\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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\title{LP17 -- Rayonnement d'Équilibre thermique. Corps noir.}
\date{\today}

\begin{document}

\newcommand{\dd}{\text{d}}

\titre{Aurélien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}





\subsection*{Niveau : L2}


\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Thermodynamique, 1ère et 2ème année}, \textbf{Olivier et Gié} & Très complet, surtout pour les définitions. \\ 
\textit{Mécanique Quantique 1}, \textbf{Aslangul} & Loi de Planck\\
\textit{Physique MP}, \textbf{Dunod, Sanz} & \\
\textit{Thermodynamique 2ème année}, \textbf{H-prépa} & \\

\end{tabular}
%\footnotetext{Par soucis de place toujours, je pense pas qu'il soit nécessaire de mettre les références exactes surtout pour un livre classique.}
% Vous avez vu cette commande badass pour ne pas mettre les footnotes dans les environements locaux ??

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Conduction - convection
 \item Gaz Parfait
 \item Ondes Electromagnétiques
 \item Angle solide
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item Chauffage par rayonnement à l'aide d'une QI
	\item Opacité du verre aux IR
    \item Loi de Wien avec une petite ampoule
	\end{itemize}
\end{minipage}



\tableofcontents
\pagebreak

\setlength{\parskip}{1em}


\section*{Questions}
\begin{itemize}
    \item Qu'est-ce qu'il se passe dans la limite de Wien ? En quoi est-elle pertinente ? \textit{C'est une excellente approximation à hautes fréquences, à l'inverse de Rayleigh-Jeans. La loi de Planck a alors unifié ces deux lois.}
    \item La loi de Rayleigh-Jeans est-elle théorique ou empirique ? \textit{Elle est issue de la physique statistique avec la statistique de Maxwell-Boltzmann.}
    \item Est-ce que la thermodynamique permet de prédire des propriétés de rayonnement thermique et en particulier de rayonnement de corps noir ? \textit{Certaines oui, Kirchhoff a prédit beaucoup de propriétés sans la loi de Planck.}
    \item Retour sur l'expression de $u_\lambda$. Comment obtenir cette expression à partir de celle de $u_\nu$ ? \textit{Avec $\lambda=\dfrac{c}{\nu}$ (il y avait une erreur dans l'expression écrite au tableau).}
    \item Détailler "l'intégrale évidente" sur l'angle solide qui aboutit à $\Phi_\nu=\dfrac{c}{4} u_\nu$. \textit{Le schéma n'était pas forcément clair. Dans le calcul, on a du $\dfrac{d\Omega}{4\pi}$ qui n'est pas vrai si on considère une hémisphère à partir de la paroi comme le suggérait le schéma. Pour le coup, le $\dfrac{d\Omega}{4\pi}$ est juste mais le schéma devrait bien montrer que l'on considère une sphère.}
    \item Dans quel cas l'équilibre thermodynamique et l'équilibre radiatif ne sont pas équivalents ? \textit{L'étoile n'est pas à l'équilibre thermodynamique mais elle est à l'équilibre radiatif (en effet, elle n'est pas à l'équilibre chimique).}
    \item Les corps rayonnent-ils à température ambiante ? \textit{Oui, ils rayonnent dans l'IR.}
    \item Dans les pré-requis, on a conduction et convection. Du coup, quand on fait les calculs avec uniquement ces 2 échanges d'énergie, a-t-on faux ? \textit{Le rayonnement est en réalité pris en compte dans le coefficient conducto-convectif. L'exemple du radiateur est exploitable.}
    \item Y-a quoi dans une lampe QI ? \textit{Filament en tungstène, l'atmosphère dans l'ampoule en quartz est un gaz d'iode pour éviter la détérioration du filament.}
    \item Pourquoi on vaut chauffer assez fort le filament ? \textit{Pour décaler le spectre de rayonnement le plus possible dans le visible.}
    \item Expliquer l'effet de serre. \textit{L'atmosphère piège une partie du rayonnement solaire (et terrestre) à la surface de la Terre.}
    \item Comment sait-on que les photons sont des bosons ? \textit{Le spin des photons vaut 1, comme l'a montré l'expérience de Beth.}
    \item On considère une enceinte isolée adiabatique dans laquelle on a 2 corps noirs séparés par un piston totalement réfléchissant. Les corps noirs sont à des températures différentes. Que se passe-t-il ? Et si le piston était opaque ? \textit{Le corps noir le plus chaud pousse le piston le plus fort d'après la loi de Stefan. Les photons donnent une impulsion $2p\text{cos}(i)$ à cause de la réflexion. Si le piston était opaque, on aurait le même phénomène mais un photon transmettrait uniquement $p\text{cos}(i)$.}
    \item Datez la première expérience mettant en évidence le photon. \textit{1905, effet photoélectrique.}
    \item Qu'est-ce que l'effet Casimir ? \url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Effet_Casimir}
    \item Quels sont les corps qui ne sont pas des corps noirs ? \textit{Tous, car un corps n'est jamais un corps noir pour toutes les fréquences. Ce sont des corps gris, avec une transmittance et une absorbance.}
\end{itemize}

