\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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\title{LP25 -- Ondes acoustiques}
\renewcommand{\deg}{\si{\degree}}

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\date{\today}
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\begin{document}

\titre{Aurélien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}

\subsection*{Niveau : }


\subsection*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 2017 : La contextualisation et des applications de la vie courante ne doivent pas être oubliées dans cette leçon qui se résume souvent à une suite de calculs. De plus, les fluides ne sont pas les seuls milieux dans lesquels les ondes acoustiques peuvent être étudiées.
    \item 2014 : Cette leçon peut être l’occasion de traiter les ondes acoustiques dans les fluides ou dans les milieux périodiques, certes, mais elle peut aussi être l’occasion de traiter les deux cas qui donnent lieu à des phénoménologies très différentes.
    \item 2013 : [À propos du nouveau titre] Le candidat est libre d’étudier les ondes acoustiques dans un fluide ou dans un solide élastique.\\
    Jusqu’en 2013, le titre était : Ondes acoustiques dans les fluides.
    \item 2011, 2012, 2013 : Cette leçon peut être l’occasion d’introduire le modèle limite de l’onde plane progressive harmonique et de la comparer éventuellement à l’onde sphérique.\\
    Jusqu’en 2008, le titre était : Ondes sonores dans les fluides.
    \item 2008 : L’aspect énergétique est trop souvent négligé. L’approximation acoustique est souvent mal dégagée. Pour
    \item 2009, le terme sonore est remplacé par le terme acoustique pour indiquer qu’on peut s’intéresser à des signaux non audibles par l’homme.
    \item 2007 : L’aspect énergétique est trop souvent négligé. On remarquera que les ondes sonores ne sont pas toutes planes progressives et harmoniques.
    Jusqu’en 2003, le titre était : Ondes sonores dans les fluides. Approximation acoustique. Aspect énergétique.
    \item 1999 : Est-il vraiment indispensable de se placer d’emblée dans le cadre formel de la mécanique des fluides ? Un modèle unidimensionnel et scalaire n’est pas sans intérêt pédagogique. Le développement de l’aspect énergétique doit faire apparaître une densité d’énergie et un vecteur de propagation.
\end{itemize}

\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Cap prépa PSI}, \textbf{Renvoizé}  &  Base\\ 
\textit{Hydrodynamique physique}, \textbf{Guyon, Hulin, Petit}  & En complément \\
\textit{Mécanique du solide et des fluides}, \textbf{Boulomié}  &  Cisaillement.\\
\textit{Cours de Berkeley, 3.Ondes}, \textbf{Crawford}  & Généralités \\
\textit{Cap prépa PC*}, \textbf{Renvoisié} & Exo sur l'échographie \\
\end{tabular}


\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Mécanique des fluides
 \item Ondes (d'Alembert et ses solutions)
 \item Module d'Young, coefficient de Poisson
 \item Impédance
 \item Électromagnétisme, vecteur de Poynting
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item 
	\end{itemize}
\end{minipage}




\tableofcontents

\newpage

\setlength{\parskip}{1em}


\section*{Introduction}

On a vu les ondes en général, et on a parlé d'ondes acoustiques, mais ces ondes sont nettement plus riches que ce que l'on en a dit jusqu'à maintenant.


\subsection*{Phénoménologie}
Il est aisé de se convaincre qu'un onde acoustique est créée par une vibration mécanique. On met une main sur la gorge et wa, ça vibre, cependant il faut aussi un milieu pour transmettre l'onde.

\experience{Cloche à vide}{}{}{
Mettre un bippeur dans une cloche à vide.
}

Une onde acoustique est donc une vibration d'un objet transmise dans un milieu.

\vspace{0.2cm}

\section{Onde acoustique dans un milieu fluide}
\subsection{Hypothèses de l'approximation acoustique}
\begin{itemize}
    \item Fluide parfait
    
Au repos il est caractérisé par une pression $P_0$, une vitesse globale $\vb{v_0}=\vb{0}$, et une masse volumique $\rho_0$ uniforme.
    \item L'onde est une perturbation par rapport à l'état d'équilibre


\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
P(M,t)&=P_0&+p_1(M,t)\qquad\text{avec }p_1&\ll P_0\\
\rho(M,t)&=\rho_0&+\rho_1(M,t)\qquad\text{avec }\rho_1&\ll\rho_0\\
\vb{v}(M,t)&=\vb{0}&+\vb{v_1}(M,t)\qquad\text{avec }v_1&\ll V_T=\sqrt{\dfrac{RT}{M}}\text{ vitesse thermique}
\end{aligned}\right.
\end{equation}

    \item On néglige l'influence de $\vb{g}$
\end{itemize}
\subsection{Mise en équation}

On peut écrire la loi de conservation de la masse et la développer en ses deux premiers ordres. On peut alors égaler chaque ordre séparément.

