\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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\title{LP08 -- Notion de Viscosité d'un Fluide}
\renewcommand{\deg}{\si{\degree}}

\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\vb}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert}
\newcommand{\dv}[2]{\dfrac{\text{d}#1}{\text{d}#2}}
\newcommand{\ddv}[2]{\dfrac{\text{d}^2#1}{\text{d}#2^2}}
\newcommand{\dvv}[2]{\dfrac{\text{d}^2#1}{\text{d}#2^2}}
\newcommand{\derond}[2]{\dfrac{\partial#1}{\partial#2}}
\newcommand{\ddroit}{\text{d}}
\newcommand{\R}{\mathcal{R}}



\date{\today}

\begin{document}

\titre{Aurélien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}

\subsection*{Niveau : L2}


\subsection*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
\item 2017 : Il peut être judicieux de présenter le fonctionnement d’un viscosimètre dans cette leçon.
\item 2016 : Le jury invite les candidats à réfléchir d’avantage à l’origine des actions de contact mises en jeu entre un
fluide et un solide.
\item 2015 : Afficher un tableau d’ordres de grandeur de viscosité ne suffit pas en soi pour illustrer la leçon. Tout
exemple donné d’écoulement visqueux doit être maîtrisé par le/la candidat(e).\\
Jusqu’en 2013, le titre était : Notion de viscosité d’un fluide. Écoulements visqueux. Nombre de Reynolds. Exemples simples.
\item 2011, 2012, 2013, 2014 : L’exemple de l’écoulement de Poiseuille cylindrique n’est pas celui dont les conclusions
sont les plus riches. Les candidats doivent avoir réfléchi aux différents mécanismes de dissipation qui peuvent
avoir lieu dans un fluide. L’essentiel de l’exposé doit porter sur les fluides newtoniens : le cas des fluides non
newtoniens, s’il peut être brièvement mentionné ou présenté, ne doit pas prendre trop de temps et faire perdre
de vue le message principal.
\item 2009, 2010 : Il importe de mettre clairement en évidence le caractère diffusif des forces de viscosité. Dans
l’illustration expérimentale de l’écoulement de Couette plan, il faut s’assurer que l’on a bien atteint un régime
permanent.
\item 2008 : La signification physique du nombre de Reynolds est ici centrale.
\item 2006 : Les notions d’écoulement tourbillonnaire et d’écoulement turbulent sont souvent mal assimilées. Les
conditions d’applications de l’équation de Navier-Stokes sont ignorées.
\item 2005 : La relation entre la valeur du nombre de Reynolds et la nature de l’écoulement sont mal dégagées. Il y a
souvent confusion entre tourbillon et turbulence. Les conditions d’application de l’équation de Navier-Stokes
sont ignorées.
\item 2001 : Il est souhaitable de présenter un modèle microscopique simple de la viscosité. Il est utile de noter que le
nombre de Reynolds s’interprète comme le rapport de deux temps caractéristiques de transport par diffusion et
convection. La notion de couche limite peut être évoquée. On peut également présenter des écoulements autour
d’obstacles.
\item 2000 : L’interprétation microscopique des forces de viscosité est souvent sacrifiée.
\item 1999 : La leçon doit permettre de montrer la compétition entre transfert convectif et transfert diffusif de quantité
de mouvement.
\end{itemize}

\newpage

\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\  \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Hydrodynamique Physique}, \textbf{Guyon, Hulin, Petit} & La base \\
\textit{Physique tout-en-un PC}, \textbf{Sanz} & Fait tout bien\\
\textit{Hydrodynamique Physique}, \textbf{Fermigier} & Plein d'exemples, le Garing de méca Flu \\
\textit{Mécanique expérimentale des fluides. Tome 2 : Dynamique des fluides réels, turbomachines}, \textbf{Comolet} & En complément\\
\textit{}  \textbf{} &  \\ 
\textit{}  \textbf{} & \\
\end{tabular}
%\footnotetext{Par soucis de place toujours, je pense pas qu'il soit nécessaire de mettre les références exactes surtout pour un livre classique.}
% Vous avez vu cette commande badass pour ne pas mettre les footnotes dans les environements locaux ??

