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\title{LP28 -- Ondes électromagnétiques dans les milieux diélectriques}

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\date{\today}

\newenvironment{alignement}
    {\begin{equation}
    \begin{aligned}
    }
    {
    \end{aligned}
    \end{equation}
    }

\newenvironment{systeme}
    {\begin{equation}
    \left\{\begin{aligned}
    }
    {
    \end{aligned}\right.
    \end{equation}
    }

\newenvironment{systemein}
    {\left\{\begin{aligned}}
    {\end{aligned}\right.
    }


\begin{document}

\titre{Aurélien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}



\subsection*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item \textbf{2017: }Cette leçon ne doit pas se limiter à un cours sur les milieux diélectriques ; cela n’en est pas l’objet.
    \item Jusqu’en 2013, le titre était : Dispersion et absorption d’une onde électromagnétique plane dans un milieu
diélectrique. Modélisation microscopique.
\item \textbf{2009-2010: } Les conventions adoptées doivent être précisées avant toute discussion sur la partie imaginaire du
vecteur d’onde.
\item \textbf{2006: }Il y a souvent confusion entre absorption et atténuation.
\item \textbf{2001: }Dans un diélectrique, l’équation de propagation ne peut être écrite sans précaution : en général la
permittivité dépend de la fréquence et est complexe. Le modèle de l’électron élastiquement lié ne peut être
utilisé sans en discuter les limitations. Les aspects quantiques de l’interaction entre l’onde électromagnétique et
la matière peuvent être évoqués.
\item \textbf{1999: }Le modèle de l’électron élastiquement lié n’est pas toujours bien compris. Il est trop souvent assimilé
au rayon vecteur noyau-électron, le lien entre le terme de rappel et la force électrostatique n’est pas fait et
l’origine du terme de frottement fluide n’est pas interprétée.
\item \textbf{1998: }Cette leçon mérite une discussion physique des phénomènes de dispersion et d’absorption, supportée par
des modèles de milieux matériels. Il est parfaitement inutile et contreproductif de s’enfermer dans de longs
calculs formels sur les parties réelle et imaginaire de l’indice de réfraction. 
\end{itemize}

\newpage

\subsection*{Niveau : L2/L3}


\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Ondes (bleu)}, \textbf{Brébec} & Cours \\
\textit{Electromagnétisme 4} , \textbf{Bertin Faroux Renault} & Chapitre 9\\
\textit{EM}, \textbf{Mauras} &  \\
\textit{Physique des ondes}, \textbf{Olivier et Gié} & \\
\textit{La physique par les objets quotidiens}, \textbf{Ray}  &  Micro-onde\\
\textit{Exercices et problèmes de physique}, \textbf{Olivier} & Four à micro-onde\\
\textit{Dictionnaire de physique}, \textbf{Taillet} & Intro\\
\textit{Milieux diélectriques}, \textbf{Garing} & Effets non linéaires\\
\end{tabular}




\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Électromagnétisme dans le vide
 \item Moment dipolaire
 \item Polarisation dans la matière
 \item Équation d'onde
 \item Dispersion
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item 
	\end{itemize}
\end{minipage}




\tableofcontents

\newpage

\setlength{\parskip}{1em}


\section*{Introduction}
Jusqu’à aujourd’hui, on a étudié essentiellement la propagation des ondes électromagnétiques dans le vide. Mais
commment expliquer certains phénomènes tels que l’absorption d’une onde EM dans la matière ? Pour répondre à cette question, on est amené à étudier des matériaux que l’on qualifie de diélectriques.

\vspace{0.2cm}


\section{Milieu diélectrique}
        
\subsection{Définition}

\textbf{Définition :} Un \textbf{diélectrique} est un matériaux qui possède un moment dipolaire permanent ou est susceptible d'en acquérir un sous l'action d'un camps électrique.

\textbf{Exemple de milieux diélectriques :} L'eau, les plasmas, etc.

Il existe une différence entre les milieux diélectriques et le milieux conducteurs. En effet dans un diélectrique les charges restent attachées à un point fixe, alors que dans un conducteur elles sont libres.

On se limitera, dans le cadre de cette leçon, à $\vb{j_{\text{libre}}}=\vb{0}$ et $\rho_\text{libre}=0$, et l'aimantation est nulle.


\subsection{Polarisation dans un milieu matériel}
\livre BFR4

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.45\textwidth]{fig/polarisation_1.png}
    \includegraphics[width=.45\textwidth]{fig/polarisation_2.png}
    \caption{Les schémas pour visualiser la polarisation. 1 : une polarisation microscopique. 2 : la polarisation à l'échelle mésoscopique}
    \label{fig:pola1}
\end{figure}

Dans le modèle du diélectrique, l'application d'un champs extérieur $\vb{E}$ induit un déplacement de charges liées. Il y a alors séparation des barycentres des charges positives et négatives, ce qui entraîne l'apparition d'un moment dipolaire $\vb{p}$, dont l'unité est le \si{\coulomb\meter}. Nous verrons plus tard un modèle de cette séparation.

L'existence de ce moment entraine la création d'un champs électrique dit \textbf{champs dipolaire}, que nous avons déjà étudié\footnote{\url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Dipôle_électrostatique}}, $\vb{E_M}$. Dans la suite de ce cours on se place dans l'approximation des milieux dilués, où ce champs est négligeable devant les champs électriques propagés.

La traduction macroscopique de l'existence de moment dipolaire est l'apparition d'une densité de moment dipolaire, que l'on nomme \textbf{Vecteur polarisation} $\vb{P}$, s'exprimant en \si{\coulomb\per\meter\squared}, d'expression :

\begin{equation}
    \vb{P}=\derond{\vb{p}}{\tau}
\end{equation}

Dans le cas simple où cette densité est uniforme (mésoscopiquement), on peut écrire $\vb{P}=\dfrac{1}{V}\sum_iq_i\vb{r_i}$. On voit alors apparaître un courant, que l'on nomme \textbf{courant lié}, et que l'on exprime via son vecteur de densité de courant :

\begin{equation}
    \vb{j_{\text{liée}}}=\derond{\vb{P}}{t}
\end{equation}

On peut alors lui associer une densité de charge liée telle que

\begin{equation}
    \derond{\rho_{\text{liée}}}{t}+\Nabla \cdot\vb{j_{\text{liée}}}=0
\end{equation}

On obtient finalement l'expression suivante :

\begin{equation}
    \rho_{\text{liée}}=-\Nabla\cdot\vb{P}
\end{equation}

On peut enfin exprimer une densité surfacique de chargen sur la surface orientée $\vb{S}$, comme illustré sur la figure qui suit :

\begin{equation}
    \sigma_{\text{liée}}=\vb{P}\cdot\vb{n}
\end{equation}

\begin{figure}[H]   
    \centering
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/Densite_charge.pdf}
    \caption{Illustration de la densité de }
    \label{fig:pola2}
\end{figure}

