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\title{LP49 -- Oscillateurs, portraits de phase et non-linéarités}



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\newenvironment{alignement}
    {\begin{equation}
    \begin{aligned}
    }
    {
    \end{aligned}
    \end{equation}
    }

\newenvironment{systeme}
    {\begin{equation}
    \left\{\begin{aligned}
    }
    {
    \end{aligned}\right.
    \end{equation}
    }

\newenvironment{systemein}
    {\left\{\begin{aligned}}
    {\end{aligned}\right.
    }


\date{\today}

\begin{document}

\titre{Aurélien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}

\subsection*{Niveau : L3}


\subsection*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 2017 : Les définitions d’un oscillateur et d’un portrait de phase sont attendues. La leçon doit présenter des systèmes comportant des non-linéarités.
    \item 2015 : L’intérêt de l’utilisation des portraits de phase doit ressortir de la leçon.
    \item 2013 : [À propos du nouveau titre] Les aspects non-linéaires doivent être abordés dans cette leçon sans développement calculatoire excessif, en utilisant judicieusement la notion de portrait de phase. Une simulation numérique bien présentée peut enrichir cette leçon.\\
    Jusqu’en 2013, le titre était : Exemples d’effets de non linéarité sur le comportement d’un oscillateur.
    \item 2011, 2012 : Une simulation numérique bien présentée peut enrichir cette leçon.
    \item 2010 : L’analyse de l’anharmonicité des oscillations du pendule pesant ne constitue pas le coeur de la leçon. Différents effets des non linéarités doivent être présentés.
    \item 2007, 2008 : Le régime forcé des oscillateurs non linéaires est également envisageable.
    \item 2003 : La leçon ne doit pas se limiter à une résolution d’équations différentielles non linéaires. Une discussion des effets en liaison avec la forme de l’énergie potentielle peut être intéressante. La présentation d’un oscillateur de van der Pol précablé sur une plaquette reste trop souvent théorique. En quoi ce système est-il représentatif de problèmes usuels en électronique ?\\
    Jusqu’en 2002, le titre était : Exemples d’effets de non linéarité sur le comportement d’un oscillateur.
    \item 2000 : Celle leçon est parfois présentée de façon très abstraite. Par ailleurs on doit s’efforcer de varier les exemples, en tout cas de ne pas les limiter exclusivement à l’électronique.
    \item 1999 : La simple étude de la non-linéarité du pendule simple et du vase de Tantale ne peut suffire. Il faut dégager clairement, sur différents exemples, l’impact des non-linéarités sur (selon les cas) la période, l’amplitude des oscillations, voire la forme du signal, sa valeur moyenne.
    \item 1997 : Le jury regrette que certains candidats passent beaucoup de temps à traiter de l’effet relativement banal de certaines non-linéarités, comme l’influence de l’amplitude du mouvement sur la période d’oscillation d’un pendule, sans évoquer les phénomènes, beaucoup plus riches, d’instabilités ou de transition vers le chaos.
\end{itemize}

\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Mécanique 1}, \textbf{Faroux, Renault}  & Pendule Non-linéaire \\ 
\textit{Non-linear dynamics and Chaos}, \textbf{Strogatz}  & Généralités sur les Systèmes dynamiques \\ 
\href{https://www.emse.fr/~bonnefoy/Public/SD-EMSE.pdf}{Cours des mines de Sainté} & Plus court que le Strogatz\\
\textit{Electronique expérimentale}, \textbf{Krob}  & Aspects pratiques du Van der Pol, si jamais \\ 
\textit{Physique des solitons}, \textbf{Peyrard, Dauxois}  & Dispensable, Des équations non-linéaires en physique \\
\textit{Leçon de Vincent Martos}, \textbf{Vincent Martos} & \url{http://perso.ens-lyon.fr/vincent.martos}
\end{tabular}


\noindent

\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Mécanique du point
 \item Plan de phase
 \item Électrocinétique
 \item Oscillateurs linéaires
 \item Mathématiques (Taylor)
\end{itemize}


\tableofcontents

\newpage

\setlength{\parskip}{1em}


\section*{Introduction}
Un oscillateur est un système décrit par une ou plusieurs grandeurs périodiques. La grande star des oscillateurs est bien entendu l'oscillateur harmonique qui est un modèle très utilisé de par le fait que tout système conservatif peut être ramené à un oscillateur harmonique oscillant autour de sa position d'équilibre. De plus, cet oscillateur a le bon goût d'être linéaire, et l'étdue des systèmes linéaires est également très répandue en physique. En effet, les systèmes linéaires ont la propriété de vérifier le principe de superposition : on peut alors les diviser en parties indépendantes plus faciles à résoudre puis ensuite recombiner les résultats pour trouver la solution générale. La transformée de Fourier ou de Laplace sont d'ailleurs des exemples d'outils analytiques développés pour étudier les systèmes linéaires.