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Cinématique des fluides : vitesse eulérienne, accélération
 \item Équation de conservation de la masse
 \item Diffusion : loi de Fourier, convection
 \item Fluide parfait - Équation d'Euler
 \item Théorie cinétique des gaz
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item Écoulement de Couette
	\item Viscosimètre à bille
	\item Reversibilité d'un écoulement
	\end{itemize}
\end{minipage}




\tableofcontents\setlength{\parskip}{1em}

\newpage
\section*{Introduction}
Dans les leçons précédentes, nous avons vu les bases de la mécanique des fluides et notamment les fluides parfaits afin d'aboutir à l'équation d'Euler. Cependant, la viscosité est un phénomène physique que nous rencontrons assez souvent dans notre vie, comme par exemple quand on mange du miel. Comment décrire les fluides en prenant compte de leur viscosité ?

\manip{Mettre de l'eau et du glycérol dans 2 tubes à essai différents. observer la différence d'écoulement.}

\vspace{0.2cm}
Cette leçon a pour objectif de donner des outils permettant de mieux caractériser un fluide visqueux.

\section{Notion de viscosité}

\subsection{Modèle phénoménologique}
\livre Guyon, p90\\
\experience{Écoulement de Couette plan}{}{2 min}{Dispositif spécifique (à trouver, en salle de TP physique des chimistes apparemment).On fait bouger le fluide, on observe le déplacement de la ligne de colorant. (préparer une vidéo youtube au cas où)}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{fig/couette_plan.png}
    \caption{Écoulement de Couette plan. Figure tirée de Guyon.}
    \label{fig:couette_plan}
\end{figure}



\textbf{Observations :}
\begin{itemize}
    \item On a adhérence du fluide sur la plaque en bas, et sur la plaque du haut 
    
    $\Rightarrow$ La nouvelle condition aux limites est que la vitesse du fluide sur la plaque doit être celle de la plaque, et plus seulement pour la composante normale. Le fluide doit être immobile par rapport à la plaque.
    \item On obtient une ligne droite $e(y,t)=\dfrac{y}{a}V_0t\Vec{e_x}$ 
    
    $\Rightarrow$ On a un phénomène linéaire.
    \item A force constante, on obtient un vitesse constante 
    $\Rightarrow$ il y a translation rectiligne uniforme donc équilibre des forces $F_{\text{appliquée}}=-F_{\text{fluide}}$
\end{itemize}
On peut répéter l'expérience pour plusieurs surfaces et épaisseurs, on obtient \textbf{phénoménologiquement}, \textbf{pour les fluides newtoniens} la force exercée par la plaque  sur le fluide : $$F_x = \eta \dfrac{V_0}{a} S= \eta \derond{v_x}{y} S$$

On a introduit le coefficient de proportionnalité $\eta$ appelée \textbf{viscosité dynamique} et $[\eta]= \dfrac{[F]}{[S]}[\dfrac{\partial v_x}{\partial y}] = \text{Pa.s} =$ PI (Poiseuille).
Ce coefficient de viscosité dépend de la nature du fluide, de la température, etc...
On donne des valeurs tabulées à $\SI{25}{\degreeCelsius}$ :
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c}
        Fluide & Viscosité dynamique $\eta$ (Pa.s) \\
        \hline
        Air (à 1 atm et 300 K) & $1.85 \cdot 10^{-5}$ \\
        Métaux liquides & $10^{-1} - 10^{-3}$ \\
        Eau & $10^{-3}$ \\
        Glycérol & $1.412$ \\
        Miel & $10$ \\
        Verre fondu à 800 K & $10$ \\
        Magma (volcan hawaïen) & $400$ \\
        Glacier alpin & $10^{11}$ \\
        Asthénosphère & $10^{18}$ \\
        \hline
    \end{tabular}
    \caption{Viscosité dynamique de différents fluides.}
    \label{tab:table_eta}
\end{table}

On peut généraliser la forme de cette force surfacique : la force surfacique exercée la partie supérieure d'un fluide newtonien sur la partie inférieure est
$$F_x= \eta \derond{v_x}{y} S$$


\subsection{Force volumique de viscosité}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{fig/force_viscosite_volumique.png}
    \caption{Application de la force surfacique de viscosité surfacique sur un parallélépipède. Figure tirée de Guyon.}
    \label{fig:couette_plan2}
\end{figure}
\noindent On a toujours un écoulement incompressible d'un fluide newtonien.