\subsection{Équations de Maxwell dans un milieu diélectrique}

Maintenant qu'on a un nouveau vecteur à prendre en compte, on peut réécrire, dans le cadre de l'approximation des milieux diélectriques dilués, les équations de Maxwell :
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
\Nabla\cdot\vb{E}&=\dfrac{\rho_{\text{libre}}}{\varepsilon_0}-\Nabla\cdot\dfrac{\vb{P}}{\varepsilon_0}\\
\Nabla\wedge\vb{E}&=-\derond{\vb{B}}{t}\\
\Nabla\cdot\vb{B}&=0\\
\Nabla\wedge\vb{B}&=\mu_0\left( \vb{j_\text{libre}}+\derond{\vb{P}}{t} \right)+\mu_0\varepsilon_0\derond{\vb{P}}{t}
\end{aligned}\right.
\end{equation}

Ainsi on peut poser les vecteurs naturels de l'électromagnétisme dans les milieux, à savoir $\vb{D}=\varepsilon_0\vb{E}+\vb{P}$. On a alors les "bonnes" équations de Maxwell :

\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
\Nabla\cdot\vb{D}&=\rho_{\text{libre}}\\
\Nabla\wedge\vb{E}&=-\derond{\vb{B}}{t}\\
\Nabla\cdot\vb{B}&=0\\
\Nabla\wedge\vb{B}&=\mu_0 \vb{j_\text{libre}}+\mu_0\derond{\vb{D}}{t}
\end{aligned}\right.
\end{equation}

Cependant ce système a 9 équations scalaires (car un rot ça ne compte que pour 2, et oui Gimli\footnote{\url{https://youtu.be/KjsSvjA5TuE}}), pour 12 inconnues. Il va falloir rajouter des conditions ou des équations pour résoudre ! La solution c'est de faire une hypothèse de plus.



\subsection{Cas du milieu diélectrique linéaire homogène isotrope}
On va se placer dans le cas des milieux linéaires, homogènes et isotropes. Ce que cela signifie c'est que :

\begin{itemize}
    \item Il existe un lien linéaire EN ESPACE DE FOURIER entre $\vb{P}$ et $\vb{E}$, nommé "tenseur \textbf{susceptibilité électrique}".
    
    \begin{equation}
        \vb{\tilde{P}}=\varepsilon_0\bigcro{\chi_e}(\omega)\vb{\tilde{E}}
    \end{equation}

    \item Le milieu étant isotrope, $\bigcro{\chi_e}$ est en fait un scalaire.
    
    \item Le milieu est homogène, donc il n'y a pas de dépendance dans l'espace de cette relation.
\end{itemize}

Sous ces hypothèses on obtient avec joie de vivre et envie l'équation constitutive d'un DLHI :

\begin{equation}
    \vb{\tilde{D}}=\varepsilon_0(1+\chi_e(\omega))\vb{\tilde{E}}=\vb{\tilde{D}}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vb{\tilde{E}}=\varepsilon\vb{\tilde{E}}
\end{equation}

\begin{table}[H]
    \centering
    $$
    \begin{array}{|ll|ll|ll|}
    \hline \text {Gaz }\left(20\deg \mathrm{C}-1 \mathrm{atm}\right) & 10^{6} \chi_e & \text {Liquides }\left(20\deg \mathrm{C}\right) & \varepsilon_{r} & \text {Solides} & \varepsilon_{\mathrm{r}} \\
    \hline \text { Hélium } & 65 & \text { Eau } & 80,36 & \text { Diamant } & 5,5 \\
    \text { Néon } & 127 & \text{ CCl}_{4} & 2,238 & \text { Silice pure } & 3,78 \\
    \text { Argon } & 517 & \text { Benzène } & 2,284 & \text { Paraffine } & 2,20 \\
    \text { Hydrogène } & 254 & \text { Nitrobenzène } &35,74& \text{ Nylon} & 3,5 \\
    \text { Oxygène } & 495 & \text { Acide acétique } & 6,15 & \text{ Polyéthylène} & 2,3 \\
    \text { Azote } & 547 & \text { Éthanal } & 4,34 & \text { Verres } & 4 \text { à } 7 \\
    \text { Gaz carbonique } & 921 & \text { Éthanol } & 25.1 & \text { Plexiglass } & 3,4 \\
    \text { Air sec } & 537 & \text { Glycérol } & 43.5 & \text { Téflon } & 2,1 \\
    & & \text { Acétone } & 21,2 & \text { Titane } & \\
    & & & & \text { de Baryum } & \sim 1500 \\
    \hline
    \end{array}
    $$
    \caption{Valeurs de $\varepsilon_r$ et de $\chi_e$ pour des DLHI. Les valeurs sont ici statiques, donc réelles. (EM 2 éd. Dunod)}
    \label{tab:tablo}
\end{table}


\subsection{Rappels : étude énergétique}

La densité volumique d'énergie électromagnétique vaut, dans un milieu LHI, $w=\dfrac12\left(\dfrac{B^2}{\mu_0}+\varepsilon E^2\right)$.

Le vecteur de Poynting, noté $\vec\Pi$ est défini par $\vec\Pi=\dfrac{\vec E\wedge\vec B}{\mu_0}$

Pour comprendre l’intérêt de ce vecteur, prenons sa divergence :

\begin{align}
\mathrm{div}(\vec \Pi)&=\dfrac1{\mu_0}\mathrm{div}(\vec E\wedge\vec B)\\
&=\dfrac1{\mu_0}(\vec B.\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\vec E)-\vec E.\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\vec B))\\
&=\dfrac1{\mu_0}\left(\vec B.\left(-\dfrac{\partial \vec B}{\partial t}\right)-\vec E.\left(\varepsilon\mu\dfrac{\partial \vec E}{\partial t}\right)\right)\\
&=-\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{B^2}{2\mu_0}+\dfrac{\varepsilon E^2}2\right)\\
&=-\dfrac{\partial w}{\partial t}
\end{align}

\begin{equation}
\mathrm{div}(\vec \Pi)+\dfrac{\partial w}{\partial t}=0
\end{equation}

On voit alors que le vecteur de Poynting représente la propagation de l'énergie. La puissance $\dd ^2\mathcal P$ transportée par l'onde à travers une surface $\overrightarrow{\mathrm d^2S}$ vaut :

\begin{equation}
    \mathrm d^2\mathcal P=\vec \Pi.\overrightarrow{\mathrm d^2S}
\end{equation}

La valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting vaut

\begin{equation}
    \left\langle\vec\Pi\right\rangle=\dfrac{\Re(\underline{\vec E}\wedge\underline{\vec B}^*)}{2\mu_0}
\end{equation}

\section{Ondes électromagnétiques dans un diélectrique}
Lorsqu'on éclaire un DLHI dilué (par exemple de la vapeur de sodium) avec une pulsation $\omega_0$ et qu'on trace le spectre de l'intensité diffusée en fonction de $\omega$, on observe un pic pour la pulsation $\omega_0$ : c'est ce qu'on appelle la résonance optique. Il existe également d'autres résultats expérimentaux traitant de l'interaction d'onde EM avec un diélectrique tels que la loi de Beer-Lambert ou la loi de Cauchy. On va tenter de comprendre ces phénomènes en étudiant la propagation d'une onde EM dans un diélectrique. 


