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\title{LP29 -- Ondes électromagnétiques dans les milieux conducteurs}
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\date{\today}

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\newenvironment{alignement}
    {\begin{equation}
    \begin{aligned}
    }
    {
    \end{aligned}
    \end{equation}
    }

\newenvironment{systeme}
    {\begin{equation}
    \left\{\begin{aligned}
    }
    {
    \end{aligned}\right.
    \end{equation}
    }

\newenvironment{systemein}
    {\left\{\begin{aligned}}
    {\end{aligned}\right.
    }






\begin{document}

\titre{Aurélien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}

\subsection*{Niveau : L2}

\subsection*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 2017 : Les analogies et différences observées entre les différents milieux étudiés méritent d’être clairement soulignées. Il est intéressant d’évoquer les aspects énergétiques.
    \item 2015 : Cette leçon ne doit pas se réduire à la présentation exclusive du modèle de Drude. Les métaux ne sont pas les seuls milieux conducteurs.
    \item 2014 : Cette leçon ne doit pas être confondue avec la leçon 47 [qui était Mécanismes de la conduction électrique dans les solides.].\\
Jusqu’en 2013, le titre était : Effet de peau. Comportement d’une onde électromagnétique à la surface d’un conducteur.
    \item 2010 : Il faut s’interroger sur la dépendance en fréquence de la conductivité. L’étude peut également être menée en haute fréquence.
Jusqu’en 2003, le titre était : Effet de peau. Réflexion des ondes électromagnétiques planes à la surface d’un milieu conducteur.
    \item 2001 : Il faut bien caractériser le métal parfait comme limite du métal réel.
    \item 1997 : Le jury attend que les candidats sachent exprimer le facteur de réflexion d’un métal réel et soient capables d’expliquer la couleur orangée du cuivre.
\end{itemize}

\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Physique tout-en-un PC}, \textbf{Sanz}  &  \\
\textit{Cap prépa Physique PC}, \textbf{Renvoizé}& \\
\textit{Électromagnétisme}, \textbf{Mauras}& \\
\textit{Hprépa Ondes}, \textbf{Brébec} &\\
\textit{Physique du solide}, \textbf{Ashcroft} & Complément sur Drude\\
\textit{Ondes électromagnétiques dans le vide et les milieux conducteurs}, \textbf{Garing}& \\
\textit{Solid State Basics}, \textbf{Simon} & Pour les modèles de Drude, Sommerfeld\\
\url{https://www.f-legrand.fr/scidoc/srcdoc/sciphys/elecmag/conducteurs/conducteurs-pdf.pdf} & Réflexion sur un métal \\
\end{tabular}



\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Maxwell
 \item EM dans le vide
 \item Dispersion
 \item Libre parcours moyen
 \item Conductivité
 \item Force de Lorentz
 \item Diffusion
 \item (...)
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item 
	\end{itemize}
\end{minipage}




\tableofcontents

\newpage

\setlength{\parskip}{1em}


\section*{Introduction}

Les diélectriques ne sont pas l'unique milieu de propagation. Il y a aussi les conducteurs ! \textit{On nomme} \textbf{conducteur} \textit{un milieu qui permet des transfert de charges}. On va aujourd'hui s'intéresser à ces bestioles là, et à la propagation ou non propagation des OEM là dedans.

On peut aussi orienter l'introduction vers les télécommunications : on veut pouvoir faire un blindage, ou au contraire passer au delà du blindage que représentent nos pantalons !

\vspace{0.2cm}

\section{Modèle de la conduction : Drude}
Il est bon de noter que les métaux sont de bons conducteurs, mais qu'ils ne sont pas les seuls. On peut noter l'exemple du graphite et des semi-conducteurs bien sûr, mais aussi les plasmas dont le cas sera traité plus tard dans cette leçon.

\subsection{Cadre}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/modele_drude.png}
    \caption{Le modèle de Drude (1900) en une image.}
    \label{fig:drude}
\end{figure}

L'enjeu ici est d'expliquer la conduction. les hypothèses que nous allons faire sont les suivantes :

On considère le milieu comme un gaz d'électrons, libres, circulant librement dans un gaz d'ions positifs, beaucoup plus lourd et à mobilité que l'on supposera nulle.

On néglige toute intéraction à distance, et on respecte la neutralité globale du système.

La seule interaction possible entre les électrons et les ions se fait par des collisions instantanées, espacées en moyenne d'un temps $\tau$ ($\sim 10^{-14}$ s). On considère qu'après la collision, la vitesse de l'électron est redistribuée selon les lois de la physique statistique, à la température du milieu.