Considérons une tranche de fluide d'épaisseur d$y$. La force qui s'exerce sur ce fluide vaut 
$$F_x = \eta S \derond{v_x}{y}(y+\ddroit y) - \eta S \derond{v_x}{y}(y) = \eta S \dfrac{\partial^2v_x}{\partial y^2} \ddroit y$$
Or le volume de la tranche est $S\ddroit y$, on obtient donc la force volumique s'exerçant sur la tranche :
$$f_x=\eta \dfrac{\partial^2v_x}{\partial y^2}$$

\noindent Si on prend en compte un profil de vitesse plus général, on obtient la composante selon $x$ de la force volumique : 
$$f_x=\eta \dfrac{\partial^2v_x}{\partial y^2} + \eta \dfrac{\partial^2v_x}{\partial z^2}$$
Ainsi, on admettra que la force volumique de viscosité en 3D s'exprime :
\important{\begin{equation}
    \vb{f} = \eta \Delta \vb{v}
\end{equation}}

\subsection{La viscosité comme diffusion de la quantité de mouvement}
Si on applique le PFD sur une particule fluide, on a :

$$\rho\dv{\vb{v}}{t}=\eta\Delta\vb{v}\Longleftrightarrow\dv{\rho\vb{v}}{t}=\dfrac{\eta}{\rho}\Delta(\rho\vb{v.})$$

Cette équation est une équation de diffusion, de facteur de diffusion $D=\dfrac{\eta}{\rho}$. La quantité diffusée est la quantité de mouvement du fluide. On fait ainsi apparaitre la \textit{viscosité cinématique} $\nu=\dfrac{\eta}{\rho}$.

Ainsi on peut expliquer la viscosité comme une diffusion de quantité de mouvement. Or on connaît des modèles microscopiques de diffusion, on peut donc trouver des modèles microscopiques de viscosité !

\subsection{Modèle microscopique de viscosité}
\livre Guyon, Chapitre 2

Commençons par le cas des gaz. On Prend un gaz parfait dont les molécules ont une masse $m$, avec une densité de $n$. Leur quantité de mouvement est $mv_x(y)$.

Deux échelles de vitesse apparaissent : la vitesse d'ensemble et l'agitation thermique $u$.

Notons $l$ le libre parcours moyen des molécules du gaz : les vitesses à considérer dans notre bilan pour le déplacement du gaz deviennent alors $v_{x}(y-l)$ et $v_{x}(y+l)$

Le flux "ascendant" de quantité de mouvement diffusée par l'agitation thermique des molécules (vitesse isotrope) pendant d$t$ s'écrit alors :
\[
\dfrac{1}{6} n m \bar{u} v_{x}(y-l) \mathrm{d} t
\]
De même, le flux "descendant" s'écrit :
\[
-\dfrac{1}{6} n m \bar{u} v_{x}(y+l) \mathrm{d} t
\]
Le bilan de quantité de mouvement échangé entre le haut et le bas du fluide s'écrit donc:
\[
\begin{aligned}
\dfrac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t} &=\dfrac{1}{6} n m \bar{u} v_{x}(y-l)-\dfrac{1}{6} n m \bar{u} v_{x}(y+l) \\
&=\dfrac{1}{3} n m l \bar{u} \dfrac{\mathrm{d} v_{x}}{\mathrm{d} y}
\end{aligned}
\]


On peut alors définir la viscosité dynamique $\boxed{\eta=\dfrac{1}{3} n m l \bar{u}}$. Comme la vitesse d'agitation thermique est proportionnelle à $\sqrt{T}$ on obtient alors que, pour un gaz, $\eta=\dfrac{n l}{\mathcal{N}_{A}} \sqrt{\dfrac{T M R}{3}} \propto \sqrt{T}$
\remarque{Ordre de grandeur :}{
Pour l'air, à pression atmosphérique et à $T=298 K$, on a $\rho=1,2 k g . m^{-3}, l=10^{-7} m, \bar{u}=500 m . s^{-1}$ donc $\eta \approx 2.10^{-5}$ Pa.s.}


