\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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\title{LP21 -- Induction électromagnétique}
\renewcommand{\deg}{\si{\degree}}

\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
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\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert}
\newcommand{\dv}[2]{\dfrac{\text{d}#1}{\text{d}#2}}
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\date{\today}

\begin{document}

\titre{Aurélien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}

\subsection*{Niveau : L2}


\subsection*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item \textbf{2015: }L’algébrisation rigoureuse des grandeurs électriques et mécaniques est nécessaire lors de la paramétrisation.
    \item \textbf{2014: }Dans cette leçon, le plus grand soin s’impose dans la définition des orientations et des conventions de
signe. Les applications doivent occuper une place significative dans la présentation. Il n’est pas admissible à ce
niveau de confondre les forces de Lorentz et de Laplace.
\item \textbf{2012-2013: }Il n’est pas nécessaire
de traiter en détail les deux types d’induction.
\item \textbf{2009: }Ce ne sont pas les machines de
technologie complexe qui illustrent le mieux la leçon. Compte tenu du temps imparti, des choix restent à faire : le jury tiendra
compte de leur pertinence . . .
\end{itemize}

\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{HPrépa Electromagnétisme}, \textbf{Brébec} & Base de la leçon \\
\textit{EM}, \textbf{Mauras} & Compléments\\
\textit{Tec\&Doc Physique Spé PSI}, \textbf{Olivier} & Compéments \\
\textit{Tout-en-un Physique PCSI}, \textbf{Salamito}  &  Compléments\\ 
\textit{La physique par les objets du quotidien}, \textbf{Ray} & Plaque à induction\\
\textit{1001 questions de la physique en prépa}, \textbf{Garing} & Plaque à induction et freinage par induction\\
\end{tabular}


\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Équations de Maxwell
 \item Forces de Lorentz et de Laplace
 \item ARQS magnétique
 \item Transformateurs
 \item Champ magnétique d'une spire, d'un solénoïde infini
 \item Loi de Biot et Savard
 \item Composition des vitesses
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item 
	\end{itemize}
\end{minipage}

\newpage


\tableofcontents

\newpage

\setlength{\parskip}{1em}


\section*{Introduction}
Lorsqu'on a vu les équations de Maxwell, on a constaté via Maxwell-Faraday qu'un variation temporelle de $\vb{B}$ implique $\Nabla\wedge\vb{E}\neq\vb{0}$. On pourrait donc créer une différence de potentiel avec un champ magnétique variable.

\manip{\textbf{Matériel :} une bobine, un aimant, un oscillo en mode single, deux diodes en parallèle de sens opposé.

On note l’apparition d’une fem aux bornes de la bobine lorsqu’on déplace l’aimant. On remarque que bouger l'aimant dans un sens allume une diode puis le bouger dans l'autre sens allume l'autre diode. On discute rapidement de
comment est modifiée la fem si on éloigne ou si on rapproche l’aimant, si on change son sens ou si on le tourne...}

Faraday a découvert ce phénomène en 1831. Cette leçon a pour but de le formaliser et d'en montrer quelques applications.


\section{Phénomène d'induction}
\livre Perez, Électromagnétisme

\subsection{Cadre d'étude}
Pour étudier le phénomène d'induction, on se place dans l'ARQS magéntique :
\begin{itemize}
    \item on néglige la propagation des ondes électromagnétiques devant les variations des champs $\vb{E}$ et $\vb{B}$
    \item on suppose $\norm{\vb{j}}\gg \rho c$ et $c\norm{\vb{B}}\gg\norm{\vb{E}}$
    \item on n'a pas d'accumulation de charges : $\Nabla \cdot \vb{j}=0$
    \item on adopte la jauge de Coulomb : $\Nabla\cdot\vb{A}=0$ \textbf{(ne pas en parler durant la leçon)}
    \item seule l'équation de Maxweel-Ampère est modifiée : on y enlève le courant de déplacement
\end{itemize}

On définit le \textbf{potentiel vecteur} $\vb{A}$ par $\vb{B}=\Nabla\wedge\vb{A}$, ce qui est une conséquence de $\Nabla \cdot \vb{B}=0$. Maxwell-Faraday permet alors d'écrire $$\vb{E}=-\derond{\vb{A}}{t}-\Nabla V$$

L’ARQSM est importante car elle permet d’identifier $V$ au potentiel électrostatique et la dérivée de $-\vb{A}$ au \textbf{champ électromoteur} grâce à la jauge de Coulomb.

