<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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\title{LP26 -- Propagation avec dispersion}
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\date{\today}

\begin{document}

\titre{AurÃ©lien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}

\subsection*{Niveau : L3}

\subsection*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 2016 : Il sâ€™agit dâ€™une leÃ§on qui porte sur la dispersion et non sur la propagation.
    \item 2015 : Le jury invite les candidats Ã&nbsp; rÃ©flÃ©chir sur les notions de vitesse de groupe et de vitesse de lâ€™Ã©nergie qui ne sâ€™identifient pas forcÃ©ment.\\
    Jusquâ€™en 2013, le titre Ã©tait : Propagation dans un milieu dispersif : vitesse de phase, vitesse de groupe. Paquets dâ€™ondes planes et Ã©volution. Exemples.
    \item 2012, 2013 : Les candidats doivent avoir rÃ©flÃ©chi Ã&nbsp; la notion de vitesse de groupe et Ã&nbsp; son cadre dâ€™utilisation.
    \item 2009, 2010 : Il convient de ne pas consacrer trop de temps Ã&nbsp; prÃ©senter les circonstances (rares), oÃ¹ la vitesse de groupe ne sâ€™interprÃ¨te pas comme vitesse de transport de lâ€™Ã©nergie.
    \item 2007, 2008 : Les candidats ont Ã&nbsp; leur disposition une petite animation qui permet dâ€™illustrer les notions dÃ©licates que sont la vitesse de phase et la vitesse de groupe.
    \item 2001 : La notion de paquet dâ€™ondes ne se rÃ©duit pas Ã&nbsp; la superposition de deux ondes. Lorsquâ€™ils dÃ©crivent un paquet dâ€™onde beaucoup de candidats oublient que k et $\omega$ sont reliÃ©s par la relation de dispersion. Il faut bien sur sâ€™intÃ©resser aux dÃ©formations du paquet dâ€™onde.
    \item 2000 : Une superposition dâ€™un nombre fini dâ€™harmoniques ne permet en aucun cas de dÃ©finir un paquet dâ€™onde, puisque le phÃ©nomÃ¨ne reste pÃ©riodique. Elle ne peut que constituer un intermÃ©diaire avant le passage Ã&nbsp; la limite continue, qui doit Ãªtre Ã©tudiÃ©e avec soin. Lorsquâ€™ils dÃ©crivent un paquet dâ€™onde tridimensionnel, beaucoup de candidats oublient que kx, ky, kz et $\omega$ sont reliÃ©s par la relation de dispersion.
    \item 1999 : Ne pas se limiter, pour la construction dâ€™un paquet dâ€™onde Ã&nbsp; la superposition de deux ondes planes progressives harmoniques de frÃ©quences voisines. La dÃ©formation du paquet dâ€™onde est rarement envisagÃ©e. Des exemples doivent Ãªtre pris dans les ondes mÃ©caniques et les ondes Ã©lectromagnÃ©tiques, par exemple dans la propagation dâ€™information sur fibre optique.
    \item 1998 : Un battement nâ€™est pas un paquet dâ€™ondes. Le choix dâ€™une reprÃ©sentation de Fourier spatiale ou temporelle pour reprÃ©senter un paquet dâ€™ondes dÃ©pend de la nature du problÃ¨me de propagation Ã©tudiÃ©. Le concept de vitesse de groupe nâ€™a de sens que si le phÃ©nomÃ¨ne de propagation Ã©tudiÃ© est associÃ© Ã&nbsp; une relation de dispersion. La vitesse de groupe nâ€™est pas toujours la vitesse de propagation de lâ€™Ã©nergie.
\end{itemize}

\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
Un bouquin de prÃ©pa au choix &amp; La base\\
\textit{HprÃ©pa, Ondes}, \textbf{BrÃ©bec}  &amp;  La base et cÃ¢ble coaxial\\ 
\textit{Hydrodynamique physique}, \textbf{Guyon, Hulin, Petit (GHP)} &amp; Ondes gravito-capillaires\\
Poly de P. Lidon \url{https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-01332274/document} &amp; Ondes gravito-capillaires\\
\textit{BUP 649} &amp; Des discussions et rappels interressants\\
\textit{Ondes mÃ©caniques et diffusion}, \textbf{Garing} &amp; Plasma et diÃ©lectrique si on a peur de manquer \\
\textbf{Tec\&amp;Doc PC/PC*}, \textbf{Olivier} &amp; ModÃ¨le de l'Ã©lectron Ã©lastiquement liÃ©e
\end{tabular}


\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{PrÃ©requis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Ã‰quation de d'Alembert, relation de dispersion
 \item Analyse de Fourier
 \item CÃ¢ble coaxial sans perte
 \item Plasma
 \item MÃ©canique des fluides
 \item Ã‰lectromagnÃ©tisme, milieux diÃ©lectriques
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{ExpÃ©riences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item 
	\end{itemize}
\end{minipage}




\tableofcontents

\newpage

\setlength{\parskip}{1em}


\section*{Introduction}

En 1666 I.Newton fit traverser Ã&nbsp; un prisme un rai de lumiÃ¨re blanche et observa la sÃ©paration de la lumiÃ¨re blanche en plusieurs couleurs. Ainsi, en vertue de la loi de Snell-Descartes dÃ©jÃ&nbsp; connue Ã&nbsp; lâ€™Ã©poque de cette expÃ©rience, il fut possible de dÃ©duire que la vitesse de la lumiÃ¨re dÃ©pendait, dans le verre, de sa couleur. Câ€™est ce quâ€™on appelle la dispersion. Nous allons donc tenter dâ€™apprÃ©hender le phÃ©nomÃ¨ne de dispersion dans un cas gÃ©nÃ©ral, puis ensuite nous nous intÃ©resserons Ã&nbsp; deux cas de dispersion ayant une application dans le domaines des tÃ©lÃ©communications.

\manip{\textbf{Dispersion du blanc par un prisme}\\
RÃ©aliser une image Ã&nbsp; lâ€™infini (avec un achromat) dâ€™un diaphragme Ã©clairÃ© par une lampe Quartz-Iode mettre un prisme sur le chemin du rayon sortant pour projeter la figure de dispersion sur un mur.
}
\vspace{0.2cm}



\section{Notion de dispersion (thÃ©orie utile)}
\subsection{Vitesse de phase et relation de dispersion}
\livre Physique tout en un MP-MP* p.555, Sanz.

On a dÃ©jÃ&nbsp; vu qu'une OPPH dans le vide suit l'Ã©quation de d'Alembert :

\begin{equation}
    \Delta \vb{E}-\dfrac{1}{c^2}\derondcarre{\vb{E}}{t}=\vb{0}
\end{equation}

On peut alors Ã©crire l'onde comme $\vb{E}=E_0\exp(i(\omega t-kx))\vb{e_y}$. On notera $\vb{E}=E_0\exp(i\phi(x,t))\vb{e_y}$. Ce qui va nous intÃ©resser aujourd'hui c'est l'Ã©volution de cette phase dans l'espace et le temps !