\remarque{Remarques :}{
\begin{itemize}
    \item Avec cette expression, la viscosité $\eta$ ne dépend que des propriétés du fluide.
    \item La viscosité traduit un transport de matière à l'échelle microscopique, ce qui correspond bien à un phénomène de diffusion.
    \item ce résultat est analogue à d'autres phénomènes diffusifs pour les gaz, par exemple la loi de Fourier pour la diffusion de température.
    \item Ce modèle est valable pour un gaz parfait, il devient notamment faux quand on est à de trop fortes pressions.
    \item On ne peut pas décrire les liquides de cette façon, car les interactions entre molécules ne peuvent pas être négligées et il faut en plus franchir la barrière énergétique créée par les molécules voisines.
\end{itemize}
}

\transition{On sait maintenant quantifier la force de viscosité. L'étape suivante est donc de la mettre dans Navier-Stokes}

\section{Mise en équation}
\subsection{Équations de Navier-Stokes}
\livre Comolet p.43, GHP p.134
\smallbreak
Si on refait un bilan des forces qui s'appliquent sur une particule de fluide dans un référentiel galiléen :
\begin{itemize}
    \item forces volumiques extérieures : $\vec{f_{\text{autres}}}$
    \item force volumique de pression : $-\vec{\nabla P}$
    \item forces volumiques de viscosité : $\eta\Delta\vec{v}$
\end{itemize}
On obtient donc :
\important{\begin{equation}
    \rho\dfrac{\text{D}\vb{v}}{\text{D}t}=\rho \left( \dfrac{\partial \Vec{v}}{\partial t} +(\Vec{v}.\Vec{\mathrm{grad}})\Vec{v}\right)=-\Vec{\nabla}P + \eta \Delta\vec{v}+ \Vec{f_{\text{autres}}}
\end{equation}}
On a quatre variables $\vec{v},P$ et trois équations\footnote{En général $\rho$ et T sont aussi des variables, il faut donc aussi se donner une équation d'état et le type de transformation ($\rho=cste$ et isotherme ici)}, il y a nécessité de fermeture, on a l'équation de conservation de la masse : $ \dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla}.\rho\vec{v} = 0$. Soit avec l'hypothèse d'incompressibilité :
\important{\begin{equation}
\vec{\nabla}.\vec{v} = 0
\end{equation}}
Ces deux équations sont les équations de Navier-Stokes, écrites pour un fluide newtonien, incompressible, dans un référentiel galiléen.

\subsection{Nombre de Reynolds}
\livre GHP p.135 (adimensionnement) et p.74 (interprétation)\\
On cherche les équations adimensionnées de Navier-Stokes.
On prend pour grandeurs adimensionnées :
\begin{itemize}
    \item $\Vec{\Tilde{v}}=\dfrac{\vec{v}}{U}$ où $U$ est la vitesse typique de l'écoulement (à l'infini ici
    \item $\Tilde{x},\Tilde{y},\Tilde{z}=\dfrac{x,y,z}{L}$ où $L$ est la longueur typique de l'écoulement
    \item $\Tilde{t}=\dfrac{t}{\tau}$ avec $\tau=\dfrac{L}{U}$
    \item $\Tilde{P}=\dfrac{P}{P_{dyn}}$ où $P_{dyn}=\rho U^2$ est la pression dynamique (cf relation de Bernoulli), ordre de grandeur de la pression subie par le fluide autre que la pression hydrostatique.
\end{itemize}