\remarque{Jauge de Coulomb (hors-programme)}{\textit{A priori}, on peut choisir $\vb{A}$ à un gradient près car $\vb{\text{rot}}(\vb{\text{grad}})=\vb{0}$.
On peut cependant limiter le choix de $\vb{A}$ en adoptant la jauge de Coulomb $\Nabla\cdot\vb{A}$, ce qui permet d'avoir en ARQS magnétique un équation de Poisson pour $\vb{A}$ :
$$\Delta \vb{A}+\mu_0 \vb{j}=\vb{0}$$
Sans l'ARQS, on aurait alors une équation d'Alembert.}

\subsection{Force électromotrice et loi de Faraday}
Considérons un circuit $\mathcal{C}$ fermé et orienté. En introduction, ce circuit a été soumis à un champ $\vb{B}(t)$ variable.

Les charges $q$ soumises à un champ $\vb{E}$ vont se mettre en mouvement sous l'action de la force de Lorentz $\vb{F}=q\vb{E}+q\vb{v}\wedge\vb{B}$. 
La résultante de cette force sur une charge sur le circuit est alors appelée \textbf{force électromotrice} et est définie par 
\begin{equation}
    e=\oint_\mathcal{C}\dfrac{\vb{F}}{q}\cdot\vb{\dd l}=\oint_\mathcal{C}\vb{E}\cdot\vb{\dd l}
\end{equation}
On peut faire deux remarques sur cette expression :
\begin{itemize}
    \item bien que $e$ soit appelée 'force' électromotrice, elle est définie avec la dimension d'une tension
    \item le terme en $\vb{v}\wedge\vb{B}$ est absent puisqu'on suppose pour l'instant que le circuit est immobile, ce qui implique que la vitesse des charges $\vb{v}\parallel\vb{\dd l}$ donc $(\vb{v}\wedge\vb{B})\cdot\vb{\dd l}=0$. Cette discussion donne naissance aux deux types d'induction, Neumann et Lorentz, qui seront développés dans la partie suivante.
\end{itemize}

On peut développer $\vb{E}$ dans la formule de la fem :
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        e&=\oint_\mathcal{C} \bigpar{-\derond{\vb{A}}{t}-\Nabla V }\cdot\vb{\dd l} \\
        &=-\derond{}{t}\oint_\mathcal{C}\vb{A}\cdot\vb{\dd l}    \qquad \text{(l'intégrale d'un gradient sur un contour fermé est nulle)} \\
        &=--\derond{}{t}\iint_S\vb{B}\cdot\vb{\dd S}  \qquad \text{(théorème de Stockes)}
    \end{aligned}
\end{equation}
avec $S$ une surface quelconque ayant comme contour $\mathcal{C}$ et $\dd S$ le vecteur surface orienté selon la convention d'orientation choisie pour $\mathcal{C}$. 
On comprend pourquoi on assimile $-\derond{\vb{A}}{t}$ à un champ électromoteur.
De plus, reconnaît l'expression du flux magnétique à travers la surface $S$, ce qui permet d'écrire la \textbf{loi de Faraday} :
\begin{equation}
    \boxed{e=-\derond{\Phi}{t}} \qquad \text{où }\Phi=\iint_S\vb{B}\cdot\vb{\dd S}
\end{equation}