\subsection{Équation de propagation et relation de dispersion}
On se place dans le cas du milieu \textbf{DLHI parfait} et non magnétique. On a donc
$$\begin{systemein}
\rho_\text{libres}=0 \\
\vb{j_\text{libres}}=\vb{0} \\
\vb{B}=\mu_0 \vb{H}
\end{systemein}$$
Dans ces conditions, les équations de Maxwell s'écrivent 
\begin{equation}
    \left\{\begin{aligned}
        \Nabla\cdot\vb{D}&= 0 \\
        \Nabla \wedge \vb{E}&=-\derond{\vb{B}}{t}\\
        \Nabla\cdot\vb{B}&=0 \\
        \Nabla \wedge \vb{B}&=\mu_0\derond{\vb{D}}{t}
    \end{aligned}\right.
\end{equation}
Puisqu'on a supposé le milieu linéaire, homogène et isotrope, on peut passer dans le domaine de Fourier avec une OPPH $\vb{E}=\vb{E_0}e^{i(\vb{k}\cdot\vb{r}-\omega t)}$. On peut donc utiliser la relation $\vb{\Tilde{D}}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vb{\Tilde{E}}$, qui permet par ailleurs d'écrire grâce à l'homogénéité du milieu
$$\Nabla\cdot\vb{\Tilde{E}} = \Nabla\cdot\bigpar{\dfrac{1}{\varepsilon_0\varepsilon_r}\vb{\Tilde{D}}} = \dfrac{1}{\varepsilon_0\varepsilon_r}\Nabla\cdot\vb{\Tilde{D}}=0$$ 
On utilise ensuite la formule d'analyse vectorielle valable pour tout vecteur $\vb{V}$
$$\Nabla\wedge(\Nabla\wedge\vb{V})=\Nabla(\Nabla\cdot\vb{V})-\Delta \vb{V}$$
pour obtenir \textbf{2 expressions différentes} de $\Nabla\wedge(\Nabla\wedge\vb{\tilde{E}})$ :
\begin{systeme}
    \Nabla\wedge(\Nabla\wedge\vb{\tilde{E}})&= \vb{0}-\Delta \vb{\tilde{E}}=-\Delta \vb{\tilde{E}} \\
    \Nabla\wedge(\Nabla\wedge\vb{\tilde{E}})&=\Nabla\wedge(-i\omega\vb{\tilde{B}})=-i\omega\Nabla\wedge\vb{\tilde{B}}=-\mu_0i\omega\bigpar{i\omega\vb{\tilde{D}}}=\mu_0\varepsilon_0\varepsilon_r\omega^2\vb{\tilde{E}}
\end{systeme}
On trouve alors l'équation de propagation dans le domaine de Fourier :
\begin{equation}
    \Delta \vb{\tilde{E}}+\dfrac{\varepsilon_r \omega^2}{c^2}\vb{\tilde{E}}=\vb{0}
\end{equation}
Cette équation est similaire à l'équation de propagation d'une onde EM dans le vide au facteur $\varepsilon_r$ près. La relation de dispersion correspondante est alors simplement
\begin{equation}
    k^2=\dfrac{\varepsilon_r}{c^2}\omega^2=\dfrac{n^2}{c^2}\omega^2
\end{equation}

\transition{On arrive à un cul de sac : on ne connaît pas $n(\omega)$. Pour le déterminer, on va utiliser le modèle de l'électron électriquement lié.}

\subsection{Modèle de l'électron élastiquement lié (Lorentz, début du XXème siècle)}
On étudie le modèle phénoménologique de l’électron élastiquement lié (pour l’hydrogène ou des atomes monoélectroniques). Pour cela, on suppose que le noyau est fixe (car il est 1000 fois plus massif que l'électron), et on suppose que l'électron subit les forces suivantes :
\begin{itemize}
    \item la force de Lorentz $\vb{F_L}=-e\vb{E}(t)$, en supposant que $\vb{E}(t)$ est uniforme sur les dimensions $d$ du dipôle, \textit{i.e.} à l'échelle de l'atome (approximation des grandes longueurs : $\lambda\gg d$)
    \item une force de rappel élastique $\vb{F_\text{rappel}}=-m\omega_0^2\vb{r}$ qui est valable si le système ne s'éloigne pas trop de sa position d'équilibre. Il s'agit d'une modélisation \textbf{empirique} de l'interaction Coulombienne donc la forme est adaptée à l'étude de la résonance optique ($\nu_0=10^{14}\text{-}10^{15}$ Hz, dans le domaine du visible).
    \item une force de frottement fluide modélisée par $\vb{F_f}=-\dfrac{m}{\tau}\dot{\vb{r}}$. Elle représente la perte d'énergie par rayonnement de l'électron accéléré
\end{itemize}
\begin{center}
    \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/electron_elastiquement_lie.png}
\end{center}
En notant $\vb{r}$ la position de l'électron par rapport au barycentre immobile des charges positives (la noyau), on peut appliquer le PFD et obtenir :
\begin{equation}
    m\ddot{\vb{r}}=-m\omega_0^2\vb{r}-e\vb{E}(t)-\dfrac{m}{\tau}\dot{\vb{r}}
\end{equation}

En prenant comme solution une OPPH de la forme $\vb{r}=\vb{r_0}e^{i\omega t}$ et $\vb{E}=\vb{E_0}e^{i(\omega t-\vb{k}\cdot\vb{r})}$ et en passant dans le domaine de Fourier, on obtient 
\begin{equation}
    \boxed{\vb{r}=-\dfrac{e}{m}\dfrac{1}{(\omega_0^2-\omega^2)+i\dfrac{\omega}{\tau}}\vb{E}}
\end{equation}
Le moment dipolaire $\vb{p}$ vaut alors $\vb{p}=-e\vb{r}$ et il peut être relié à la polarisation $\vb{P}$ du milieu diélectrique dans l'hypothèse des milieux dilués par $\vb{P}=n^*\vb{p}$ où $n^*$ est la densité électronique du milieu. 
On peut donc exprimer $\vb{P}$ de 2 façons :
\begin{equation}
    \begin{systemein}
        \vb{P}&=n^*\vb{p}=-n^*e\vb{r}=\dfrac{n^*e^2}{m}\dfrac{1}{(\omega_0^2-\omega^2)+i\dfrac{\omega}{\tau}}\vb{E} \\
        \vb{P}&=\varepsilon_0\chi_e\vb{E}  
    \end{systemein}
\end{equation}