On supposera évidemment toutes les vitesses non relativistes, ce qui revient à négliger l'influence de $B$ du fait que $\dfrac{\norm{\vb{v}\wedge\vb{B}}}{\norm{\vb{E}}}\lesssim\dfrac{v}{c}$, et la température uniforme.

\subsection{Mise en équations}

On considère que le champs électrique $\vb{E}$ est appliqué au milieu. Considérons un électron avec une quantité de mmouvement $\vb{p}$ à l'instant $t$. À $t+\dd t$ il a deux possibilités :

\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{|c|c|c|}
        \hline
        Évènement  & Probabilité & $\vb{p}(t+\dd t)$\\
        \hline
        Choc(apic) & $\dfrac{\dd t}{\tau}$ & $\vb{p_a}$\\
        Pas Choc   & $1-\dfrac{\dd t}{\tau}$ & $p(t)-e\vb{E}\dd t$\\\hline
    \end{tabular}
\end{table}

La quantité de mouvement $\vb{p}_a$ est aléatoire et suit la loi de Boltzmann; $\left\langle\vb{p}_a\right\rangle=\vb{0}$. On peut ainsi en déduire une équation pour la quantité de mouvement, que l'on va bien vite transformer en PFD.

\begin{equation}
    \moy{\vb{p}(t+\dd t)}=\dfrac{\dd t}{\tau}\vb{0}+\left( 1-\dfrac{\dd t}{\tau} \right)\left( \moy{\vb{p}(t)}-e\vb{E}\dd t \right)
\end{equation}

D'où par un merveilleux procédé appelé le développement limité des physiciens :

\begin{equation}
    \dv{}{t}\moy{\vb{p}}=-e\vb{E}-\dfrac{1}{\tau}\moy{\vb{p}}
\end{equation}

On retrouve une équation de mouvement électrique avec frottements, ce qui donne une solution simple :

\begin{equation}
    \moy{\vb{v}}_{lim}=-\dfrac{e\tau\vb{E}}{m_e}
\end{equation}

\subsection{Approche renversée (et renversante)}

Supposons que la conduction électrique soit le fait uniquement d'électrons. Ce sont des porteurs de charge $q = -e\simeq \SI{1.602e-19}{\coulomb}$ et de masse $m_e \simeq\SI{9.109e-31}{\kilo\gram}$.
Alors, d'un point de vue dynamique, l'électron obéit à la loi suivante :


$$m_\mathrm{e} \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \vec{F}_\mathrm{v} - \Gamma \vec{v}$$

\begin{itemize}
    \item $v$ est la vitesse de l'électron
    \item $F_\mathrm{v}$ est la force de Lorentz, $\vec{{F}}_\mathrm{v} = q ( \vec{{E}} + \vec{v} \wedge \vec{B})$ E étant le champ électrique et B le champ magnétique
    \item $\Gamma$ est un coefficient de frottement empirique exprimé en kilogrammes par seconde.
\end{itemize}

Notons que ceci reste vrai pour d'autres types de porteurs de charge, comme les trous d'électrons dans un cristal ou bien les ions dans une solution saline.


Supposons que l'électron ait une vitesse initiale $v_0$, et que le champ électrique soit uniforme et constant, $E_0$. Alors, la résolution de l'équation différentielle ci-dessus mène à :

$$\vec{v}(t) = \vec{v}_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + \left (1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right ) \cdot \dfrac{q}{\Gamma} \vec{E}_0$$

Avec $\tau = \dfrac{m_\mathrm{e}}{\Gamma}$ est la constante de temps, caractéristique d'amortissement du système, $\vec{v}_\mathrm{l} = \dfrac{q}{\Gamma} \vec{E}_0$ est la vitesse limite vers laquelle tend l'électron.


\subsection{Loi d'Ohm locale}

Cette équation peut être utilisée pour trouver une loi d'Ohm locale. La loi d'Ohm relie usuellement les mouvements de charges à leur cause, le champs électrique. On cherche donc quelque chose de la forme $\vb{j}=\sigma\vb{E}$. $\vb{j}$ ici c'est pas le plus compliqué. On a supposé que seuls les électrons bougents, par conséquent on a $\vb{j}\underset{\text{def}}{=}-ne\moy{\vb{v}}$.

On se place dans un cadre similaire à celui de la mécanique des fluides, c'est à dire dans une particule de fluide dans laquelle le champ extérieur varie peu, et qui se place à l'échelle mésoscopique.