Si on cherche les Ã©vÃ¨nements Ã©quiphases de l'espace temps, on cherche $(x,t)$ tel que $\phi(x,t)=C$ constante. On peut alors Ã©crire l'Ã©galitÃ© suivante en deux Ã©vÃ¨nement Ã©quiphases :

\begin{equation}
    \omega t_1-xx_1=\omega t_2-kx_2=C\Rightarrow \dfrac{\omega}{k}=\dfrac{\Delta x}{\Delta y}
\end{equation}

\important{
On a ainsi dÃ©fini la vitesse Ã&nbsp; laquelle une phase se dÃ©place, la \textbf{vitesse de phase}

\begin{equation}
    v_\phi=\dfrac{\omega}{k}
    \label{eq:vphi}
\end{equation}
}

Si on rÃ©injecte l'expression de $E$ dans d'Alembert, on trouve la \textbf{relation de dispersion} de l'onde, ici

\begin{equation}
    k^2=\dfrac{\omega^2}{c^2}
\end{equation}

Cette relation de dispersion nous permet de trouver l'expression de la vitesse de phase en fonction d'une seule variable, $k$ ou $\omega$. Dans le cas de l'OPPH on obtient mÃªme, miracle :

\begin{equation}
    v_\phi=c
\end{equation}

\textbf{DÃ©finition :} On dira d'un milieu qu'il est \textbf{dispersif} si sa vitesse de phase dÃ©pend de $\omega$. Sinon il sera nommÃ© non-dispersif. Le vide est, pour les ondes Ã©lectromagnÃ©tiques, un milieu non dispersif !

\subsection{Notion de paquet d'onde}
Une OPPM, bien qu'utile mathÃ©matiquement, c'est pas gÃ©nial du point de vue de la physique, parce que Ã§a a une Ã©nergie et une extension infinis. Pour construire une onde qui a du sens physiquement, donc un dÃ©but et une fin, on constitue un \textbf{paquet d'onde}.

Pour construire un paquet d'onde, il suffit de multiplier une OPPH nommÃ©e porteuse Ã&nbsp; une enveloppe, c'est Ã&nbsp; dire une \textit{forme gÃ©nÃ©rale} de l'onde. Dit comme Ã§a a n'a pas l'air cool, mais par dÃ©composition de Fourier on peut dÃ©crire l'opÃ©ration comme une intÃ©grale d'OPPH, et donc profiter de la linÃ©aritÃ© des Ã©quations.

\begin{equation}
    f(x,t)=P\times G=\exp\left( i(\omega_0t-k_0x) \right) G(x,t)
\end{equation}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.7\textwidth]{fig/porteuse.png}
    \caption{Exemple de porteuse et d'enveloppe}
    \label{fig:porteuse}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.7\textwidth]{fig/Paquet_onde.png}
    \caption{Exemple de paquets d'ondes et leur spectre.}
    \label{fig:paquet}
\end{figure}

On rend ainsi au signal son Ã©nergie finie. Mais une question trÃ¨s importante se pose, est-ce que le paquet d'onde va Ã&nbsp; la mÃªme vitesse que l'onde elle mÃªme ? Est-ce que l'on va voir dÃ©filer des franges Ã&nbsp; l'intÃ©rieur ? On va dÃ©terminer la vitesse du paquet !

\subsection{Effet de la dispersion}

Pour cela Ã©crivons le paquet d'onde avec le formalisme de Fourier :

\begin{equation}
\begin{aligned}
f(x,t)&amp;=\int_{\R}\exp\left( i(\omega t-k(\omega)x) \right)A(\omega)\dd\omega\\
&amp;=\exp\left( i(\omega_0t-k_0x) \right)\int_{\R}\exp\left( i((\omega-\omega_0)t-(k-k_0)x) \right)A(\omega)\dd\omega\\
\end{aligned}
\end{equation}

On a ainsi directement l'expression de $G(x,t)$ comme d'une intÃ©grale :

\begin{equation}
    \int_{\R}\exp\left( i((\omega-\omega_0)t-(k-k_0)x) \right)A(\omega)\dd\omega
\end{equation}

Afin de poursuivre les calculs, on va supposer que la distribution des frÃ©quences est piquÃ©e autour de $\omega_0$, ce qui revient Ã&nbsp; dire que le signal que l'on envoie ressemble bien Ã&nbsp; une sinusoÃ¯de. La dÃ©pendance de $k$ en $\omega$ devient alors 
$$k(\omega)=k(\omega_0)+\dethermo{k}{\omega}{\omega_0}\times(\omega-\omega_0)$$

E, rÃ©injectant cela dans l'expression de l'enveloppe on trouve sa vitesse de propagation.

\begin{equation}
    G(x,t)=G\left(x=0,t-\dethermo{k}{\omega}{\omega_0}x\right)
\end{equation}

\important{On nomme \textbf{vitesse de groupe} la vitesse de propagation du maximum de l'enveloppe, que l'on assimilera Ã&nbsp; la vitesse de l'enveloppe (c'est la mÃªme Ã&nbsp; l'ordre 1, mais l'ordre 2 change beaucoup de choses...) :

\begin{equation}
    v_g=\dfrac{1}{\dethermo{k}{\omega}{\omega_0}}=\dethermo{\omega}{k}{k_0}
\end{equation}
}

On appelle cette vitesse la vitesse de groupe. Câ€™est la vitesse du centre de lâ€™enveloppe du paquet dâ€™onde. On remarque quâ€™elle peut Ãªtre diffÃ©rente de la vitesse de phase, on observe alors un phÃ©nomÃ¨ne de glissement de phase, lâ€™enveloppe nâ€™Ã©volue pas dans lâ€™espace Ã&nbsp; la mÃªme vitesse que la phase. Dans notre cas cependant, $v_g=v_\phi$, mais on va vite trouver un contre-exemple (cf partie suivante).

Si on effectue maintenant un dÃ©veloppement plus prÃ©cis, Ã&nbsp; l'ordre 2, on obtient :

\begin{equation}
    k(\omega)=k_0+(\omega-\omega_0)\dethermo{k}{\omega}{\omega_0}+\dfrac{(\omega-\omega_0)^2}{2}\dethermo{k}{\omega}{\omega_0}=k_0+(\omega-\omega_0)\alpha(\omega)
\end{equation}

Alors on a une nouvelle expression de l'enveloppe :

\begin{equation}
    G(x,t)=\int_{\R}\exp\left( i(\omega-\omega_0)(t-\alpha(\omega)x) \right)A(\omega)\dd\omega
\end{equation}

Alors on a une vitesse de groupe qui varie pour les diffÃ©rentes pulsations du groupe, ce qui a pour consÃ©quence de l'Ã©taler au cours de sa propagation !

Interessons nous en particulier au cas du paquet d'onde Gaussien, parce que la TF d'une Gaussienne est une Gaussienne, ce qui simplifie grandement nos calculs.



