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\title{LP43 -- Évolution temporelle d'un système quantique à deux niveaux}


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\newenvironment{alignement}
    {\begin{equation}
    \begin{aligned}
    }
    {
    \end{aligned}
    \end{equation}
    }

\newenvironment{systeme}
    {\begin{equation}
    \left\{\begin{aligned}
    }
    {
    \end{aligned}\right.
    \end{equation}
    }

\newenvironment{systemein}
    {\left\{\begin{aligned}}
    {\end{aligned}\right.
    }


\date{\today}

\begin{document}

\titre{Aurélien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}

\subsection*{Niveau : L3}


\subsection*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 2017 : Il est intéressant que les candidats s’appuient sur un exemple de système quantique à deux niveaux d’énergie pour construire cette leçon.
    \item 2015 : Il est étonnant de voir cette leçon s’appuyer sur les états stationnaires sans aucun élément de justification. L’évolution d’un système quantique en régime forcé est trop souvent totalement négligée.\\ 
    Jusqu’en 2014, le titre était : Oscillateurs à deux degrés de liberté en mécanique classique et en mécanique quantique
\end{itemize}

\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{12 leçons de mécanique quantique}, \textbf{Basdevant}  & Intro, molécule d'ammoniac et Maser \\
\textit{Physique Quantique. tome 1, Fondements}, \textbf{Le Bellac}  &  $NH_3$ et RMN \\
\textit{Mécanique Quantique}, \textbf{Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë}  & En complément, formalisme général. \\
\textit{Mécanique}, \textbf{Pérez} & Analogie\\
\end{tabular}


\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Puits symétriques
 \item Effet tunnel
 \item Équation de Schrödinger
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item 
	\end{itemize}
\end{minipage}




\tableofcontents

\newpage

\setlength{\parskip}{1em}


\section*{Introduction}


\vspace{0.2cm}



\section[L'ammoniac]{Système à deux niveaux : exemple de la molécule d'ammoniac}

    \subsection{Modèle de la molécule d'ammoniac}
    \livre Basdevant p93, simulation : \url{https://phet.colorado.edu/fr/simulation/legacy/covalent-bonds}
    
    La molécule d'ammoniac NH$_3$ a la forme d'une pyramide dont le sommet est occupé par l'azote et la base est formée par les trois hydrogènes. À proprement parler, la molécule d'ammoniac a une infinité d'états. En effet, elle peut tourner autour de n'importe quel axe, se translater dans n'importe quelle direction et vibrer. C'est pourquoi on va faire quelques hypothèses : 
    \begin{itemize}
        \item La molécule ne tourne qu'autour de l'axe de symétrie noté $\axe$ passant par l'azote. Elle a donc un moment cinétique défini et on peut donc définir le sens de l'axe $\axe$ dans cette direction.
        \item La molécule a une impulsion nulle.
        \item La molécule ne vibre pas.
    \end{itemize}
    Grâce à ces hypothèses, on peut ramener la molécule d'ammoniac à un système à deux états : soit l'azote est à gauche du plan contenant les hydrogènes , soit il est à droite. Les deux états disponibles sont alors $\ket{\psi_G}$ quand l'azote est à gauche et $\ket{\psi_D}$ quand il est à droite.
    
    
    