\noindent Malheureusement, la réalité n'est pas aussi simple. En effet, la plupart des systèmes ne sont pas linéaires et l'oscillateur harmonique n'est souvent qu'une approximation de la réalité. Cette leçon a ainsi pour objectif d'étudier les systèmes non-linéaires à travers les oscillateurs.



\section{Oscillateurs linéaires}
\subsection{Définition du plan de phase}
Lorsqu'on étudie un oscillateur linéaire à un degré de liberté caractérisé par un variable $x$, on peut définir au sens de la mécanique lagrangienne la variable conjuguée $y=\dot x$. L'équation différentielle d'ordre 2 décrivant l'évolution du système peut alors s'écrire sous la forme d'une système de 2 équations d'ordre 1 :
\begin{systeme}
    y&=\dot x \\
    \dot y &= \ddot x= -\omega_0^2 x
\end{systeme}
Notons que cette technique peut être appliquée à n'importe quelle équation d'ordre 2 à une dimension de la forme $\ddot x + f(x,\dot x)=0$.
\important{On peut alors représenter l'état d'un système à un degré de liberté à tout instant par un point dans le plan $(x,y)$ appelé \textbf{plan de phase}. Le système décrit alors au cours de son évolution une trajectoire dans le plan de phase appelée \textbf{trajectoire de phase}. L'ensemble des trajectoires de phase que peut décrire un système forme son \textbf{portrait de phase}.}
L'intérêt des portraits de phase est de remplacer deux graphes $x(t)$ et $y(t)$ par un seul graphe $y(x)$ où le temps devient un paramètre implicite. Les trajectoires de phase ne dépendent alors que des conditions initiales et d'un éventuel forçage, phénomène qu'on appelle le \textit{déterminisme mécanique}.    


\subsection{Portrait de phase de l'oscillateur harmonique}
En étudiant les propriété du portrait de phase, on peut en déduire des informations sur le système (ou l’inverse)
\begin{itemize}
    \item Trajectoires fermées $\iff$ L’évolution du système est périodique : après un certain temps, il revient dans le même état $(x, y)$
    \item Trajectoires elliptiques $\iff$ Caractéristique de l’oscillateur harmonique : la conservation de l’énergie mécanique donne l’équation d’une ellipse. On peut l’obtenir en multipliant l’équation d’évolution par $\dot x$ et en intégrant : on obtient alors $$\dfrac{\dot x^2}{2}+\omega_0^2\dfrac{x^2}{2}=\mathcal{E}$$
    
    \remarque{Remarque}{On peut appliquer cette méthode à tout système de la forme $\ddot x + f(x)=0$ pour obtenir $\dfrac{1}{2}\dot x^2 + F(x)=\mathcal{E}$. On peut alors tracer l'allure du potentiel et en déduire qualitativement les trajectoires de phase.}
    
    \item Non-croisement des trajectoires $\iff$ Système libre : L’unicité de la solution de l’équation différentielle impose que deux systèmes de conditions initiales différentes ne peuvent pas se trouver au même point du plan de phase au même moment.
    \item Symétrie par rapport à l’axe des $x$ $\iff$ Mouvement réversible : la transformation $t\leftrightarrow -t$ change $y$ en $-y$ mais n'a aucun impact sur $x$. Notons que la symétrie par rapport à l'axe des $y$ n'est pas une propriété générale des oscillateurs et est liée à la symétrie du problème.
    \item Unique point fixe en (0, 0) $\iff$ Système linéaire libre : (0, 0) est forcément une solution, et si elle existe alors c’est une position d’équilibre. Il n'y a donc aucun déplacement en ce point, et les oscillations se font autour de ce point.
\end{itemize}



\subsection{Portrait de phase de l'oscillateur amorti}
Maintenant, on ajoute un terme de dissipation à l'équation d'évolution, qui devient $\ddot x +\dfrac{1}{\tau}\dot x + \omega_0^2 x = 0$. L'ajout de ce terme dissipatif va modifier l'évolution du système et le faire tendre vers le point $(0,0)$ du portrait de phase peu importe les conditions initiales. On dit alors que le point $(0,0)$ est un \textbf{attracteur}.

