<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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\title{LP15 -- Transitions de phases}
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\date{\today}

\begin{document}

\titre{AurÃ©lien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}


\subsection*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 2015 : Il est dommage de rÃ©duire cette leÃ§on aux seuls changements dâ€™Ã©tats solide-liquide-vapeur. La discussion de la transition liquide-vapeur peut Ãªtre lâ€™occasion de discuter du point critique et de faire des analogies avec la transition ferromagnÃ©tique-paramagnÃ©tique. La notion dâ€™universalitÃ© est rarement connue ou comprise.
    \item 2014 : Il nâ€™y a pas lieu de limiter cette leÃ§on au cas des changements dâ€™Ã©tat solide-liquide-vapeur. Dâ€™autres transitions de phase peuvent Ãªtre discutÃ©es.\\
    Jusquâ€™en 2014, le titre Ã©tait : Ã‰tude thermodynamique dâ€™un systÃ¨me constituÃ© par un corps pur sous plusieurs phases.\\
    Jusquâ€™en 2013, le titre Ã©tait : Ã‰tude thermodynamique dâ€™un systÃ¨me constituÃ© par un corps pur sous plusieurs phases. Exemples.
    \item 2009, 2010 : Les potentiels thermodynamiques ne servent pas seulement Ã&nbsp; prÃ©dire lâ€™Ã©quilibre, mais aussi Ã&nbsp; prÃ©voir le sens dâ€™Ã©volution dâ€™un systÃ¨me diphasÃ© hors Ã©quilibre et Ã&nbsp; interprÃ©ter le diagramme des Ã©tats.
    \item 2007, 2008 : Il sâ€™agit bien dâ€™une Ã©tude thermodynamique fondÃ©e sur lâ€™utilisation des potentiels thermodynamiques, et non dâ€™une Ã©tude descriptive des changements dâ€™Ã©tat. Il importe de comprendre lâ€™intÃ©rÃªt de lâ€™enthalpie libre pour cette leÃ§on.
    \item 1998 : Cette leÃ§on est souvent traitÃ©e de faÃ§on trop abstraite : les ordres de grandeurs Ã©lÃ©mentaires valeurs caractÃ©ristiques des pressions et des tempÃ©ratures, des chaleurs latentes de vaporisation ou de solidification sont ignorÃ©s de mÃªme que leurs liens avec les interactions et les processus microscopiques : interactions attractives, compÃ©tition ordre/dÃ©sordre . . . Les observations quotidiennes ne doivent pas Ãªtre passÃ©es sous silence : transpiration, phÃ©nomÃ¨nes mÃ©tÃ©orologiques, ustensiles de cuisson . . .
\end{itemize}

\newpage

\subsection*{Niveau : L3}

\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textbf{FLTCLD} \\
\textit{Physique PC}, \textbf{Sanz} &amp; TrÃ¨s bon\\
\textit{Thermodynamics and an introduction to thermostatistics}, \textbf{Callen} &amp; Pour une vision plus fonctions d'Ã©tats\\
\textit{Transitions de phase}, \textbf{Papon} &amp; Chapitres 1 et 4\\
\textit{Thermodynamique}, \textbf{Diu} &amp; Transition ferro-para\\
\textit{MagnÃ©tisme. 1.Fondations}, \textbf{Du TrÃ©molet De Lacheisseire} &amp; Tout sur le ferro-para (et LP45)\\
\end{tabular}


\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{PrÃ©requis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Bases de thermo, 1er et 2eme principe
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{ExpÃ©riences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item 
	\end{itemize}
\end{minipage}




\tableofcontents

\newpage

\setlength{\parskip}{1em}


\section*{Introduction}
On appelle \textbf{phase} un arrangement des constituants d'un milieu dabs lequel les propriÃ©tÃ©s thermiques, mÃ©caniques, Ã©lectriques, ... varient de faÃ§on continue.

DÃ¨s lors, nous savons par expÃ©rience qu'un corps peut se prÃ©senter sous diffÃ©rentes phases suivant les conditions auxquelles il est soumis. Il suffit par exemple d'Ã©voquer le cas de l'eau pour s'en convaincre : imaginez faire bouillir de l'eau dans une casserole pendant que dehors il neige, en l'eau prÃ©sente des propriÃ©tÃ©s bien diffÃ©rentes dans ces 3 phases.