\remarque{Polarisabilité}{On définit la \textbf{polarisabilité} $\alpha(\omega)$ du milieu diélectrique, exprimée en m$^3$, par $\vb{p}=\varepsilon_0\alpha(\omega)\vb{E}$. Or on a établi que 
$$\vb{p}=-e\vb{r}=\dfrac{\dfrac{e^2}{m}}{(\omega_0^2-\omega^2)+i\dfrac{\omega}{\tau}}\vb{E}$$
Par identification, on en déduit que $$\alpha(\omega)=\dfrac{\dfrac{e^2}{m\omega_0}}{(\omega_0^2-\omega^2)+i\dfrac{\omega}{\tau}}$$
}
On peut donc exprimer à l'aide ces deux relations la susceptibilité électrique du diélectrique :
\begin{equation}
\begin{aligned}
    \chi_e(\omega)&=\dfrac{n^*e^2}{m}\dfrac{1}{\omega_0^2-\omega^2}=\dfrac{\omega_p^2}{(\omega_0^2-\omega^2)+i\dfrac{\omega}{\tau}} \qquad \text{avec} \qquad \omega_p^2=\dfrac{n^*e^2}{m\varepsilon_0} \\
    &=\dfrac{\omega_p^2(\omega_0^2-\omega^2)}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\dfrac{\omega^2}{\tau^2}}-i\dfrac{\omega}{\tau}\dfrac{\omega_p^2}{(\omega_0^2-\omega^2)^2\dfrac{\omega^2}{\tau^2}} \\
    &=\chi_e'(\omega)-i\chi_e''(\omega) 
\end{aligned}
\end{equation}
Notons que $\chi_e$ dépend de $\omega$, donc son expression est \textbf{uniquement valable en Fourier}. On remarque également que $\chi_e$ est complexe. L'évolution de ses parties réelle et imaginaire en fonction de $\omega$ est montrée dans le \livre Mauras :
\begin{center}
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/chi_e_selon_omega.png}
\end{center}
On observe un pic de résonance à $\omega_0$, qui correspond donc à une \textbf{bande d'absorption} du diélectrique.


\remarque{Autre source de polarisation}{La polarisabilité électronique n’est pas la seule source microscopique de polarisation. Il faut aussi citer la polarisabilité ionique, même phénomène mais changement d’échelle, $\omega$ correspond à de l’IR et la polarisabilité d’orientation qui concerne l’alignement des moments dipolaires permanents avec un champ extérieur.}


\noindent On obtient finalement 
\begin{equation}
\begin{aligned}
    n^2(\omega)&=\varepsilon_r(\omega)=1+\chi_e(\omega) \\
    &=1+\dfrac{\omega_p^2(\omega_0^2-\omega^2)}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\dfrac{\omega^2}{\tau^2}}-i\dfrac{\omega}{\tau}\dfrac{\omega_p^2}{(\omega_0^2-\omega^2)^2\dfrac{\omega^2}{\tau^2}}
\end{aligned}
\end{equation}
On trouve donc que $n(\omega)$ est complexe et peut donc s'exprimer sous la forme $n(\omega)=n'(\omega)-in''(\omega)$. Dans le cas des milieux peu denses, $|\chi_e| \ll 1$ et donc on peut écrire
$$n(\omega)=\sqrt{1+\chi_e(\omega)}\simeq1+\dfrac{1}{2}\chi_e(\omega)$$
On peut donc écrire 
\begin{equation}
    \boxed{
    \begin{aligned}
        n'(\omega) &\simeq 1+\dfrac{1}{2}\dfrac{\omega_p^2(\omega_0^2-\omega^2)}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\dfrac{\omega^2}{\tau^2}} \\
        n''(\omega) &\simeq \dfrac{1}{2}\dfrac{\omega}{\tau}\dfrac{\omega_p^2}{(\omega_0^2-\omega^2)^2\dfrac{\omega^2}{\tau^2}}
    \end{aligned}}
\end{equation}
De plus, puisque $k=\dfrac{n(\omega)}{c}\omega$, cela signifie que $k$ ext également complexe et s'exprime sous la forme 
$$\vb{k}(\omega)=\vb{k'}(\omega)-i\vb{k''}(\omega)\qquad \text{avec} \qquad 
\begin{systemein}
\norm{\vb{k'}}&=\dfrac{\omega}{c}n'  \\
\norm{\vb{k''}}&=\dfrac{\omega}{c}n''
\end{systemein}$$
Quand on insère cette expression dans l'OPPH, on trouve alors 
\begin{equation}
\begin{aligned}
    \vb{E}&=\vb{E_0}e^{i(\omega t-\vb{k}\cdot\vb{r})}\\
    &=\vb{E_0}\exp\bigpar{-\vb{k''}\cdot\vb{r}}\exp\bigpar{i(\omega t-\vb{k'}\cdot\vb{r})} 
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
    \boxed{\vb{E}=\vb{E_0}\exp\bigpar{-\dfrac{\omega}{c}n''\vb{u}\cdot\vb{r}}\exp\bigpar{i(\omega t-\dfrac{\omega}{c}n'\vb{u}\cdot\vb{r})}}
\end{equation}
On voit que $n''$ intervient dans l'amplitude de l'onde (et donc son atténuation) alors que $n'$ intervient dans sa phase (donc sa propagation), c'est pourquoi $n''$ est appelé l'\textbf{indice d'absorption} tandis que $n'$ est appelé l'\textbf{indice de dispersion}. 

\remarque{Remarque}{Le signe - dans $\vb{k}(\omega)=\vb{k'}(\omega)-i\vb{k''}(\omega)$ est une convention qui permet d'avoir le terme $\exp\bigpar{-\vb{k''}\cdot\vb{r}}$ et non pas $\exp\bigpar{+\vb{k''}\cdot\vb{r}}$.}


\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.45\textwidth]{fig/n_selon_omega_dielectrique.png}
    \includegraphics[width=.45\textwidth]{fig/comparaison_avec_theorie_dielectrique.png}
    \caption{Mesures de $n'$ et $n''$ en fonction de $\lambda$ et $\omega$ (à droite, figure tirée du \livre Maulas EM 2e année) et comparaison avec la théorie (à gauche). Les valeurs à grand $\lambda$ sont des phénomènes annexes.}
    \label{fig:n_dielectrique}
\end{figure}




\subsection{Absorption : loi de Beer-Lambert}
Intéressons-nous dans un premier temps à $n''$. On voit qu'il est présent dans le terme d'amplitude et qu'il est donc responsable de l'atténuation de l'onde lors de sa propagation dans le milieu.
Celle-ci interagit avec la matière mais ne lui cède pas d'énergie. On parle alors d'\textbf{onde évanescente} : elle se propage en s'atténuant mais sa puissance est nulle en moyenne.