Le signe - dans la loi de Faraday traduit le \textbf{principe de modération de Lenz} selon lequel le courant induit par la fem va s'opposer à la variation du flux. En effet, le courant induit va créer un champ magnétique (via l'équation de Maxwell-Ampère) de direction opposée à la variation de $\vb{B}$ :
\begin{equation}
    \includegraphics[width=\textwidth]{fig/Lenz.png}
\end{equation}

\newpage

\subsection{Deux types d'induction}
La démonstration précédente s’est faite de le cas où le champ magnétique variait mais que le circuit
ne bougeait pas. Mais on a vu aussi qu’on pouvait faire bouger le circuit dans un champ constant (manip
d’intro). En fait les deux phénomènes sont strictement les équivalents, ils décrivent la même réalité mais
les calculs se font différemment.
\begin{itemize}
    \item si le circuit est immobile dans un champ magnétique variable, on est dans le cadre de \textbf{l'induction de Neumann}
    \item si le circuit est mobile dans un champ magnétique constant, on est dans le cadre de \textbf{l'induction de Lorentz} 
\end{itemize}

\remarque{Remarque}{Ainsi, la démonstration de la loi de Faraday a été faite dans le cadre de l'induction de Neumann, mais elle peut également être faite pour l'induction de Lorentz. Elle passe par exprimer la vitesse des porteurs de charge sous la forme $\vb{v}=\vb{v_e}+\vb{v_C}$ (composition des vitesses en changeant de référentiel) et en posant le champ électromoteur $\vb{E_m}=\vb{v_C}\wedge\vb{B}$. c'est bien fait à la page 176 de \livre Hprépa en partant d'un bilan énergétique. On ne va pas s'y attarder ici.}


De façon générale, la variation d'un flux, que ce soit via la variation de $\vb{B}$ ou de $S$, génère une tension. On peut modéliser ça avec par un générateur parfait de tension $e$.


\subsection{Application : la pince ampèremétrique}

La pince ampèremétrique est un outil de mesure de courant en utilisant l'induction. Son grand avantage réside dans le fait qu'il n'y a pas besoin d'ouvrir le circuit pour y insérer l'instrument de mesure, contrairement à l'ampèremètre. 
\begin{center}
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/pince_ampèremétrique.PNG}
\end{center}
La pince est modélisée par un noyau ferromagnétique circulaire de rayon $R$, sur lequel sont bobinées $N$ spires circulaires de rayon $r_0$ faible devant $R$. On mesure la tension aux bornes du bobinage et on la relie à l’intensité du courant qui traverse la boucle formée par la pince fermée. Le tout est donc équivalent à un générateur de tension en dérivation avec un voltmètre. 

\noindent Il reste à établir le lien entre la fem $e(t)$ mesurée et l'intensité $I(t)$ dans le fil que l'on cherche à connaître. Pour cela, on suppose que le fil étudié passe au centre de la pince et est rectiligne infini. Il crée donc un champ magnétique dont le flux à travers la totalité du bobinage est 
$$\Phi(t)=\dfrac{N\mu_0r_0^2}{2R^2}I(t) \qquad \text{à l'ordre 1 en }\dfrac{r_0}{R}$$ 
On est donc dans le cadre de l'induction de Neumann.

\indent La fem vaut d'après la loi de Faraday :
$$e(t)=-\dv{\Phi}{t}=-\dfrac{N\mu_0r_0^2}{2R^2}\dv{I}{t}$$
Mesurer $e(t)$ permet donc de remonter à la valeur efficace de $I(t)$.


\section{Couplage électromagnétique dans le cadre de l'induction de Neumann}

\subsection{Auto-induction}
Considérons un circuit fixe indéformable, parcouru par un courant $i(t)$. Ce circuit créée alors, on vient de le voir, un champ magnétique, que nous appellerons \textit{champ propre}, noté $\vb{B_p}(M,t)$. La loi de Biot et Savard nous garanti la proportionnalité entre $B$ et $i$, puisque

\begin{equation}
    \vb{B_M}=\dfrac{\mu_0i}{4\pi}\oint_\Gamma\dfrac{\vb{\dd \ell}\wedge\vb{PM}}{PM^3}
\end{equation}