On va alors appeler \textbf{transition de phase} la transformation macroscopique de la structure d'un milieu sous l'effet d'une instabilitÃ© et le faisant passer d'une phase Ã&nbsp; une autre.

Les modifications des propriÃ©tÃ©s du milieu lors d'une transition de phase peuvent Ãªtre trÃ¨s variÃ©es et ne sont pas forcÃ©ment une consÃ©quence d'un rÃ©arrangement structurel, comme le montre la transition ferro-para oÃ¹ l'aimantation est modifiÃ©e mais l'arrangement atomique ne change pas 


\section{Transition liquide-vapeur}
\livre Papon

\smallbreak
Pour commencer, on va s'attaquer Ã&nbsp; une transition de phase trÃ¨s courante qu'on rencontre par exemple quand on veut faire cuire des pommes de terre\footnote{ou TimÃ©o...} Ã&nbsp; la vapeur.

\manip{Faire bouillir de l'eau.}


\subsection{Approche expÃ©rimentale}
\livre FLTCLD p370

\experience{TracÃ© des isothermes du SF$_6$}{}{}{
Pour diffÃ©rents volumes, mesurer la pression au manomÃ¨tre et en prÃ©paration prendre une vidÃ©o de l'apparition des premiÃ¨res gouttes de liquide.}

On met en Ã©vidence l'existence du point critique avec le tracÃ© des isothermes dans le diagramme de Watt (diagramme $(P,V)$).

\remarque{Remarque}{Le diagramme (pression,volume) est appelÃ© diagramme de Watt. Le diagramme (pression, volume \textbf{molaire}) est appelÃ© diagramme de Clapeyron.}

\begin{center}
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/transition_phase_pv.png}
\end{center}
En dessus d'une certaine valeur de tempÃ©rature $T_c$, on n'observe plus de palier de pression.

\remarque{Ordres de grandeur}{\begin{itemize}
    \item SF$_6$ : $P_c=37.55$ bar et $T_c=45.57\deg$C
    \item eau : $P_c=221.1$ bar et $T_c=374.15\deg$C
\end{itemize}}

\transition{Comment expliquer Ã§a ?}


\subsection{NÃ©cessitÃ© d'une transition de phase}
En thermodynamique, la stabilitÃ© d'un systÃ¨me Ã&nbsp; l'Ã©quilibre est reliÃ©e Ã&nbsp; la convexitÃ©/concavitÃ© des potentiels thermodynamiques exprimÃ©es selon les variables adÃ©quates.

\important{Un potentiel thermodynamique est :
\begin{itemize}
    \item convexe sur les variables extensives $\Rightarrow \dfrac{\partial^2}{\partial X^2} \ge 0$
    \item concave sur les variables intensives $\Rightarrow \dfrac{\partial^2}{\partial X^2} \le 0$
\end{itemize}}

Pour une transition isotherme, le potentiel thermodynamique adaptÃ© est l'Ã©nergie libre $F(V,T,N)$. Puisque $V$ est une variable extensive, $F$ doit Ãªtre convexe par rapport Ã&nbsp; $V$ donc 
$$\begin{aligned}
\text{stabilitÃ©} &amp;\iff \dthermocarre{F}{V}{T,N} \ge 0 \\
&amp;\iff \dthermo{P}{V}{T,N} \le 0 \qquad \text{car} \ \dd F=-P\dd V-S\dd T+\mu \dd N 
\end{aligned}$$
Si cette condition n'est pas vÃ©rifiÃ©e, le systÃ¨me est instable et il doit subir une transition de phase : le fluide doit se diphaser. 

\remarque{UtilitÃ© du diagramme de Watt}{On peut regarder trÃ¨s rapidement les conditions de stabilitÃ© sur un diagramme de Watt en observant la pente d'une isotherme : on a instabilitÃ© si cette pente est positive.}

\noindent Prenons maintenant quelques exemples.

$\bullet$ \textbf{Gaz parfait :} $PV=nRT \Rightarrow \dthermo{P}{V}{T,N} =-\dfrac{nRT}{V^2}\le 0$
    
\noindent Le gaz parfait semble toujours remplir la condition de stabilitÃ©, ce qui signifie qu'une transition de phase ne serait jamais nÃ©cessaire ! En rÃ©alitÃ©, il s'agit juste d'une consÃ©quence de l'hypothÃ¨se de non-interaction entre les particules, qui est de moins en moins vÃ©rifiÃ©e au fur et Ã&nbsp; mesure que la densitÃ© du gaz augmente.
    