On a donc :
\begin{align}
\rho \left( \dfrac{U}{\tau}\dfrac{\partial \Tilde{\Vec{v}}}{\partial \Tilde{t}} +\dfrac{U^2}{L}(\Tilde{\Vec{v}}.\Tilde{\Vec{\mathrm{grad}}})\Tilde{\Vec{v}}\right)&=-\dfrac{P_{dyn}}{L}\Vec{\Tilde{\nabla}}\Tilde{P} + \eta\dfrac{U}{L^2} \Tilde{\Delta}\vec{\Tilde{v}}\\
\rho \left( \dfrac{U^2}{L}\dfrac{\partial \Tilde{\Vec{v}}}{\partial \Tilde{t}} +\dfrac{U^2}{L}(\Tilde{\Vec{v}}.\Tilde{\Vec{\mathrm{grad}}})\Tilde{\Vec{v}}\right)&=-\rho\dfrac{U^2}{L}\Vec{\Tilde{\nabla}}\Tilde{P} + \eta\dfrac{U}{L^2} \Tilde{\Delta}\vec{\Tilde{v}}\\
 \left( \dfrac{\partial \Tilde{\Vec{v}}}{\partial \Tilde{t}} +(\Tilde{\Vec{v}}.\Tilde{\Vec{\mathrm{grad}}})\Tilde{\Vec{v}}\right)&=-\Vec{\Tilde{\nabla}}\Tilde{P} + \textcolor{red}{\dfrac{\eta}{\rho UL}} \Tilde{\Delta}\vec{\Tilde{v}}
\end{align}

On obtient un nombre sans dimension, le nombre de Reynolds : $\boxed{Re=\dfrac{\rho UL}{\eta}}$ qui correspond formellement à 
$$Re = \dfrac{\| \text{force d'advection}\|}{\|\text{force de viscosité}\|}=\dfrac{\| (\Vec{v}.\Vec{\nabla})\Vec{v}\|}{\|\eta \Delta\vec{v}\|}$$

On peut aussi le voir comme un rapport de temps caractéristiques : $Re = \dfrac{\tau_{diff}}{\tau_{adv}}=\dfrac{\dfrac{L^2}{\nu}}{\dfrac{L}{U}}=\dfrac{UL}{\nu}$. Dans tous les cas, le nombre de Reynolds compare l'influence de l'inertie et de la viscosité.

\textbf{Interprétation :} 
\begin{itemize}
    \item $Re\ll 1 $ on  a un écoulement laminaire, rampant, totalement dominé par la viscosité.
    \item $Re\gg 1 $ On a un écoulement turbulent, dominé par l'inertie, où la viscosité ne joue \textit{presque} aucun rôle. 
    \item $Re$ intermédiaire , on a d'abord apparition de tourbillons mais toujours laminaires. Ensuite on a apparition de turbulence localisée dans le sillage, avec un écoulement toujours laminaire autour.
\end{itemize}

On peut aussi ajouter que le comportement d'un écoulement est déterminé par un nombre de Reynolds, c'est ce qui permet d'utiliser des maquettes en soufflerie pour modéliser des ailes d'avions. Les écoulements seront les mêmes si les nombres de Reynolds sont les mêmes \textcolor{gray}{(en fait, il faut que tous les autres nombres adimensionnés soient identiques, en théorie il faut que les nombres de Mach, Péclet, Péclet thermique soient identiques mais j'imagine que ça dépend aussi de ce qu'on veut étudier)}.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width =\textwidth]{fig/Re.jpg}
    \caption{Évolution de l'écoulement autour d'une sphère en fonction de Re. Source : \url{http://olivier.granier.free.fr/MOOC/co/rappels-de-cours-meca-fluide-nbre-reynolds.html} (libre de partage et d'utilisation)}
    \label{fig:Re}
\end{figure}


\transition{Pour $Re\gg 1$, on a le terme de viscosité qui peut être négligé et on retrouve l'équation d'Euler. Cependant, on sait qu'il y a des frottements, même sur un avion.}


\subsection{Couche limite}
\livre GHP p.493\\
\textcolor{gray}{Si il y a le temps}\\
On a vu que la viscosité impliquait de nouvelles condition aux limites : la vitesse du fluide par rapport à une surface est nulle. Il existe donc une zone proche de l'objet où la vitesse est faible.\\

On a une diffusion de la quantité de mouvement sur une distance $\delta$ épaisseur de la couche limite : $\delta = \sqrt{\nu \tau}$ et $\tau$ est le temps caractéristique de convection par le fluide : $\tau =\dfrac{x}{U}$. On a donc finalement : $\delta = \sqrt{\dfrac{\nu x}{U}}$ et donc finalement :
\begin{equation}
    \dfrac{\delta(x)}{x} = \sqrt{\dfrac{\nu}{U x}} =\dfrac{1}{\sqrt{Re_x}}
\end{equation}
Où on a introduit un nombre de Reynolds local. Un ordre de grandeur de l'épaisseur est donc $\delta = \dfrac{L}{Re}$\\
Cette couche limite permet de faire la liaison entre le régime à haut Reynolds et la paroi. Elle explique que même pour des écoulements à haute vitesse, les objets produisent une traînée.