\noindent Considérons un cas en 1 dimension où une onde EM pénètre dans un DLHI dilué (milieu absorbant) de longueur $L$. On a alors $E=E_0\exp\bigpar{-k''x}\exp\bigpar{i(\omega t-k'x)}$. L'intensité de l'onde avant et après la traversée du DLHI s'exprime en fonction du vecteur de Poynting :
$$I_\text{avant}=\left\langle\norm{\vb{\Pi_\text{avant}}}\right\rangle \qquad \text{et} \qquad I_\text{après}=\left\langle\norm{\vb{\Pi_\text{après}}}\right\rangle$$
Pour calculer les vecteurs de Poynting, on a besoin des expressions de $\vb{E}$ et $\vb{B}$ \textbf{en notation réelle} pour un OPPH :
\begin{alignement}
    \vb{E}&=\vb{E_0}\exp\bigpar{-k''x}\cos\bigpar{\omega t-k'x} \\
    \vb{B}&=\dfrac{n}{c}\vb{u}\wedge\vb{E}=\dfrac{1}{c}\vb{u}\wedge\vb{E_0}\exp\bigpar{-k''x}\bigcro{n'\cos\bigpar{\omega t-k'x}-n''\sin\bigpar{k'x-\omega t}}
\end{alignement}
Le vecteur de Poynting est alors donné par l'expression
\begin{alignement}
    \vb{\Pi}&= \dfrac{1}{\mu_0}\vb{E}\wedge\vb{B} \\
    &=\vb{u}c\varepsilon_0E_0^2 \exp\bigpar{-2k''x}\bigcro{n'\cos^2\bigpar{\omega t-k'x}-n''\sin\bigpar{k'x-\omega t}\cos\bigpar{\omega t-k'x}}
\end{alignement}
d'où, en moyennant sur une période et avec $k''=\dfrac{\omega}{c}n''$,
\begin{equation}
    \left\langle\vb{\Pi}\right\rangle=\vb{u}c\varepsilon_0\dfrac{E_0^2}{2}n'\exp\bigpar{-2\dfrac{\omega}{c}n''x}
\end{equation}
On en déduit que
\begin{alignement}
    I_\text{avant}&=\left\langle\norm{\vb{\Pi}(x=0)}\right\rangle=c\varepsilon_0\dfrac{E_0^2}{2}n' \\
    I_\text{après}&=\left\langle\norm{\vb{\Pi}(x=d)}\right\rangle=c\varepsilon_0\dfrac{E_0^2}{2}n'\exp\bigpar{-2\dfrac{\omega}{c}n''d}
\end{alignement}
On obtient la \textbf{loi de Beer-Lambert} :
$$\boxed{I_\text{après}=I_\text{avant}\exp\bigpar{-2\dfrac{\omega}{c}n''d} \iff A = 10\log\dfrac{I_\text{avant}}{I_\text{après}}\propto d}$$
On peut s'assurer du fait que cette onde soit bien une onde absorbée en calculant la puissance cédée au milieu et en montrant qu'elle est reliée linéairement à $\chi_e''$ et donc à $n''$.
Pour cela, on se rappelle de la définition du vecteur densité de courant :
$$\vb{j}=-n^*e\ddot{\vb{r}}=-n^*e(i\omega\vb{r})=i\omega\dfrac{\dfrac{n^*e^2}{m}}{(\omega_0^2-\omega^2)+i\dfrac{\omega}{\tau}}\vb{E}$$
$$\vb{j}=i\omega\varepsilon_0(\chi_e'-i\chi_e'')\vb{E}$$
Alors la puissance volumique dissipée vaut :
\begin{alignement}
    \mathcal{P}=\dfrac{1}{2}\Re(\left\langle\vb{j}\cdot\vb{E}^*\right\rangle)=\dotsb=\dfrac{1}{2}\omega\varepsilon_0\chi_e''E_0^2 
\end{alignement}
 

\remarque{Application au micro-ondes}{Le principe du micro-ondes consiste à envoyer des EM pour fournir de l'énergie aux molécules d'eau dans les aliments/boissons. Pour cela, on envoie une onde dont la pulsation correspond exactement à la pulsation de résonance des modes rotationnels de l'eau. On cherche à déterminer cette pulsation.

L’eau est composée de moments dipolaires permanents qui vont ici s’orienter avec le champ : c’est la \textit{polarisabilité d’orientation}. On peut montrer que le vecteur polarisation $\vb{P}$ obéit à l’équation suivante, avec pour l’eau $\tau= \SI{1.5e-10}{\second}$ et $\chi_0=\SI{79}{}$,
$$\tau\derond{\vb{P}}{t}+\vb{P}=\varepsilon_0\chi_0\vb{E}$$
On définit alors $\chi_e=\dfrac{\chi_0}{1+i\omega\tau}$ et on cherche la fréquence qui maximise $\chi_e''$ (et donc $n''$). Ainsi, on a $\chi_e''=\chi_0\dfrac{\omega\tau}{1-\omega^2\tau^2}$ qui est amximal dans le cas de l'eau pour une fréquence $\nu_0=3$ GHz.}



\subsection{Dispersion : loi de Cauchy}
Intéressons-nous maintenant à l'indice de dispersion $n'$. On peut calculer la vitesse de phase et de groupe qui valent alors
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        v_\phi &= \dfrac{\omega}{\Re(k)}=\dfrac{\omega}{k'}=\dfrac{c}{n'(\omega)} \\
        v_g &= \dv{\omega}{\Re(k)}=\dv{\omega}{k'}=\dfrac{c}{n'(\omega)+\omega\dv{n'}{\omega}(\omega)}
    \end{aligned}
\end{equation}
La dépendance en $\omega$ de $n'$ engendre donc une dépendance en $\omega$ de $v_\phi$ et $v_g$ : le milieu est donc \textbf{dispersif} (d'où le fait que $n'$ soit appelé indice de \textit{dispersion}). Ainsi, chaque fréquence a sa propre vitesse de groupe et un paquet d'onde se propageant dans le milieu se retrouverait déformé.


En dehors du domaine d'absorption, \textit{i.e.} $\omega \ll \omega_0$, on a $n''=0$ et $n=n'$. Tout se passe comme si $n$, $\varepsilon_r$ et $\chi_e$ étaient réels et on retrouve la notion d'indice optique.
Dans ce cas, on écrit 
\begin{equation}
    n^2=(n')^2=1+\chi'_e1+\dfrac{\omega_p^2(\omega_0^2-\omega^2)}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\dfrac{\omega^2}{\tau^2}} \simeq 1+\dfrac{\omega_p^2}{\omega_0^2}\dfrac{1}{1-\dfrac{\omega^2}{\omega_0^2}}
\end{equation}
Un développement limité en $\dfrac{\omega}{\omega_0}$ permet alors d'obtenir
\begin{equation}
    n'\simeq 1+\dfrac{\omega_p^2}{2\omega_0^2}\bigpar{1+\dfrac{\lambda_0^2}{\lambda^2}} \iff \boxed{n'=A+\dfrac{B}{\lambda^2}}
\end{equation}
On a retrouvé la \textbf{loi de Cauchy} ! Dans le domaine du visible, $$n'=1+\SI{1.36e-4}{}+\dfrac{\SI{1.06e-18}{}}{\lambda^2}$$
Cela $\lambda_0=88$ nm donc loin de $\lambda$, ce qui valide l'hypothèse selon laquelle on était loin du domaine d'absorption. Cette loi est important car elle explique les observations expérimentales des réseaux et des arcs-en-ciel.


\remarque{Remarque}{Il faut ici préciser que les deux aspects que l’on a montré de la dispersion (étalement du paquet d’onde et dispersion par le prisme) ne proviennent que de la dépendance non linéaire de $n'$ en $\omega$, et donc traduisent tous deux bien la dispersion sans être contradictoires.}


\section{Calcul : interface entre deux diélectriques}

Maintenant qu'on a vu ce qui se passait pour une onde traversant un diélectrique, on peut regarder ce qui arrive à une onde à l’interface entre deux milieux diélectriques. Ça arrive tout le temps, c’est à la base de l’optique géométrique et de la propagation guidée.