$\bullet$ \textbf{Gaz de Van der Waals :} $\bigpar{P+a\dfrac{n^2}{V^2}}(V-nb)=nRT$ 
    
\noindent Dans cette Ã©quation d'Ã©tat, $a\dfrac{n^2}{V^2}$ reprÃ©sente l'attraction entre les particules et $nb$ est un volume interdit. On a alors 
$$P=\dfrac{nRT}{V_nb}-a\dfrac{n^2}{V^2} \Rightarrow \dthermo{P}{V}{T,N}=-\dfrac{nRT}{(V_nb)^2}+2a\dfrac{n^2}{V^2}$$
Cette fois, on va pouvoir trouver un triplet $(P_c,V_c,T_c)$ qui va dÃ©limiter la faisabilitÃ© de la transition. on le trouve en calculant :
\begin{itemize}
    \item $\dthermo{P}{V}{T,N}=0$ (palier horizontal)
    \item $\dthermocarre{P}{V}{T,N}$ (changement de concavitÃ©)
\end{itemize}
On obtient :
$$\begin{aligned}
P_c&amp;=\dfrac{a}{27b^2} \\
T_c&amp;=\dfrac{8a}{27bR} \\
V_c&amp;=3b
\end{aligned}$$
On peut ainsi, Ã&nbsp; partir de ces Ã©quations, dÃ©terminer $a$ et $b$.

\begin{center}
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/VdW_isotherms.png}
\end{center}
En traÃ§ant les isothermes sur le diagramme de Watt, on voit d'ailleurs clairement la zone d'instabilitÃ© du systÃ¨me pour laquelle $P$ croÃ®t avec $V$.
On appelle \textbf{courbe spinodale} la courbe dÃ©limitant la zone d'instabilitÃ© des isothermes de Van der Waals, \textit{i.e.} la courbe dÃ©limitÃ©e par le minimum local et le maximum local dÃ©limitant la portion croissante de $F$.


\transition{Comment passer d'une instabilitÃ© Ã&nbsp; la coexistence de deux phases ?}

\subsection{Ã‰quilibre entre deux phases}
Dans cette partie, on choisit de se placer Ã&nbsp; tempÃ©rature constante. Alors $$\dd F = -P \dd V + \mu \dd N$$
On considÃ¨re donc un systÃ¨me diphasÃ© fermÃ©, \textit{i.e.} qui peut Ã©changer de l'Ã©nergie mais pas de particules avec son environnement, en contact avec un thermostat.
Ainsi, en notant, $V_i$ et $N_i$ le volume et le nombre de particules dans la phase $i$, on peut Ã©crire
$$V_2=V-V_1 \qquad \text{et} \qquad N_2=N-N_1$$
Par additivitÃ© de $F$, on a Ã©galement
$$F=F_1(V_1,N_1)+F_2(V_2,N_2)$$

On peut en dÃ©duire les conditions d'Ã©quilibre :

\textbf{Ã‰quilibre mÃ©canique :}

$$\begin{aligned}
\dthermo{F}{V_1}{T,N_1}=0 &amp;\iff \dthermo{F_1}{V_1}{N_1}+\derond{V_2}{V_1}\dthermo{F_2}{V_2}{N_1} =0 \\
&amp;\iff -P_1-(-P_2)=0 \\
&amp;\iff \boxed{P_1=P_2}
\end{aligned}$$


\textbf{Ã‰quilibre chimique :}

$$\dthermo{F}{V_1}{T,N_1}=0 \iff \boxed{\mu_1=\mu_2}$$


\vspace{0.2cm}
Ces conditions ne nous disent rien sur comment placer le palier de pression sur le diagramme de Watt. On peut nÃ©anmoins Ã©crire 
\begin{itemize}
    \item $F(T,V_2,N)=F(T,V_1,N)+\int_{V_1}^{V_2}\dthermo{F}{V}{T,N}\dd V
    \iff F_2=F_1-\int_{V_1}^{V_2} P \dd V$
    \item $\dd G= V \dd P -S\dd T + \mu \dd N$ (Gibbs-Duhem) donc $\dd F = \dd (G-PV) = \mu \dd N -P \dd V$   Ã&nbsp; $T$ fixÃ©e donc $F=\mu N - PV$ d'oÃ¹ $F_2-F_1=-P_{coexistence}(V_2-V_1)$ Ã&nbsp; $\mu$ fixÃ©.
\end{itemize}
On en dÃ©duit que $$P_{coexistence}(V_2-V_1)=\int_{V_1}^{V_2} P \dd V \iff \boxed{\int_{V_1}^{V_2} (P-P_\text{coexistence}) \dd V=0}$$
\textbf{L'aire entre la courbe est le plateau est donc nulle}. C'est ce qu'on appelle la \textbf{construction de Maxwell}.
\begin{center}
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/transition_phase_pv_spinodale_binodale.png}
\end{center}
On appelle alors \textbf{courbe binodale} la courbe tracÃ©e par les extrÃ©mitÃ©s du palier de pression. 
La pression correspondant Ã&nbsp; ce palier est appelÃ©e \textbf{pression de vapeur saturante} $P_\text{sat}$.