\section{Exemples d'écoulements visqueux}

Pour les exemples, voir le poly TP\_Mécaflot.pdf.

\subsection{Écoulement de Couette plan : aspect énergétique}
On a établi précédemment le profil de vitesse linéaire, à savoir $$\vb{v}=v_x(y)\vb{e_x}= \dfrac{V_0 y}{a} \vb{e_x}$$
On a également vu que la viscosité était responsable de la diffusion de quantité de mouvement et est donc un processus dissipatif. On veut alors déterminer la puisssance volumique dissipée par les forces de viscosité dans une particule fluide de longueur $L$ (selon $x$) et de profondeur $a$ (selon $z$).

\smallbreak
On écrit Navier Stokes projetée sur $x$ en régime stationnaire :
$$0=-\dv{P}{x}+\eta \dfrac{\partial^2 v_x}{\partial y^2}$$



\newcommand{\Pv}{\mathcal{P}_{\text{visc}}^{\text{int}}}
En régime permanent, l'énergie cinétique de la particule fluide est constante, donc d'après le TEC la somme des puissances intérieures et extérieures est nulle. En notant $\Pv$ la puissance intérieure dissipé par viscosité, on a :
$$
\Pv + F(y+\ddroit y)v_x(y+_ddroit y) - F(y)v_x(y) + [P(x)-P(x+L)]a\ddroit y v_x(y) =0$$

Après calculs, on trouve que :
$$\Pv + \eta L a \dfrac{\partial}{\partial y}\left(v_x\derond{v_x}{y}\right) \ddroit y-\eta v_x(y) \dfrac{\partial^2v_x}{\partial y^2}L a \ddroit y = 0$$
On développe la dérivée et on tombe sur $$\Pv = -\eta \left(\derond{v_x}{y}\right)^2La\ddroit y$$

\important{La puissance volumique dissipée par viscosité est donc
$$\mathcal{P}_{\text{visc,vol}}^{\text{int}}=-\eta \left(\derond{v_x}{y}\right)^2 $$}


Pour notre écoulement de couette, $\mathcal{P}_{\text{visc,vol}}^{\text{int}}=-\eta \dfrac{V_0^2}{a^2}$


\subsection{Réversibilité}

\experience{Réversibilité dans le glycérol}{FLTCD p.411}{2mn}{
Et on fait tourner les serviettes !!

La raison pour laquelle ça marche ?

On considère un écoulement incompressible de Couette cylindrique, c'est-à-dire l'écoulement d'un fluide visqueux entre deux cylindres coaxiaux dont l'un est mis en rotation. En régime permanent, on peut montrer que l'écoulement est régi par l'équation de Stokes:
\[
\overrightarrow{0}=\eta \Delta \vec{v}
\]
Cette équation est linéaire et invariante par renversement du temps. En inversant la vitesse de rotation du cylindre, il est alors possible de retrouver l'état initial du système.

\textit{
Avec une seringue $\mathrm{P} 104.29$, injecter une petite goutte de glycérol coloré $\mathrm{P} 75$ dans le dispositif $\mathrm{P} 106.17$ contenant du glycérol. Il est préférable de mélanger préalablement le colorant avec du glycérol pour avoir une densité équivalente. Mettre en rotation lentement le cylindre intérieur à l'aide de la manivelle, pour observer la tache de colorant se répartir dans le système et progressivement disparaître. Tourner le cylindre dans l'autre sens avec le même nombre de tours pour voir la goutte de colorant se reformer et retrouver l'état initial du système.}

À la fin de l'expérience, on peut observer que la goutte de colorant n'a pas exactement la même forme qu'à l'état initial. Cela est du à la non-stationnarité de l'écoulement réalisé, ainsi qu'à la diffusion lente du colorant dans le milieu.