\noindent De manière générale, un attracteur et un sous-espace de l'espace des phases vers lequel tend une partie ou la totalité des trajectoires des phases. Pour un système à un degré de liberté, l'attracteur peut être un point ou une courbe fermée.\\
Un système de ce type possède un facteur de qualité $Q = \tau\omega_0$, dont la valeur définit deux régimes : le régime \textit{pseudo-périodique} pour $Q > \dfrac{1}{2}$ et le régime amorti pour $Q < \dfrac{1}{2}$. Le portrait de phase permet de distinguer ces régimes de manière qualitative. Si les trajectoires s’enroulent autour de l’attracteur, on parle de spirale stable ; et sinon on parle de noeud stable. On remarque également que le portrait de phase n’est plus symétrique par rapport à l’axe des abscisses, signe que le système n’est pas conservatif (et donc irréversible).

\noindent Le pendule pesant à faibles amplitudes, le système masse-ressort avec frottements ou encore le RLC libre sont d'autant de systèmes décrits par un oscillateur amorti. 


\experience{Portrait de phase du pendule linéaire amorti}{FLTCLD p483-485}{}{Lancer le pendule avec un petit angle initial et tracer son portait de phase}



\transition{Quelqu'un a parlé de pendule pesant ?}


\section{Le pendule simple et ses non-linéarité}
Entrons dans le vif du sujet et intéressons-nous au cas du pendule "simple"... qui n'est pas si simple que ça.

\subsection{Équation du mouvement}
Un rapide TMC permet de trouver facilement l'équation du pendule simple, à savoir
$$\ddot\theta + \dfrac{mgl}{J}\sin\theta = 0$$
\begin{center}
    \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/pendule_simple_schema.png}
\end{center}
On voit que c'est une équation différentielle d'ordre 2 qui est \textbf{non linéaire} de par la présence du sinus. Ainsi, la combinaison linéaire de deux solutions $\theta_1$ et $\theta_2$ n'est pas une solution de l'équation, ce qui montre que le principe de superposition n'est plus respecté.

\noindent Jusque là, on se débarrassait de cette non linéarité en faisant l'approximation des petits angles, ce qui permet d'avoir $\sin\theta \simeq \theta$ et donc de revenir à une équation linéaire. La solution de l'équation était alors sinusoïdale : sans vitesse initiale, on a $\theta(t)=\theta_0\cos(\omega_0t)$ avec $\omega_0=\sqrt{\dfrac{mgl}{J}}$. La période ne dépend pas de l'amplitude initiale : on parle d'\textbf{isochronisme} des solutions, et l'analyse de Fourier des oscillations donne un spectre avec un seul pic. Cependant, on veut maintenant voir ce qu'il se passe quand on sort du régime linéaire.

\experience{Pendule pesant non linéaire}{}{}{Réaliser l'acquisition de l'oscillation du pendule pesant avec un grand angle initial (mais une vitesse initiale nulle.}
\begin{center}
    \includegraphics[width=.6\textwidth]{fig/pendule_simple_acquisition_2.png}
\end{center}
\noindent On observe deux différences notoires avec le pendule pesant linéaire :
\begin{itemize}
    \item on perd l'isochronisme des solutions : la période dépend de l'amplitude initiale ;
    \item l'analyse de Fourier des oscillations donne un spectre avec plusieurs pics : on parle d'\textbf{enrichissement spectral}.
\end{itemize}


\subsection{Étude théorique des non linéarités - Formule de Borda }
L'approximation $\sin\theta\simeq\theta$ n'est plus valable quand $\theta$ prend une trop grande valeur, et on ne sait plus résoudre l'équation différentielle décrivant le système. On peut cependant faire un développement de Taylor à l'ordre 3 du sinus et voir ce qu'il se passe :
$$\sin\theta \approx \theta - \dfrac{1}{3!}\theta^3 + o(\theta^3)$$

\remarque{Remarque}{On pourrait aller jusque l'ordre 5 en écrivant 
$$\sin\theta \approx \theta - \dfrac{1}{3!}\theta^3 + \dfrac{1}{5!}\theta^5+ o(\theta^5)$$
Pour $\theta=\dfrac{\pi}{2}$, on a alors 
$$\begin{systemein}
    \sin\theta&=1 \\
    \theta - \dfrac{1}{3!}\theta^3 &= 0.924832 \qquad \Rightarrow \text{7\% d'erreur} \\
    \theta - \dfrac{1}{3!}\theta^3 + \dfrac{1}{5!}\theta^5&= 1.004524 \qquad \Rightarrow \text{0.4\% d'erreur}
\end{systemein}$$
On voit donc que l'ordre 3 suffit.
}

L'équation différentielle devient alors

\begin{equation}
    \dvv{\theta}{t}+\omega_0^2\bigpar{\theta-\dfrac{1}{6}\theta^3}=0
\end{equation}

