃ©pend du point de vue.

\section*{Conclusion}

\textbf{Ouverture :} relativitÃ© gÃ©nÃ©rale into pÃ©tage de cul just like the simulations

\newpage

\section*{Commentaires (oral blanc du 11 mars 2020)}
\begin{itemize}
    \item Parler des expÃ©riences de pensÃ© avant la transformation de Lorentz ?
    \item L'invariant relativiste c'est un peu comme une distance dans l'espace temps. Il indique ce qui peut se passer ou non (selon son signe) si par exemple on Ã©met un photon en $(x_1,y_1,z_1,t_1)$ et qu'on veut savoir ce qui se passe en $(x_2,y_2,z_2,t_2)$.
    \item Fizeau n'est pas trÃ¨s utile, mais si on veut en parler il faut en parler correctement.
    \item L'expÃ©rience de Michelson et Morley n'a rien mesurÃ© et c'est comme Ã§a qu'on a dÃ©duit l'absence de l'Ã©ther. L'expÃ©rience de Fizeau a mesurÃ© $c$ et montre que la transfo de GalilÃ©e n'est pas bonne et que la transfo de Lorentz est la bonne.
    \item ExpÃ©rience de Kennedyâ€“Thorndike = expÃ©rience de Michelson et Mortley mais avec 2 bras de longueurs diffÃ©rentes.
    \item Apparemment, on n'est pas obligÃ© de postuler que $c$ ne dÃ©pende pas du rÃ©fÃ©rentiel pour trouver la transfo de Lorentz. On pourrait aussi le faire en partant de l'Ã©quivalence de 2 rÃ©fÃ©rentiels inertiels et avec des hypothÃ¨ses d'isotropie, d'homogÃ©nÃ©itÃ© et, de symÃ©tries et d'invariances. Voir Levy-leblond (aeticle quand mÃªme velu) ou bien David Mermin(\textit{American Journal of Physics}) qui retrouvent les lois de compositiion des vitesses relativistes sans passer par invariance de $c$.
    \item On pourrait montrer qu'un objet ne dÃ©passe jamais $c$ peut importante dans quel rÃ©fÃ©rentiel on se place (par exemple un objet allant Ã&nbsp; la vitesse $0.75c$ dans un rÃ©fÃ©rentiel allant Ã©galement Ã&nbsp; $0.75c$ par rapport Ã&nbsp; l'observateur ne va quand mÃªme pas plus vite que $c$...
    \item Il faut bien expliquer la partie 'non-causalitÃ©' quand on n'est pas dans le cÃ´ne de lumiÃ¨re (calculs ?)
    \item Il faudrait peut-Ãªtre montrer que la transfo de Lorentz conserve bien $c$ et que c'est isotrope (donc montrer que la transfo de Lorentz est compatible avec Michelson et Morley).
    \item Relier la contraction des longueurs avec la dilatation des durÃ©es ?
\end{itemize}


\newpage

\section{Annexe : Transformation galilÃ©enne sur les Ã©quations de Maxwell}
\label{sec:ann1}

\livre {\footnotesize\url{https://physics.stackexchange.com/questions/378861/what-does-a-galilean-transformation-of-maxwells-equations-look-like}}

Consider two frames of reference S and S', and suppose that S' moves with speed \textbf v with respect to S. Coordinates in S and S' are related by a Galileian transformation:

\begin{equation}\begin{cases} t' = t \\ \textbf x' = \textbf x-\textbf vt\end{cases}\end{equation}

To find how the fields transform, we note that a Lorentz transformation reduces to a Galileian transformation in the limit $c \to \infty$. In fact, under a Lorentz transformation the fields transform like:

\begin{equation}\begin{cases}
\textbf E' = \gamma (\textbf E + \textbf v \times \textbf B) - (\gamma-1) (\textbf E \cdot \hat{\textbf{v}}) \hat{\textbf{v}}\\
\textbf B' = \gamma \left(\textbf B - \dfrac{1}{c^2}\textbf v \times \textbf E \right) - (\gamma-1) (\textbf B \cdot \hat{\textbf{v}}) \hat{\textbf{v}}\\
\end{cases}
\end{equation}