\experience{Dispersion du paquet d'onde}{\texttt{dispersion\_2\_images.py}}{}{
On y voit que le paquet va moins vite que la porteuse, et que le paquet s'Ã©tale au fur et Ã&nbsp; mesure de son avancÃ©e, parce que ces diffÃ©rentes composantes ne vont pas Ã&nbsp; la mÃªme vitesse.

On utilise ici une relation de dispersion de type Klein-Gordon $k 2 = \dfrac{\omega^2-\omega_0^2}{c^2}$. Ce type de relation de dispersion est prÃ©sent dans les plasmas ou dans les mÃ©taux pour les hautes frÃ©quences. On remarque qu'au cours de la propagation, les courtes longueurs dâ€™onde "vont plus vite", et se retrouvent donc Ã&nbsp; lâ€™avant du paquet dâ€™onde. Au contraire, les grandes longueurs dâ€™onde sont "Ã&nbsp; la traÃ®ne".

\textbf{Justification de lâ€™outil informatique :} Ici, nous sommes Ã&nbsp; un point de la leÃ§on oÃ¹ les formules sont des transformÃ©e de Fourier inverse, donc exprimÃ©es sous forme dâ€™intÃ©grale, qui sont des notions tout Ã&nbsp; fait nouvelles pour les Ã©lÃ¨ves.

Je pense Ãªtre trÃ¨s difficile de se reprÃ©senter les effets de telles formules. Jâ€™ai donc codÃ© en Python un programme
calculant ces expressions dans un cas simple et connu pour pouvoir illustrer ces formules. En effet, le sujet de la leÃ§on reste la propagation dâ€™onde, qui est un phÃ©nomÃ¨ne trÃ¨s parlant et plein dâ€™illustrations expÃ©rimentales dans la vie courante. Le rÃ©sultat de ce programme, affichant deux images cÃ´te Ã&nbsp; cÃ´te, qui permet de "vÃ©rifier" que le paquet dâ€™onde sâ€™est effectivement propagÃ© avec dÃ©formation est, Ã&nbsp; mon sens, beaucoup plus marquant quâ€™une formule
gÃ©nÃ©rale quâ€™il faudrait particulariser en fonction de diffÃ©rentes relations de dispersion. Jâ€™ai Ã©galement choisi de coder un programme qui calcule effectivement les intÃ©grales du cours pour pouvoir changer la forme du paquet dâ€™onde initial, la relation de dispersion, et pouvoir alors illustrer les effets dâ€™autres relations de dispersion sur la propagation qui pourraient Ãªtre vues pendant lâ€™annÃ©e (ce choix de calcul dâ€™intÃ©grale se ressent malheureusement sur la complexitÃ© du programme).
}


\subsection{Bilan/rÃ©sumÃ©}
Ã€ l'ordre 0, on obtient la vitesse de phase, qui correspond Ã&nbsp; la vitesse de l'onde monochromatique.

Ã€ l'ordre 1, on obtient la vitesse de groupe, qui correspond Ã&nbsp; la vitesse de l'enveloppe sans dÃ©formations. On observe et explique le phÃ©nomÃ¨ne de glissement de phase.

Au ordres supÃ©rieurs, on obtient la dÃ©pendance en $\omega$ de la vitesse de groupe, et donc la dispersion et l'Ã©talement du paquet d'ondes.

\remarque{Effet Kerr optique}{On introduit des non-linÃ©aritÃ©s pour compenser la dispersion. On retombe alors sur d'Alembert.}

\textbf{DÃ©finition :} Lorsque $v_\phi&gt;v_g$, on parle de dispersion \textbf{normale}. Dans le cas contraire, c'est de la dispersion anormale. On trouve de la dispersion anormale dans certaines vapeurs de mercure par exemple.

\section{Dispersion dans un cÃ¢ble coaxial}


\subsection{Ã‰quation des tÃ©lÃ©graphistes}
On modÃ©lise un tronÃ§on de longueur $\dd x$ de cÃ¢ble coaxial par le circuit suivant :
\begin{center}
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/cable_coaxial_schema_equivalent.png}
\end{center}
La loi des mailles dans la premiÃ¨re maille du circuit permet d'Ã©crire
\begin{equation}
    u(x,t)=\Lambda\dd x \derond{i}{t} + r\dd x i(x,t) + u_\text{condensateur}
\end{equation}
Or la tension $u_\text{condensateur}$ aux bornes du condensateur est identique Ã&nbsp; celle de la rÃ©sistance $\dfrac{1}{g\dd x}$, qui est identique Ã&nbsp; $u(x+\dd x,t)$. On obtient donc
\begin{equation}
    u(x,t)=\Lambda\dd x \derond{i}{t} + r\dd x i(x,t) + u(x+\dd x,t)
\end{equation}
On obtient donc une premiÃ¨re Ã©quation intÃ©ressante :
\begin{equation}
    \derond{u}{x}=-ri-\Lambda\derond{i}{t}
\end{equation}

On peut Ã©galement Ã©tablir deux lois des noeuds :
\begin{itemize}
    \item au premier noeud, en notant $I$ l'intensitÃ© dans le fil allant vers le second noeud, on a
    \begin{equation}
        i(x,t)=\Gamma \dd x \derond{u}{t} +I
    \end{equation}
    \item au second noeud, en remarquant qu'on a une rÃ©sistance $R=\dfrac{1}{g \dd x}$, on a
    \begin{equation}
        I+g\dd x u(x+\dd x,t) = i(x+\dd x,t)
    \end{equation}
    On peut Ã©crire $g\dd x u(x+\dd x,t) \simeq g\dd x u(x,t)$ en en faisant qu'une erreur d'ordre 2.
\end{itemize}
On combine ces deux lois des noeuds pour obtenir une deuxiÃ¨me Ã©quation intÃ©ressante :
\begin{equation}
    \derond{i}{x}=-gu-\Gamma\derond{u}{t}
\end{equation}

Les grandeurs $u$ et $i$ peuvent Ãªtre dÃ©couplÃ©es en Ã©crivant l'Ã©quation $$\partial_x(\text{1Ã¨re Ã©quation}) = -r (\text{2nde Ã©quation}) - \Lambda \derond{}{t}(\text{2nde Ã©quation})$$
On obtient alors l'Ã©quation de propagation dans le cÃ¢ble coaxial aussi appelÃ©e \textbf{Ã©quation des tÃ©Ã©lgraphistes} :
\begin{equation}
    \derondcarre{u}{x}=\Gamma\Lambda\derondcarre{u}{t}+(r\Gamma+g\Lambda)\derond{u}{t}+rgu
\end{equation}
Injectons maintenant dans cette Ã©quation une OPPH avec $u(x,t)=u_0e^{j(kx-\omega t}$. On a alors
\begin{equation}
    k^2=\Gamma\Lambda\omega^2+j\omega(r\Gamma+g\Lambda)-rg
\end{equation}
On trouve donc la relation de dispersion
\begin{equation}
    \boxed{k^2=\Gamma\Lambda\omega^2\bigpar{1+j\dfrac{g}{\omega\Gamma}}\bigpar{1+j\dfrac{r}{\omega\Lambda}}}
\end{equation}