\begin{equation}
    \derond{\rho}{t}+\Nabla (\rho\vb{v})=0\Rightarrow\derond{\rho_1}{t}+\rho_0\Nabla \cdot \vb{v_1}=0
\end{equation}
L'équation d'Euler pour les fluides parfaits donne ensuite
\begin{equation}
    \rho\left( \dfrac{\partial{\vb{v}}}{\partial {t}} +({\vb{v}}\cdot{\vb{\mathrm{grad}}}){\vb{v}}\right)=-\vb{{\mathrm{grad}}}{P}\Rightarrow
    \rho_0\derond{\vb{v_1}}{t}=-\Nabla p_1
\end{equation}
De plus, l'évolution est supposée isentropique, ce qui signifie que l'on peut définir le coefficient de compressibilité isotrope comme
\begin{equation}
    \chi_S=-\dfrac{1}{V}\dethermo{V}{P}{S}=\dfrac{1}{\rho}\dthermo{\rho}{P}{S}\simeq\dfrac{1}{\rho_0}\dfrac{\rho_1}{p_1}
\end{equation}


On combine ces trois équations et on tombe suuuuur...

\begin{equation}
    \Delta p_1-\dfrac{1}{c^2}\derondcarre{p_1}{t}=0\qquad\text{avec }c=\dfrac{1}{\sqrt{\rho_0\chi_S}}
\end{equation}

\textbf{Remarque :}
\begin{itemize}
    \item $v_1$ et $\rho_1$ vérifient aussi les mêmes équations.
    \item Pour un gaz parfait, $PV^\gamma=cst$, donc $\chi_S=\dfrac{1}{\gamma\rho_0}$. De plus $P=\dfrac{\rho RT}{M}$, donc $c=\sqrt{\dfrac{\gamma RT}{M}}$. \textbf{OdG :} $\gamma=1.4$ donc $c=340$ m/s @ 20$\deg$C
    \item Pour les solides on prend juste $\chi_S=1/Y$.
    \item Dans l'eau $c=1500$ m/s
\end{itemize}

\subsection{Solutions de l'équation d'onde}

Les solutions de l'équation sont celles de la leçon \livre LP24. On a les odnes propagatives et les ondes stationnaires selon les conditions étudiées.

\subsection{Vérifions les hypothèses}
\textbf{Vitesse :}

On pose $U$ l'ordre de grandeur de vitesse, $L$ celui de distance de variation (longueur d'onde). Alors on a

\begin{equation}
    \dfrac{\norm{\left(\vb{v}\cdot\Nabla\right)\vb{v}}}{\norm{ \derond{\vb{v}}{t} }}=\dfrac{U^2/L}{U/T}=U/C\ll 1
\end{equation}

La vitesse particulaire est donc inférieure à celle des ondes.

\experience{Mesure de la vitesse du son dans l'air}{}{}{
On utilise les émetteurs et récepteurs air/eau, en utilisant la partie air. Avec le GBF on envoie des burst de sinus à 40 kHz, 10 sinus par burst avec des burst de 10 ms.
}

\textbf{Isentropie :}

La vérification de l'isentropie se fait par vérification de vitesse, on trouve la bonne valeur avec $\gamma=1.4$.

On peut remarquer qu'un hypothèse d'isothermie nous aurait donné $c=\sqrt{\dfrac{RT}{M}}\simeq$300m/s, et aurait donc été invalidée.

\textbf{pesanteur :}

$\rho_0\partial_t\vb{v_1}\gg \rho_1\vb{g}$

\textbf{Vérification} des hypothèses $(L=120$ dB) :
\begin{itemize}
    \item $P_{1}=\sqrt{\mu_{0} c I}=\sqrt{\mu_{0} c I_{0} 10^{L / 10}}=20$ Pa $ \ll P_{0}=1$ bar.
    \item $v_{1}=\sqrt{\dfrac{\chi s}{\mu_{0}}} P_{1}=\dfrac{20}{410}=5.10^{-2}$ m.s$^{-1} \ll c=$340 m.s$^{-1}$
    \item $\mu_{1}=\mu_{0} \chi_{S} P_{1}=\dfrac{20}{410^{2}}=1.10^{-4}$ kg.m$^{-3} \ll \mu_{0}$
    \item $\mu_{0} g=12$ N.m$^{-3} \ll \norm{\vb{\text{grad}} P}=\dfrac{P_{0}}{\lambda}=3.10^{5}$ N.m$^{-3}$ à 1 kHz
\end{itemize}


\section{Propriétés de l'onde}
\subsection{Propagation}
\experience{Simulation de 
l'onde}{\texttt{propagation.py}}{}{
Montrer la propagation de l'onde, et préciser que les approximations ne s'appliquent plus à 190dB, mais que ça aide à visualiser.
}

C'est ici une magnifique onde propagative ! on est heureux parce que tout le formalisme a été développé dans la leçon précédente ! \livre LP24

La vitesse de propagation dépend donc grandement du matériaux considéré.