On peut, grâce au fait que l'équation est linéaire et que la physique des champs est généralement périodique, se placer en régime variable périodique, c'est à dire considérer une OPPH ! On se place en variables complexes, et alors l'équation prend une toute autre forme :

\begin{equation}
    (1+i\omega\tau)\vb{v}=-\dfrac{e\tau}{m}\vb{E}
\end{equation}

\textbf{Oh le beau !} C'est une loi d'Ohm locale, un poil cheloue, mais on s'en sort en posant une conductivité complexe !

\important{
\textbf{Loi d'Ohm locale pour un conducteur :}
\begin{equation}
    \vb{j}=\underline{\sigma}\vb{E}\qquad\text{avec}\quad\underline{\sigma}=\dfrac{\sigma_0}{1+i\omega \tau}\qquad\text{avec}\quad\sigma_0=\dfrac{ne^2\tau}{m}
\end{equation}
}

\remarque{OdG}{
Pour le cuivre, on a $n\sim10^{29}$, et on connaît la conductivité statique du cuivre, $\SI{5.96e7}{\siemens\per\meter}$. On en déduit immédiatement $\tau \sim 10^{-14}$ s. C'est peu.
}


\subsection{Aspect énergétique}

On peut écrire la puissance dissipée par effet Joules :

\begin{equation}
    \moy{P}=\moy{\vb{j}_{re}\cdot\vb{E}_{re}}=\dfrac{1}{2}\Re\left(\vb{j}\cdot\vb{E}^*\right)=\dfrac{1}{2}\Re(\underline{\sigma})\norm{\vb{E}}^2
\end{equation}

Et là, c'est le drâme. À $\omega\ll\dfrac{1}{\tau}$, le milieu est purement absorbant, et on a la loi d'Ohm classique. À $\omega\gg\dfrac{1}{\tau}$, la puissance absorbée devient nulle du fait de l'imaginarité de $\underline{\sigma}$, et pouf, le milieu est transparent !

\textit{Mais Jamy, les métaux c'est pas transparent si ?} Et bien si, mais dans les bonnes conditions, à savoir $\omega\gg\dfrac{1}{\tau}$, et pour le cuivre on l'a vu, il est de l'ordre de $10^{14}$, et le visible c'est de l'ordre de $10^{14}$ au plus !


\textit{Oui, mais il y a quand même des limites au modèle de Drude, on les verra plus tard.}

\subsection{Électroneutralité et pulsation plasma}
L'électroneutralité globale est toujours vraie, mais on peut en plus essayer de voir ce que l'électroneutralité locale donne. On perturbe un peu la densité de porteurs de charges, et on se demande combien de temps il lui faut pour revenir à son point d'origine.

On utilise pour cela l'équation précédente, on ajoute $\derond{\rho}{t}+\Nabla\cdot\vb{j}=0$, et l'ingrédient secret, Maxwell-Gauss $\Nabla\cdot\vb{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$. On obtient :

\begin{equation}
    -\omega^2\tau+i\omega+\dfrac{\sigma_0}{\epsilon_0}\rho=0
\end{equation}

C'est un oscillateur harmonique amorti !! On ressort les loi de l'électrocinétique et boom, on a une pulsation limite, la pulsation plasma (teaser) :

\important{\textbf{Pulsation plasma :}

\begin{equation}
    \omega_p=\sqrt{\dfrac{ne^2}{m\varepsilon_0}}\qquad\dfrac{\omega_p}{Q}=\dfrac{1}{\tau}
\end{equation}
}

\remarque{OdG}{
On trouve $Q\sim100$ et $\omega_p\sim\SI{2e16}{\radian\per\second}$ pour le cuivre.
}

\experience{Influence de $\omega_p$ : simulation}{\texttt{w\_inferieur/superieur\_a\_wp.py}}{}{}

\remarque{Deux pulsations}{
La pulsation plasma, que l'on vient de définir, et la \textbf{pulsation d'électroneutralité}, $\dfrac{1}{\tau}=\omega_{EN}$. Cette dernière donne la limite entre les cas où on a électroneutralité et les cas où il y a polarisation du métal, et donc effets capacitifs. Elle est plus utile en électricité qu'en ondes, mais passons.
}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/Electro_neutralite.pdf}
    \caption{Relaxation de la densité de charge en fonction du temps.}
    \label{fig:electroneutralite}
\end{figure}


\subsection{ARQS}

Pour l'instant, il n'y a pas d'approximation autres que le modèle de Drude, mais maitenenant on veut se débarasser du courant de déplacement, dans Maxwell-Ampère. Pour cela il faut avoir

\begin{equation}
    \norm{\varepsilon_0\derond{\vb{E}}{t}}\ll\norm{\sigma_0\vb{E}}
\end{equation}

Cela revient à l'équation $\displaystyle{ \omega\varepsilon_0\ll\left|\dfrac{\sigma_0}{1+i\omega\tau}\right| }$.