La zone situÃ©e entre la courbe binodale et la courbe spinodale est la zone de \textbf{mÃ©tastabilitÃ©}. Elle correspond Ã&nbsp; des Ã©tats qui ne sont pas intrinsÃ¨quement instables mais qui ne sont pas diphasÃ©s.
La surfusion d'un liquide est un bon exemple de systÃ¨me mÃ©tastable.



\subsection{Expression de $P_\text{sat}$ et chaleur latente de transition}


On peut trouver l'expression de $P_\text{sat}$ en posant $\mu_1(P_\text{sat},T)=\mu_2(P_\text{sat},T)$. 
Puisque $N\dd \mu = -S\dd T + V\dd P$, on a :
$$
(S_2-S_1) \dd T = (V_2-V_1) \dd P_\text{sat} \iff \dv{P_\text{sat}}{T}=\dfrac{S_2-S_1}{V_2-V_1}
$$

On aboutit Ã&nbsp; \textbf{l'Ã©quation de Clapeyron} :
\important{$$\dv{P_\text{sat}}{T}=\dfrac{L}{T(V_2-V_1)}$$}
avec $v_1$ et $v_2$ des volumes massiques et $L=T\Delta S$ la \textbf{chaleur latente de transition} qui correspond l'Ã©nergie libÃ©rÃ©e lors de la transition de phase d'1 kg de l'espÃ¨ce considÃ©rÃ©e.
on voit que $L$ est reliÃ©e Ã&nbsp; la discontinuitÃ© d'entropie entre les deux phases et est donc une caractÃ©ristique des transitions du 1er ordre (on parle de Ã§a dans la suite de la leÃ§on).


Pour l'eau, la chaleur latente massique de vaporisation vaut 2264.76 kJ/kg Ã&nbsp; pression et tempÃ©rature ambiante.
Il faut donc 6 fois plus d'Ã©nergie pour chauffer 1 kg de 0 Ã&nbsp; 100$\deg$C que pour vaporiser la mÃªme masse d'eau, et il faut la mÃªme Ã©nergie pour vaporier 1 kg d'eau que pour monter une voiture en haut de la Tour Eiffel. 


\subsection{Ã‰tude de $F(V)$}
Tous les rÃ©sultats prÃ©cÃ©dents peuvent Ã©galement Ãªtre trouvÃ©s en Ã©tudiant le tracÃ© de $F$ (qui est ici potentiel thermodynamique adÃ©quat) en fonction de $V$.
\begin{center}
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/transition_phase_fv.png}
\end{center}
La zone oÃ¹ $F$ est concave, \textit{i.e.} $\dthermocarre{F}{V}{T,N} \le 0$, est la zone d'instabilitÃ©. On retrouve la zone de mÃ©tastabilitÃ© entre les minima locaux de $F$ et les points d'inflexion, oÃ¹ on a quand mÃªme $\dthermocarre{F}{V}{T,N} \ge 0$. Elle correspond Ã&nbsp; un Ã©quilibre \textit{local} et non global.

On peut Ã©galement s'apercevoir que les deux minima de $F$ ont une tangente commune : on peut alors tracer une droite reliant les deux minima de $F$ et tangente Ã&nbsp; $F$ en ces deux points. Si on suit cette droite, on se rend compte que $F$ sera plus faible que si on restait sur la courbe correspondant au systÃ¨me monophasÃ©. Ainsi, l'Ã©nergie \textit{rÃ©elle} du systÃ¨me sera dÃ©crite par cette droite entre les volumes $V_1$ et $V_2$. Cette droite correspond au systÃ¨me diphasÃ©, et la transition de phase est due Ã&nbsp; une minimisation de l'Ã©nergie.