\experience{Vitesse du son dans le Dural}{MP30}{}{}

\subsection{Aspect énergétique}
On veut définir un vecteur de densité d'énergie, similaire au vecteur de Poynting en électromagnétiqme, que l'on nomme $\vb{\Pi}$, en W/m$^2$, tel que, pour une surface $S$, on a l'énergie dans le volume fermé par S

\begin{equation}
    \iiint_V\derond{e}{t}\dd V=\oiint_S\vb{\Pi}\cdot\vb{\dd S}
\end{equation}

D'où l'équation magique de conservation de l'énergie :

\begin{equation}
    \derond{e}{t}=-\Nabla\cdot\vb{\Pi}
\end{equation}

Il nous faut maintenant déterminer l'expression de $\vb{\Pi}$ et de $e$. Un bilan des forces de pression sur la surface $S$ donne immédiatement

\begin{equation}
    \dd P=\vb{\dd F}\cdot\vb{v_1}(M,t)=\vb{\Pi}\cdot\vb{\dd S}
\end{equation}

Et on obtient naturellement, en injectant cette équation dans l'équation de conservation, et en se souvenant que $\rho_1=\rho_0\chi_Sp_1$ :

\begin{equation}
\begin{aligned}
\derond{e}{t}&=-\Nabla\cdot\vb{\Pi}\\&=-(P_0+p_1)\Nabla\cdot\vb{v_1}-\Nabla(p_1)\cdot\vb{v_1}\\
&=(P_0+p_1)\left( \dfrac{1}{\rho_0}\derond{\rho_1}{t} \right)+\left( \rho_0\derond{\vb{v_1}}{t}\cdot\vb{v_1} \right)\\
&=P_0\chi_S\derond{p_1}{t}+\chi_Sp_1\derond{p_1}{t}+\rho_0\vb{v_1}\cdot\derond{\vb{v_1}}{t}
\end{aligned}
\end{equation}

Finalement, on a :

\important{
\begin{equation}
    e=\dfrac{1}{2}\chi_Sp_1^2+\dfrac{1}{2}\rho_0\vb{v_1}^2
\end{equation}
}

\subsection{Cas de l'OPPS : impédance}

On sait que l'on peut écrire $p_1=P_0\cos(\omega_t-kx)$, et idem pour $v$. On a alors un couplage entre accélération et gradient de pression :

\begin{equation}
    \rho_0\derond{\vb{v_1}}{t}=-\Nabla(p_1)\Rightarrow \vb{v_1}=\dfrac{\vb{k}}{\rho_0\omega}p_1
\end{equation}

Ainsi on trouve $p_1=\rho_0c v_1$, et on peut assimiler ce résultat à $u=Zi$ en électricité. Ainsi on définit la notion d'impédance acoustique\footnote{Définie plus proprement à la section 3.} comme $Z=\dfrac{p_1}{v_1}$, et ici elle vaut $\rho_0 c$.


\textbf{remarque :} Pour une OPPH, on a $e=e_c+e_p=2e_c$, et $\vb{\Pi}=ce\vb{u}$

L'énergie se déplace à la vitesse $c$ !

\subsection{Intensité sonore}

On définit l'intensité sonore comme la puissance moyenne reçue par unité de surface, en \si{\watt\per\meter\squared}

\begin{equation}
    I=<\vb{\Pi}\cdot\vb{n}>
\end{equation}

Cependant cette valeur n'est pas très intéressante, car elle varie d'un facteur $10^{12}$ entre le bruit fait par une mouche et celui fait par un avion au décollage. Il nous faut une échelle log, et c'est là qu'interviennent les décibels

\begin{equation}
    L_{dB}=10\log\dfrac{I}{I_0}=20\log\dfrac{P_1}{P_0}
\end{equation}

\textbf{Remarques :} pour doubler l'intensité on ajoute 3 dB. On pose $I_0$ comme le seuil d'audibilité à 4000Hz. L'oreille humaine ne perçoit pas l'intensité pareil partout.

\begin{figure}[H]   
    \centering
    \includegraphics[width=.29\textwidth]{fig/niveaux_sonores_exemples.png}
    \includegraphics[width=.69\textwidth]{fig/seuil_audibilite_douleur.png}
    \label{fig:dB}
\end{figure}



\subsection{Effet Doppler}

\livre MP25, MP30

\section{Réflexion, transmission}
\subsection{Impédance}
Plaçons-nous dans le cas d'OPP se propageant selon $+\vb{e_x}$. On écrit alors $p_1=f\bigpar{t-\dfrac{x}{c}}$, ce qui donne $\vb{v_1}=\dfrac{1}{\rho_0c}f\bigpar{t-\dfrac{x}{c}}\vb{e_x}=\dfrac{1}{\rho_0 c}p_1\vb{e_x}$. On peut alors définir l'\textbf{impédance acoustique} d'un milieu par :
\begin{equation}
    Z=\dfrac{\text{cause}}{\text{conséquence}}=\dfrac{p_1}{v_1}=\sqrt{\dfrac{\rho_0}{\chi_S}}
\end{equation}