Le flux de champ au travers du circuit lui même s'en trouve alors modifié, on y ajoute le \textit{flux propre}, noté $\phi_p$.

\begin{equation}
    \phi_P(t)=\iint_S\vb{B_p}(M,t)\cdot\vb{\dd S}
\end{equation}

Mais on vient de voir que ce genre de modification entraîne une variation de courant, donc une variation de $B_p$, donc une variation de $\phi_p$, et ainsi de suite ! Certes les effets sont une cascade infini, mais dans le cadre de l'ARQS, qui et le cadre privilégié d'étude pour nous, on pourra noter une proportionnalité directe indépendante du temps entre le flux propre et l'intensité :

\begin{equation}
    \phi_p(t)=Li(t)
\end{equation}

Cette relation définit le coefficient $L$, coefficient d'inductance propre du circuit, pour un circuit indéformable. Elle s'exprime en Henry. L'inductance propre du circuit ne dépend que de $\mu$ et de la géométrie du circuit. Pour une bobine on a d'ailleurs une formule, avec $N$ le nombre de spires, $l$ la longueur, $S$ la surface d'une spire : $L=\mu_0N^2S/l$. \textbf{OdG :} pour 100 spires et 10cm$\times$3cm, on a 35mH.

Un rapide calcul avec la loi de Faraday donne :

\begin{equation}
    e=-L\dv{i}{t}
\end{equation}

Ainsi pour tout circuit électrique il faudrait prendre en compte l'indutaance propre. L'énergie stockée dans un circuit avec L est $\dfrac{1}{2}Li^2$.



\subsection{Inductance mutuelle}
\livre Sanz page 301

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.35\textwidth]{fig/inductance_mutuelle.pdf}
    \caption{Schématisation du phénomène d'inductance mutuelle.}
    \label{fig:mutuelle}
\end{figure}

Si on considère deux circuits proches, numérotés 1 et 2, parcourus respectivement par $i_1$ et $i_2$, ils émettent un champs magnétique $B_1$ et $B_2$ du fait des variations de $i$ en leur sein, et vont donc créer de l'induction l'un dans l'autre. Il apparait ainsi un couplage par \textit{inductance mutuelle}.


\begin{equation}
\begin{aligned}
    \phi_{1\rightarrow2}&=\iint \vb{B_1}(P_2,t)\cdot\vb{\dd S_2}\\
    \phi_{2\rightarrow1}&=\iint \vb{B_2}(P_1,t)\cdot\vb{\dd S_1}
\end{aligned}
\end{equation}

Dans le cadre de l'ARQS le champs magnétique est proportionnel à $i$, par conséquent le flux aussi, et on a finalement

\begin{equation}
\begin{aligned}
    \phi_{1\rightarrow2}&=M_{1\rightarrow2}i_1\\
    \phi_{2\rightarrow1}&=M_{2\rightarrow1}i_2
\end{aligned}
\end{equation}

On nomme $M_{1\rightarrow2}$ le coefficientd'induction mutuelle de 1 vers 2. Celui-ci ne dépend que de la géométrie des circuits. Lorsqu'ils sont fixes et indéformables, ce coefficient ne dépend pas du temps. Il s'exprime en Henry, comme $L$. Nous admettrons ici le théorème de Neumann :

\begin{equation}
    M_{12}=M_{21}=M
\end{equation}

Ainsi on a le beau jeu d'équations suivantes :

\begin{equation}
    \left\{
    \begin{aligned}
        \phi_{12}=Mi_1\\
        \phi_{21}=Mi_2
    \end{aligned}
    \right.
\end{equation}



\subsection{Application aux transformateurs}

\subsubsection{Principe}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.49\textwidth]{fig/transformateur_schema.png}
    \includegraphics[width=.49\textwidth]{fig/inductance_mutuelle_schema_equivalent.png}
    \caption{Schéma d'un transformateur.}
    \label{fig:transfo}
\end{figure}

Pour étudier en détail la façon dont fonctionne cette belle paire d'équation, regardons le cas d'un transformateur.