Et là, c'est le drâme, car il faut considérer deux régimes, selon $\omega$ et $\dfrac{1}{\tau}$. La plus restrictive est celle où $\omega\ll\omega_{EN}$.

\begin{equation}
    \omega^2\ll\dfrac{\sigma_0}{\varepsilon_0\tau}=\omega_p^2
\end{equation}

\remarque{OdG}{
On vérifie bien que les OdG collent avec ce qui est proposé, puisqu'on a alors $\omega_p\sim\SI{10e16}{\radian\per\second}\ll\dfrac{1}{\tau}$
}

On voit alors qu'on perd l'électroneutralité avant l'ARQS !

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.6\textwidth]{fig/EN_ARQS.pdf}
    \label{fig:tablo}
\end{figure}


\section{Comportement à basse fréquence : les métaux}
\subsection{Mise en équation}
Dans le régime basse fréquence, la loi d'Ohm locale s'exprime simplement par $\vb{j}(t)=\sigma_0 \vb{E}(t)$. En effet, on peut écrire cette loi dans le domaine temporel car $\sigma_0$ ne dépend pas de la fréquence. De plus, les équations de Maxwell s'écrivent de la façon suivante :
\begin{equation}
    \left\{\begin{aligned}
        \Nabla\cdot\vb{E}&= 0 \qquad \text{(électroneutralité)}\\   
        \Nabla \wedge \vb{E}&=-\derond{\vb{B}}{t}\\
        \Nabla\cdot\vb{B}&=0 \\
        \Nabla \wedge \vb{B}&=\mu_0\vb{j}  \qquad \text{(ARQS)}
    \end{aligned}\right.
\end{equation}
On utilise ensuite la formule d'analyse vectorielle valable pour tout vecteur $\vb{V}$
$$\Nabla\wedge(\Nabla\wedge\vb{V})=\Nabla(\Nabla\cdot\vb{V})-\Delta \vb{V}$$
pour obtenir \textbf{2 expressions différentes} de $\Nabla\wedge(\Nabla\wedge\vb{E})$ :
\begin{systeme}
    \Nabla\wedge(\Nabla\wedge\vb{E})&= \vb{0}-\Delta \vb{E}=-\Delta \vb{E} \\
    \Nabla\wedge(\Nabla\wedge\vb{E})&=-\Nabla\wedge(\derond{\vb{B}}{t})=-\derond{}{t}(\Nabla\wedge\vb{B})=-\mu_0\derond{\vb{j}}{t}=-\mu_0\sigma_0\derond{\vb{E}}{t}
\end{systeme}
On obtient finalement l'équation satisfaite par $\vb{E}$ 
\begin{equation}
    \boxed{\Delta \vb{E}=\mu_0\sigma_0 \derond{\vb{E}}{t}}
\end{equation}

\remarque{Remarque}{C'est une équation de diffusion !!}


\subsection{Effet de peau}
\begin{center}
    \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/propagation_onde_metal_reel.png}
\end{center}

Comme d'habitude, on prend une OPPH transverse se propageant selon les $x$ croissants de la forme 
$$\vb{E}(x,t)=E(x)e^{i\omega t}\vb{e_z}$$
On suppose que cette onde rencontre une interface vide/métal en $x=0$.
On injecte cette expression dans l'équation de diffusion pour trouver l'équation différentielle
\begin{equation}
    \dvv{E}{x}(x)=i\omega\mu_0\sigma_0E(x)
\end{equation}
Le polynôme caractéristique de cette équation a pour racines $\pm \dfrac{1+i}{\sqrt{2}}\sqrt{\mu_0\sigma_0\omega}$ donc les solutions de l'équation différentielle sont de la forme
\begin{equation}
    E(x)=A\exp\bigcro{+(1+i)\sqrt{\dfrac{\mu_0\sigma_0\omega}{2}}x}+B\exp\bigcro{-(1+i)\sqrt{\dfrac{\mu_0\sigma_0\omega}{2}}x}
\end{equation}
On trouve $A$ et $B$ avec les conditions aux limites :
\begin{systeme}
    E(x\rightarrow + \infty,t) \text{ ne diverge pas} &\Rightarrow A=0 \\
    E(x=0,t)=E_0\exp^{i\omega t} &\Rightarrow B=E_0
\end{systeme}
On obtient donc \textit{in fine} l'expression du champ $\vb{E}$ en notation réelle
\begin{equation}
    \boxed{\vb{E}(x,t)=E_0\exp\bigpar{-\dfrac{x}{\delta}}\cos\bigpar{\omega t - \dfrac{x}{\delta}} \qquad \text{avec} \qquad \delta(\omega)=\sqrt{\dfrac{2}{\mu_0\sigma_0\omega}}}
\end{equation}
Cette expression décrit une onde amortie sur une longueur caractéristique $\delta(\omega))$, appelée \textbf{épaisseur de peau} (ou longueur de Kelvin), d'autant plus faible que le métal est conducteur (donc $\sigma_0$ est grand) et la fréquence $\omega$ est élevée. Le conducteur s'oppose donc à la pénétration du champ.
On peut calculer un coefficient de diffusion à l'aide de cette longueur :
$$D=\dfrac{\delta^2}{T}=\dfrac{2}{\mu_0\sigma_0\dfrac{2\pi}{T}}\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{\pi\mu_0\sigma_0}$$