On peut se demander comment résoudre cette équation. Si on y injecte la solution de l'ordre 1 $\theta_0\cos(\omega t)$, on voit apparaître un $\cos^3(\omega_0t)$, qui se développe en 

$$\cos^3(\omega t)=\dfrac{3}{4}\cos(\omega t) + \dfrac{1}{4}\cos(3\omega t)$$

Il semble donc être une bonne idée de chercher une solution de la forme

$$\theta(t)=\theta_0 [\cos(\omega t)+\epsilon\cos(3\omega t)]$$

On a alors

\begin{alignement}
    \theta^3&\simeq\theta_0^3[\cos^3(\omega t)+3\epsilon\cos^2(\omega t)\cos(3\omega t)] \qquad \text{à l'ordre 1 en }\epsilon \\
    &\simeq\theta_0^3\bigcro{\dfrac{3}{4}\cos(\omega t)+\dfrac{1}{4}\cos(3\omega t)+3\epsilon\cos^2(\omega t)\cos(3\omega t)}
\end{alignement}

En injectant ce terme dans l'équation différentiel on a, 

\begin{equation}
    \dvv{\theta}{t}+\omega_0^2\bigpar{\theta-\dfrac{1}{6}\theta^3}=0
\end{equation}

\begin{alignement}
    \iff 0=&\ \theta_0\omega^2[-\cos(\omega t)-9\epsilon\cos(3\omega t)]\\
    &+\omega_0^2\theta_0\bigcro{\cos(\omega t)+\epsilon\cos(3\omega t)-\dfrac{\theta_0^2}{6}\bigpar{\dfrac{3}{4}\cos(\omega t)+\dfrac{1}{4}\cos(3\omega t)+3\epsilon\cos^2(\omega t)\cos(3\omega t)}}
\end{alignement}

Le terme en $\theta_0^2\epsilon$ peut être négligé il correspond à un $\cos(2\omega t)$ qui n'apparaît pas quand on fait l'expérience. On vérifiera que ce terme est bien négligeable un peu plus tard. On obtient donc 

\begin{equation}
    \cos(\omega t)\bigcro{\omega_0^2 \bigpar{1-\dfrac{\theta_0^2}{8}}-\omega^2}+\cos(3\omega t)\bigcro{-\dfrac{\theta_0^2}{24}\omega_0^2+\epsilon(\omega_0^2-9\omega^2)}=0
\end{equation}

Puisque $\cos(\omega t)$ et $\cos(3\omega t)$ forment une famille libre de fonction, une combinaison linéaire de ces 2 fonctions est nulle si et seulement si chaque terme de la combinaison linéaire est nul. On en déduit

\begin{systeme}
    0&=\omega_0^2 \bigpar{1-\dfrac{\theta_0^2}{8}}-\omega^2 &\iff& \omega^2=\omega_0^2\bigpar{1-\dfrac{\theta_0^2}{8}}\\
    0&=-\dfrac{\theta_0^2}{24}\omega_0^2+\epsilon(\omega_0^2-9\omega^2) &\iff& \epsilon\simeq\dfrac{\theta_0^2}{192}
\end{systeme}

On peut alors faire plusieurs remarques :
\begin{itemize}
    \item Déjà, $\epsilon\sim\dfrac{\theta_0^2}{192}$ donc $\theta_0^2\epsilon\sim\dfrac{\theta_0^4}{192}$. C'est un terme d'ordre 4, donc on a bien fait de le négligé dans notre développement à l'ordre 3.
    \item On retrouve la perte de l'isochronisme des solutions. La période des oscillations est donnée par la \textbf{formule de Borda} :
    $$\boxed{T=T_0\bigpar{1+\dfrac{1}{16}\theta_0^2}}$$
    \item On retrouve l'enrichissement spectral. 
\end{itemize}

\transition{Cette méthode est intéressante mais on ne peut aller que jusque l'ordre 3. On va donc utiliser un autre outil dont on a déjà parlé : le portrait de phase.}

\subsection{Portrait de phase et non-linéarités}
Dans le cas du pendule simple linéaire, le portait de phase a cette allure 
\begin{center}
    \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/pendule_simple_portrait_phase_complet.png}
    \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/pp_pendule_Strogatz.png}
\end{center}
En effet, en notant $x=\theta$ et $y=\dot\theta$, on a une équation du type $\dot y = \ddot x=-\omega_0^2 x$ qui donne $x^2+\bigpar{\dfrac{y}{\omega_0^2}}=1$, \textit{i.e.} l'équation d'une ellipse.
Sur le portrait de phase, on distingue différents points fixes : des points fixes stables en $x=2p\pi$ ($p\in\mathbb{N}$) et des points fixes instables en $x=\pi+2p\pi$. La trajectoire reliant ces points fixes est appelée une \textbf{hétérocline}. Elle sépare deux types de trajectoires différentes : les trajectoires à l'extérieur de l'hétérocline correspondent au cas où le pendule est en rotation complète tandis que celles à l'intérieur de l'hétérocline correspondent à celles où le pendule oscille. On remarque que le portrait de phase est $2\pi$-périodique selon l'axe des $x$.