Un transformateur c'est deux bobines que l'on couple en les enroulant soit l'une autour de l'autre, soit toutes les deux autour d'un noyaux ferreux. L'intérêt du noyau ferreux est de canaliser les lignes de champs magnétique pour maximiser le flux d'une bobine dans l'autre, et donc maximiser $M$.

Si on écrit les équations électriques du circuit, on a

\begin{equation}
\left\{
    \begin{aligned}
        u_1(t)&=R_1i_1+L_1\dv{i_1}{t}+M\dv{i_2}{t}\\
        u_2(t)&=-R_2i_2+L_2\dv{i_2}{t}+M\dv{i_1}{t}
    \end{aligned}
\right.
\end{equation}

Au total, en terme d'énergie, on a

\begin{equation}
    E_1i_1+E_2i_2=R_1i_1^2+R_2i_2^2+\dv{}{t}\bigpar{ \dfrac{1}{2}L_1i_1^2 }+\dv{}{t}\bigpar{ \dfrac{1}{2}L_2i_2^2} + \dv{}{t}\left(Mi_1i_2\right)
\end{equation}

Les termes étant dans l'ordre la puissance fournie, la puissance récupérée, les pertes par effets joules, l'énergie emmagasinée par autoinduction et l'interaction par inductance mutuelle.

\subsubsection{Le transformateur idéal}

Dans le cadre du transformateur idéal, on a un couplage parfait, avec $R_1=R_2=0$ et $M^2=L_1L_2$. On considère deux bobines avec respectivement $N_1$ et $N_2$ spires, et on considère que le flux magnétique passe parfaitement, \textit{i.e.} $\phi_1=\phi_2$.


\begin{equation}
    e_i=-n_i\dd_t\phi
\end{equation}

Par conséquent on a directement

$$\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{N_2}{N_1}=m$$

On nomme $m$ le rapport de transformation du transformateur. Pourquoi ? Parce que c'est le rapport entre la tension qu'on lui fournit et celle qu'il restitue ! Avec un transformateur 500-1000, on récupère une tension deux fois plus élevée ! (et une intensité divisée par deux parce qu'on ne fabrique pas de la puissance de rien.)

On montre ainsi que $\dfrac{i_2}{i_1}=\textcolor{red}{-}\dfrac{1}{m}$.

\textbf{Question de Timéo qui dormait :} \textit{Mais pourquoi on voudrait élever la tension ?}

C'est très pratique parce que si on écrit la puissance $\mathcal{P}_p$ produite et la puissance $\mathcal{P}_j$ perdue par effet Joule, on a

\begin{equation}
    \dfrac{\mathcal{P}_p}{\mathcal{P}_j}=\dfrac{Ui}{Ri^2}=\dfrac{U}{Ri}=\dfrac{U^2}{RUi}=\dfrac{U^2}{R\mathcal{P}_p}
\end{equation}

Ainsi on voit que pour une même puissance produite, on a tout intérêt à la transporter en élevant la tension ! C'est d'ailleurs le principe des lignes à haute tension.

\subsection{Expérience}

Dans le cadre du transformateur parfait, on a $u_1i_1=-u_2i_2$, on préserve toute la puissance. Dans la vraie vie c'est évidement pas le cas.

\experience{Évaluer les performances d'un trnasformateur}{MP21}{}{
Faire une manip du MP21.
}

\section{Courants de Foucault}
\subsection{Principe}
\livre Hprépa p220, Salamito p1087

\smallbreak
On considère un matériau conducteur \textbf{non parfait}, par exemple un ferromagnétique, de conductivité $\sigma$ finie et soumis à un champ magnétique $\vb{B_e}(t)$ dépendant du temps et créé par des sources \textbf{extérieures}. Un champ électrique induit est alors créé dans le matériau et s'exprime avec Maxwell-Faraday comme
\begin{equation}
    \Nabla \wedge \vb{E_i}=-\derond{\vb{B_e}}{t}
\end{equation}
On peut alors définir un vecteur densité volumique de courant induit $\vb{j_F}$ par $\boxed{\vb{j_F}=\sigma\vb{E_i}}$.
Ces courants induits sont appelés \textbf{courants de Foucault}. Ils interviennent dans la loi d'Ohm qui s'écrit alors $\vb{j}=\sigma(\vb{E}+\vb{E_i})$.