\subsection{Condition de Heaviside}
On avait dÃ©finit la vitesse de phase par $$v_\phi=\dfrac{\omega}{k}$$
En rÃ©alitÃ©, cette formule n'est pas du tout la bonne. En effet, si on l'applique au cas du cÃ¢ble coaxial oÃ¹ Ã&nbsp; n'importe quel cas oÃ¹ $k$ est complexe (donc tous les cas avec attÃ©nuation, comme par exemple les ondes Ã©vanescentes), on trouve une vitesse de phase complexe... La vraie formule de la vitesse de phase est en rÃ©alitÃ©
\begin{equation}
    \boxed{v_\phi=\dfrac{\omega}{\Re(k)}}
\end{equation}
On ne considÃ¨re que $\Re(k)$ car la partie imaginaire de $k$ ne participe pas Ã&nbsp; la phase de l'onde (et donc elle ne participe pas Ã&nbsp; sa propagation) mais Ã&nbsp; son amplitude (et donc Ã&nbsp; son attÃ©nuation).


On remarque que dans le cas oÃ¹ $\dfrac{r}{\Lambda}=\dfrac{g}{\Gamma}$, la relation de dispersion se simplifie et on obtient
\begin{equation}
    k=\pm\omega\sqrt{\Gamma\Lambda}\sqrt{1+j\dfrac{g}{\omega\Gamma}}
\end{equation}
On en dÃ©duit immÃ©diatement la vitesse de phase : $v_\phi=\dfrac{1}{\sqrt{\Gamma\Lambda}}$. On remarque qu'elle est indÃ©pendant de $\omega$ ou de $k$, ce qui signifie que le milieu est non-dispersif. La condition $\dfrac{r}{\Lambda}=\dfrac{g}{\Gamma}$ est alors appelÃ©e la \textbf{condition de Heaviside}. Remarquons cependant que l'onde continue Ã&nbsp; s'attÃ©nuer lors de sa propagation Ã&nbsp; cause de la partie imaginaire de $k$.
Le cÃ¢ble coaxial a Ã©tÃ© largement utilisÃ© au XXÃ¨me siÃ¨cle pour transmettre des signaux analogiques. Pour un signal analogique aussi bien la phase que la "forme" du signal est essentiel Ã&nbsp; lâ€™information, dâ€™oÃ¹ la nÃ©cessitÃ© de minimiser la dispersion quitte Ã&nbsp; sâ€™accommoder dâ€™un effet dâ€™attÃ©nuation.




\section{Dispersion dans un diÃ©lectrique}
\subsection{Ã‰quation de propagation}
Une \textbf{matÃ©riau diÃ©lectrique} est un matÃ©riau qui possÃ¨de un moment dipolaire permanent ou qui est susceptible dâ€™en acquÃ©rir un lorsquâ€™il est soumis un champ Ã©lectrique. Si on suppose le milieu diÃ©lectrique liÃ©naire homogÃ¨ne et isotrope, les ondes Ã©lectromagnÃ©tiques satisfont les trÃ¨s fameuses Ã©quations de Maxwell qui s'Ã©crivent sous la forme :
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \vb{D}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vb{E}
        \Nabla\cdot\vb{D}&amp;=\rho= 0 \\
        \Nabla \wedge \vb{E}&amp;=-\derond{\vb{B}}{t}\\
        \Nabla\cdot\vb{B}&amp;=0 \\
        \Nabla \wedge \vb{B}&amp;=\mu_0\vb{j}+\mu_0\derond{\vb{D}}{t}=\vb{0}+\mu_0\derond{\vb{D}}{t}
    \end{aligned}
\end{equation}
On obtient donc 
\begin{equation}
\begin{cases}
    \Nabla\wedge(\Nabla\wedge\vb{E})=\Nabla(\Nabla\cdot\vb{E})-\Delta \vb{E} = \vb{0}-\Delta \vb{E} \\
    \Nabla\wedge(\Nabla\wedge\vb{E})=\Nabla\wedge(-\derond{\vb{B}}{t})=-\derond{}{t}(\Nabla\wedge\vb{B})=-\mu_0\derond{}{t}\bigpar{\derond{\vb{D}}{t}}=-\mu_0\varepsilon_0\epsilon_r\derondcarre{\vb{E}}{t}
\end{cases}
\end{equation}
On trouve alors l'Ã©quation de propagation 
\begin{equation}
    \Delta \vb{E}+\dfrac{\varepsilon_r}{c^2}\derondcarre{\vb{E}}{t}=\vb{0}
\end{equation}
La relation de dispersion correspondant est donc simplement $\boxed{k^2=\dfrac{\varepsilon_r}{c^2}\omega^2=\dfrac{n^2}{c^2}\omega^2}$


\transition{L'Ã©tude de la dispersion dans un milieu Ã©lectrique nÃ©cessite donc de connaÃ®tre l'expression de $n^2$. Pour obtenir cette expression, on va utiliser le modÃ¨le de l'Ã©lectron Ã©lastiquement liÃ©.}


\subsection{ModÃ¨le de l'Ã©lectron Ã©lastiquement liÃ©, version 1}
\livre Tec\&amp;Doc p745-746

\smallbreak
On considÃ¨re l'action d'un champ Ã©lectromagnÃ©tique sur un atome constituÃ© d'un proton, supposÃ© immobile, et d'un Ã©lectron qui subit alors 3 forces :
\begin{itemize}
    \item la force de Lorentz $\vb{F_L}=q\vb{E}(t)$, en supposant que $\vb{E}(t)$ est uniforme sur les dimensions $d$ du dipÃ´le (approximation des grandes longueurs : $\lambda\gg d$
    \item une force de rappel Ã©lastique $\vb{F_\text{rappel}}=-m\omega_0^2\vb{r}$ qui est valable si le systÃ¨me ne s'Ã©loigne pas trop de sa position d'Ã©quilibre
    \item une force de frottement modÃ©lisÃ©e par $\vb{F_f}=-\dfrac{m}{\tau}\dot{\vb{r}}$
\end{itemize}
En appliquant le PFD Ã&nbsp; l'Ã©lectron, on obtient :
\begin{equation}
    m\ddot{\vb{r}}=-m\omega_0^2\vb{r}+q\vb{E}(t)-\dfrac{m}{\tau}\dot{\vb{r}}
\end{equation}
En prenant comme solution une OPPH de la forme $\vb{r}=\vb{r_0}e^{i\omega t}$ et $\vb{E}=\vb{E_0}e^{i(\vb{k}\cdot\vb{r}-\omega t)}$, on obtient 
\begin{equation}
    \vb{r}=\dfrac{\dfrac{q}{m}}{(\omega_0^2-\omega^2)+i\dfrac{\omega}{\tau}}\vb{E_0}e^{i(\vb{k}\cdot\vb{r}-\omega t)}
\end{equation}
On peut alors exprimer la polarisation $\vb{P}$ du milieu de 2 faÃ§ons :
\begin{equation}
    \begin{cases}
        \vb{P}=\varepsilon_0\chi_e\vb{E} \qquad \text{oÃ¹ }\chi_e\text{ est la susceptibilitÃ© Ã©lectrique} \\
        \vb{P}=n^*\vb{p}=n^*q\vb{r}=\dfrac{n^*q^2}{m}\dfrac{1}{(\omega_0^2-\omega^2)+i\dfrac{\omega}{\tau}}\vb{E} \qquad \text{oÃ¹ }n^*\text{ est la densitÃ© Ã©lectronique}
    \end{cases}
\end{equation}
On peut donc en dÃ©duire 
\begin{equation}
    \chi_e=\dfrac{n^*q^2}{m\varepsilon_0}\dfrac{1}{\omega_0^2-\omega^2}=\dfrac{\omega_p^2}{(\omega_0^2-\omega^2)+i\dfrac{\omega}{\tau}} \qquad \text{avec} \qquad \omega_p^2=\dfrac{n^*q^2}{m\varepsilon_0}
\end{equation}
On obtient finalement 
\begin{equation}
    \boxed{n(\omega)^2=\varepsilon_r=1+\chi_e=1+\dfrac{\omega_p^2}{(\omega_0^2-\omega^2)+i\dfrac{\omega}{\tau}}=1+\dfrac{\omega_p^2(\omega_0^2-\omega^2)}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\dfrac{\omega^2}{\tau^2}}-i\dfrac{\omega}{\tau}\dfrac{\omega_p^2}{(\omega_0^2-\omega^2)^2\dfrac{\omega^2}{\tau^2}}}
\end{equation}