\noindent Cependant, on peut se dire que ce portrait de phase n'est pas valable puisqu'il montre des trajectoires correspondant à des angles grands et donc au cas du pendule non linéaire. On a alors $\dot y = \ddot x=-\omega_0^2 \sin(x)$. Cependant, on s'en sort avec la conservation de l'énergie : 
$$\mathcal{E}=\dfrac{1}{2}ml^2y^2+mgl(1-\cos(x)) \iff \widetilde{\mathcal{E}}=\dfrac{1}{2}y^2-\omega_2^2\cos(x) \iff \boxed{y=\pm2\sqrt{\widetilde{\mathcal{E}}+\cos(x)}}$$
Les trajectoires de phase ne sont donc pas exactement des ellipses mais elles y ressemblent.


\experience{Simulation de portrait de phase}{}{}{\texttt{python3 LP49\_pendule\_simple\_apparition\_non\_linearite.py}}

\remarque{Remarque}{SI on avait pris en compte la dissipation par frottements, on n'aurait plus des trajectoires fermées mais des spirales.}





\section{Oscillateur entretenu : Van der Pol}
\livre \url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Oscillateur_de_Van_der_Pol}


\subsection{Motivation}

Essayons de retrouver simplement une équation décrivant un oscillateur entretenu. On peut partir de l’équation de l’oscillateur harmonique, ou de l’oscillateur harmonique amorti. Outre le problème de l’amortissement qui fait tendre l’amplitude des oscillations vers 0, on a un autre problème qui est celui de l’invariance par dilatation : si $x(t)$ est solution d’une telle équation, alors $\alpha x(t)$ avec $\alpha$ réel est aussi solution. C’est une conséquence directe de la linéarité (principe de superposition). Or les oscillations entretenues que l’on veut décrire, comme les battements du coeur, se font à une amplitude bien définie, et on veut que notre nouvelle équation puisse en rendre compte. Mathématiquement, un moyen simple d’y parvenir (proposé par Balthazar Van der Pol) est de faire dépendre le terme d’amortissement de l’amplitude des oscillations. On veut que des petites oscillations soient amplifiées (terme d'amortissement négatif) mais que les grandes soient amorties (terme positif). On peut proposer $\gamma$ comme frottement de la forme

\begin{equation}
    \gamma(x)=-\gamma_0\left( 1-\dfrac{x^2}{x_0^2} \right)
\end{equation}

Après un changement de variable, on tombe sur VdP :

\begin{equation}
    \ddot x + \mu(x^2-1)\dot x+x=0
\end{equation}

Ho mon dieu, c'est non linéaire !!

Historiquement, cette équation a été introduite par Van der Pol pour expliquer des oscillations observées dans un tube à vide.

\subsection{Mise en équation}
\livre MP28

On observe une valeur critique de résistance pour laquelle le coefficient $\mu$ change de signe. Le point fixe $(0,0)$ passe de point fixe stable à instable, et un cycle attracteur apparaît.

Il s'agit d'une bifurcation dite de Hopf !


\subsection{Régime quasi-sinusoïdal}
\experience{VdP commercial}{}{}{
p42.5, avec une boite à décade pour $R_{NL}$.

On trace en $x,y$ et on montre que si la résistance est faible, il ne se passe rien, si la résistance augmente, on a une oscillation quasi sinusoïdale, et si on augmente encore, ça part en cacahouète.
}

En effet si $\mu\ll1$ on a un oscillateur dont l'équation est presque celle d'un oscillateur harmonique !

D'un point de vue énergétique, l'élément non linéaire apporte autant d'énergie que n'en consomme le système, ce qui permet d'entretenir l'oscillation.

\subsection{Oscillateur à relaxation}
Si $\mu\gg1$, c'est plus la même.

$$
\ddot x + \mu(x^2-1)\dot x=-x\iff\dv{}{t}\left( \dot x + \mu F(x) \right)=-x\quad\text{avec }F(x)=\left( \dfrac{x^3}{3} - x\right)
$$

On pose $y=\dfrac{\dot x}{\mu} + F(x)$, et on a alors

\begin{systeme}
    \dot x &= \mu (y-F)\\
    \dot y &= -\dfrac{x}{\mu}
\end{systeme}

On peut ainsi représenter facilement l'espace des phases en $x,y$, qui du coup n'est pas exactement l'espace des phases, mais qui donne une bonne conpréhension physique de la chose.