\newpage

\section*{Commentaires}
\begin{itemize}
    \item Essayer de se détacher de ses notes. 
    \item Manque un peu de \textit{contenu scientifique}, \textit{i.e.} mettre en contexte les lois. Notamment "on verra plus tard" dans une leçon qui se prêterait à la discussion des lois. La loi de Planck n'est pas la seule qui s'est intéressée au rayonnement (exemple Kirchhoff) même si c'est elle qui marche théoriquement.
    \item Dire à quoi ça sert. Pourquoi on étudie le rayonnement d'un corps (ça définit les notions d'absorbance et d'émittance).
    \item Manque de schéma (on n'avait pas eu le temps de connecter l'ordi au vidéoprojecteur).
    \item Gestion des tableaux bof. Certains tableaux sont vides (un titre, un schéma et c'est tout).
    \item Les courbes expérimentales arrivent trop tôt, il faut d'abord parler de la théorie. 
    \item Peu d'informations (intéressantes) dans le I et le II alors que ça a représenté 18 minutes. Il faudrait condenser ces parties. Ca laisse le temps le développer un peu plus les calculs dans la suite. La définition de l'opacité n'est pas forcément pertinente.
    \item Donner plus d'ordres de grandeurs, notamment pour la loi de Wien ou la loi le Stefan. 
    \item Passer sous silence le $e^{-x}+0.2x+1=0$. C'est une étape de calcul qui est parachutée sans qu'on voit vraiment le rapport, et qui n'est pas pertinente. 
    \item Le 'h' de Planck vient de \textit{grandeur auxiliaire} (\textit{hilfe Große} en allemand).
    \item Il a été dit que la loi de Stefan a été trouvée après Planck, ce qui est faux. Elle est été trouvée via la thermodynamique sans avoir besoin de Planck pour obtenir la dépendance en T$^4$. D'où l'importance de savoir ce que la thermodynamique permet de montrer et ce qu'elle est incapable de montrer.
    \item Éviter de meubler avec des expressions du type "on utilise la loi de Planck pour partir sur des bases saines".
    \item L'expérience introductive suffit. L'expérience pour montrer la loi de Stefan avec l'ampoule relève plus du montage que de la leçon.
    \item L'analyse dimensionnelle n'est pas ultra utile puisque le jury est intelligent. De plus, on ne sait jamais quelle convention  utiliser donc bon. Juste dire "puissance en Watt". Techniquement il ne faut utiliser que les unités SI même si un prof en général met juste à un élève qui fait un analyse dimensionnelle avec des Watts ou autres unités non SI (cf programmes).
\end{itemize}





\newpage
\section*{Introduction}
Il existe trois types d'échange de chaleur (et donc d'énergie) :
\begin{itemize}
    \item la conduction, comme lorsqu'on chauffe une barre de métal ;
    \item la convection, comme lorsqu'on agite une infusion ;
    \item le rayonnement, comme lorsqu'on ressent la chaleur du Soleil ou d'un feu.
\end{itemize}
Cette leçon se focalisera sur ce troisième type d'échange d'énergie qui présente les caractéristiques suivantes :
\begin{itemize}
    \item il ne nécessite pas de milieu,
    \item il se fait à distance,
    \item il est rapide à notre échelle (vitesse de la lumière).
\end{itemize}
Ce mode de transport de l'énergie est de plus particulièrement intéressant car il sous-entend un couplage entre la matière et la lumière.


\manip{\textbf{Mise en évidence du rayonnement thermique :}\\
Focaliser une lampe QI sur un thermomètre. Comparer la température affichée par celui-ci à celle donnée par un thermomètre témoin à température ambiante.
}

\section{Positionnement de l'étude}
Le cadre scientifique de l'étude de la conduction et de la convection thermique est plutôt bien connu. On veut donc en faire de même pour le rayonnement thermique.