On exprime $Z$ en $\SI{}{\kilo\gram\per\metre\squared\per\second}$
On peut faire une analogie avec le câble coaxial :
\begin{center}
    \begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}
        Câble coaxial & i & u & $\Gamma$ & $\Lambda$ & $c=\sqrt{\dfrac{1}{\Gamma\Lambda}}$ & $Z=\sqrt{\dfrac{\Gamma}{\Lambda}}$  \\
        \hline
        Onde acoustique & $\vb{v_1}$ & $p_1$ & $\rho_0$ & $\chi_S$ &$c=\sqrt{\dfrac{1}{\rho_0\chi_S}}$ & $Z=\sqrt{\dfrac{\rho_0}{\chi_s}}$
    \end{tabular}
\end{center}

\textbf{OdG :} $Z_\text{eau}=\SI{1.4e-6}{\kilo\gram\per\meter\squared\per\second}$

$Z_\text{air}=\SI{410}{\kilo\gram\per\meter\squared\per\second}$

On retiendra $Z_{solide}\gtrsim Z_{liquide}\gg Z_{gaz}$.

Il est intéressant de noter que lorsque l'on crée un instrument de musique, on lui donne généralement un pavillon, ou une casse de résonance. Ce dernier élément est en réalité un dispositif d'adaptation d'impédance, visant à faire passer une quantité d'énergie bien étudiée au milieu, à savoir l'air.

\subsection{Conditions aux limites}
Lorsqu'un onde passe d'un milieu d'impédance $Z_1$ à un milieu d'impédance $Z_2$, elle doit satisfaire deux relations de continuité :
\begin{itemize}
    \item \textbf{la vitesse $\vb{v_1}$ de l'onde est continue à l'interface} car il ne peut y avoir de décollement de matière
    \item \textbf{la pression $p_1$ est continue à l'interface} car, si on considère une tranche de fluide à l'interface de section $S$, un PFD nous dit que la somme des forces extérieures est nulle, \textit{i.e.} la force de pression avant l'interface se compense avec celle après l'interface
\end{itemize}


\subsection{OPP en incidence normal sur un dioptre plan}
Considérons que le milieu d'impédance $Z_1$ occupe le demi-espace $x<0$ tandis que le milieu d'impédance $Z_2$ occupe le demi-espace $x>0$, et on étudie une OPP se propageant dans le sens des $x$ croissants. Quand l'onde incidente arrive à l'interface, elle se décompose en une onde réfléchie se propageant dans le milieu d'impédance $Z_1$ dans le sens des $x$ décroissants et en une onde transmise se propageant dans le milieu d'impédance $Z_2$ dans le sens des $x$ croissants. On écrit donc :
\begin{equation}
\begin{aligned}
    &\textbf{Onde incidente} &\ &\begin{cases}
                                    p_i(x,t)&=f\bigpar{t-\dfrac{x}{c_1}} \\
                                    \vb{v_i}(x,t)&=\dfrac{1}{Z_1}f\bigpar{t-\dfrac{x}{c_1}}\vb{e_x}
                                \end{cases} \\
    &\textbf{Onde réfléchie} &\ &\begin{cases}
                                    p_r(x,t)&=f\bigpar{t+\dfrac{x}{c_1}} \\
                                    \vb{v_r}(x,t)&=-\dfrac{1}{Z_1}f\bigpar{t+\dfrac{x}{c_1}}\vb{e_x}
                                \end{cases} \\
    &\textbf{Onde transmise} &\ &\begin{cases}
                                    p_t(x,t)&=f\bigpar{t-\dfrac{x}{c_2}} \\
                                    \vb{v_t}(x,t)&=\dfrac{1}{Z_2}f\bigpar{t-\dfrac{x}{c_2}}\vb{e_x}
                                \end{cases} \\
\end{aligned}
\end{equation}
À partir de ces expressions, on définit les coefficients de réflexion et de transmission en pression :
\begin{equation}
    r=\dfrac{p_r}{p_i}=-\dfrac{v_r}{v_i} \qquad \text{et} \qquad t=\dfrac{p_t}{p_i}=\dfrac{Z_2}{Z_1}\dfrac{v_t}{v_i}
\end{equation}
On applique les relations de passage au niveau de l'interface à $x=0$ :
\begin{equation}
    p_i(x=0,t)+p_r(x=0,t)=p_t(x=0,t)
    \Rightarrow 
    f(t)+rf(t)=tf(t) 
    \Rightarrow 
    1+r=t
\end{equation}
\begin{equation}
    v_i(x=0,t)-v_r(x=0,t)=v_t(x=0,t)
    \Rightarrow
    \dfrac{1}{Z_1}f(t)-\dfrac{1}{Z_1}rf(t)=\dfrac{1}{Z_2}tf(t)
    \Rightarrow
    \dfrac{1}{Z_1}-\dfrac{r}{Z_1}=\dfrac{t}{Z_2}
\end{equation}
On obtient donc, de façon analogue à l'optique, 
\begin{equation}
    \boxed{r=\dfrac{Z_2-Z_1}{Z_1+Z_2} \qquad \text{et} \qquad t=\dfrac{2Z_1}{Z_1+Z_2}}
\end{equation}
On peut également définir les coefficients de réflexion et de transmission en énergie à partir des vecteurs de Poynting et trouver :
\begin{equation}
    R=\dfrac{\norm{\vb{\Pi_r}}}{\norm{\vb{\Pi_i}}}=r^2= \bigpar{\dfrac{Z_2-Z_1}{Z_1+Z_2}}^2
    \qquad \text{et} \qquad T=\dfrac{\norm{\vb{\Pi_t}}}{\norm{\vb{\Pi_i}}}=\dfrac{Z_1}{Z_2}t^2 = \dfrac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^2}
\end{equation}
On obtient la relation de conservation d'énergie $R+T=1$.
\remarque{Remarques}{\begin{itemize}
    \item lorsque $Z_1=Z_2$, on a $r=0$ (et $R=0$) ainsi que $t=1$ (et $T=1$) : l'onde incidente est totalement transmise. C'est ce qu'on appelle l'\textbf{adaptation d'impédance}, utilisée par exemple en échographie ou pour la caisse de résonance d'un diapason.
    \item au contraire, si $Z_1\ll Z_2$, l'onde incidente est totalement réfléchie. C'est le cas par exemple des ondes stationnaires. 
\end{itemize}}