On trace $F(x)$ et on explique pour chaque zone comme ça se passe :
\begin{itemize}
    \item Si $y>F$, on a $\dot x>0$, et même $|\dot x|\ll|\dot y|$
    \item Sinon, on a $\dot x<0$, mais toujours $|\dot x|\ll|\dot y|$
\end{itemize}

Ainsi partout où l'on se situe, le système évolue horizontalement hors de la courbe de $F$, et reste sur $F$ sinon :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/VdPalamano.png}
    \caption{Forme des oscillations. On en fait une version prpre un jour ?}
    \label{fig:alamano}
\end{figure}

On parle d'oscillateur à relaxation car le cycle se réroule comme alternance entre les phases lentes de charges, sur $F$, et les phases rapides de relaxation, sur les horizontales.

\remarque{OdG de la période}{
\begin{alignement}
    T&=T_{AB}+T_{BC}+T_{CD}+T_{DA}\\
    &\simeq2\int_{t_A}^{t_B}\dd t\\
    &=2\int_{x_A}^{x_B}\dv{t}{x}\dd x\\
    \text{or }\dv{y}{t}&=F'(x)\dv{x}{t}=(x^2-1)\dv{x}{t}\\
    &=-\dfrac{x}{\mu}\\
    \text{donc } \dv{x}{t}&=-\dfrac{x}{\mu}\dfrac{1}{x^2-1}
\end{alignement}
Finalement on a
\begin{equation}
    T=\mu(3-2\ln2)\simeq \mu
\end{equation}


}



\section{Étudier par le portrait de phase}
Nous allons dans cette section nous intéresser à deux systèmes dynamiques assez classiques, mais dont l'intérêt historique est fondamental.

\subsection{Oscillateur amorti par des frottement solides}
On considère un pavé de masse m, attaché à un ressort de raideur $k$ et de longueur à vide $l_0$, dont l’autre extrémité est maintenue fixe. Ce solide repose sur le sol, ce qui est à l’origine d’une force de frottement solide entre le solide et le sol. On néglige cependant toute dissipation du type frottements fluides. La position à vide du ressort est prise comme origine des abscisses. On écarte le solide à la position $x_0 > 0$ suffisante pour que la force de rappel du ressort le mette en mouvement malgré le frottement solide (\textit{i.e.} $kx_0 \ge \mu_S m g$). Tant qu’il y a glissement, la norme de la force de frottement solide est donnée par la loi de Coulomb $\norm{\vb{T}}=\mu_D mg $, et par ailleurs $\vb{T}$ est de même direction et de sens opposé à la vitesse $\vb{v}$ du solide. L’application du principe fondamental de la dynamique donne :
$$\ddot x +\mu_D g \dfrac{\dot x}{|\dot x|} + \dfrac{k}{m} x =0$$
On voit déjà qu'on a affaire à une équation non linéaire via le terme de frottement, on va donc traiter le problème via les portraits de phases.

\noindent Dans la première phase du mouvement, puisque $x_0>0$, on a $\dot x<0$ et donc $\dfrac{\dot x}{|\dot x|}=-1$. L'équation devient alors 
$$\ddot x +\omega_0^2 (x-a) = 0 \qquad \text{avec  } \omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}} \text{  et  }a=\mu_D \dfrac{mg}{k}$$
En tenant compte des conditions initiales, la solution de cette équation est 
$$\begin{systemein}
    x(t)&=a+(x_0-a)\cos(\omega_0 t) \\
    \dot x(t)&=-\omega_0(x_0-a)\sin(\omega_0 t)
\end{systemein}$$
Dans un portrait de phase en coordonnées $(x, \dot x/\omega_0)$, ceci correspond simplement à un demi-cercle inférieur de centre $(a, 0)$ et de rayon $x_0-a$. A la fin de cette étape, on est en $x_1 = -x_0 + 2a$ et on a $\dot x =0$. 

\noindent On entre alors dans la deuxième phase du mouvement, pour laquelle on a deux possibilités. En effet, pour que le ressort puisse repousser le solide, il faut que $k(x_0-2a) \ge\mu_Smg$, autrement dit $x_0\ge a(2+\mu_S/\mu_D)$. Si cette condition n’est pas vérifiée, le mouvement s’arrête là. \\
Si cette condition est vérifiée, on a dorénavant $\dot x>0$ et on va donc obtenir un demi-cercle supérieur de centre $(-a, 0)$ et de rayon $x_1 -a$. On procède ainsi de suite jusqu’à invalidation de la condition $|x_n|\ge a\mu_S/\mu_D$. 