\textbf{Définition :} On définit la \textbf{puissance transmise} P comme étant l'énergie traversant une surface S pendant une durée t. On introduit alors le \textbf{flux surfacique d'énergie} $\Phi$ (en \si{\watt ~ \metre^{-2}}) tel que

$$\text{dP}=\Phi \text{dS}$$

\subsection{Mécanismes de rayonnement}


On considère un système $\Sigma$ à l'équilibre thermodynamique. Ce système est soumis à divers flux surfaciques d'énergie :
\begin{itemize}
    \item $\Phi_i$ : flux incident, 
    \item $\Phi_p$ : flux partant,
    \item $\Phi_r$ : flux réfléchi, 
    \item $\Phi_t$ : flux transmis, 
    \item $\Phi_a$ : flux absorbé par le corps et transformé en énergie interne, 
    \item $\Phi_e$ : flux résultant de la conversion d'énergie interne du corps et émis par celui-ci. 
\end{itemize}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/phi.png}
    \caption{Schéma des flux d'énergie radiative sur le système.}
    \label{fig:phi}
\end{figure}


Pour un système $\Sigma$ fermé dans un milieu transparent isotherme et sans échange par conduction, on a
\begin{equation}
    \begin{aligned}
    \Phi_i &= \Phi_r+\Phi_a+\Phi_t\\
    \Phi_p &= \Phi_r+\Phi_e+\Phi_t
    \end{aligned}
\end{equation}

On définit alors le \textbf{flux radiatif algébrique} $\Phi_R$ comme 
\begin{equation}
    \Phi_R=\Phi_p-\Phi_i=\Phi_e-\Phi_a
\end{equation}

\remarque{Opacité :}{Comme $\Phi_e$ et $\Phi_a$ dépendent des propriétés du corps considéré, ces phénomènes radiatifs en dépendent aussi. On peut définir deux cas limites : le milieu opaque et le milieu transparent. On définit un corps \textbf{opaque} comme un corps pour lequel $\Phi_t=0$. En pratique, un corps n'est opaque que pour un domaine de longueur d'onde (ou de fréquence) donné, comme par exemple le verre qui est opaque pour des longueurs d'onde inférieures à 100 nm. Un milieu \textbf{transparent} à l'inverse n'absorbe aucun rayonnement. Il est caractérisé par l'égalité $\Phi_a=\Phi_e=\Phi_r=0$.}

\manip{\textbf{Opacité d'un anticalorique pour les IR :}

Reprendre la manip avec la lampe QI focalisée sur un thermomètre. Placer un anticalorique devant la QI et constater la chute de la température du thermomètre.
}

\subsection{Rayonnement d'équilibre thermique}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/paroi.jpg}
    \caption{Schématisation du système.}
    \label{fig:paroi}
\end{figure}


Considérons une cavité transparente délimitée par une paroi opaque (au moins dans une certaine gamme des fréquences). Le tout est en contact avec un thermostat à la température constante $T_0=T_{paroi} = T_{cavite}$. On se place à l'équilibre thermique.

$$\Sigma=\{\text{paroi}+\text{rayonnement}\}@T_0$$

Comme le cas du gaz parfait, le rayonnement EM est un système physique en-soi qui relève de la thermodynamique. Quel est l’état d’équilibre thermodynamique du rayonnement à la température $T_0$ ?

À l’équilibre thermodynamique, la température de la paroi n’évolue pas. Son énergie interne de varie pas dans le temps, l’énergie absorbée par la paroi est donc réémise, le flux radiatif est donc nul. Cela correspond à l’\textbf{équilibre radiatif}.

Ainsi, on a :
$$\text{équilibre thermodynamique} \iff \Delta \text{U}_{\text{paroi}}=0 \quad \text{et} \quad \Phi_R=0$$

\important{L'équilibre thermodynamique implique donc l'équilibre radiatif. La réciproque est fausse cependant !}

\remarque{Bilan}{
Le \textbf{rayonnement d’équilibre thermique} à la température $T_0$ est le rayonnement du champ EM qui existe dans une enceinte remplie d’un corps transparent avec indice optique de 1, dont la paroi est opaque et maintenue à une température constante $T_0$.
}


\transition{Un cas particulier de rayonnement d'équilibre thermique est le corps noir. C'est lui qui a historiquement lancé cette étude, et nous allons le décrire ci-dessous.}

\section{Le corps noir}
\subsection{Définition}
Le corps noir, notion introduite par Kirchhoff en 1862, représente le cas extrême du corps opaque général. Par définition, le corps noir est un \textbf{absorbeur intégral}, car tout rayonnement incident est absorbé pour toutes les fréquences et pour toute direction incidente. Cela se traduit par $\Phi_i=\Phi_a$, et donc $\Phi_p=\Phi_e$.