\subsection{Modèle de la couche}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.3\textwidth]{fig/couche.png}
    \caption{Modèle de la couche.}
    \label{fig:couche}
\end{figure}

On assimile la surface entre les deux milieux 1 et 2 étudiés à une couche d'épaisseur $a$ très petite. Cette surface est le siège d'une densité volumique de charge $\rho$ et d'un courant volumique $\vec j$.

Au voisinage du point $O$ de la surface étudiée, on fera l'approximation que la surface est plane. On définit un axe $\vec u_z$ orthogonal à ce plan. La couche sera localisée entre les cotes $z=-\frac a2$ et $z=\frac a2$.

Le milieu 1 sera le milieu situé dans le demi-espace $z\leq 0$ et le milieu 2 sera le milieu situé dans le demi-espace $z\geq 0$.

\subsection{Lien avec le modèle idéal}
\begin{itemize}
    \item $\sigma=\displaystyle\int_{-\frac a2}^{\frac a2}\rho{\dd }z$

    \item $\vec{j_s}=\displaystyle\int_{-\frac a2}^{\frac a2} \vec j{\dd }z$

\end{itemize}


À la traversée d'une telle couche, en se déplaçant dans la direction $O_z$, on rencontre des sources très intenses qui ont pour cause, dans cette direction, des variations très importantes du champ. En effet, en pratique, $a$ est de l’ordre de $10^{-9}{\rm m}$ donc toute densité surfacique de charge ou de courant, même modeste, entraîne une distribution volumique de charge ou de courant très grande.

Ainsi, les intégrales $\displaystyle\int_{-\frac a2}^{\frac a2} \dfrac{\partial E_i}{\partial z}{\dd }z=E_{i,2}-E_{i,1}$ et $\displaystyle\int_{-\frac a2}^{\frac a2} \dfrac{\partial B_i}{\partial z}{\dd }z=B_{i,2}-B_{i,1}$ ($i\in\{x,y,z\}$) pourront avoir une valeur non nulle même pour $a$ très petit.

En revanche, les dérivées par rapport à $x$, $y$ ou $t$ ne sont pas ainsi influencées par la géométrie du système. On pourra donc faire les approximations 

$$\int_{-\frac a2}^{\frac a2} \dfrac{\partial E_i}{\partial x}\dd z\approx 0~;~\int_{-\frac a2}^{\frac a2} \dfrac{\partial E_i}{\partial y}\dd z\approx 0~;~\int_{-\frac a2}^{\frac a2} \dfrac{\partial E_i}{\partial t}\dd z\approx 0$$

$$\int_{-\frac a2}^{\frac a2} \dfrac{\partial B_i}{\partial x}\dd z\approx 0~;~\int_{-\frac a2}^{\frac a2} \dfrac{\partial B_i}{\partial y}\dd z\approx 0~;~\int_{-\frac a2}^{\frac a2} \dfrac{\partial B_i}{\partial t}\dd z\approx 0$$





\subsection{Relations de passage}

On suppose pour ce calcul être à la frontière de deux milieux ayant même permittivité diélectrique $\varepsilon_0$ et même perméabilité magnétique $\mu_0$.

\begin{align}
{\rm div}(\vec B)=0 &\Rightarrow \dfrac{\partial B_x}{\partial x}+\dfrac{\partial B_y}{\partial y}+\dfrac{\partial B_z}{\partial z}=0\\
&\Rightarrow \int_{-\frac a2}^{\frac a2}\dfrac{\partial B_x}{\partial x}\dd z+\int_{-\frac a2}^{\frac a2}\dfrac{\partial B_y}{\partial y}\dd z+\int_{-\frac a2}^{\frac a2}\dfrac{\partial B_z}{\partial z}\dd z=0\\
&\Rightarrow B_{z2}-B_{z1}=0
\end{align}

\begin{align}
{\rm div}(\vec E)=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0} &\Rightarrow \dfrac{\partial E_x}{\partial x}+\dfrac{\partial E_y}{\partial y}+\dfrac{\partial E_z}{\partial z}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\
&\Rightarrow \int_{-\frac a2}^{\frac a2}\dfrac{\partial E_x}{\partial x}\dd z+\int_{-\frac a2}^{\frac a2}\dfrac{\partial E_y}{\partial y}\dd z+\int_{-\frac a2}^{\frac a2}\dfrac{\partial E_z}{\partial z}\dd z=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\\
&\Rightarrow E_{z2}-E_{z1}=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}
\end{align}

\begin{align}
\overrightarrow{\rm rot}(\vec E)=-\dfrac{\partial \vec B}{\partial t} 
&\Rightarrow \begin{systemein}
{\dfrac{\partial E_z}{\partial y}-\dfrac{\partial E_y}{\partial z}=-\dfrac{\partial B_x}{\partial t}}\\
{\dfrac{\partial E_x}{\partial z}-\dfrac{\partial E_z}{\partial x}=-\dfrac{\partial B_y}{\partial t}}\\
{\dfrac{\partial E_y}{\partial x}-\dfrac{\partial E_x}{\partial y}=-\dfrac{\partial B_z}{\partial t}}\\
\end{systemein}\\
&\Rightarrow \begin{systemein}
{\int_{-\frac a2}^{\frac a2} \dfrac{\partial E_z}{\partial y}\dd z - \int_{-\frac a2}^{\frac a2}\dfrac{\partial E_y}{\partial z}\dd z=-\int_{-\frac a2}^{\frac a2}\dfrac{\partial B_x}{\partial t}\dd z}\\
{\int_{-\frac a2}^{\frac a2}\dfrac{\partial E_x}{\partial z}\dd z-\int_{-\frac a2}^{\frac a2}\dfrac{\partial E_z}{\partial x}\dd z=-\int_{-\frac a2}^{\frac a2}\dfrac{\partial B_y}{\partial t}\dd z}\\
\end{systemein}\\
&\Rightarrow \begin{systemein}
-(E_{y2}-E_{y1})=0\\
E_{x2}-E_{x1}=0\\
\end{systemein}\\
\end{align}