\subsection{Applications}
\subsubsection{Échographie}
\livre exercice du Cap Prépa


L'échographie consiste à émettre et recevoir via une sonde des ultrasons dans le corps humain et d'analyser les ultrasons réfléchis en attribuant une couleur à la quantité d'ultrasons réfléchis sur un écran. Ainsi, les liquides laissent les ultrasons les traverser et ne renvoient pas d'écho donc ils apparaissent en noir sur lécran tandis que les parties solides du corps comme les os apparaissent en blanc (comme les gaz et l'air d'ailleurs). Les tissus mous apparaissent quant à eux en nuances de gris selon leur \textit{échogénécité}.

Quand on veut faire une échographie en posant directement la sonde sur la peau, on considère qu'il existe une couche d'air entre la sonde et la peau. Or $Z_\text{air}=\SI{440}{\kilo\gram\per\metre\squared\per\second}$ et $Z_\text{peau}=\SI{1.62e6}{\kilo\gram\per\metre\squared\per\second}$ à 20$\deg$C donc le $T=\SI{1e-3}{}$. Une énorme partie des ultrasons est donc réfléchie sans entrer dans le corps.

Pour remédier à cela, on utilise un gel d'impédance acoustique $Z_\text{gel}=\SI{2.42e6}{\kilo\gram\per\metre\squared\per\second}$ (pour la glycérine) très proche de celle de la peau. Cette adaptation d'impédance entre la peau et la sonde nous permet d'obtenir $T=0.2$, et donc de bien mieux transmettre les ultrasons.



\subsubsection{Insonorisation par double vitrage}
On utilise le double vitrage pour améliorer l'insonorisation d'une pièce. On effet, pour un simple vitrage, le son traverse une interface air-verre puis une interface verre-air alors qu'avec du double vitrage, elle doit traverser en plus une interface air-verre puis une interface verre-air. Ainsi, pour le simple vitrage, le son est atténué de 76 dB ($T_\text{simple}=\SI{2.5e-8}{}$) alors que pour le double vitrage, il est atténué de 152 dB ($T_\text{double}=T_\text{simple}^2=\SI{1.6e-15}{}$).

\subsubsection{Télémétrie acoustique, sonar}
\livre MP26 - Mesure de longueurs


On envoie l'onde sur un corps massif d'impédance acoustique $Z_2$ bien plus grande que celle de l'air. L'onde est alors totalement réfléchie et en mesurant la temps nécessaire pour parcourir l'aller-retour et en connaissant sa vitesse, on peut calculer la distance au corps massif. 