Ce cas particulier n’est que idéal. En pratique, les corps se rapprochant le plus des corps noir sont des corps qui absorbent totalement l’énergie incidente, dans toutes les directions, mais dans une certaine fenêtre spectrale. Un four serait une bonne approximation de corps noir, mais un morceau de tungstène dans une ampoule aussi, malgré son apparence non noire.

À l'équilibre radiatif, $\Phi_R=0$. On en déduit donc que tous les flux sont égaux : $$\Phi_i=\Phi_a=\Phi_e=\Phi_p=\Phi_0$$
On remarque que cette condition est \textbf{indépendante du corps étudié}, le corps noir est un modèle universel qui transcende les différences de matériaux, ce qui explique que l'on qualifie de corps noir des objets si différents. On rajoute le fait que $\Phi_r=\Phi_t=0$.

Cet équilibre thermodynamique est cependant une condition très restrictives, et dans la plupart des cas, l'équilibre partiel suffit, comme par exemple un équilibre en couches.


\subsection{Équilibre local, modèle en couche}

On prend l'exemple d'une étoile en équilibre local, \textit{i.e.} chaque couche a une température uniforme. La température ne dépend donc que du rayon.  L'équilibre radiatif et le caractère de corps noir de la dernière couche au niveau de la surface de l'étoile indiquent que tous les rayonnements provenant de l'intérieur de l'étoile sont absorbés par la couche superficielle qui va les réémettre vers l'extérieur.

Ce modèle constitue un bon exemple de corps noir, comme on peut et va le voir avec le Soleil.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{fig/star.png}
    \caption{Schéma en couches d'une étoile.}
    \label{fig:star}
\end{figure}

\transition{
Il faut s'intéresser aux propriétés du rayonnement en Équilibre Radiatif et Thermique (ERT) afin d'exprimer l'énergie du rayonnement dans la boîte comme une fonction des flux définis précédement.
}

\section{Lois de rayonnement à l'équilibre radiatif}
On cherche à mettre en équation les dépendances en fréquence et en température de l'énergie interne volumique $u$ et du flux surfacique d'énergie rayonnée $\Phi_R$. On remarque qu'avec les dépendances en fréquence, on obtient aisément les dépendances en longueur d'onde car $\lambda=\dfrac{C}{\nu}$. On notera $x_\nu$ la grandeur par unité de $\nu$.

On se place donc dans toute cette partie à l'équilibre radiatif pour toute fréquence, $\Phi_i=\Phi_p=\Phi$.

\subsection{Loi générale}

Dans un intervalle de fréquence $[\nu, \nu + \text{d}\nu]$, l'énergie volumique du rayonnement s'écrit $\text{du}=\text{u}_{\nu}(\nu,\text{T}) \text{d}\nu$, où \linebreak $\text{u}_{\nu}$ s'exprime en \si{\joule~\second~\metre^{-3}}. On a

\begin{equation}
\Phi=\int_{0}^{+\infty}\Phi_\nu ~  \text{d}\nu = \int_{0}^{+\infty} \Phi_\lambda ~ \text{d}\lambda
\end{equation}


\noindent où $\Phi_\nu$ est en \si{\watt~\metre^{-2}~\second} et $\Phi_\lambda$ est en \si{\watt~\metre^{-3}}. Il nous faut alors lier u et $\Phi$ par une relation constitutive. Pour cela, on exprime l'énergie reçue par une tranche de paroi d'aire s :


\begin{equation}
    \text{d}^2\mathcal{E}=\Phi_\nu \dd \nu \text{s} \dd \text{t}
\end{equation}

\begin{wrapfigure}[12]{r}{0.3\textwidth}
\vskip -1cm
\includegraphics[width=\linewidth]{fig/solid.png}
\end{wrapfigure}

À l'équilibre thermodynamique, la paroi émet l'énergie qu'elle reçoit. Comme le rayonnement se propage à la vitesse c, cette énergie se trouvait dans le cylindre de longueur c dt, de base s et de génératrices parallèles à la direction de propagation. Cette énergie vaut, dans l'angle solide d$\Omega$,


\begin{equation}
\dd^4 \mathcal{E} = \text{u}_\nu \dd \nu ~ \text{s}\cos(\theta)~ \text{c} \dd \text{t} ~\dfrac{\dd \Omega}{4\pi}
\end{equation}