\remarque{Pourquoi cette droite correspond au systÃ¨me diphasÃ© ?}{Pour un systÃ¨me diphasÃ©, on peut Ã©crire 
$$V=xV_1+(1-x)V_2 \qquad \text{avec un paramÃ¨tre } x \text{ entre 0 et 1}$$
Puisque $V$ et $x$ sont liÃ©s par une relation affine, tracer $F(V)$ revient Ã&nbsp; tracer $F(x)$. Par additivitÃ© de $F$, on a donc
$$F_\text{diphasÃ©}(x)=xF_1(V_1)+(1-x)F_2(V_2)$$
C'est bien une droite !

Par ailleurs on a par convexitÃ© $$F_\text{diphasÃ©}=xF_1(V_1)+(1-x)F_2(V_2)\le F(xV_1+(1-x)V_2)= F_\text{monophasÃ©}$$
La convexitÃ© de $F$ et sa minimisation sont Ã©quivalentes.
}


Lorsqu'on construit cette droite, on peut Ã©crire l'Ã©quation de la tangente Ã&nbsp; $F$ en $V_1$ 
$$y=F(V_1)+\dthermo{F}{V}{V=V_1}(V-V_1)=F_1-P_1(V-V_1)=F_1+P_1V_1-P_1V=\mu_1N-P_1V \qquad \text{(Gibbs-Duhem)}$$
ou bien celle de la tangente Ã&nbsp; $F$ en $V_2$
$$y=F(V_2)+\dthermo{F}{V}{V=V_2}(V-V_2)=F_2-P_2(V-V_2)=F_2+P_2V_2-P_2V=\mu_2N-P_2V \qquad \text{(Gibbs-Duhem)}$$
Or ces deux tangentes ont la mÃªme pente et la mÃªme ordonnÃ©e Ã&nbsp; l'origine, donc $P_1=P_2=P_\text{sat}$ et $\mu_1=\mu_2$.



\subsection{Ordre de la transition et classification d'Ehrenfest}


Cette classification est un outil pour Ã©tudier de maniÃ¨re systÃ©matique les transitions de phase sous l'angle du potentiel thermodynamique.

\textbf{DÃ©finition gÃ©nÃ©rale :} Lorsqu'une variable extÃ©rieure au systÃ¨me est modifiÃ©e, cela se traduit par une instabilitÃ© de la phase dans laquelle se trouve le systÃ¨me. On a alors discontinuitÃ© ou divergence d'une ou plusieurs dÃ©rivÃ©es de potentiels thermodynamiques. On a alors changement de phase.

On dira que la transition est d'ordre 1 si la discontinuitÃ© touche une dÃ©rivÃ©e, et d'ordre 2 si elle touche une dÃ©rivÃ©e seconde, mais pas de dÃ©rivÃ©e premiÃ¨re.

\textbf{Exemple :} $\dthermo{F}{T}{V,N}=-S$, $S_2-S_1=\dfrac{L}{T_0}$. Si on a une transition d'ordre 1 en $F$, il y a une chaleur latente $L$, comme dans le cas de la solidification ou vaporisation de l'eau. L'exemple de la section suivante est celui d'une transformation d'ordre 2.




\section{Transition ferro-para}
Certains matÃ©riaux prÃ©sentent une aimantation non nulle Ã&nbsp; tempÃ©rature ambiante. On les appelle les matÃ©riaux ferromagnÃ©tiques. Exemples : fer, cobalt, nickel.

\subsection{Approche expÃ©rimentale}
\manip{\textbf{La chute du clou quand il fait chaud}\\
Ã€ la Peter !
}

Le fer est un matÃ©riaux ferromagnÃ©tique, capable d'Ãªtre trÃ¨s aimantÃ©. Ainsi contre un aimant, il se colle. Cependant, lorsque qu'on le chauffe, on remarque que la bestiole se dÃ©tache. La tempÃ©trature Ã&nbsp; laquelle le fer cesse d'Ãªtre aimantÃ© est nommÃ©e \textbf{tempÃ©rature de Curie} du fer, et elle vaut 1043 K.

Nous allons au cours de cette section caractÃ©riser cette transition. Notons pour cela $\vb{M}$ l'aimantation du matÃ©riaux, qui microscopiquement correspond Ã&nbsp; la propension qu'ont les spins du fer Ã&nbsp; s'aligner. Il s'agit du moment magnÃ©tique par unitÃ© de volume. On va chercher Ã&nbsp; dÃ©terminer sa variation avec la tempÃ©rature.