    On note $\Pi$ le plan des 3 hydrogènes, $\axe$ l'axe normal à $\Pi$ passant par l'azote et, en prenant l'intersection avec le plan $\Pi$ comme origine pour $\axe$. Pour passer d'une configuration à l'autre, l'azote doit passer par le plan $\Pi$. On s'intéresse au mouvement quantique par rapport à $\Pi$ d'une "particule" fictive de masse réduite $m$ telle que 
    $$m=\dfrac{3m_Hm_N}{3m_H+m_H}$$
    On note $x$ la position de cette particule fictive sur l'axe $\axe$. On considère que les $x$ sont croissants quand on va dans le même sens que le moment cinétique de la molécule. On peut alors se demander comment varie l'énergie potentielle réelle $\mathcal{V}(x)$ en fonction de $x$.
    \begin{center}
        \includegraphics[width=.2\textwidth]{fig/azote_gauche.png}
        \includegraphics[width=.3\textwidth]{fig/notations_double_puits.png}
        \includegraphics[width=.2\textwidth]{fig/azote_droite.png}
    \end{center}
    L'évolution de $\mathcal{V}(x)$ peut être comprise qualitativement de la façon suivante : si $x = b$, $\mathcal{V}(x)$ passe par un minimum, et si on oblige $x$ à diminuer, l'énergie croît puis passe par un maximum pour $x = 0$ qui correspond à l'état instable pour lequel les quatre atomes sont dans le même plan. Si $x$ devient négatif, nous avons "retourné" la molécule comme un parapluie. Manifestement il existe donc un autre minimum pour $x = -b$ et l'énergie $\mathcal{V}(x)$ est symétrique par rapport à l'origine : $\mathcal{V}(x)=-\mathcal{V}(-x)$. Dans la suite, nous allons remplacer le potentiel réel $\mathcal{V}(x)$ par le potentiel carré $V(x)$.
    
    
    
    
    
    
    
    \remarque{Ordres de grandeur}{Pour l'ammoniac, $V_0=0.25$ eV et $b=\SI{0.4}{\angstrom}$.}
    
    
    \subsection{Cas de non couplage : barrière infinie}
    Commençons par le cas où $V_0$ est infini. On a alors 2 puis symétriques dont l'étude a été vue en pré-requis (\livre LP40). À l'issue de cette étude, on a 
    \begin{systeme}
        \psi_D(x)&=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\bigcro{\dfrac{n\pi}{a}\bigpar{b+\dfrac{a}{2}-x}}  \qquad \text{si } x\in\bigcro{b-\dfrac{a}{2}; b+\dfrac{a}{2}} \\
        \psi_G(x)&=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\bigcro{\dfrac{n\pi}{a}\bigpar{b+\dfrac{a}{2}+x}}  \qquad \text{si } x\in\bigcro{-b-\dfrac{a}{2}; -b+\dfrac{a}{2}}
    \end{systeme}
    avec $n\in\mathbb{N}^*$. On avait alors une quantification de l'énergie avec $\E_n=\dfrac{\hbar^2k_n^2}{2m}=\dfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$. La situation se résume donc globalement à deux oscillateurs quantiques \textbf{indépendants}.  
    
    
    
    Raisonnons sur l'état fondamental $\E_0$ qui correspond à $n=1$. Tout état quantique de la particule peut être décomposé sur la base $\{\ket{\psi_G},\ket{\psi_D}\}$ sous la forme :
    \begin{equation}
        \ket{\psi}=c_G(t)\ket{\psi_G}+c_D(t)\ket{\psi_D}
    \end{equation}
    Cependant, on n'a pour l'instant aucun couplage donc $\ket{\psi}=c_G(t)\ket{\psi_G}$ ou $\ket{\psi}=c_D(t)\ket{\psi_D}$, avec dans les deux cas une énergie $\E_0$. On peut donc écrire le hamiltonien du système sous la forme matricielle
    $$H=\matrice{\E_0&0\\0&\E_0}$$
    L'équation de Schrödinger donne $i\hbar\derond{c_G}{t}=\E_0c_G$ et $i\hbar\derond{c_D}{t}=\E_0c_D$ si bien que
    \begin{systeme}
        c_G(t)&=\alpha_G\exp\bigpar{-i\dfrac{\E_0}{\hbar}t} \\
        c_D(t)&=\alpha_D\exp\bigpar{-i\dfrac{\E_0}{\hbar}t}
    \end{systeme}
    Du fait que ces deux états soient symétriques par rapport à $\Pi$, ils ont la même énergie donc ils sont \textbf{dégénérés}. Si on suppose qu'à $t=0$, la molécule est dans l'état $\ket{\psi_G}$, alors $\alpha_G=1$ et $\alpha_D=0$ donc pour tout instant $t$, $c_D(t)=0$. La probabilité de trouver la molécule dans l'état $G$ vaut $\PP_G(t)=1$ tandis que la probabilité de trouver la molécule dans l'état $D$ vaut $\PP_D(t)=0$. 
    