On peut Ã©crire $n(\omega)=n'(\omega)+in''(\omega)$ oÃ¹ $n''$ est l'indice d'absorption car il n'intervient que dans la variation de l'amplitude (donc l'attÃ©nuation de l'onde) tandis que $n'(\omega)$ est l'indice de dispersion car il intervient dans la phase de l'onde (et donc sa propagation). Dans \textbf{l'approximation des milieux peu denses} (comme un gaz), $|\chi_e|\ll1$ et on peut faire un DL de $n$ pour obtenir $n=\sqrt{1+\chi_e}\simeq1+\dfrac{1}{2}\chi_e$ et donc Ã©crire  
\begin{equation}
    n'(\omega)=1+\dfrac{1}{2}\dfrac{\omega_p^2(\omega_0^2-\omega^2)}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\dfrac{\omega^2}{\tau^2}}
\end{equation}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.45\textwidth]{fig/comparaison_avec_theorie_dielectrique.png}
    \includegraphics[width=.45\textwidth]{fig/n_selon_omega_dielectrique.png}
    \caption{Mesures de $n'$ et $n''$ en fonction de $\lambda$ et $\omega$ (Ã&nbsp; gauche, figure tirÃ©e du \livre Maulas EM 2e annÃ©e) et comparaison avec la thÃ©orie (Ã&nbsp; droite).}
    \label{fig:n_dielectrique}
\end{figure}
En dehors du domaine d'absorption, \textit{i.e.} $\omega \ll \omega_0$, on a $n''=0$ donc $n=n'$. Tout se passe comme si $n$, $\varepsilon_r$ et $\chi_e$ Ã©taient rÃ©els et on retrouve la notion d'indice optique.
Dans ce cas, on Ã©crit 
\begin{equation}
    n^2=(n')^2=1+\chi'_e1+\dfrac{\omega_p^2(\omega_0^2-\omega^2)}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\dfrac{\omega^2}{\tau^2}} \simeq 1+\dfrac{\omega_p^2}{\omega_0^2}\dfrac{1}{1-\dfrac{\omega^2}{\omega_0^2}}
\end{equation}
Un dÃ©veloppement limitÃ© en $\dfrac{\omega}{\omega_0}$ permet alors d'obtenir
\begin{equation}
    n'\simeq 1+\dfrac{\omega_p^2}{2\omega_0^2}\bigpar{1+\dfrac{\lambda_0^2}{\lambda^2}} \iff \boxed{n'=A+\dfrac{B}{\lambda^2}}
\end{equation}
On a retrouvÃ© la \textbf{loi de Cauchy} ! Dans le domaine du visible, $$n'=1+\SI{1.36e-4}{}+\dfrac{\SI{1.06e-18}{}}{\lambda^2}$$
Cela $\lambda_0=88$ nm donc loin de $\lambda$, ce qui valide l'hypothÃ¨se selon laquelle on Ã©tait loin du domaine d'absorption. Cette loi est important car elle explique les observations expÃ©rimentales des rÃ©seaux et des arcs-en-ciel.


\remarque{Remarque}{Il faut ici prÃ©ciser que les deux aspects que lâ€™on a montrÃ© de la dispersion (Ã©talement du paquet dâ€™onde et dispersion par le prisme) ne proviennent que de la dÃ©pendance non linÃ©aire de $n'$ en $\omega$, et donc traduisent tous deux bien la dispersion sans Ãªtre contradictoires.}




\subsection{ModÃ¨le de l'Ã©lectron Ã©lastiquement liÃ©, version 2}
\textit{Personnellement j'aime moins cette version... mais je la met quand mÃªme parce que c'est une autre faÃ§on de poser les choses.}



Dans cette autre version, le but est de connaÃ®tre $n$ en exprimant le courant de dÃ©placement dans le diÃ©lectrique $\vb{j_\text{diÃ©lec}}=\varepsilon_0\varepsilon_r\derond{\vb{E}}{t}$ sous la forme de la somme du courant de dÃ©placement $\vb{j_D}=\varepsilon_0\derond{\vb{E}}{t}$ dans le vide et d'un courant de polarisation $\vb{j_P}$. 