\remarque{Remarque}{Sur chacune de ces phases du mouvement, l’équation est linéaire (il n’y a donc pas de génération d’harmoniques d’ordres supérieurs).}


\subsection{Système proie-prédateur}
\livre \url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Équations_de_prédation_de_Lotka-Volterra}

Les équations de prédation de Lotka-Volterra, que l'on désigne aussi sous le terme de modèle proie-prédateur, sont un couple d'équations différentielles non-linéaires du premier ordre, et sont couramment utilisées pour décrire la dynamique de systèmes biologiques dans lesquels un prédateur et sa proie interagissent. Elles ont été proposées indépendamment par Alfred James Lotka en 19251 et Vito Volterra en 1926

\subsubsection{Les équations}

\begin{systeme}
\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) &=& x(t)\ \left(\alpha - \beta y(t)\right) \\
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}(t) &=& y(t) \ \left( \delta x(t) - \gamma\right) 
\end{systeme}

où
\begin{itemize}
    \item $t$ est le temps ;
    \item $x(t)$ est l'effectif des proies en fonction du temps
    \item $y(t)$ est l'effectif des prédateurs en fonction du temps
    \item $\alpha$, taux de reproduction intrinsèque des proies (constant, indépendant du nombre de prédateurs)
    \item $\beta$, taux de mortalité des proies dû aux prédateurs rencontrés
    \item $\delta$, taux de reproduction des prédateurs en fonction des proies rencontrées et mangées
    \item $\gamma$, taux de mortalité intrinsèque des prédateurs (constant, indépendant du nombre de proies)
\end{itemize}

\subsubsection{Interprétation physique}

\textbf{Première équation :}\\
Les proies sont supposées avoir une source illimitée de nourriture et se reproduire exponentiellement si elles ne sont soumises à aucune prédation ; cette croissance exponentielle est représentée dans l'équation ci-dessus par le terme $\alpha x(t)$. Le taux de prédation sur les proies est supposé proportionnel à la fréquence de rencontre entre les prédateurs et les proies ; il est représenté ci-dessus par $\displaystyle \beta x(t)y(t)$. Si l'un des termes est nul, alors il ne peut y avoir aucune prédation.

Avec ces deux termes, l'équation peut alors être interprétée comme : la variation du nombre de proies est donnée par sa propre croissance moins le taux de prédation qui leur est appliqué.

\textbf{Deuxième équation :}\\
Dans cette équation, $\displaystyle \delta x(t)y(t)$ représente la croissance de la population prédatrice. Notons la similarité avec le taux de prédation ; cependant, une constante différente est utilisée car la vitesse à laquelle la population des prédateurs augmente n'est pas nécessairement égale à celle à laquelle il consomme la proie. De plus, $\displaystyle \gamma y(t)$ représente la mort naturelle des prédateurs ; c'est une décroissance exponentielle. L'équation représente donc la variation de la population de prédateurs en tant que croissance de cette population, diminuée du nombre de morts naturelles.


\subsubsection{États d'équilibre}

Un état d'équilibre de la population est observé quand aucune des deux populations en présence n'évolue, c'est-à-dire quand les dérivées correspondantes sont nulles, ce qui se traduit par le système d'équations :

$$\left\{\begin{array}{lcl} x(t)(\alpha - \beta y(t)) &=& 0 \\-y(t)(\gamma - \delta  x(t)) &=& 0\end{array}\right.$$

qui a pour solutions :

$$\left\{y(t) = 0  ,  x(t) = 0\right\}\quad \mathrm{ou}\quad \left\{y(t) = \dfrac{\alpha}{\beta}, x(t) = \dfrac{\gamma}{\delta}\right\}$$

La première solution correspond à une extinction définitive des deux espèces, la seconde à des valeurs dépendant des quatre paramètres pour lesquelles les deux populations restent stables indéfiniment.

\subsubsection{Stabilité des points fixes}
La stabilité des points fixes peut être déterminée par une linéarisation du système aux dérivées partielles. La matrice jacobienne du système est

$$J(x(t),y(t)) = \begin{bmatrix} 
\alpha - \beta y(t) & -\beta x(t) \\
\delta y(t) & \delta x(t) - \gamma \\
\end{bmatrix}$$

\begin{itemize}
    \item Au premier point fixe $(0,0)$, cette matrice prend la valeur :

$$J(0,0) = \begin{bmatrix}
\alpha & 0 \\
0 & -\gamma \\
\end{bmatrix},$$

qui a pour valeurs propres :

$$\lambda_1 = \alpha,\quad \lambda_2 = -\gamma$$

Ces valeurs propres sont toujours de signes opposés, ce qui montre que ce point fixe est un \textbf{point col}. Ce n'est donc \textbf{pas un point fixe stable}, ce qui montre en particulier que, suivant ce modèle, l'extinction des deux espèces en jeu est difficile à obtenir.