    
    
    \subsection{Couplage par effet tunnel}
    En réalité, $V_0$ n'est pas infini et on a un couplage. L'atome d'azote peut passer d'un côté ou de l'autre du plan et changer d'état, même si son énergie est inférieure à $V_0$ grâce à l'effet tunnel, détaillé dans la \livre LP41. Pour écrire le nouveau hamiltonien prenant en compte ce couplage, on utilise la méthode de perturbation en écrivant 
    $$H=H_0+W=\E_0'\matrice{1&0\\0&1}-A\matrice{0&1\\1&0} \qquad \Rightarrow \qquad H=\matrice{\E'_0 & -A \\ -A & \E'_0}$$
    Le terme énergétique $A$ traduit le passage d'un état à un autre et sa valeur indique si le tunnelage est favorisé ou non, en particulier $A=0$ correspond à un tunnelage impossible. Typiquement, $2A \sim 10^{-4}$ eV, ce qui est faible comparé aux 0.025 eV dûs à l'énergie thermique. De manière générale, il est donc difficile de tunneler.
    Le fait que la particule puisse être présente dans la barrière énergétique induit une délocalisation et donc un abaissement de l'énergie qui donne $\E'_0<\E_0$.
    On va se placer dans le cas de \textbf{faible couplage} $A\ll\E'_0$, et on ne s'intéresse donc qu'au fondamental. L'équation de Schrödinger donne la relation matricielle
    \begin{equation}
        i\hbar\matrice{\dot c_G \\ \dot c_D} = \matrice{\E'_0 & -A \\ -A & \E'_0}\matrice{c_G\\c_D}
    \end{equation}
    Après diagonalisation du hamiltonien, on obtient 2 énergies propres :
    \begin{systeme}
        \E_S&=\E'_1-A \Rightarrow \text{état symétrique de vecteur propre  } &\ket{\psi_S}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\psi_G}+\ket{\psi_D}) \\
        \E_A&=\E'_1+A \Rightarrow \text{état antisymétrique de vecteur propre  } &\ket{\psi_A}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\psi_G}-\ket{\psi_D}) 
    \end{systeme}
    On observe alors une \textbf{levée de dégénérescence} en énergie grâce au couplage par effet tunnel.
    
    
    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=.3\textwidth]{fig/fonction_onde_ammoniac.png}
        \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/degenerescence_ammoniac.png}
        \caption{À gauche : fonction d'onde $\ket{\psi_G}$ et $\ket{\psi_G}$ dans le cas découplé (en haut) et fonctions d'onde $\ket{\psi_S}$ et $\ket{\psi_A}$ dans le cas couplé (en bas). À droite : levée de dégénérescence due à l'effet tunnel.}
        \label{fig:degenerescence}
    \end{figure}
    
    
    \subsection{Étude dynamique}
    Posons 
    $$\begin{systemein}
        u_S(t)&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(c_G(t)+c_D(t)) \\
        u_A(t)&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(c_G(t)-c_D(t))
    \end{systemein}$$
    Dans la base des états diagonalisés, on a 
    $$\begin{systemein}
        u_S(t)&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(c_G(t)+c_D(t))=B_S \exp\bigpar{-i\dfrac{\E'_0-A}{\hbar}t} \\
        u_A(t)&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(c_G(t)-c_D(t))=B_S \exp\bigpar{-i\dfrac{\E'_0+A}{\hbar}t}
    \end{systemein}$$
    On obtient donc
    \begin{equation}
        \boxed{\begin{systemein}
            c_G(t)&=\dfrac{B_S}{\sqrt{2}}\exp\bigpar{-i\dfrac{E'_0-A}{\hbar}t}+\dfrac{B_A}{\sqrt{2}}\exp\bigpar{-i\dfrac{E'_0+A}{\hbar}t}   \\    
            c_D(t)&=\dfrac{B_S}{\sqrt{2}}\exp\bigpar{-i\dfrac{E'_0-A}{\hbar}t}-\dfrac{B_A}{\sqrt{2}}\exp\bigpar{-i\dfrac{E'_0+A}{\hbar}t} 
        \end{systemein}}
    \end{equation}
    