ExpÃ©rimentalement on a vu que $\vb{M}$ est une fonction de $T$, et qu'il existe une tempÃ©rature $T_c$ telle que $\forall T&gt;T_c$, $\vb{M}=0$. On va donc cherche le potentiel thermodynamique qui dÃ©crit ce bazar !

\subsection{Ã‰tude thermodynamique : dÃ©veloppement de Landau}
\livre Diu p.215

Lev D.\footnote{Non, en vrai c'est juste Lev, mais bon...} Landau propose de dÃ©crire le systÃ¨me en utilisant un potentiel $\phi(\vb{M},T)$ polynomial. Quelles doivent Ãªtre les propriÃ©tÃ©s de ce potentiel ? Tout d'abord, pour un matÃ©riaux isotrope, $\phi$ doit dÃ©pendre de la norme de $\vb{M}$, donc de $M^2$. On fait alors un dÃ©veloppement de Taylor autour de $M=0$

\begin{equation}
    \phi(T,M)=A_0(T)+\alpha(T)M^2+\dfrac{\beta(T)}{2}M^4+\mathcal{O}(M^6)
\end{equation}

On cherche alors $M_c(T)$ tel que $\phi$ soit un minimum, puisque c'est un potentiel thermodynamique.

\begin{equation}
    \dthermo{\phi}{M}{T}=0\Leftrightarrow 2\alpha(T)M+2\beta(T)M^3=0
\end{equation}

On a alors 3 solutions : $M=0$ ou $M=\pm\sqrt{-\dfrac{\alpha(T)}{\beta(T)}}$. Pour que la deuxiÃ¨me soit acceptable il faut bien sur que $T&lt;T_C$, et que $\alpha$ et $\beta$ soient de signa opposÃ©.

La deuxiÃ¨me condition, celle de la stabilitÃ©, demande que $\dthermocarre{\phi}{M}{T}&gt;0$. Au vu des rÃ©sultats expÃ©rimentaux, on doit avoir, pour $T&lt;T_c$, $\alpha&lt;0$ et $\beta&gt;0$. Pour $T&gt;T_c$, $\alpha$ doit changer de signe, et $\beta$ on s'en fiche. Finalement, en premiÃ¨re approximation, on peut Ã©crire :

\begin{equation}
    \phi(T,M)=A_0(T)+\alpha\times(T-T_c)M^2+\dfrac{\beta}{2}M^4\qquad\text{avec }\alpha\text{ et }\beta&gt;0\text{ qui dÃ©pendent du matÃ©riaux.}
\end{equation}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/ferropara.jpg}
\end{figure}


\subsection{PrÃ©dictions du modÃ¨le}

Ici $M$ est le paramÃ¨tre d'ordre de la transition, et $\phi$ est l'Ã©nergie libre $F$ !

Le modÃ¨le dit que $M(T)=\pm\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}(T_c-T)}$ si $T&lt;T_c$ et $M=0$ si $T&gt;T_c$. Calculons alors $F$.

\begin{equation}
\begin{cases}
    F(T,M)&amp;=A_0(T)-\dfrac{\alpha^2}{2\beta}(T_c-T)^2\text{ si }t&lt;T_c\\
    &amp;=0\text{ sinon}
\end{cases}
\end{equation}

Ainsi $F$ est continue en $T_c$, $\dthermo{F}{T}{...}$ l'est aussi, mais $\dthermocarre{F}{T}{...}$ ne l'est pas. Il s'agit de ce que l'on appelle une \textbf{transition du deuxiÃ¨me ordre} en $T_c$.

\textbf{Remarque :} $S=-\derond{F}{T}$ est continue, donc il n'y a pas de chaleur latente, ni de coÃ©xixtence de deux phases. $C_v=-T\dfrac{\partial^2F}{\partial T^2}$ n'est pas continue.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/transition_ferro_para.png}
    \caption{La bifurcation fourche de cet Ã©quilibre.}
    \label{fig:fourche}
\end{figure}

\textbf{OdG :} Fer : 1043K, Cd : 1388K, Ni, 627K.

\subsection{Fondement thÃ©orique : la thermodynamique statistique}

On peut remonter de maniÃ¨re explicite Ã&nbsp; la forme de l'aimantation grÃ¢ce Ã&nbsp; un petit raisonnement de physique statistique et une Ã©quation autocohÃ©rente sur le modÃ¨le d'Ising.