On intègre sur d$\Omega$ pour obtenir $$\dd^2 \mathcal{E} = \dfrac{\text{c}}{4}\text{u}_\nu \dd \nu \text{s} \dd \text{t} $$

\important{On obtient alors $$\Phi_\nu(\nu,\text{T})=\dfrac{\text{c}}{4}\text{u}_\nu(\nu,\text{T})$$}

Ce lien entre flux et énergie volumique du rayonnement nous permet, en connaissant la répartition de cette énergie, de donner le spectre d'émission d'un objet.

\transition{Il nous reste à préciser la répartition en fréquence de l'énergie et on pourra en déterminer le rayonnement. C'est ce qui a été fait tout au long du 19eme siècle avec la nécessité de remplacer la loi de Rayleigh-Jeans. C'est bien évidemment Planck qui a trouvé la solution.}

\subsection{Loi de Planck}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/blackbody.png}
    \caption{Loi de Planck pour différentes température. L'abscisse est en Hz.}
    \label{fig:planck}
\end{figure}


Planck a marqué l'histoire de l'étude du corps noir en introduisant le célèbre quantum d'énergie h$\nu$ (cf la leçon LP38 sur l'aspect corpusculaire du rayonnement). En utilisant cette méthode de quantification du rayonnement, il a obtenu la forme suivante pour u :

\begin{equation}
\text{u}_\nu(\nu,\text{T})=8\pi\dfrac{\nu^2}{\text{c}^3} \cdot \dfrac{1}{\exp\left(\dfrac{\text{h}\nu}{\text{k}_\text{B} \text{T}_0}\right)-1} \cdot \text{h}\nu
\end{equation}

Le premier terme décrit la densité de modes de vibration des quantums, le second donne le nombre de photons par mode et le troisième donne l'énergie de chaque mode.  On rappelle que $\text{k}_\text{B} = 1.38 \cdot 10^{-23}$ \si{\joule ~ \kelvin^{-1}} et h=$6.626 \cdot 10^{-34}$ \si{\joule~\second}.

\vspace{0.5cm}
On remarque que cette expression est indépendante du matériau étudié et qu'elle ne fait intervenir que T, $\nu$ ainsi que trois des constantes fondamentales de la physique. 



On observe l'émergence de deux régimes :
\begin{itemize}
    \item Wien pour $\dfrac{\text{h}\nu}{\text{k}_\text{B} \text{T}_0} \gg 1$ ;
    \item Stefan pour $\dfrac{\text{h}\nu}{\text{k}_\text{B} \text{T}_0} \ll 1$.
\end{itemize}
On remarque qu'on peut retrouver avec un développement limité de l'exponentielle au première ordre la loi de Rayleigh-Jeans, indépendante de la quantification :
$$\text{u}_\nu(\nu,\text{T})=8\pi\dfrac{\nu^2}{\text{c}^3} \text{k}_\text{B} \text{T}_0$$
Cette loi donne cependant une divergence pour les hautes fréquences qu'on a appelée la catastrophe ultraviolette.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/cata.png}
    \caption{La catastrophe ultraviolette.}
    \label{fig:cata}
\end{figure}

On va maintenant exploiter ce résultat.

\subsection{Loi de Wien, température des étoiles.}
On veut relier le spectre du rayonnement du corps noir à sa température. Pour cela, il suffit d'exprimer $\text{u}_\lambda$ puis de trouver la valeur de $\lambda$ qui le maximise.
\begin{equation}
    \text{u}_\lambda=8\pi\dfrac{\text{hc}}{\lambda^5} \cdot \dfrac{1}{\exp\left(\dfrac{\text{hc}}{\text{k}_\text{B} \text{T}_0 \lambda}\right)-1}
\end{equation}
En posant $x=\dfrac{\text{hc}}{\text{k}_\text{B} \text{T}_0 \lambda}$, l'annulation de la dérivée de u$_\lambda$ donne l'équation $$e^{-x}+0.2x-1=0 \iff x=4.97$$
\important{On en déduit la loi de Wien :
\begin{equation}
    \lambda_{\text{max}}\text{T}=2898 \ \mu\si{\metre ~ \kelvin}
\end{equation}
}
\textbf{Application :} calculer la température de la surface du Soleil.