    Supposons qu'à $t=0$ la molécule soit dans l'état $\ket{\psi_G}$. On a donc 
    $$\begin{systemein}
        c_G(t=0)&=1 \\
        c_D(t=0)&=0
    \end{systemein} \qquad \Rightarrow \qquad B_S=B_A=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$
    À l'instant $t$, on a donc
    \begin{equation}
        \begin{systemein}
            c_G(t)&=\dfrac{1}{2}\exp\bigpar{-i\dfrac{E'_0-A}{\hbar}t}+\dfrac{1}{2}{\sqrt{2}}\exp\bigpar{-i\dfrac{E'_0+A}{\hbar}t} = \exp\bigpar{-i\dfrac{\E'_0}{\hbar}t}\cos\bigpar{\dfrac{A}{\hbar}t} \\    
            c_D(t)&=\dfrac{1}{2}\exp\bigpar{-i\dfrac{E'_0-A}{\hbar}t}-\dfrac{1}{2}{\sqrt{2}}\exp\bigpar{-i\dfrac{E'_0+A}{\hbar}t} = i\exp\bigpar{-i\dfrac{\E'_0}{\hbar}t}\sin\bigpar{\dfrac{A}{\hbar}t}
        \end{systemein}
    \end{equation}
    On obtient donc les probabilité :
    \begin{equation}
        \boxed{\begin{systemein}
            \PP_G(t)&=\modcarre{c_G(t)}=\cos^2\bigpar{\dfrac{A}{\hbar}t} \\
            \PP_D(t)&=\modcarre{c_D(t)}=\sin^2\bigpar{\dfrac{A}{\hbar}t}
        \end{systemein}}
    \end{equation}
    On obtient alors une oscillations des probabilités à la pulsation $\boxed{\omega_0=\dfrac{2A}{\hbar}}$.
    
    \remarque{Remarque}{On retrouve bien le cas découplé quand $A=0$}
    
    \remarque{Ordres de grandeur}{\begin{itemize}
        \item pour l'ammoniac, $2A \simeq 10^{-4}$ eV donc $\omega_0 = \SI{1.5e11}{\radian\per\second}$, ce qui correspond à $\nu_0=\SI{24}{\giga\hertz}$
        \item pour l'éthylène, $2A \simeq 1$ eV donc $\omega_0 = \SI{1.5e15}{\radian\per\second}$, ce qui correspond à $\nu_0=\SI{240}{\tera\hertz}$. Les électrons $\pi$ de l'éthylène s'échangent plus rapidement
        que l'azote de l'ammoniac ne change de côté par rapport au plan des 3 hydrogènes.
        \item pour AsH$_3$, $\omega_0 = \SI{e-8}{\radian\per\second}$, ce qui correspond à un période de 20 ans !
    \end{itemize}}
    
    \subsection{Généralités sur les systèmes à deux niveaux et retour sur les hypothèses}
    Les systèmes à deux niveaux sont les systèmes les plus simples à étudier dans le formalisme matriciel de la mécanique quantique, d’où l’intérêt qu’on leur porte... Mais sont-ils vraiment représentatifs de la réalité ? On peut décrire un système à deux niveaux de façon \livre Basevant p.127 :
    \begin{itemize}[label={--}]
        \item \textbf{exacte :} Il existe beaucoup d’exemples dans la physique quantique de système réellement à deux niveaux, comme le moment magnétique de l’électron, les mésons K et B neutres, ou le problème de masse des neutrinos.
        \item \textbf{approchée :} Molécule d’ammoniac et beaucoup d’autres.
    \end{itemize}
    
    
    \noindent Dans le cas de la molécule d’ammoniac, il est évident que la physique complète est bien plus complexe que juste deux niveaux. Comme on l'a dit, il faudrait théoriquement prendre en compte toutes les orbitales des électrons, les degrés de liberté de rotation, translation, vibration. Il est donc important de vérifier qu'approximation est valide en faisant l’hypothèse de deux niveaux (\livre Le Bellac p.157) :
    $$\begin{systemein}
    \Delta \E_\text{vibr} &\simeq 0.1 \ \text{eV} \gg A \\
    \Delta \E_\text{rota} &\simeq 10^{-3} \ \text{eV} = 10A 
    \end{systemein}$$ 
    donc on peut se permettre de négliger les modes de vibration et un peu moins les modes de rotations. 
    