\section{Prise en compte de la viscosité}
\label{sec:solide}
\livre Boulomié

\subsection{Atténuation}
Dans un premier temps, on va voir l'impact de la viscosité sur l'atténuation de l'onde quand elle se propage dans un milieu. 
On peut montrer (cf \livre GHP p170) que l'équation de Navier-Stokes pour un fluide compressible s'écrit  
\begin{equation}
    \rho\left( \derond{\vb{v}}{t} +({\vb{v}}\cdot{\vb{\mathrm{grad}}}){\vb{v}}\right)=-\vb{{\mathrm{grad}}}{P}+\eta\Delta \vb{v}+\bigpar{\xi+\dfrac{\eta}{3}}\vb{{\mathrm{grad}}}(\mathrm{div}\vb{v})
\end{equation}
avec $\xi$ le second coefficient de viscosité. Si on néglige cette seconde viscosité, on obtient 
\begin{equation}
    \rho\left( \derond{\vb{v}}{t} +({\vb{v}}\cdot{\vb{\mathrm{grad}}}){\vb{v}}\right)=-\vb{{\mathrm{grad}}}{P}+\eta\Delta\vb{v}+\dfrac{\eta}{3}\vb{{\mathrm{grad}}}(\mathrm{div}\vb{v})
\end{equation}
Comme pour le début de cette leçon, on exprime $\rho$, $P$ et $\vb{v}$ sous la forme d'un terme d'ordre 0 et d'un terme d'ordre 1. L'équation de Navier-Stokes, projetée sur $\vb{e_x}$, devient à l'ordre 1 :
\begin{equation}
    \rho_0\derond{v_1}{t}=-\derond{p_1}{x}+\eta\derondcarre{v_1}{x}+\dfrac{\eta}{3}\derondcarre{v_1}{x}=-\derond{p_1}{x}+\dfrac{4\eta}{3}\derondcarre{v_1}{x}
\end{equation}
On rappelle que l'équation de conservation de la masse et la définition de $\chi_s$ donnent respectivement
$$\derond{\rho_1}{t}+\rho_0\Nabla \cdot\vb{v_1}=0 \qquad \text{et} \qquad \chi_s\simeq\dfrac{1}{\rho_0}\dfrac{\rho_1}{p_1}$$
On relie donc $p_1$ et $\vb{v_1}$ par la relation :
$$\chi_S\derond{p_1}{t}+\Nabla \cdot\vb{v_1}=0$$
On dérive donc Navier-Stokes linéarisée par rapport à $x$ puis on insère cette expression pour remplacer $v_1$ par $p_1$ et on obtient :
\begin{equation}
\begin{aligned}
    \rho_0\dfrac{\partial^2 v_1}{\partial t \partial x}&=-\derondcarre{p_1}{x}+\dfrac{4\eta}{3}\dfrac{\partial^3 v_1}{\partial x^3} \\
    \rho_0\derond{}{t}\bigcro{\derond{v_1}{x}} &= -\derondcarre{p_1}{x}+\dfrac{4\eta}{3}\derondcarre{}{x}\bigcro{\derond{v_1}{x}} \\
    \rho_0\derond{}{t}\bigcro{-\chi_S \derond{p_1}{t}} &= -\derondcarre{p_1}{x}+\dfrac{4\eta}{3}\derondcarre{}{x}\bigcro{-\chi_S \derond{p_1}{t}}\\
\end{aligned}
\end{equation}
d'où 
\begin{equation}
    \boxed{\derondcarre{p_1}{x}-\dfrac{1}{c^2}\derondcarre{p_1}{t}+\dfrac{4\eta}{3\rho_0c^2}\dfrac{\partial^3 p_1}{\partial x^2\partial t}=0}    
\end{equation}
Pour une OPPH d'expression $p_1 = p_{1,0}e^{i(kx-\omega t)}$, la relation de dispersion s'écrit 
\begin{equation}
    k=\dfrac{\omega}{c}\sqrt{\dfrac{1}{1-i\omega\dfrac{4\eta}{3\rho_0c^2}}}=\dfrac{\omega}{c}\sqrt{\dfrac{1}{1-i\theta}} \qquad avec \qquad \theta=\dfrac{4\eta\omega}{3\rho_0c^2}
\end{equation}