\begin{align}
\overrightarrow{\rm rot}(\vec B)=\mu_0\vec j+\varepsilon_0\mu_0\dfrac{\partial \vec E}{\partial t} 
&\Rightarrow \begin{systemein}
{\dfrac{\partial B_z}{\partial y}-\dfrac{\partial B_y}{\partial z}=\mu_0j_x+\varepsilon_0\mu_0\dfrac{\partial E_x}{\partial t}}\\
{\dfrac{\partial B_x}{\partial z}-\dfrac{\partial B_z}{\partial x}=\mu_0j_y+\varepsilon_0\mu_0\dfrac{\partial E_y}{\partial t}}\\
{\dfrac{\partial B_y}{\partial x}-\dfrac{\partial B_x}{\partial y}=\mu_0j_z+\varepsilon_0\mu_0\dfrac{\partial E_z}{\partial t}}\\
\end{systemein}\\
&\Rightarrow \begin{systemein}
{\int_{-\frac a2}^{\frac a2} \dfrac{\partial B_z}{\partial y}\dd z - \int_{-\frac a2}^{\frac a2}\dfrac{\partial B_y}{\partial z}\dd z=\mu_0\int_{-\frac a2}^{\frac a2}j_x\dd z+\varepsilon_0\mu_0\int_{-\frac a2}^{\frac a2}\dfrac{\partial E_x}{\partial t}\dd z}\\
{\int_{-\frac a2}^{\frac a2}\dfrac{\partial B_x}{\partial z}\dd z-\int_{-\frac a2}^{\frac a2}\dfrac{\partial B_z}{\partial x}\dd z=\mu_0\int_{-\frac a2}^{\frac a2}j_y\dd z+\varepsilon_0\mu_0\int_{-\frac a2}^{\frac a2}\dfrac{\partial E_y}{\partial t}\dd z}\\
{\int_{-\frac a2}^{\frac a2}\dfrac{\partial B_y}{\partial x}\dd z-\int_{-\frac a2}^{\frac a2}\dfrac{\partial B_x}{\partial y}\dd z=\mu_0\int_{-\frac a2}^{\frac a2}j_z\dd z+\varepsilon_0\mu_0\int_{-\frac a2}^{\frac a2}\dfrac{\partial E_z}{\partial t}\dd z}\\
\end{systemein}\\
&\Rightarrow \begin{systemein}
-(B_{y2}-B_{y1})&=\mu_0j_{sx}\\
B_{x2}-B_{x1}&=\mu_0j_{sy}\\
j_{sz}&=0
\end{systemein}\\
\end{align}


\remarque{Relations de passage pour les composantes}{
\begin{itemize}
    \item La composante normale du champ magnétique se conserve
$$B_{z2}=B_{z1}$$
\item Les composantes tangentielles du champ magnétique subissent une discontinuité qui s'exprime en fonction du courant surfacique
$$B_{y2}-B_{y1}=-\mu_0j_{sx}$$
$$B_{x2}-B_{x1}=+\mu_0j_{sy}$$
\item La composante normale du champ électrique subit une discontinuité qui s'exprime en fonction de la densité surfacique de charge
$$E_{z2}-E_{z1}=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$$
\item Les composantes tangentielles du champ électrique se conservent
$$E_{y2}=E_{y1}$$
$$E_{x2}=E_{x1}$$
\end{itemize}
}

\remarque{Relations de passage vectorielles}{
Vectoriellement, on obtient :

\begin{systeme}
\vec{B_2}-\vec{B_1}&=\mu_0\vec{j_s}\wedge\vec n_{12}\\
\vec{E_2}-\vec{E_1}&=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0} \vec n_{12}
\end{systeme}

On a également montré que la densité surfacique de courant $\vec{j_s}$ n'a pas de composante suivant la direction orthogonale à la surface.
}

\remarque{Relations de passage à partir des relations de Maxwell}{
On obtient en substituant : $ \vec E $ par $\vec{E_2}-\vec{E_1}$, $\vec B$ par $\vec{B_2}-\vec{B_1}$, $\vec \nabla $ par $\vec n_{12}$, $\vec j$ par $\vec{j_s}$ et enfin $\vec \rho $ par $\vec \sigma$
$$\vec n_{12}(\vec{E_2}-\vec{E_1})=\dfrac{\sigma}{\varepsilon}$$
$$\vec n_{12}(\vec{B_2}-\vec{B_1})=0$$
$$\vec n_{12}\wedge(\vec{E_2}-\vec{E_1})=0$$
$$\vec n_{12}\wedge(\vec{B_2}-\vec{B_1})= \mu \vec{j_{s}}$$
}

\section{Lois à l'interface}

\subsection{Lois de Snell-Descartes}


On étudie le comportement d'une onde électromagnétique : plane, progressive, se propageant dans la direction $\vec u_i$, monochromatique, de pulsation $\omega$, polarisée rectilignement.

Considérons deux milieux diélectriques 1 et 2, linéaires, homogènes et d'indices $n_1$ et $n_2$ séparés par une surface plane (localement à l'échelle de $\lambda$). On se place en zone de transparence, c'est à dire $n_i\in\mathbb{R}$.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.35\textwidth]{fig/lois_de_descartes_schema_2.png}
    \includegraphics[width=.35\textwidth]{fig/lois_de_descartes_propagation.png}
    \caption{Les ondes incidente, transmise et réfléchie à l'interface}
    \label{fig:descartes}
\end{figure}


On note :
\begin{itemize}
    \item $k_0=\dfrac\omega c$ le nombre d'onde dans le vide de cette onde
    \item $k_1=n_1 k_0$ le nombre d'onde de cette même onde dans le milieu 1
    \item $k_2=n_2 k_0$ le nombre d'onde de cette même onde dans le milieu 2
    \item $\vec n$ la normale au dioptre au lieu d'incidence
\end{itemize}


L'onde incidente a pour vecteur d'onde $\vec k_i=k_1\vec u_i$. L'angle d'incidence que $\vec k_i$ forme avec la normale au dioptre est noté $i_1$. À la surface elle donne naissance à une onde transmise et à une onde réfléchie.

L'onde transmise a pour vecteur d'onde $\vec k_t=k_2\vec u_t$. L'angle d'incidence que $\vec k_t$ forme avec la normale au dioptre est noté $i_2$. L'onde réfléchie a pour vecteur d'onde $\vec k_r=k_1\vec u_r$. L'angle d'incidence que $\vec k_r$ forme avec la normale au dioptre est noté $i'_1$

Au niveau du dioptre, les champs électrique et magnétique, incident, réfléchi et transmis s'écrivent sous la forme générale :
\begin{systeme}
    \vec{s_i}(\vec r,t)&=\vec{s_{0i}}e^{j(\omega t-\vec k_i\cdot\vec r)}\\
    \vec{s_r}(\vec r,t)&=\vec{s_{0r}}e^{j(\omega t-\vec k_r\cdot\vec r)}e^{j\varphi_r}\\
    \vec{s_t}(\vec r,t)&=\vec{s_{0t}}e^{j(\omega t-\vec k_t\cdot\vec r)}e^{j\varphi_t}\\
\end{systeme}

$\varphi_t$ et $\varphi_r$ ne dépendent pas de $\vec r$.

Le déphasage entre l'onde transmise et l'onde incidente vaut $(\vec k_i-\vec k_t)\cdot\vec r+\varphi_t$. Les milieux étant supposés homogènes, il est alors nécessaire que cette valeur soit indépendante de $\vec r$. De même, le déphasage entre l'onde réfléchie et l'onde incidente vaut $(\vec k_i-\vec k_r)\cdot\vec r+\varphi_r$, qui doit être indépendant de $\vec r$.

On aboutit alors au système suivant :
\begin{align}
\begin{systemein}
\forall \vec r,~(\vec k_i-\vec k_t)\cdot\vec r=0\\
\forall \vec r,~(\vec k_i-\vec k_r)\cdot\vec r=0\\
\end{systemein}
&\Rightarrow
\begin{systemein}
\forall \vec r,~(n_1\vec u_i-n_2\vec u_t)\cdot\vec r=0\\
\forall \vec r,~(\vec u_i-\vec u_r)\cdot\vec r=0\\
\end{systemein}\\
&\Rightarrow
\begin{systemein}
(n_1\vec u_i-n_2\vec u_t)~//~\vec n\\
(\vec u_i-\vec u_r)~//~\vec n\\
\end{systemein}\\
\end{align}


On retrouve ainsi les loi de Snell-Descartes, par le calcul, et franchement, c'est super classe.