Taking the limit $c\to \infty$ so that $\gamma\to 1$, we obtain the Galileian transformations of the fields:

\begin{equation}
\begin{cases}
\textbf E' = \textbf E + \textbf v \times \textbf B\\
\textbf B' = \textbf B\\
\end{cases}
\end{equation}

We can then invert the transformation by sending $\textbf v \to -\textbf v$:

\begin{equation}
\begin{cases}
\textbf E = \textbf E' - \textbf v \times \textbf B'\\
\textbf B = \textbf B'\\
\end{cases}
\end{equation}

By the same reasoning, can obtain the Galileian transformation of the sources:

\begin{equation}
\begin{cases}
\textbf J = \textbf J' + \rho' \textbf v\\
\rho = \rho'\\
\end{cases}
\end{equation}

We know that the fields and sources satisfy Maxwell's equations in S:

\begin{equation}
\begin{cases}
\nabla \cdot \textbf E = \rho/\epsilon_0\\
\nabla \cdot \textbf B = 0\\
\nabla \times \textbf E = -\dfrac{\partial \textbf B}{\partial t}\\
\nabla \times \textbf B = \mu_0 \left(\textbf J +\epsilon_0 \dfrac{\partial \textbf E}{\partial t} \right)\\
\end{cases}
\end{equation}

Replacing the fields and sources in S with those in S' we obtain:

\begin{equation}
\begin{cases}
\nabla \cdot \textbf (\textbf E' - \textbf v \times \textbf B') = \rho'/\epsilon_0\\
\nabla \cdot \textbf B' = 0\\
\nabla \times \textbf (\textbf E' - \textbf v \times \textbf B') = -\dfrac{\partial \textbf B'}{\partial t}\\
\nabla \times \textbf B' = \mu_0 \left(\textbf J' + \rho' \textbf v +\epsilon_0 \dfrac{\partial (\textbf E' - \textbf v \times \textbf B')}{\partial t} \right)\\
\end{cases}
\end{equation}

As a last step, we need to replace derivatives in S with derivatives in S'. We have:

\begin{equation}
\begin{cases} \nabla = \nabla' \\ \dfrac{\partial }{\partial t} = \dfrac{\partial }{\partial t'} - \textbf v \cdot \nabla\end{cases}
\end{equation}

Substituting and removing the primes and using vector calculus, we obtain:

\begin{equation}
\begin{cases}
\nabla \cdot \textbf E + \textbf v \cdot (\nabla \times \textbf B) = \rho/\epsilon_0\\
\nabla \cdot \textbf B = 0\\
\nabla \times \textbf E = -\dfrac{\partial \textbf B}{\partial t}\\
\nabla \times \textbf B = \mu_0 \left(\textbf J + \rho \textbf v +\epsilon_0 \dfrac{\partial}{\partial t}( \textbf E - \textbf v \times \textbf B) - \epsilon_0 \textbf v \cdot \nabla (\textbf E - \textbf v \times \textbf B) \right)\\
\end{cases}
\end{equation}

In a vacuum, we can take the curl of the fourth equation to obtain:

\begin{equation}
c^2\nabla^2 \textbf B = \dfrac{\partial^2 \textbf B}{\partial t^2} + (\textbf v \cdot \nabla)^2 \textbf B - 2 \textbf v \cdot \nabla \left(\dfrac{\partial \textbf B}{\partial t}\right)
\end{equation}

Substituting a wave solution of the form

\begin{equation}\textbf B \sim \exp{i(\textbf k \cdot \textbf x -\omega t)}\end{equation}

We obtain an equation for $\omega$, which we can solve to obtain:

\begin{equation}
\omega = -\textbf v \cdot \textbf k \pm c |\textbf k|
\end{equation}

Therefore the speed of propagation is the group velocity:

\begin{equation}
\dfrac{\partial \omega}{\partial \textbf k} = -\textbf v \pm c \hat{\textbf{ k}}
\end{equation}

which gives you the expected $c\pm v$ with an appropriate choice of $\textbf v$ and $\textbf k$.

\end{document}

</pre></body></html>