Câ€™est un modÃ¨le parti-
culiÃ¨rement important de la physique statistique, Ã&nbsp; priori simple, mais encore largement non rÃ©solu.

$N$ sites sur un rÃ©seau Ã&nbsp; $d$ dimensions sont occupÃ©s par des spins pouvant occuper deux Ã©tats (on note $s_i$ = $\pm$1). Ils sont placÃ©s dans un champ magnÃ©tique avec lequel ils interagissent. Ils ont Ã©galement une interaction entre plus proches voisins. cherche a modÃ©liser ainsi un cristal magnÃ©tique (lâ€™origine physique des interactions est dâ€™ailleurs complexe, et est liÃ©e Ã&nbsp; une interaction dâ€™Ã©change). On suppose une interaction attractive. En rÃ©sumÃ©,

\begin{equation}
    H=-B\sum_is_i-J\sum_{&lt;i,j&gt;}s_is_j
\end{equation}

On se place dans lâ€™ensemble canonique, et on cherche Ã&nbsp; connaÃ®tre la fonction de partition $\displaystyle{Z=\sum_\mu e^{-\beta E_{\mu}}}$, $\mu$ dÃ©signant la liste des micro-Ã©tats. Lâ€™interaction tend Ã&nbsp; organiser les spins, tandis que la tempÃ©rature tend Ã&nbsp; dÃ©sorganiser, comme pour le fluide de Van der Waals. Enfin, la variable dâ€™interÃªt est lâ€™aimantation moyenne, avec &lt;$s_i$&gt; la moyenne d'ensemble des spins :

\begin{equation}
    M=\dfrac{1}{N}\sum_i&lt;s_i&gt;=\dfrac{1}{N\beta}\derond{\ln Z}{\beta}
\end{equation}

Le calcul se mÃ¨ne Ã&nbsp; 1D, mais requiert des outils que lâ€™on ne peut dÃ©cemment pas introduire ici. Ã€ 2D, (et B =0), la solution analytique est rÃ©putÃ©e extraordinairement difficile Ã&nbsp; obtenir. Les maths Ã©tant difficiles, on utilise une hypothÃ¨se simplificatrice, le \textbf{champ moyen}. On cherche a nÃ©gliger les fluctuations des spins dans le terme
dâ€™interaction, que lâ€™on rÃ©sume en dÃ©finitive par un champ moyen crÃ©e par les spins voisins.

\begin{align}
    s_is_j&amp;=(s_i+&lt;s_i&gt;-&lt;s_i&gt;)(s_j+&lt;s_j&gt;-&lt;s_j&gt;)\\
    &amp;=(s_i-M)(s_j-M)+M(s_i-M)+M(s_j-M)+M^2\\
    &amp;\simeq M(s_i-M) + M(s_j-M) + M^2\\
    \Rightarrow E &amp;= -J\sum_{&lt;i,j&gt;}(M(s_i+s_j)+M^2)-B\sum_is_i\\
    &amp;=\dfrac{1}{2}JNzM^2-(JMz+B)\sum_i{s_i}
\end{align}

Avec $z$ le nombre de plus proches voisins. On voit un champ efficace apparaitre : $B_{eff}=B+JMz$. Chaque spin est maintenant indÃ©pendant des autres, et les sites Ã©tants discernables, on factorise la fonction de partition :

\begin{align}
    Z&amp;=\exp\left( -\dfrac{1}{2}\beta JNzM^2 \right)\left( e^{\beta B_{eff}}+e^{-\beta B_{eff}} \right)^N\\
    \Rightarrow M&amp;=\tanh(\beta B_{eff})
\end{align}

Evidement, $B_{eff}$ dÃ©pend de $M$. Nous sommes face Ã&nbsp; une Ã©quation dâ€™auto-cohÃ©rence. Pour rÃ©soudre en $M$, le plus simple est lâ€™analyse graphique.

\textbf{Sortir la simulation gÃ©ogÃ©bra !}

Si $B=0$, on retrouve tout ce que l'on vient de voir ! Et encore mieux, on a une magnifique expression pour $T_c=\dfrac{Jz}{k_B}$ !

\section{Plus de thÃ©orie (Landau, exposants critiques)}
\livre \texttt{guyomar\_landau.pdf}


\section*{Conclusion}

Ouverture : diagrammes binaires.

\end{document}

</pre></body></html>