\remarque{Loi de Descartes}{

\begin{itemize}
    \item 1ere loi de Descartes : $\vec n,~\vec u_i,~\vec u_r,~\vec u_t$ sont dans un même plan
    \item 2eme loi de Descartes de la réfraction : $n_1\sin(i_1)=n_2\sin(i_2)$ 
    \item 2eme loi de Descartes de la réflexion : $i_1=-i'_1$
\end{itemize}
}


\subsection{Coefficients de réflexion et de transmission en incidence normale}

On s'intéresse maintenant au cas de la réflexion sur une interface normale à la direction de propagation.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.3\textwidth]{fig/lois_de_descartes_propagation_normal.png}
    \caption{Schématisation de la situation, en mode TEM.}
    \label{fig:normale}
\end{figure}

On a alors :

$$\begin{systemein} i_1=0\\ i'_1=0\\ i_2=0\end{systemein}$$

On se place dans la base $(\vec u_x,\vec u_y,\vec u_z)$ telle que l'onde incidente soit polarisée rectilignement suivant $\vec u_x$, et le vecteur d'onde de l'onde incidente ait même sens et même direction que $\vec u_z$.

\textbf{Onde incidente :} vecteur d'onde $\vec k_i=n_1k_0\vec u_z$, pour champ électrique $\vec E_i=E_{0i}e^{j(\omega t-n_1k_0z)}\vec u_x$, champ magnétique $\vec B_i=B_{0i}e^{j(\omega t-n_1k_0z)}\vec u_y$, où $B_{0i}=n_1\dfrac{E_{0i}}c$.

\textbf{Onde réfléchie :} vecteur d'onde $\vec k_r=-n_1k_0\vec u_z$, champ électrique $\vec E_r=\vec E_{0r}e^{j(\omega t+n_1k_0z)}e^{j\varphi_r}$, champ magnétique $\vec B_r=\vec B_{0r}e^{j(\omega t+n_1k_0z)}e^{j\varphi_r}$ avec $\vec B_{0r}=-\dfrac{n_1}c \vec u_z\wedge \vec E_{0r}$.

\textbf{Onde transmise :} vecteur d'onde $\vec k_t=n_2k_0\vec u_z$, champ électrique $\vec E_t=\vec E_{0t}e^{j(\omega t-n_2k_0z)}e^{j\varphi_t}$, champ magnétique $\vec B_t=\vec B_{0t}e^{j(\omega t-n_2k_0z)}e^{j\varphi_t}$ avec $\vec B_{0t}=\dfrac{n_2}c \vec u_z\wedge \vec E_{0t}$.

Dans l'hypothèse de deux milieux sans charges ni courants, ni volumiques ni surfaciques, les équations de passage du champ électrique donnent $$E_{0i}\vec u_x+\vec E_{0r}e^{j\varphi_r}=\vec E_{0t}e^{j\varphi_t}$$

Les équations de passage du champ magnétique donnent 
$$n_1E_{0i}\vec u_y-n_1\vec u_z\wedge\vec E_{0r}e^{j\varphi_r}=n_2\vec u_z\wedge \vec E_{0t}e^{j\varphi_t}$$

En remplaçant $\vec E_t$ par sa valeur dans la deuxième équation, celle-ci devient :

$$-(n_2+n_1)\vec u_z\wedge \vec E_{0r}e^{j\varphi_r}=(n_2-n_1)E_{0i}\vec u_y$$

On fait alors le produit vectoriel par $\vec u_z$

$$\vec E_{0r}e^{j\varphi_r}=\dfrac{n_1-n_2}{n_1+n_2}E_{0i}\vec u_x$$

L'équation de passage du champ électrique permet alors d'exprimer le champ transmis

$$\vec E_{0t}e^{j\varphi_t}=\dfrac{2n_1}{n_1+n_2}E_{0i}\vec u_x$$

\remarque{Coefficients de réflexion et transmission du champ électrique}{

\begin{alignement}
\underline r&=\dfrac{\underline E_{0r}}{E_{0i}}&=\dfrac{E_{0r}e^{j\varphi_r}}{E_{0i}}&=\rho e^{j\varphi_r}\\
\underline t&=\dfrac{\underline E_{0t}}{E_{0i}}&=\dfrac{E_{0t}e^{j\varphi_t}}{E_{0i}}&=\tau e^{j\varphi_t}
\end{alignement}
}

\remarque{En fonction des indices optiques}{

\begin{alignement}
\rho&=\dfrac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\\
\varphi_r&=\begin{systemein}
0{\rm ~si~}n_1>n_2\\
\pi{\rm ~si~}n_1<n_2\\
\end{systemein}\\
t&=\tau=\dfrac{2n_1}{n_1+n_2}\\
\varphi_t&=0
\end{alignement}
}


\subsection{Étude énergétique}

Les vecteurs de Poynting des ondes considérées sont :
\begin{itemize}
\item Pour l'onde incidente, $\vec\Pi_i=\dfrac{\vec E_i\wedge\vec B_i}\mu=\dfrac{n_1E_{0i}^2}{\mu c}e^{2j\omega t}\vec u_z$
\item Pour l'onde réfléchie, $\vec\Pi_r=\dfrac{\vec E_r\wedge\vec B_r}\mu=-\dfrac{n_1E_{0r}^2}{\mu c}e^{2j\omega t}e^{2j\varphi_r}\vec u_z$
\item Pour l'onde transmise, $\vec\Pi_t=\dfrac{\vec E_t\wedge\vec B_t}\mu=\dfrac{n_2E_{0t}^2}{\mu c}e^{2j\omega t}e^{2j\varphi_t}\vec u_z$
\end{itemize}


\textbf{Définition :} On définit respectivement les coefficients de réflexion et de transmission en énergie/puissance de l'interface comme la proportion d'énergie réfléchie/transmise par l'interface. La puissance surfacique étant reliée directement à la norme du vecteur de Poynting, on aboutit rapidement aux expressions suivantes.

\begin{systeme}
R&=\dfrac{\mathcal P_r}{\mathcal P_i}  &=&r^2                 &=&\left(\dfrac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2\\
T&=\dfrac{\mathcal P_t}{\mathcal P_i}  &=&\dfrac{n_2}{n_1}t^2  &=&\dfrac{4n_1n_2}{(n_1+n_2)^2}
\end{systeme}

Dans l'hypothèse faite où il n'y a aucune perte, on retrouve tout à fait logiquement la relation $R+T=1$

Ces résultats sont évidement valides en incidence normale seulement. Lorsque l'incidence varie, les résultats changent considérablement.

\section*{Conclusion}

Une ouverture est possible sur les modes TM, TE et TEM. Il est également possible de parler de mécanique quantique.

\end{document}