\experience{Numérique : effet de peau}{\texttt{Effet de peau.py}}{}{}

Dans le modèle du métal parfait, $\sigma_0 \rightarrow + \infty$ donc $\delta \rightarrow 0$. \textbf{Il n'y a donc pas de propagation dans un métal parfait}, et on écrit $\vb{E}=\vb{0}=\vb{B}$.


\remarque{Aspect énergétique}{La moyenne temporelle de la puissance volumique dissipée vaut 
$$\moy{\mathcal{P}}=\dfrac{1}{2}\Re(\vb{j}\cdot\vb{E}^*)=\dfrac{\sigma_0}{2}E_0^2\exp\bigpar{-2\dfrac{x}{\delta}}>0$$
Cette puissance est strictement positive : l'onde est bien absorbée par le matériau.}


\subsection{Applications}
\begin{itemize}
    \item \textbf{Courant dans un fil de cuivre de diamètre $a=0.5$ mm :}
    
    \begin{itemize}
        \item pour $f=50$ Hz, $\delta=9.8$ mm $\Rightarrow$ effet de peau non visible
        \item Pour $f=100$ kHz, $\delta=0.2$ mm $\Rightarrow$ on est à la limite d'uniformité
        \item Pour $f=100$ MHz, $\delta=6.6$ $\mu$m $\Rightarrow$ le courant circule sur une très faible épaisseur du fil
    \end{itemize}
    Dans le troisième cas, la résistance du fil est modifiée par rapport à l'expression $R=\dfrac{L}{\sigma_0 S}$ pour obtenir $R'=\dfrac{L}{\sigma_0\Sigma}$. En effet, il ne faut plus prendre en compte la section $S=\pi \dfrac{a^2}{4}$ du fil mais la section $\Sigma$ \textit{effectivement} traversée par le courant : $\Sigma\simeq2\pi a\delta \ll S$, donc $R'\gg R$. L'effet de peau augmente donc la résistance d'un fil à haute fréquence et accentue l'effet Joule. La dépendance en fréquence de $R'\propto \dfrac{1}{\delta} \propto \sqrt{\omega}$ caractérise les pertes cuivre.
    
    \item \textbf{Faites taire ce Talkie-Walkie !}
    
    Pour l'aluminium, $\delta=4$ $\mu$m pour 440 MHz, ce qui explique pourquoi envelopper un Talkie-Walkie dans une feuille d'aluminium l'empêche d'émettre ou de recevoir un signal.
    
    \item \textbf{Épaisseur des parois d'un micro-ondes :}
    
    Dans un micro-ondes, les ondes ont une fréquence de l’ordre de $f\simeq 10^5$ Hz, d’où $\delta \simeq 10$ $\mu$m. En pratique, les parois sont donc largement assez épaisses pour qu’on n’ait rien à craindre. Il est à noter que la paroi de la porte du micro-onde possède une grille métallique qui fait office d’isolant. Le plexiglas de la vitre seul ne suffit pas à atténuer les ondes EM.
\end{itemize}