\bigbreak
Prenons un exemple. On considère un conducteur cylindrique de rayon $R$ et de hauteur $h$, soumis à un champ extérieur $\vb{B_e}(t)=B_0\cos(\omega t)\vb{e_z}$. Les symétries et invariances du problème nous permettent déjà d'écrire que $\vb{E_i}$ est de la forme $\vb{E_i}=E_i(r)\vb{e_\theta}$. On peut alors appliquer Maxwell-Faraday et trouver 
$$\vb{E_i}=-\dfrac{1}{2}r\dv{B_e}{t}\vb{e_\theta}$$
On en déduit l'expression des courants de Foucault :
$$\vb{j_F}=-\sigma\dfrac{1}{2}r\dv{B_e}{t}\vb{e_\theta}
=\sigma\dfrac{1}{2}r\omega B_0\sin(\omega t)\vb{e_\theta}$$

\remarque{Remarques}{\begin{itemize}
    \item On peut représenter les courants de Foucault qui sont notamment plus importants loin de l’axe.
    \item Le champ magnétique créé par ces courants est dans le sens opposé au champ extérieur $B_e$ : rôle du signe - et loi de Lenz !
    \item Le calcul réalisé l’a été à l’ordre 1, \textit{i.e.} on ne prend pas en compte le champ magnétique crée par les courants de Foucault (négligeable mais qui a le mérite d'exister).
\end{itemize}}

On peut calculer la puissance dissipé $\mathcal{P}$ par ces courants (effet Joule):
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        <\mathcal{P}> &= <\iiint_\mathcal{V} \vb{j_F}\cdot \vb{E_i}\dd \tau> \\
        &=\dfrac{1}{\sigma}\iiint_\mathcal{V} <\vb{j_F}^2> \\
        &=\dfrac{\mathcal{V}}{8}\sigma \omega^2B_0^2R^2<\sin^2(\omega t)>
    \end{aligned}
\end{equation}
La puissance volumique dissipée par les courants de Foucault vaut donc :
$$\boxed{\dfrac{\mathcal{P}}{\mathcal{V}}=\dfrac{\sigma \omega^2B_0^2R^2}{16}}$$

Notons qu’il s’agit bien d’une énergie dissipée et qu’elle peut être un problème, typiquement dans les
transformateurs où les courants de Foucault représentent une source de perte non négligeable (cf la biblio
de la LP46). On peut les contrôler de deux manières pour un métal donné :
\begin{itemize}
    \item on peut jouer sur $\omega$ puisque la puissance en dépend en $\omega^2$. Il faut cependant faire attention car $\omega$ intervient aussi dans l’épaisseur de peau $\delta=\sqrt{\dfrac{1}{\sigma\mu_0\omega}}$ qui détermine la pénétration du champ électromagnétique dans le conducteur
    
    \item jouer sur la surface sur laquelle les courants de Foucault peuvent se développer. Pour limiter les courants de Foucault on peut donc limiter cette surface, comme c’est fait dans les transformateurs :     c’est le \textit{feuilletage}.
    \begin{center}
        \includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/feuilletage.png}
    \end{center}
\end{itemize} 


\subsection{Chauffage par induction}
\subsubsection{Par élévation d'intensité}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.45\textwidth]{fig/spire_goulotte_schema.png}
    \caption{Le chauffage par induction schématisé.}
    \label{fig:chauffage}
\end{figure}

On a vu que les courants de Foucault dans un matériaux créent des pertes par effet Joule. Si le but est de récupérer de la puissance thermique, on a tout intérêt à maximiser ces "pertes", par exemple dans le cas du chauffage par induction en cuisine !