    
    De plus, on a $2A\simeq 10^{-4}$ eV, et le premier état excité correspond à $n=2$ et a pour énergie $\E_1=\dfrac{2^2\hbar^2\pi^2}{2ma^2}=\dfrac{4\hbar^2\pi^2}{2ma^2}$. On a donc $\E_1-\E_0=\dfrac{3\hbar^2\pi^2}{2ma^2}\simeq 0.12$ eV pour $a\simeq b =\SI{0.4}{\angstrom}$ et $m=\dfrac{3m_Hm_N}{3m_H+m_H}$.En conclusion, on a bien $\boxed{\E_1-\E_0 \gg A}$ : on a eu raison de ne s'intéresser qu'au fondamental.
    
    
    Notons quand même que la molécule n'est pas dans son état fondamental de rotation à cause de l'agitation thermique puisque $k_BT\simeq0.025 \ \text{eV} > \Delta \E_\text{rota}$ donc les modes de rotations sont thermiquement excités. \\
    Cependant, en calculant cette énergie thermique on se rend compte que $V_0=0.25 \ \text{eV} > k_BT$. On a donc un phénomène que la mécanique classique prévoit comme étant impossible mais qui peut être expliqué avec la mécanique quantique.

    
\section{Évolution forcée}
    \subsection{Couplage de NH$_3$ à un champ électrique}
    
    La molécule d'ammoniac présente un moment dipolaire $\vb{D}$ porté par l'axe de la molécule, dirigé de l'atome d'azote vers le plan des hydrogènes (différence d'électronégativité, 3 contre 2.2 sur l'échelle de Pauling).
    
    On va ainsi étudier l'influence de ce moment dipolaire sur la molécule, en champ électrique ! Dans la base $\left\{\ket{\phi_G},\ket{\phi_D}\right\}$, l'opérateer position s'écrit $\matrice{b & 0\\ 0 & b}$.
    
    Si on se place dans la base diagonalisant le Hamiltonien, à savoir $\left\{ \ket{\phi_S},\ket{\phi_A} \right\}$, on peut réécrire l'opérateur position $\matrice{0&b'\\b'&0}$. On suppose que l'observable moment dipolaire est proportionnelle à l'observable position, ce qui fait sens quand on y réfléchit.
    
    \begin{equation}
        \hat{D}=\dfrac{\hat{X}d}{b'}=\matrice{0&d\\d&0}
    \end{equation}
    
    où $d$ est un paramètre mesurable de la molécule, de l'ordre de $\SI{3e-11}{\electronvolt\meter\per\volt}=\SI{5e-30}{\coulomb\meter}$. On vérifie bien que les valeurs propres sont $\pm d$, et que le moment dipolaire se retourne lorsque la molécule se retourne.
    
    On place la molécule dans un champ statique $\vb{E}\parallel\vb{u_x}$ l'axe de potition. On a alors une énergie à rajouter au Hamiltonien :
    
    \begin{equation}
        W=-\vb{D}\cdot\vb{E}
    \end{equation}
    
    On a donc pour le Hamiltonien :
    
    \begin{equation}
        H_e=H+W=\matrice{\E_0'-A & 0\\0 & \E_0'+A}+\matrice{0&-Ed\\-Ed&0}=\matrice{\E_0'-A & -Ed\\-Ed&\E_0'+A}
    \end{equation}
    