\noindent Pour calculer $\vb{j_P}$, on se place dans un volume $V$ pour pour voir Ã©crire :
\begin{equation}
    \vb{j_P}=\sum_{\text{Ã©lectrons }\ell} \dfrac{-e}{V}\derond{\vb{r_\ell}}{t}
\end{equation}
On suppose que ce $V\ll\lambda^3$ pour que tous les Ã©lectrons soient soumis Ã&nbsp; un champ $\vb{E}$ de mÃªme intensitÃ© et de mÃªme direction. On considÃ¨re que les Ã©lectrons sont rÃ©unis dans des groupes oÃ¹ tous les Ã©lectrons d'un groupe ont les mÃªmes propriÃ©tÃ©s (notamment la mÃªme vitesse). En notant $N_\alpha$ la densitÃ© Ã©lectronique du groupe d'indice $\alpha$ et $\vb{r_\alpha}$ sa position, on obtient
\begin{equation}
    \vb{j_P}=\sum_{\text{groupes }\alpha} (-eN_\alpha)\derond{\vb{r_\alpha}}{t}
\end{equation}
Pour chaque Ã©lectron, on applique le PFD on considÃ©rant qu'ils sont soumis Ã&nbsp; une force de Lorentz $-e\vb{E}$, une force de rappel $-K\vb{r}$ et une force de frottement $-f\dot{\vb{r}}$ :
\begin{equation}
    m\ddot{\vb{r}}=-K\vb{r}-e\vb{E}-f\dot{\vb{r}}
\end{equation}
En prenant une OPPH, on obtient $\vb{r}=\dfrac{-e}{K+i\omega f-m\omega^2}\vb{E}$. Quand on applique cette relation au groupe d'Ã©lectrons, on obtient 
\begin{equation}
    \vb{j_P}=\sum_{\text{groupes }\alpha} N_\alpha\dfrac{e^2}{K_\alpha+i\omega f_\alpha-m\omega^2}\derond{\vb{E}}{t}
\end{equation}
On obtient donc finalement 
\begin{equation}
    \varepsilon_0\varepsilon_r\derond{\vb{E}}{t}=\vb{j_\text{diÃ©lec}}=\vb{j_D}+\vb{j_P}=\bigcro{\varepsilon_0+\sum_{\text{groupes }\alpha} N_\alpha\dfrac{e^2}{K_\alpha+i\omega f_\alpha-m\omega^2}}\derond{\vb{E}}{t}
\end{equation}
avec
\begin{equation}
    n^2(\omega)=\varepsilon_r=1+\sum_{\text{groupes }\alpha} N_\alpha\dfrac{e^2}{\varepsilon_0(K_\alpha+i\omega f_\alpha-m\omega^2)}
\end{equation}

On peut simplifier l'Ã©quation de $n^2$ en posant :
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \omega_{0,\alpha}=\sqrt{\dfrac{K_\alpha}{m}}
        D_\alpha &amp;= \dfrac{N_\alpha e^2}{\varepsilon_0 K_\alpha}\\
        \Gamma_\alpha &amp;= \dfrac{f_\alpha}{m\omega_{0,\alpha}}
    \end{aligned}
\end{equation}
avec $\omega_{0,\alpha}$ la pseudo-pulsation lâ€™oscillateur harmonique amorti formÃ© par un Ã©lectron du groupe $\alpha$, $D_\alpha$ est un coefficient reprÃ©sentant la contribution du groupe dâ€™Ã©lectron $\alpha$ Ã&nbsp; lâ€™indice du milieu, et $\Gamma_\alpha$ est le facteur rendant compte de lâ€™importance des phÃ©nomÃ¨nes dissipatifs dans le lâ€™oscillateur. Ainsi on a :
\begin{equation}
    n^2(\omega)=1+\sum_{\text{groupes }\alpha} \dfrac{D_\alpha}{1+i\Gamma_\alpha\dfrac{\omega}{\omega_{0,\alpha}}-\dfrac{\omega^2}{\omega_{0,\alpha}^2}}
\end{equation}
Lorsque $\omega=\omega_{0,\alpha}$, on observe un pic pour la partie imaginaire de $n$. On en dÃ©duit que les $\omega_{0,\alpha}$ correspondent aux bandes d'absorption du milieu diÃ©lectrique. Sachant que $\Gamma \simeq 10^{-2}$, on peut encore simplifier l'expression de $n$ en se plaÃ§ant aisÃ©ment dans les cas oÃ¹ $|\Gamma|\ll|\dfrac{\omega_{0,\alpha}}{\omega}-\dfrac{\omega}{\omega_{0,\alpha}}|$, \textit{i.e.} dans les cas oÃ¹ on est loin des bandes d'absorptions. On obtient alors l'\textbf{Ã©quation de Sellmeier} :
\begin{equation}
    n^2(\omega)=1+\sum_{\text{groupes }\alpha} \dfrac{D_\alpha}{1-\dfrac{\omega^2}{\omega_{0,\alpha}^2}}
\end{equation}
Il reste une hypothÃ¨se Ã&nbsp; faire pour obtenir la \textbf{loi de Cauchy} : on suppose que toutes les bandes d'absorption sont loin du domaine du visible, dans l'ultraviolet. On a donc $\dfrac{\omega^2}{\omega_{0,\alpha}^2}\ll 1$ et on obtient 
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        n^2(\omega) &amp;\simeq 1+\sum_{\text{groupes }\alpha} D_\alpha\bigpar{1+\dfrac{\omega^2}{\omega_{0,\alpha}^2}} \\
        n^2(\omega) &amp;\simeq 1+\sum_{\text{groupes }\alpha} D_\alpha+\omega^2\sum_{\text{groupes }\alpha} \dfrac{D_\alpha}{\omega_{0,\alpha}^2} \\
    \end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
    \boxed{n \simeq A+B\omega^2}
\end{equation}


\remarque{IdÃ©es de manip/simulation}{\begin{itemize}
    \item \textbf{Dispersion de la lumiÃ¨re blanche par un prisme}
    RÃ©aliser une image Ã&nbsp; lâ€™infini (avec un achromat) dâ€™un diaphragme Ã©clairÃ© par une lampe Quartz-Iode mettre un prisme sur le chemin du rayon sortant pour projeter la figure de dispersion sur un mur, maintenant discuter de la largeur de la bande rouge et de la bande violette.
    
    \item \textbf{Simulation de la dispersion de paquet dâ€™onde dans le verre}
    
    Parler de la diffÃ©rence avec la propagation le cÃ¢ble coaxial, par exemple le paquet dâ€™onde qui ne se dÃ©forme pas de maniÃ¨re symÃ©trique.
\end{itemize}}




\section{Dispersion dans un plasma}
\livre \texttt{plasma.pdf} : \url{http://olivier.granier.free.fr/cariboost_files/PC-ondes-EM-plasma.pdf}

\subsection{HypothÃ¨ses}

Un plasma est un milieu ayant les propriÃ©tÃ© suivantes :
\begin{itemize}
    \item Il est constituÃ© d'ions positifs supposÃ©s fixes dans un gaz d'Ã©lectrons mobiles. Le tout est Ã©lectriquement neutre
    \item Les vitesses sont non relativistes
\end{itemize}

On le suppose parcouru d'une onde $\vb{E}=\vb{E_0}e^{i(\vb{k}\cdot\vb{r}}-\omega t)$

\subsection{Relation de dispersion :}


\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.6\textwidth]{fig/kgplasma.png}
    \caption{La relation de dispersion dans les plasmas.}
    \label{fig:plasma}
\end{figure}

Afin d'arriver Ã&nbsp; la relation de dispersion, on passe par quelques Ã©tapes de calcul, en posant $\vb{j}$ la densitÃ© de courant Ã©lectrique dans le plasma.
En appliquant Maxwell-AmpÃ¨re on a

\begin{equation}
    \vb{j}=\dfrac{1}{\mu_0}\Nabla\wedge\vb{B}-\varepsilon_0\derond{\vb{E}}{t}
\end{equation}


En notation complexe, on peut simplifier les $\Nabla\wedge$ et autre NablaÃ¯steries.

$$
\overrightarrow{{j}}=i\left(\dfrac{\vec{k} \wedge \vec{B_0}}{\mu_{0}}+\epsilon_{0} \omega \vec{E_0}\right) e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)} \quad \Longrightarrow \quad \vec{j_0}=i\left(\dfrac{\vec{k} \wedge \vec{B_0}}{\mu_{0}}+\epsilon_{0} \omega \vec{E_0}\right)
$$