\subsection{Réflexion sur les métaux}

\subsubsection{Incidence normale}

On considère une interface vide/métal en $x=0$. On s'intéresse à une OPPH en incidence normale se propageant dans le vide (donc $\omega=ck$) de la forme
\begin{systeme}
    \vb{E_i}&=E_0\exp(j(\omega t-k_ix)\vb{e_y} \\
    \vb{B_i}&=\dfrac{1}{c}\vb{e_x}\wedge\vb{E_i}=\dfrac{E_0}{c}\exp(j(\omega t-k_ix)\vb{e_z}
\end{systeme}
Cette onde, en arrivant sur à l'interface, va se décomposer en une onde réfléchie et une onde transmise dans le métal (et absorbée). On écrit alors
\begin{systeme}
    \vb{E_i}+\vb{E_r}=\vb{E_t} \\
    \vb{B_i}+\vb{B_r}=\vb{B_t}
\end{systeme}
On pose les coefficients de réflexion et de transmission complexes $r=\dfrac{E_r}{E_i}$ et $t=\dfrac{E_t}{E_i}$. La première équation donne directement $$1+r=t$$. La seconde équation nécessite un peu plus de travail :
$$\vb{B_i}+\vb{B_r}=\vb{B_t} \iff \dfrac{\vb{k_i}}{\omega}\wedge\vb{E_i}+\dfrac{\vb{k_r}}{\omega}\wedge\vb{E_r}=\dfrac{\vb{k_t}}{\omega}\wedge\vb{E_t}$$
On a vu qu'à basse fréquence, une OPPH dans le métal s'écrit sous la forme $\vb{E}=\vb{E_0}\exp(i(\omega t-\vb{k}\cdot\vb{x})$ en posant $$\vb{k}=\dfrac{1-i}{\delta}\vb{e_x}=n\dfrac{\omega}{c}\vb{e_x}$$
On a définit ici l'indice complexe $$n(\omega)=n'(\omega)-in''(\omega)=\dfrac{1-i}{\delta \omega} c$$.
Ainsi $\dfrac{\vb{k_i}}{\omega}=\dfrac{1}{c}\vb{e_x}$, $\dfrac{\vb{k_r}}{\omega}=-\dfrac{\vb{k_i}}{\omega}=-\dfrac{1}{c}\vb{e_x}$ et $\dfrac{\vb{k_t}}{\omega}=\dfrac{n}{c}\vb{e_x}$ donc on obtient
$$\dfrac{1}{c}\vb{e_x}\wedge(\vb{E_i}-\vb{E_r})=\dfrac{n}{c}\vb{e_x}\wedge\vb{E_t} \iff 1-r=nt$$
Finalement, on écrit (attention, $r$, $t$ et $n$ sont toujours complexes) 
\important{\begin{systeme}
    r=\dfrac{1-n}{1+n} \\
    t=\dfrac{2}{1+n}
\end{systeme}}


Pour un métal parfait, $\delta \rightarrow 0$ donc $|n| \rightarrow +\infty$. On a alors $r=-1$ et $t=0$ : le métal parfait réfléchit totalement une onde EM en ajoutant à l'onde réfléchie un déphasage de $\pi$.


\remarque{Ondes stationnaires}{Pour un métal parfait, l'onde incidente et l'onde réfléchie se superposent pour donner :
$$\vb{E}=\vb{E_i}+\vb{E_r}=\vb{E_0}e^{i(\omega t-kx)}+(-\vb{E_0}e^{i(\omega t+kx)})=2\vb{E_0}\sin(kx)\sin(\omega t)$$
$$\vb{B}=\dfrac{2}{c}\vb{e_x}\wedge\vb{E_0}\cos(kx)\cos(\omega t)$$
On a donc une onde stationnaire avec $\vb{E}$ et $\vb{B}$ en quadrature de phase. La valeur moyenne du vecteur de Poynting est alors nulle vu qu'une onde stationnaire ne propage pas d'énergie en moyenne.

On peut également appliquer les relations de passage en sachant que $\vb{E}=\vb{0}=\vb{B}$ dans un métal parfait :
\begin{systeme}
    \vb{E}(x=0)-\vb{0}=\dfrac{\sigma_S}{\varepsilon_0} \vb{e_x}\\
    \vb{B}(x=0)-\vb{0}=\mu_0\vb{j_S}\wedge\vb{e_x}
\end{systeme}
On trouve donc que $\sigma_S=0$ et que $\vb{j_S}=\dfrac{2}{c}\vb{E_0}e^{i\omega t}\neq\vb{0}$ et de même sens que $\vb{E_i}$.

\begin{center}
    \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/reflexion_metal_parfait_ventres_E_B.png}
\end{center}
}



\subsubsection{Incidence quelconque}

\begin{center}
    \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/reflexion_metal_reel_incidence_quelconque.png}
\end{center}