}

\subsection{Ecoulement de Poiseuille et application aux vaisseaux sanguins}
\livre GHP p.162 et Fermigier p.14
On se place en coordonnées cylindriques, avec $z$ l'axe du cylindre. On considère un écoulement laminaire donc $\vb{v} = v(r,\theta,x,t)\vb{e_x}$. L'invariance par rotation selon $\theta$ et l'incompressibilité ($\Rightarrow \derond{v_x}{x}=0$ ainsi que le régime stationnairefont que la vitesse ne dépend que de $r$.

Ainsi, l'accélération particulaire est nulle. On néglige le gradient de pression selon l'axe $z$ ainsi que l'effet de la gravité. Navier Stokes projetée sur $x$ donne alors :
$$\dv{P}{x}=\eta \dfrac{1}{r}\dfrac{\ddroit}{\ddroit r}\left(r\dv{v_x}{r}\right)$$
Le terme de gauche ne dépend que de $x$, celui de droite ne dépend que de $r$ donc ils sont égaux à une constante $-A$. 

On intègre pour obtenir la vitesse sous la forme $v(r)=\dfrac{-A}{4\eta}r^2+B\text{ln}(r)+C$. \\
En $r=0$ la vitesse n'est pas infinie donc $B=0$. On a donc $C=v(r=0)=v_0$\\
De plus, $v(r=R)=0$ donc $v_0=\dfrac{AR^2}{4\eta}$. Finalement, on a un profil de vitesse parabolique :
$$v(r)=\dfrac{AR^2}{4\eta}\left(1-\dfrac{r^2}{R^2}\right)$$

\smallbreak
Pour la pression, on a $P=-Ax+B'$. Alors $B'=P(x=0)=P_e$ et $P(x=L)=P_s=-AL+P_e$. Comme $A<0$, on voit que la pression diminue dans le tube. On introduit alors la perte de charge
$$\dfrac{4\eta v_0}{R^2} = A = \dfrac{P_e-P_s}{L}$$

\smallbreak
Le débit volumique dans le tube est donné par $\mathcal{D}=\iint \vb{v}\cdot\vb{\ddroit S} = \int_0^R v(r)2\pi r\ddroit r = \dfrac{v_0 \pi R^2}{2}$
On obtient la \textbf{loi de Poiseuille} :
$$\mathcal{D}=\dfrac{(P_e-P_s)\pi R^4}{8\eta L}$$
On note la dépendance en $R^4$, et que plus le fluide est visqueux, plus le gradient de rpession doit être grand pour maintenir le débit.


\remarque{Applications}{
Pour le coeur, $\mathbf{D}=\SI{8.30e-5}{\cubic\meter\per\second}$, l'aorte a une rayon $R = 1$ cm et la section cumulée de tous les capillaires est $S=0.2$ m$^2$. Le sang a une viscosité moyenne $\eta=3\cdot 10^{-3}$ Pa.s.

Ainsi, $v_{\text{aorte}} = 0.264$ m/s tandis que $v_{\text{capillaire}}=4.15 \cdot 10^{-4}$ m/s.

Les pertes de charges valent $A_{\text{aorte}} = 42.3$ Pa/m et $A_{\text{capillaire}}=6.64\cdot10^4$ Pa/m.

La validité de l'étude est cependant discutable car $Re_{\text{aorte}}=1760$ donc l'écoulement n'est pas vraiment laminaire, on est en régime transitoire.
}

\subsection{Ecoulement de Couette entre deux cylindres-principe d'un viscosimètre.}
\livre GHP p.175 + Sanz pp  338-339\\
\textcolor{red}{Celui-là me va bien.}

\smallbreak
\textcolor{gray}{Mesure de moment avec une jauge de contrainte}
\smallbreak

\section*{Conclusion}

Ouverture : Viscosité est à l'origine de la force de "frottement" qui agit sur les objets. Une étude plus approfondie mène à l'étude de l'aérodynamique (loi de Stokes). On peut aussi parler de la lubrification, de l'instabilité de Kelvin-Helmotz, instabilité de Taylor-Couette.





\newpage

\includepdf[pages={1,2,3,4,5}]{TPMecaflot.pdf}

\end{document}