    On va maintenant procéder à une habile restructuration\footnote{This is what is called a pro-gamer move.}. On nomme $\eta=Ed$ :
    
    \begin{equation}
        H_e=\E_0'\mathbb{1}-\sqrt{A^2+\eta^2}\matrice{\dfrac{A}{\sqrt{A^2+\eta^2}}&\dfrac{\eta}{\sqrt{A^2+\eta^2}}\\\dfrac{\eta}{\sqrt{A^2+\eta^2}}&\dfrac{-A}{\sqrt{A^2+\eta^2}}}
    \end{equation}
    
    On va habilement constater que les coefficients de cette dernière matrice sont entre $-1$ t $1$, et poser un angle intelligent :
    
    \begin{equation}
    \tan(2\theta)=\dfrac{\eta}{A}
    \end{equation}
    
    Alors on a
    
    \begin{equation}
        H_e=\E_0'\mathbb{1}-\sqrt{A^2+\eta^2}\matrice{\cos&\sin\\\sin&-\cos}(2\theta)
    \end{equation}
    
    \important{
    Une diagonalisation de l'objet donne alors, dans une base $\{ \ket{\phi_-},\ket{\phi_+} \}=\left\{ \matrice{\cos\theta\\\sin\theta},\matrice{-\sin\theta\\\cos\theta} \right\}$, les valeurs propres (et donc les énergies) $\E_\pm=\E_0'\pm\sqrt{A^2+\eta^2}$.
    }
    
    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=.3\textwidth]{fig/molecule_ammoniac_niveaux_energie_avec_champ.png}
        \caption{On voit ici tracé les deux valeurs propres en fonction de la valeur du champ $E$. Ce que l'on voit c'est qu'à champ faible, on perturbe de manière minime, alors qu'à champ fort, on rapproche les deux solutions de $\ket{\phi_G}$ et $\bra{\phi_D}$, car on pousse la molécule à ne se mettre que d'un côté.}
        \label{fig:racine}
    \end{figure}
    
    \subsubsection*{Champ faible}
    
    Une étude mathématique plus avancée en faisant un petit développement limité sur $\eta\ll A$ en champ faible donne bien ce à quoi on s'attend, à savoir que le champ polarise partiellement la molécule.
    
    \begin{systeme}
    \E_\pm&=\E_0'\pm\left( A+\dfrac{E^2d^2}{2A} \right)\\
    \ket{\phi_-}&=\ket{\phi_S}+\dfrac{Ed}{2A}\ket{\phi_A}\\
    \ket{\phi_+}&=\ket{\phi_A}-\dfrac{Ed}{2A}\ket{\phi_S}
    \end{systeme}
    
    On peut alors donner son moment dipolaire :
    
    \begin{equation}
        \moy{\hat{D}}_{\ket{\phi_\pm}}\sim\mp\dfrac{d^2}{A}E\qquad\text{avec }\dfrac{d^2}{A}\text{ la polarisabilité de la molécule}
    \end{equation}
    
    On peut définir une énergie potentielle d'interaction avec le champ : $E_p^E=\dfrac{E^2d^2}{2A}$a On a alors une force $\vb{F}_\pm=\mp\Nabla\left( \dfrac{E^2d^2}{2A} \right)$, qui touche respectivement les états d'énergie propre $E_\pm$. En plongeant dans un champs, on sépare les deux états !
    
    \subsection*{Champs fort}
    
    On fait maintenant le DL inverse : $\eta\gg A$ :
    
    \begin{systeme}
        \E_\pm&=\E_0'\pm Ed\\
        \ket{\phi_-}&=\ket{\phi_D}\\
        \ket{\phi_+}&=-\ket{\phi_G}
    \end{systeme}
    
    Et on a $\moy{\hat{D}}_\mp=\pm d$, on retrouve un dipôle tout ce qu'il y a de plus normal !
    
    \subsection{Application au MASER}
    \livre Basdevant, p. 142. C'est super bien expliqué.
    
    Lorsque l'état de haute énergie est excité, il peut se désexciter et libérer un photon, comme dans un laser\footnote{ANACHRONIIIIIISME !}. C'est d'ailleurs là le principe de l'effet MASER (1964).
    
    Le principe de cet effet est d'obliger les molécules dans l'état excité à retomber dans l'état fondamental. Spontanément les molécules se désexitent avec une durée caractéristiques de 1 mois. Pas super pratique pour en faire une source de photons.
    