\remarque{Ordres de grandeur}{
\begin{itemize}
    \item pour une onde de fréquence 1 kHz se propageant dans de l'eau à 20$\deg$C, $c=1480$ m/s, $\eta=\SI{e-3}{\pascal\second}$ et $\rho_0=\SI{998}{\kilo\gram\per\cubic\metre}$ donc $\theta=\SI{3.8e-8}{}$
    \item pour une onde de fréquence 1 kHz se propageant dans de l'air à 20$\deg$C, $c=340$ m/s, $\eta=\SI{e-6}{\pascal\second}$ et $\rho_0=\SI{1.2}{\kilo\gram\per\cubic\metre}$ donc $\theta=\SI{6.04e-8}{}$
\end{itemize}}
Puisque $\theta$ est faible, on peut faire un développement limité pour trouver 
\begin{equation}
    k=\pm\dfrac{\omega}{c}\bigpar{1+\dfrac{i\theta}{2}}=\pm\dfrac{2\pi}{\lambda}\bigpar{1+\dfrac{i\theta}{2}}
\end{equation}
On remplace l'expression de $k$ dans celle de $p_1$ et on trouve :
\begin{equation}
    p_1 = p_{1,0}\exp\bigpar{-\dfrac{\pi\theta}{\lambda}x}\exp\bigpar{i\left(\dfrac{\omega}{c}x-\omega t\right)}    
\end{equation}
L'onde se propage toujours à la vitesse $c$ mais on voit l'apparition d'un terme d'amortissement de longueur caractéristique $\boxed{\delta=\dfrac{\lambda}{\pi\theta}=\dfrac{3c^3\rho_0}{8\pi^2\eta f^2}}$
\remarque{Ordres de grandeur}{
\begin{itemize}
    \item pour une onde de fréquence 1 kHz se propageant dans de l'eau à 20$\deg$C, $\delta=\SI{1.2e8}{\metre}$
    \item pour une onde de fréquence 1 kHz se propageant dans de l'air à 20$\deg$C, $\delta=\SI{1.8e6}{\metre}$
\end{itemize}}

On peut donc considérer que la viscosité n'amortit pas l'onde à notre échelle. Bien sûr, il existe d'autres facteurs d'amortissement comme par exemple l'absorption dans le milieu, sa non-homogénéité, ou le fait qu'on ait des ondes sphériques. 


\subsection{Ondes de cisaillement}
On revient à l'équation usuelle de Navier-Stokes :
\begin{equation}
    \rho\left( \derond{\vb{v}}{t} +({\vb{v}}\cdot{\vb{\mathrm{grad}}}){\vb{v}}\right)=-\vb{{\mathrm{grad}}}{P}+\eta\Delta \vb{v}
\end{equation}
Cette fois, on pose un champ de vitesse $\vb{v_1}(x,t)=v_x(x,t)\vb{e_x}+v_z(x,t)\vb{e_z}$ et on projette Navier-Stokes sur $\vb{e_z}$. On obtient 
\begin{equation}
    \derond{v_z}{t}=\dfrac{\eta}{\rho_0}\derondcarre{v_z}{x}
\end{equation}
La relation de dispersion est donc $k_z^2=i\dfrac{\omega\rho_0}{\eta}$ donc $k_z=\pm (1+i) \sqrt{\dfrac{\omega \rho_0}{2\eta}}$. On peut donc calculer une nouvelle longueur d'atténuation $\ell=\sqrt{\dfrac{2\eta}{\rho_0\omega}}$.
Pour l'eau à 20$\deg$C et une onde de 1000 Hz, on trouve $\ell=\SI{18}{\micro\metre}$. 

De manière générale, \textbf{une onde de cisaillement ne se propage pas dans un fluide}.


\subsection{Ondes dans les solides}
Depuis le début, on parle des ondes acoustiques dans les fluides, mais on sait par expérience qu'elles se propagent également dans les solides.
En théorie de l'élasticité linéaire, on montre que le champ de déformation dans un solide satisfait l'équation :
\begin{equation}
    \rho\derond{\vb{u}}{t}=\dfrac{E}{2(1+\nu)}\Delta\vb{u}+\dfrac{E}{2(1+\nu)(1-2\nu)}\Nabla\left(\Nabla\cdot\vb{u}\right)
\end{equation}
avec $E$ le module d'Young et $\nu$ le coefficient de Poisson.
On trouve 2 familles de solution :
\begin{itemize}
    \item les ondes de compression (ou ondes P) : elles sont longitudinales et se propagent à la vitesse $$c_p=\sqrt{\dfrac{E(1-\nu)}{\rho(1+\nu)(1-2\nu)}}$$
    \item les ondes de cisaillement (ou ondes S) : elles sont transversales et se propagent à la vitesse $$c_s=\sqrt{\dfrac{E}{2\rho(1+\nu)}}<c_P$$
\end{itemize}



\section{Instruments de musique}
\subsection{Rappels sur l'onde stationnaire}
\livre LP24
\subsection{Instruments à vent}

On modélise un instrument à vent comme une colone d'air cylindrique (ou conique mais ici cylindrique) de longueur $L$, à section constante. Le milieu a des conditions au limites, à savoir des noeuds ou des ventres aux extrémités selon la façon de souffler. On pense donc à une descriptions en ondes stationnaires.

À une extrémité ouverte, on a forcément $P=P_0$, et à une extrémité fermée, on a forcément une vitesse particulaire nulle, donc une surpression maximale.