L'Ã©quation de Maxwell-Faraday : $\vb{\text{rot}}\vec{E}=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ nous donne en notation complexe

$$
\vec{B}=\dfrac{\vec{k} \wedge \vec{E}}{\omega}
$$

Puisque le plasma est localement neutre, l'Ã©quation de Maxwell-Gauss : $\operatorname{div} \vec{E}=0 \Leftrightarrow i \vec{k} \cdot \vec{E}=0,$ traduit l'orthogonalitÃ© des vecteurs $\vec{k}$ et ${\vec{E}}$. Ainsi le triÃ¨dre $[\vec{k}, \vec{E}, \vec{B}]$ est orthogonal direct. Nous pouvons donc en dÃ©duire : $\vec{k} \wedge \vec{B_0}=\vec{k} \wedge\left(\dfrac{\vec{k} \wedge \vec{E_0}}{\omega}\right)=-\dfrac{k^{2}}{\omega} \vec{E_0}$ et obtenons :

$$
\vec{j_0}=\dfrac{i \epsilon_{0}}{\omega}\left(\omega^{2}-k^{2} c^{2}\right) \vec{E_0}
$$

Le principe fondamental de la dynamique, appliquÃ© Ã&nbsp; un Ã©lectron de masse $m,$ donne :

$$
m \dfrac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{d} t}=-e(\vec{E}+\vec{v} \wedge \vec{B})
$$

Or

$$
\dfrac{|\vec{v} \wedge \vec{B}|}{|\vec{E}|} \simeq \dfrac{v B_{0}}{E_{0}} \simeq v \dfrac{k}{\omega}=\dfrac{v}{v_{\phi}} \leq \dfrac{v}{c} \ll 1
$$

Nous pouvons donc nÃ©gliger le terme du au champ magnÃ©tique dans l'application du PFD, soit :

$$
m \dfrac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{d} t}=-e \vec{E}
$$

Les ions positifs considÃ©rÃ©s ont une masse largement plus grande que celle des Ã©lectrons. Nous considÃ©rons alors que seuls les Ã©lectrons sont en mouvement, et que les ions positifs du plasma restent fixes. De ce fait, nous pouvons exprimer la densitÃ© de courant $\vec{j}$ :

$$
\vec{j}=-n e \vec{v} \quad \Longrightarrow \quad \dfrac{\mathrm{d} \vec{j}}{\mathrm{d} t}=\dfrac{n e^{2}}{m} \vec{E}
$$

Calculons alors la dÃ©rivÃ©e temporelle de la densitÃ© de courant.

$$
\dfrac{\mathrm{d} \vec{j}}{\mathrm{d} t}=\vec{j_0} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)}\right)={\vec{j_0}} i(\underbrace{\vec{k} \cdot \dfrac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t}}_{=0}-\omega) e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)} \quad \text { soit, } \quad \dfrac{\mathrm{d} \vec{j}}{\mathrm{d} t}=-i \omega \vec{j}
$$

Nous obtenons alors $: \vec{j}=i \dfrac{n e^{2}}{m \omega} \vec{E}$. Nous obtenons la relation de dispersion:

$$
k^{2}=\dfrac{\omega^{2}}{c^{2}}\left(1-\dfrac{\omega_{p}^{2}}{\omega^{2}}\right)\qquad\omega_{p}=\sqrt{\dfrac{n e^{2}}{\epsilon_{0} m}}
$$

\begin{itemize}
    \item $\omega&gt;\omega_{p}: k$ rÃ©el positif, donc propagation sans attÃ©nuation. A trÃ¨s haute frÃ©quence, le milieu est transparent car les variations du champ Ã©lectrique sont trop rapides pour Ãªtre ressenties par les Ã©lectrons
    \item $\omega&lt;\omega_{p}: k$ imaginaire pur, pas de propagation, l'onde est totalement rÃ©flÃ©chie Ã&nbsp; l'interface.
\end{itemize}

\textbf{OdG :} $n \sim 10^{10}-10^{12}~e^{-} \mathrm{m}^{-3}$ d'oÃ¹ $f_{p} \sim 900~\mathrm{kHz}-9~\mathrm{MHz}$

\begin{equation}
    k^2=\dfrac{\omega^2-\omega_c^2}{c^2}
\end{equation}

La frÃ©quence de coupure $\omega_c^2/2\pi$ vaut environ $10^7$ Hz pour l'ionosphÃ¨re par exemple.


\subsection{Vitesses}

On peut alors Ã©tablir les expressions des vitesses de groupe et de phase de ce plasma !

\begin{equation}
    2k\dd k=\dfrac{2\omega\dd\omega}{c^2}\Rightarrow v_\phi v_g=c^2\qquad\text{et }\dfrac{1}{v_\phi}=\dfrac{k}{\omega}=\dfrac{1}{c}\sqrt{1+\left(\dfrac{\omega_c}{\omega}\right)^2}
\end{equation}

D'oÃ¹ finalement


\begin{align}
    v_\phi&amp;=c\sqrt{1+\left( \dfrac{\omega_c}{kc} \right)}\\
    v_g&amp;=c\sqrt{1+\left(\dfrac{\omega_c}{\omega}\right)}
\end{align}


\experience{Visualisation de la dispersion de KG}{\texttt{python3 paquet\_d\_onde\_dispersion.py coupure}}{}{
Waaaaa.
}

On voit ici, et dans les Ã©quation aussi, que c'est de la dispersion Normale, c'est Ã&nbsp; dire que le paquet d'onde va moins vite que $c$. Les petites longueurs d'ondes vont plus vite que les grandes !

Pour communiquer avec les satellites, on utilise donc une frÃ©quence supÃ©rieure Ã&nbsp; $f_p$ (typiquement de lâ€™ordre 1,5 GHz pour le GPS), et une frÃ©quence infÃ©rieure pour utiliser les rÃ©flexions contre la ionosphÃ¨re pour communiquer autour de la Terre (2.182 MHz est la frÃ©quence internationale des urgences maritimes).



\section{Dispersion des ondes gravito-capillaires}
\subsection{Ondes gravito-capillaires}
\livre Poly de P. Lidon p12 + Guyon, Heulin, Petit

\smallbreak
\textit{On dÃ©taille les calculs, mais Ã&nbsp; l'oral on peut se contenter de citer les Ã©tapes de calcul et les hypothÃ¨ses}.

\subsection{Expression du potentiel des vitesses}
On considÃ¨re la propagation Ã&nbsp; 1 dimension d'ondes Ã&nbsp; la surface d'un fluide. La hauteur au repos du fluide est notÃ©e $h$ et on note $\xi(x,t)$ la variation de hauteur en $x$ Ã&nbsp; l'instant $t$. On fait les hypothÃ¨ses suivantes :
\begin{itemize}
    \item fluide parfait et incompressible
    \item fluide irrotationnel au repos et le reste Ã&nbsp; tout instant $t$, \textit{i.e.} la perturbation ne crÃ©e pas de vorticitÃ©.
    