    On va alors soumettre les molécules à un champ tournant, $E=E_0\cos\omega t$. On note $\eta = dE_0$
    
    \begin{equation}
        H_e=\matrice{\E_0'-A&-\eta\cos\omega t\\-\eta\cos\omega t&\E_0'+A}
    \end{equation}
    
    On applique la sacrosainte équation de Schrödinger pour connaître l'évolution de ce hamiltonien. Pour se faire on décompose $\ket{\phi}=s(t)\ket{\phi_S}+a(t)\ket{\phi_A}$, et on pose comme condition initiale $\ket{\phi(0)}=\ket{\phi_A}$.
    
    \begin{systeme}
        i\hbar\dot s=(\E_0-A)s-\eta a\cos\omega t\\
        i\hbar\dot a=(\E_0-A)a-\eta s\cos\omega t
    \end{systeme}
    
    En divisant par $\hbar$ on fait apparaître deux pulsations, $\omega_1=\dfrac{\eta}{\hbar}$ et $\omega_A=2\dfrac{A}{\hbar}$.
    
    On a les équations de départ, pour aller plus loin on effectue la méthode du référentiel tournant dont
    les calculs sont présentés dans le \livre Basdevant, p.141. Il est important de noter que dans ce cas de forcage
    sinusoïdal, le problème n’est pas solvable analytiquement dans le cas général. Nous ne présenterons des
    résultats que dans le cas d’un forcage résonant, c’est à dire pour $\omega$ = $\omega_0$ en négligeant les termes oscillant rapidement, \textit{i.e.} les termes en $\exp\left( it(\omega+\omega_A) \right)$.
    
    
    Physiquement, on force en envoyant un signal oscillant à la fréquence correspondante à l’écart d’énergie entre les états A et S. On force ainsi les transferts entre ces deux états, et on fait de l'émission stimulée.
    
    Dans ce cas là, la probabilité de transition de A vers S est $\PP_{A\rightarrow S}(\omega=\omega_0)$ s'écrit :
    
    \begin{equation}
        \PP_{A\rightarrow S}(\omega=\omega_0)(t)=\dfrac{\omega_1^2}{(\omega-\omega_A)^2+\omega_1^2}\sin^2\left( \sqrt{(\omega-\omega_A)^2+\omega_1^2}\dfrac{t}{2} \right)
    \end{equation}
    
    On observe les oscillations de Rabi ! On maximise la probabilité de transition pour une résonance lorentzienne, comme montré dans le code \texttt{rabi.py}. La probabilité maximale de transition est atteinte ssi $\omega=\omega_0$. On émet alors un rayonnement de fréquence $\nu=\dfrac{\omega_0}{2\pi}=24$ GHz.
    
    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/Rabi.png}
        \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/schema_principe_MASER.png}
        \caption{Les oscillations de Rabi, et le schéma du principe du premier MASER.}
        \label{fig:rabi}
    \end{figure}
    
    \textbf{OdG :} $T\sim\SI{7e-8}{\second}$ pour $E_0=10^3$ V/m.
    
    \subsection{Analogie à la RMN}
    
    La force de cette étude est quelle est extrapolable à tout système à deux niveau ! En particulier pour les spin 1/2... On utilise aussi les oscillations de Rabi dans la RMN. On n’a juste à dresser le tableau
    d’analogie !
    
    Le moment magnétique est lié à son moment cinétique par la relation fondamentale du rapport gyromagntique : $\vb\mu=\gamma\vb{J}$. $\gamma$ dépend des molécules, et donne des infos sur l'environnement chimique des liaisons.