\subsubsection{Cas du tuyau symétrique}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.7\textwidth]{fig/instruments_vent_flute.png}
    \caption{Cas du tuyau symétrique, ici ouvert-ouvert}
    \label{fig:flute}
\end{figure}

Si on prend un tuyau symétrique, par exemple un tube de PVC ouvert des deux côtés, et que l'on fait s'établir une onde stationnaire dedans, on a forcément des noeuds de chaque côté, et donc une simili-corde de Melde. On a toutes les fréquences $\nu_n$ telles que

\begin{equation}
    \nu_n=n\dfrac{c}{2L}
\end{equation}

Ce que l'on fait avec une flûte ou en tapant sur un tuyau en pvc avec une sandale, c'est d'exciter toutes les fréquences d'un coup avec un bruit blanc ou plus ou moins centré. Les fréquences qui ne sont pas de s$\nu_n$ s'atténuent alors beaucoup plus vite que les autres, alors que les $\nu_n$ sont amplifiées et résonnent.

\experience{Acoustique des tubes}{MP30}{}{
Prédire le son d'un tube de PVC ouvert-ouvert, et le montrer expérimentalement.}

Un cuivre c'est essentiellement un tube que l'on excite avec un bruit Gaussien à la bouche, pour sélectionner une harmonique en particulier.

\subsubsection{Cas du tube asymétrique}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.7\textwidth]{fig/instruments_vent_clarinette.png}
    \caption{Cas de la clarinette.}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

Si un tube est asymétrique cependant, comme par exemple si on bouche un côté du tube, ou si on met un système de vibration d'un côté (une anche), on a plus que les harmoniques impaires :

\begin{equation}
    \nu_n=(n-\dfrac{1}{2})\dfrac{c}{2L}
\end{equation}

Ainsi une clarinette deux fois plus courte qu'une trompette aura la même tessiture. Elle n'aura pas les mêmes harmoniques cependant.

\textbf{OdG :} Trompette : 140cm, clarinette : 66cm.

\experience{Acoustique des tubes}{MP30}{}{
Prédire le son d'un tube de PVC ouvert-fermé, et le montrer expérimentalement. C'est une octave en dessous du ouvert-ouvert.}

\subsubsection{Mécanisme d'octave/de douzième}
Un mécanisme d'octave ou de douzième est une clé sur un instrument à vent qui permet de passer d'une note à une de ses harmoniques. Il fonctionne en perçant un trou dans la colonne d'air à un endroit très précis : pour une octave, à la moitié de la colonne, pour une douzième, à un tiers. Il est à noter que la douzième peut exister pour les tubes cylindriques et les tubes coniques, mais que l'octave n'existe que pour les tubes coniques. En effet leur forme leur donne une plus grande richesse d'harmoniques, faisant apparaître les harmoniques paires, dont l'octave.


\subsection{Instruments à percussions}
\livre Dunod p846

\livre \url{http://olivier.granier.free.fr/Seq17/co/rappels-de-cours-ondes_meca-son-solide.html}

Les instruments à percussion pour leur part répondent aux équation des membranes. C'est à dire que l'on excite avec un bruit blanc (choc) une membrane qui va osciller ensuite en réponse. Pour faire les calculs, il faut passer en calculs d'élasticité, et écrire, avec $E$ le module d'Young et $\nu$ le coefficient de Poisson :

\begin{equation}
    \rho\derondcarre{\vb{v}}{t}=\dfrac{E}{2(1+\nu)}\Delta\vb{v}+\dfrac{E}{2(1+\nu)(1-2\nu)}\Nabla\Nabla\cdot\vb{v}
\end{equation}

On se retrouve alors à gère des ondes longitudinales et transverses, comme dans la section \ref{sec:solide}. $\Delta=\Delta_L+\Delta_T$. Après un calcul que je préfère ne pas détailler, on obtient :

\begin{equation}
    c_l=\sqrt{\dfrac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)\rho}}\simeq 3300\si{\meter\per\second}\qquad c_t=\sqrt{\dfrac{E}{2\rho(1+\nu)}}\simeq2000\si{\meter\per\second}
\end{equation}

\textbf{OdG :} on prend $E\sim 10$ GPa et $\nu\sim0.2$ pour un intrument tel qu'un xylophone \textbf{en bois}.

\subsection{Instruments à cordes}
Les instruments à corde sont très bien détaillés dans le sujet 2009 de composition de physique de l'agreg : \url{http://www.agregation-physique.org/images/rapports/2009/05.pdf}, et dans le \livre MP30.

Ce qu'il faut en retenir, c'est que la décroissance des harmoniques dépend de la forme initiale de la corde et de son excitation de départ.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/instruments_cordes_coefficients_fourier.png}
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/instruments_cordes_pincees_harmoniques.png}
    \caption{La forme des harmoniques pour le clavecin, en 1/$n^2$. La guitare est en 1/$n^3$ et le piano en 1/$n$.}
    \label{fig:guitare}
\end{figure}

\textbf{Remarque :} En fonction de l'endroit où on pince, on peut avoir que des harmoniques impaires, et épurer le son, comme par exemple quand on fait des hamoniques avec une guitare.

\end{document}