    On peut donc Ã©crire $\vb{v}=-\vb{\nabla}\Phi$ avec $\Phi$ qui vÃ©rifie l'Ã©quation de Laplace $\Delta\Phi=0$.
    \item l'onde est de faible amplitude donc le champ de vitesse est un terme d'ordre 1
\end{itemize}
On cherche une solution sous la forme d'onde propagative $\Phi(x,y,t)=\varphi(u=x_ct)\psi(y)$ Ã&nbsp; l'Ã©quation de Laplace. Ainsi,
\begin{equation}
    0=\delta \Phi = \ddv{\varphi}{u} \psi + \varphi \ddv{\psi}{y}
\end{equation}
Par sÃ©paration des variables, on obtient donc
\begin{equation}
    \dfrac{1}{\varphi} \ddv{\varphi}{u} = -k^2 = \dfrac{-1}{\psi}\ddv{\psi}{y} 
\end{equation}

Le potentiel des vitesse $\Phi$ doit Ã©galement satisfaire deux conditions limites :
\begin{itemize}
    \item la composante normale de la vitesse au fond du liquide est nulle
    $$\Rightarrow \bigpar{\derond{\Phi}{y}}_{y=0}=0$$
    
    \item la composante normale de la vitesse Ã&nbsp; la surface du liquide est Ã©gale Ã&nbsp; la composante normale de la vitesse de l'interface (en supposant la normale de l'interface proche de la verticale, \textit{i.e.} des petits angles)
    $$\Rightarrow \bigpar{\derond{\Phi}{y}}_{y=0}=v_{\text{interf},y}(h+\xi)=\derond{\xi}{t}$$
\end{itemize}

On obtient alors l'expression de $\Phi$ :
\begin{equation}
    \Phi(x,y,t)=Ae^{ik(x_ct)}\cosh(ky)
\end{equation}

\subsection{Relation de dispersion}
On veut maintenant obtenir la relation de dispersion. Pour cela, on utilise deux relations :

$\bullet$ la relation de Bernoulli

On nÃ©glige le terme convectif devant la dÃ©rivÃ©e temporelle dans l'Ã©quation d'Euler ($\iff$ longueur d'onde $\gg \xi$). On a alors un fluide parfait, incompressible et irrotationnel donc on a 
\begin{equation}
    \derond{\Phi}{t}+\dfrac{P}{\rho} + gy = \text{constante} \iff \dfrac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2} + g\derond{y}{t} + \dfrac{1}{\rho}\derond{P}{t}=0
\end{equation}


$\bullet$ la loi de Laplace

Ã€ la surface du liquide, on obtient en faisant attention au signe et on considÃ©rant qu'on a un rayon de courbure infini dans le plan $yz$ :
\begin{equation}
    P(x,h+\xi,t)-P_0=-\dfrac{\gamma}{R}=-\gamma\bigpar{\dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2}}^{-1}
\end{equation}

\vspace{0.2cm}
En combinant ces deux relations, on obtient Ã&nbsp; la surface du liquide :
\begin{equation}
    \bigcro{\dfrac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2}+g\derond{\Phi}{y}-\dfrac{\gamma}{\rho}\dfrac{\partial^3 \Phi}{\partial x^2 \partial y} }_{y=h+\xi}=0
\end{equation}
On en dÃ©duit enfin la relation de dispersion
\important{\begin{equation}
    \omega^2=\bigpar{gk+\dfrac{\gamma}{\rho}k^3}\tanh(kh)
\end{equation}}

\subsection{ExpÃ©rience}

\experience{Relation de dispersion des ondes gravito-capillaires}{}{5 min}{Observer la propagation des ondes capillaires avec une cuve Ã&nbsp; ondes. Un pot vibrant excite un vibreur qui crÃ©e des ondes. 

RÃ©gler le stroboscope pour observer tout le temps le mÃªme profil, et mesurer la longueur d'onde directement sur l'Ã©cran de projection (attention au facteur de conversion). 

Faire quelques points en prÃ©paration, le dernier en direct, et tracer $c^2 = \propto 1/\lambda$ ainsi que $c^2=\dfrac{g}{k}\bigpar{1+\dfrac{\gamma k^2}{\rho g}}$. Remonter Ã&nbsp; $l_c$.}



\subsection{Vitesse de phase, vitesse de groupe}
Dans le \textbf{rÃ©gime d'eau profonde}, \textit{i.e.} dans le cas oÃ¹ $h$ est bien plus grand que toutes les autres longueurs caractÃ©ristiques du systÃ¨me, ce qui permet d'avoir $\tanh(kh)\simeq 1$. La relation de dispersion simplifiÃ©e permet ainsi d'obtenir la vitesse de phase de l'onde 
\begin{equation}
    v_\phi=\dfrac{\omega}{k}=\sqrt{\dfrac{g}{k}+\dfrac{\gamma}{\rho}k}=\sqrt{\dfrac{g}{k}\bigpar{1+l_c^2k^2}}
\end{equation}
en faisant apparaÃ®tre une longueur caractÃ©ristique, la \textbf{longueur capillaire}, donnÃ©e par $l_c=\sqrt{\dfrac{\gamma}{\rho g}}$. Pour l'eau, elle vaut environ 3 mm. La vitesse de groupe vaut, quant Ã&nbsp; elle, 
\begin{equation}
    v_g=\dv{\omega}{k}=\dfrac{g+\dfrac{3\gamma}{\rho}k^2}{2\sqrt{gk+\dfrac{\gamma}{\rho}k^3}}=\dfrac{g+3l_c^2k^2}{2\sqrt{\dfrac{g}{k}\bigpar{1+l_c^2k^2}}}
\end{equation}
La vitesse de groupe dÃ©croÃ®t quand $k$ augmente, donc les grandes longueurs d'onde se propagent plus vite que les petites, contrairement Ã&nbsp; ce qu'on peut avoir avec la relation de dispersion de Klein-Gordon. On peut observer ce phÃ©nomÃ¨ne via une simulation ou une vidÃ©o.
Dans le cas oÃ¹ la gravitÃ© domine la tension de surface, $l_ck\ll 1$ et on voit que $v_\phi=2v_g$.


En eau peu profonde, on a $\tanh(kh)\approx kh$, on obtient alors $\omega=\bigpar{gk+\dfrac{\gamma}{\rho}k^3}kh$. Dans le cas oÃ¹ $l_c k \ll 1$, on remarque que $v_\phi=v_g=\sqrt{gh}$. La relation n'est alors plus dispersive. 



\remarque{Remarque}{On peut revenir sur l'expression du rayon critique pour que le trombone flotte et qui a la mÃªme expression que la longueur capillaire, et donc le mÃªme ordre de grandeur, ce qui n'est pas Ã©tonnant puisqu'il s'agit d'une compÃ©tition entre gravitÃ© et tension de surface.}






\end{document}

</pre></body></html>