    $$
    \footnotesize{
    \begin{array}{|c|c|c|}
        \hline &&\\
         & \text{MASER} & \text{Spin 1/2 et RMN}
        \\&&\\ \hline &&\\
        \text{Base de travail} &
        \ket{\phi_S},\ket{\phi_A}
        & \ket{+},\ket{-}
        \\&&\\ \hline &&\\
        \text{Hamiltonien} &
        \matrice{E_0'-A & -\eta\cos(\omega t)\\-\eta\cos(\omega t)&E_0'+A}&
        -\dfrac{\gamma g}{2}\matrice{B_0&B_1e^{-i\omega t}\\B_1e^{i\omega t}&-B_0}
        \\&&\\ \hline &&\\
        \text{Pulsations caractéristiques}&
        \begin{systemein}
            \omega_0&=\dfrac{2A}{\hbar}\\\omega_1&=\dfrac{\varepsilon_0d}{\hbar}
        \end{systemein}&
        \begin{systemein}
            \omega_0&=-\dfrac{g\gamma B_0}{\hbar}\\\omega_1&=\dfrac{g\gamma B_1}{\hbar}
        \end{systemein}
        \\&&\\ \hline &&\\
        \text{Équation de Schrödinger} &
        \begin{systemein}
            i\hbar\dot{a}&=(E_0'-A)a-\eta\cos(\omega t)b\\i\hbar\dot{b}&=-\eta\cos(\omega t)a+(E_0'+A)b
        \end{systemein}&
        \begin{systemein}
            i\dot{a}_+&=\dfrac{\omega_0}{2}a_++\dfrac{\omega_1}{2}e^{-i\omega t}a_- \\ i\dot{a}_-&=\dfrac{\omega_1}{2}e^{+i\omega t}a_++\dfrac{\omega_0}{2}a_-
        \end{systemein}
        \\&&\\ \hline &&\\
        \text{Changement de variables} &
        \begin{systemein}
            \alpha(t)&=a(t)\exp\left(i\dfrac{E_0'-A}{\hbar}t\right) \\ \beta(t)&=b(t)\exp\left(i\dfrac{E_0'+A}{\hbar}t\right)
        \end{systemein}&
        b_\pm(t)=a_\pm(t)\exp\left( \pm i\dfrac{\omega}{2}t \right)
        \\ &&\\ \hline &&\\
        \text{Schrödinger simplifiée} & \begin{systemein}
        2i\dot\alpha &= -\omega_1 \bigpar{e^{i(\omega-\omega_0)t}+e^{-i(\omega+\omega_0)t}}\beta \\
        2i\dot\beta &= -\omega_1 \bigpar{e^{-i(\omega-\omega_0)t}+e^{i(\omega+\omega_0)t}}\alpha \\
        \end{systemein}
        & \ddot{b}_\pm+\bigpar{\dfrac{\Omega}{2}}^2b_\pm=0
        \\&&\\ \hline &&\\
        \text{Approximation} &
        \text{Approximation séculaire} & \text{Pas d'approximation}
        \\ &&\\ \hline &&\\ 
        \text{Fonction d'onde} & \ket{\phi(t)}=\matrice{
            \sin\bigpar{\dfrac{\omega_1}{2}t}\exp\bigpar{-i\dfrac{E_0'-A}{\hbar}t} \\
            \cos\bigpar{\dfrac{\omega_1}{2}t}\exp\bigpar{-i\dfrac{E_0'+A}{\hbar}t}
        }
        &
        \ket{\phi(t)}=\matrice{
            -i\dfrac{\omega_1}{\Omega}\sin\bigpar{\dfrac{\Omega}{2}t}\exp\bigpar{i\dfrac{\omega}{2}t} \\
            \bigcro{\cos\bigpar{\dfrac{\Omega}{2}t}+i\dfrac{\omega-\omega_0}{\Omega}\sin\bigpar{\dfrac{\Omega}{2}t}}\exp\bigpar{-i\dfrac{\omega}{2}t}
        }
        \\&&\\\hline &&\\
        \text{Probabilité de transition} & \PP(t)=\cos^2\bigpar{\dfrac{\omega_1}{2}t}
        & \PP(t)=\bigpar{\dfrac{\omega_1}{\Omega}}^2\sin^2\bigpar{\dfrac{\omega_1}{2}t}
        \\&&\\ \hline 
    \end{array}
    }
    $$

\section*{Conclusion}
L'équivalent visible du Maser, c'est le Laser, donc on expliquera le principe peut-être.


\end{document}