Cette fois, on considère une OPPH ayant un angle d'incidence par rapport à la normale noté $\alpha_i$. On note $\alpha_r$ l'angle de réflexion et $\alpha_t$ l'angle de réfraction. On a alors :
\begin{systeme}
    \vb{E_i}&=\vb{E_{0,i}}\exp(j(\omega t-\vb{k_i}\cdot\vb{x}) \\
    \vb{E_r}&=\vb{E_{0,r}}\exp(j(\omega t+\vb{k_r}\cdot\vb{x}) \\
    \vb{E_t}&=\vb{E_{0,t}}\exp(j(\omega t-\vb{k_t}\cdot\vb{x}) \\
\end{systeme}
On décompose alors chaque vecteur dans la base $\{\vb{e_\perp},\vb{e_\parallel}\}$ composée du vecteur unitaire normal à l'interface et du vecteur unitaire à la fois parallèle à l'interface et dans le plan d'incidence. On applique alors la continuité de la composante tangentielle de $\vb{E}$ à l'interface pour écrire
\begin{alignement}
    \vb{E_{\parallel,i}}\exp(j(\omega t-\vb{k_i}\cdot\vb{x})+\vb{E_{\parallel,r}}\exp(j(\omega t-\vb{k_r}\cdot\vb{x})&=\vb{E_{\parallel,t}}\exp(j(\omega t-\vb{k_t}\cdot\vb{x}) \\
    \iff \vb{E_{\parallel,i}}+\vb{E_{\parallel,r}}\exp(j(\vb{k_i}-\vb{k_r})\cdot\vb{x})&=\vb{E_{\parallel,t}}\exp(j(\vb{k_i}-\vb{k_t})\cdot\vb{x})
\end{alignement}
Cette relation est vraie pour tout vecteur $\vb{x}$ (car vraie en tout point de l'interface) donc on déduit que 
\begin{systeme}
    (\vb{k_i}-\vb{k_r})\cdot\vb{x}&=\vb{0} \Rightarrow \vb{k_i}=\vb{k_r}\\
    (\vb{k_i}-\vb{k_t})\cdot\vb{x}&=\vb{0} \Rightarrow \vb{k_i}=\vb{k_t}
\end{systeme}
Si on projette ces équations sur $\vb{e_\parallel}$, il vient 
\begin{systeme}
    \dfrac{\omega}{c}\sin\alpha_i &= -\dfrac{\omega}{c}\sin \alpha_r \\
    \dfrac{\omega}{c}\sin\alpha_i &= -n\dfrac{\omega}{c}\sin \alpha_t
\end{systeme}

\important{
\begin{systeme}
    \alpha_i=\alpha_r \quad &\text{(condition de réflexion)} \\
    \sin\alpha_i =n\sin\alpha_t \quad &\text{(condition de réfraction)}
\end{systeme}
}
On retrouve donc les lois de Snell-Descarte !! 




\transition{Bon on a parlé dans les applications de hautes fréquences dans un modèle à basses fréquences... mais que se passe-t-il quand on est \textbf{vraiment} à hautes fréquences ?}
\pagebreak


\section{Comportement en haute fréquence, cas des plasmas}
\subsection{Mise en équations}
Maintenant, on se place à $\omega>\dfrac{1}{\tau}$. On perd alors l'hypothèse d'électroneutralité, donc \textit{a priori} $\Nabla\cdot\vb{E} \neq 0$ et c'est la merde. Cependant, on va cacher le problème sous le tapis comme les bons physiciens que nous sommes et considérer des OPPH \textbf{transverses} donc pour lesquelles on a quand même $\Nabla\cdot\vb{E}= 0$.
Dans le régime hautes fréquences, la loi d'Ohm locale s'exprime $\vb{j}=\sigma\vb{E}$ avec une conductivité $\sigma=-i\dfrac{ne^2}{m\omega}$ \textbf{complexe} qui met en quadrature de phase $\vb{E}$ et $\vb{j}$ (donc tension et intensité). Cela signifie que la moyenne temporelle de la puissance volumique dissipée est nulle car $\moy{\vb{j}\cdot\vb{E}}=0$.
On ne sait pas encore comment se placer vis-à-vis de l'ARQS donc pour l'instant on s'en passe. Les équations de Maxwell s'écrivent alors
\begin{equation}
    \left\{\begin{aligned}
        \Nabla\cdot\vb{E}&= 0 &\qquad \text{(onde transverse)}\\   
        \Nabla \wedge \vb{E}&=-\derond{\vb{B}}{t}\\
        \Nabla\cdot\vb{B}&=0 \\
        \Nabla \wedge \vb{B}&=\mu_0\vb{j} + \dfrac{1}{c^2}\derond{\vb{E}}{t} &\qquad \text{(pas d'ARQS dans le doute)}
    \end{aligned}\right.
\end{equation}
En calculant $\Nabla\wedge(\Nabla\wedge\vb{E})$, et en écrivant la loi d'Ohm local en notation réelle, \textit{i.e.} $\vb{E}=\dfrac{m}{ne^2}\derond{\vb{j}}{t} $, on tombe sur l'\textbf{équation de Klein-Gordon}
\begin{equation}
    \boxed{\Delta \vb{E}-\dfrac{1}{c^2}\derondcarre{\vb{E}}{t}=\dfrac{\omega_p^2}{c^2}\vb{E} \qquad \text{avec} \qquad \omega_p=\sqrt{\dfrac{ne^2}{m\varepsilon_0}}}
\end{equation}
On prend une OPPH pour obtenir la relation de dispersion : 
\begin{equation}
    k^2=\dfrac{\omega^2-\omega_p^2}{c^2}
\end{equation}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/Klein_gordon.pdf}
    \caption{Relation de dispersion de Klein-Gordon}
    \label{fig:KG}
\end{figure}