Comme on l'a vu, le soleil est modélisable par une structure en couches, et on peut considérer sa couche externe comme un corps noir. La lumière qui nous en parvient est donc un rayonnement d'équilibre thermique pur.

Sur cette figure, on voit le spectre solaire, avec un ajustement en loi de Planck. Le maximum est à 500nm, ce qui donne T=5800K.

Cette loi est très utilisée en cosmologie puisqu'elle donne une bonne première approximation de la température d'une étoile lointaine. Elle peut aussi servir à déterminer sans contact la température d'une surface, comme un être humain, simplement en trouvant le maximum de son spectre d'émission.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/sun.png}
    \caption{Spectre d'émission du Soleil reçu sur Terre.}
    \label{fig:sun}
\end{figure}


\subsection{Loi de Stefan}

Cette loi relie le flux de lumière, et donc l'énergie rayonnée, à la température. On se dit intuitivement que plus c'est chaud plus ça brille, c'est ce que l'on va montrer.

Le flux d'énergie rayonnée s'écrit $$\Phi=\int_0^{+\infty}\dfrac{\text{c}}{4} \text{u}_\nu \dd \nu$$
En combinant cette expression avec la loi de Planck, on obtient alors 
\begin{equation}
    \Phi=\dfrac{2\pi\text{h}}{\text{c}^2} \left( \dfrac{\text{k}_\text{B} \text{T}_0}{\text{h}} \right)^4 \underbrace{\int_0^{+\infty}\dfrac{x^3}{e^x-1}\dd x}_{=\dfrac{\pi^4}{15}}
\end{equation}
\important{On obtient ainsi la loi de Stefan :
\begin{equation}
    \Phi = \sigma \text{T}^4
\end{equation}
où $\sigma = \dfrac{2\pi^5\text{k}_{\text{B}}^4}{15\text{h}^3\text{c}^2}=5.67 \cdot 10^{-8}$ \si{\watt ~ \metre^{-2} ~ \kelvin^{-4}} est la constante de Stefan.
}

\experience{Vérification de la loi de Stefan sur une petite ampoule}{Une petite ampoule, deux multimêtres, une alim, un ordinateur.}{5 minutes}{

L'ampoule de petite taille est un bon corps noir parce que le vide est quasiment total dans le bulbe. On peut d'ailleurs toucher ce dernier, il n'est pas chaud.

Le filament à l'intérieur est en Tungstène, on connaît donc sa courbe résistivité-température, notée $\rho(T)$. Dans cette expérience celle-ci nous vient tout droit d'internet\footnote{The University of the State of New York Reference Tables for Physical Setting/Physics. New York: The State Education Department, 2002.}\footnote{https://hypertextbook.com/facts/2004/DeannaStewart.shtml}. On fait une regression quadratique sur les données de la table obtenue.
$$
T=a+br+cr^2
$$

$a=128,0\pm 9,0$, $b=203,0\pm 2,1$, $c=-1,62\pm 0,1$.

Où on a posé

$$r=\dfrac{R(T)}{R(T_{amb})}=\dfrac{\rho(T)}{\rho(T_{amb})}$$

Pour remonter à R on utilise la relation $U=R\times I$, et le montage suivant :
\center{
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/circuit.png}
}

Ainsi on remonte à $T$ via la relation $r(T)$, puis on trace $P=U\times I$ en fonction de $T^4$ et Bam !!

}


Question : J'ai deux minutes pour boire un thé brûlant, et je veux y mettre de l'eau froide. Quand dois-je mettre cette eau froide pour avoir le meilleur refroidissement ? \textit{Il me suffit d'attendre le dernier moment, j'aurais ainsi transféré autant d'énergie que possible à l'air ambiant avant de mélanger et de boire mon thé.}

\manip{Boire le thé posé au bord de la paillasse.}

\section*{Conclusion}
On a vu au cours de cette leçon comment rayonnait un corps grâce aux lois de Planck, de Wien et de Stefan ; y compris dans le cas du corps noir qui est un modèle utile mais imparfait. Il est important de retenir que ces lois ne dépendent pas du matériau étudié et sont donc très générales, applicables dans de nombreux domaines.

Dans cette leçon, nous avons de plus brièvement abordé la notion de quantum d'énergie proposée par Planck. Cette notion fera l'objet de prochaines leçons traitant de mécanique quantique, et nous démontrerons à cette occasion la loi de Planck.






\end{document}