\experience{Chauffer la goulotte}{}{}{Pour montrer le principe, on peut construire un transformateur très élévateur de courant avec 1000 spires au primaire et une
seule au secondaire : la goulotte. Le courant très élevé circulant dans la spire en forme de goulotte peut provoquer la fusion de l’étain placé
dedans.

\textbf{ATTENTION :} Ce transformateur est très abaisseur de tension donc le risque d’électrisation en touchant la spire est inexistant. En revanche, le risque de brûlure est grand!}

Toute la puissance qui entrera dans le circuit primaire sera disipée par effet Joule dans le secondaire !

\subsubsection{Par courants de Foucault}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.6\textwidth]{fig/chauffage.png}    \caption{Chauffage par courants de Foucault.}
    \label{fig:foucault}
\end{figure}

Une bobine située dans la plaque crée un champ magnétique, c’est l’inducteur. Le fond de casserole,
qui doit être en métal conducteur, est donc parcouru par des courants de Foucault qui réchauffent l’eau
en disspisant de la puissance par effet Joule.

\textbf{Remarques :}
\begin{itemize}
    \item ces plaques nécessitent donc une casserole en métal conducteur et ont un fond épais pour maximiser l’intensité des courants de Foucault et donc l’échauffement
\item la plaque en elle-même n’est pas chauffée mais attention le est contact avec le fond de la casserole donc chaude quand même..
\item les plaques actuelles détectent le champ induit par les courants de Foucault pour détecter la présence d’une casserole et ainsi arrêter de produire le champ magnétique quand il n’y a plus de casserole
\item même principe par les chargeurs sans fils de portable (on récupère juste le courant)
\item fort rendement (80 à 90\%) baissé par l’effet Joule dans la bobine de l’inducteur
\end{itemize}


\subsection{Freinage par courants de Foucault}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.45\textwidth]{fig/freinage.png}
    \includegraphics[width=.45\textwidth]{fig/freinage2.png}
    \caption{Freinage par courant de Foucault}
    \label{fig:frein}
\end{figure}

On change d’induction, cette fois-ci c’est le conducteur qui bouge dans un champ constant. Mais le principe reste le même et il va y avoir création de courants de Foucault. La force de Laplace sur ces courants va donc produire une force qui va ralentir le mouvement du disque (faire le raisonement qualitatif ou juste invoquer Lenz Raiton ! La loi de modération de Lenz !)

\textbf{Remarques :}
\begin{itemize}
\item breveté depuis 1903 et première réalisation 1936
\item dépend de la vitesse instantannée du disque donc ne permet pas un ralentissement total, ce système doit être utilisé en parallèle d’un autre système de freinage classique
\item pas de contact = pas d’usure mécanique !
\item par contre l’énergie perdue par échauffement (effet Joule toujours...) est perdue en pure perte, on peut pas la récupérer comme cela est fait dans les freinages par conversion electro-mécanique de puissance
\end{itemize}

\experience{Chute d'aimant dans un tube de cuivre}{}{}{
Tu sais quoi faire. La chute est ralentie par l’établissement de courants de Foucault dans le tube conducteur.
}



\section{Couplage électromécanique}

\subsection{Conversion électromécanique de puissance}
\livre LP20

\subsection{Étude du haut-parleur}
\livre \url{http://olivier.granier.free.fr/Seq15/co/rappels-de-cours-ind-EM-ind-haut-parleur.html}

\livre CCP PC 2016, \url{http://cpgedupuydelome.fr/IMG/pdf/d8-c-prive.pdf}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.6\textwidth]{fig/haut_parleur_schema.png}
    \includegraphics[width=.3\textwidth]{fig/haut_parleur_schema_equivalent.png}
    \caption{Le haut parleur et son schéma équivalent}
    \label{fig:hp}
\end{figure}



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