\subsection{Discussion}
On distingue alors 2 cas :
\begin{itemize}
    \item $\omega>\omega_p$ : alors $k^2>0$ donc $k=\pm\sqrt{\dfrac{\omega^2-\omega_p^2}{c^2}}$ est réel.
    
    La vitesse de phase s'écrit alors $$v_\phi=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{\omega_p^2}{\omega^2}}} > c$$
    tandis que la vitesse de groupe vaut $$v_g=c\sqrt{1-\dfrac{\omega_p^2}{\omega}}<c$$
    Le milieu est donc dispersif (mais on rappelle qu'il est non absorbant).
    
    \item $\omega<\omega_p$ : alors $k$ est imaginaire pur donc on n'a pas de propagation. L'onde est décrite par une exponentielle stationnaire décroissante, et on peut l'appeler par abus de langage \textit{onde évanescente} (les puristes diront qu'une onde est évanescente uniquement si l'atténuation est dans la direction transverse à la propagation). En dehors du milieu, on a une onde stationnaire.
\end{itemize}
Le milieu se comporte comme un passe-haut.

\subsection{Réflexion sur un plasma}
\begin{itemize}
    \item Dans le cas $\omega>\omega_p$, on a $k=n\dfrac{\omega}{c}$ avec $n(\omega)=\sqrt{1-\dfrac{\omega_p^2}{\omega^2}}<1$ qui est un réel. On a donc une onde réfléchie et une onde transmise, et on n'observe pas de déphasage. Les coefficients de réflexion et de transmission sont donnés par 
    \begin{systeme}
        r=\dfrac{1-n}{1+n} \\
        t=\dfrac{2}{1+n}
    \end{systeme}
    Si $\omega\gg\omega_p$, $n\rightarrow 1$ et $r\rightarrow 0$ donc toute l'onde est transmise. On parle d'adaptation d'impédance.

    \item Cependant, si $\omega<\omega_p$, on a cette fois un indice imaginaire pur $n=-j\sqrt{\dfrac{\omega_p^2}{\omega^2}-1}$. Le coefficient de transmission en énergie étant défini par $T=\dfrac{\Re(n_2)}{\Re(n_1)}|t|^2$, on en déduit qu'il est nul : toute l'énergie est réfléchie.
\end{itemize}





\subsection{Application aux plasmas}

Un plasma est un milieu composé d’atomes ou de molécules partiellement ou complètement ionisés mais qui reste globalement électriquement neutre ; ainsi, un plasma d’hydrogène est composé d’atomes d’hydrogène, de protons (les noyaux d’hydrogène) et d’électrons libres, en proportions différentes selon la nature du plasma (plasma peu ou au contraire complètement ionisé).

Les exemples de plasmas dans la nature sont nombreux ; on peut citer : La magnétosphère et l’ionosphère terrestres, le coeur des étoiles, exemple de plasma chaud et très dense, les tubes à néon et le phénomène de la foudre (décharges électriques).

On trouve dans l'ionosphère terrestre $n\sim\SI{1e11}{\per\cubic\meter}$, et cela donne une fréquence plasma de l'ordre de $\nu_p\sim\SI{1e7}{\hertz}$.

Ainsi à $\nu\ll\nu_p$, les ondes sont réfléchies sur l'ionospère, ce qui explique la très grande distance de détection des ondes AM (Marconi 1901).

En revanche, à $\nu\gg\nu_p$, l'ionosphère est transparente, ce qui permet de la traverser pour, par exemple, communiquer avec les satellites.

\livre Centrale MP Physique 2012, Centrale PC Physique 1 2018, E3A PSI Physique 2007.

\livre Pour aller plus loin : Thèse du Docteur LI Feng\footnote{\url{https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00689864/document}}.

\end{document}