\item En évaluant la matrice jacobienne au second point fixe, la valeur suivante est obtenue :

$$J\left(\dfrac{\gamma}{\delta},\dfrac{\alpha}{\beta}\right) = \begin{bmatrix}
0 & -\dfrac{\beta \gamma}{\delta} \\
\dfrac{\alpha \delta}{\beta} & 0 \\
\end{bmatrix}$$

et elle a pour valeurs propres :

$$\lambda_1 = i \sqrt{\alpha \gamma},\quad \lambda_2 = -i \sqrt{\alpha \gamma}
$$

Ce point fixe est donc un foyer et plus particulièrement un centre, ce qui signifie que les populations de proies et prédateurs oscillent autour de leurs valeurs en ce point fixe.
\end{itemize}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.7\textwidth]{fig/determinant-trace.png}
    \caption{Petit rappel sur l'interprétation de la Jacobienne.}
    \label{fig:rabijacob}
\end{figure}


\subsubsection{Tracé du portrait de phase}

À la main, ce que l'on voit, c'est que si le nombre de prédateurs augmente, alors le nombre de proies diminue, et de part la rétroaction de cette diminution, le nombre de prédateurs diminue aussi, et ainsi de suite. Si on devait tracer le portrait de phase à la main, on aurait en fait des sortes de ronds, centrés sur un point fixe !
\begin{center}
\includegraphics[width=.7\textwidth]{fig/lotka_volterra_portrait_phase_complet.png}
\end{center}

Les trajectoires sont fermées, et les orbites sont stables ! Il y a une quadrature de phase entre les prédateurs et les proies. Pour avoir des données expérimentales :


\livre \url{https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/irem/proies_predateurs_diaporama.pdf}

\subsubsection{Méthodes numériques de résolution}
Ici, pour résoudre les équations, on a utilisé un algorithme plus poussé que le schéma de résolution d'Euler. Il a fallu en effet utiliser le schéma Runge Kutta 4\footnote{En l'occurrence on a utilisé une variante qui donne une meilleure vitesse de calcul, mais fondamentalement, ça fait la même chose.}, qui a une meilleure convergence malgré son coût computationnel plus élevé.

Les codes sont disponibles en annexe.


\subsection{La glycolyse}
\livre \url{https://febs.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/j.1432-1033.1968.tb00175.x}

\subsubsection{Principe}
Il s'agit du processus de brisure du sucre pour sa consommation dans l'organisme. Ce phénomène est la principale source d'énergie du corps humain.

\begin{align}
    \dfrac{d x}{dt}&=-x+ay+x^2y\\
    \dfrac{d y}{dt}&=b-ay-x^2y
\end{align}

On nomme $x$ la concentration en ADP et $y$ la concentration en F6P. Si il n'y a rien dans notre système, la concentration en F6P augmente due au début du cycle de la glycolyse. Ce F6P est alors consommé avec un taux $a$ pour former de $x$ (ADP) et (fructose 1,6 bisphosphate = but de l'étape). Le terme supplémentaire est du à une rétroaction de l'ADP sur sa propre formation, en effet un ADP formé = un ATP utilisé (oui ce cycle consomme de l'ATP à cette étape mais en reproduit plus tard), donc plus il y a d'ADP et plus il faut que le cycle s'accélère et donc on en produit toujours plus, mais cela nécessite la consommation de F6P.

$a$ et $b$ sont des paramètres cinétiques de la réaction, réels strictement positifs.


\subsubsection{Construction du portrait de phase}
Pour construire le portrait de phase, on utilise l'outil nommé \textit{nullclines}. Ce sont les courbes sur lesquelles la vitesse est purement horizontale ou verticale. Attention, ce ne sont pas des trajectoires de l'espace des phases.

\experience{Simulation numérique de la glycolyse}{}{}{
\texttt{Glycolyse.py}
}


Cela nous permet ensuite de voir qualitativement comment ce comporte le système.


Remarque : l'intersection des nullclines nous donne les points fixes, ici il y en a un, en ($b$,$\dfrac{b}{a+b^2}$). On peut montrer qu'il est stable pour certaines valeurs du couple (a,b) (\livre Strogatz).COn peut évidemment aussi le faire à l'ordinateur.

\textbf{Interêt d'avoir tracé le portrait de phase :} Dans les cas où le point est instable, on peut définir une région \underline{fermée} de l'espace \underline{sans point fixe}, avec un flux \underline{rentrant} partout sur la surface d'un champ de vecteur partout \underline{différentiable}. On peut alors appliquer le théorème de Poincaré-Bendixon qui affirme qu'il existe un cycle limite dans cet intervalle. Ce type de solution 'fixe' est particulier aux systèmes de dimension supérieure ou égale à 2. Quelque soit la condition initiales, la trajectoire finit sur le cycle limite. On a alors un oscillateur qui parcourt le cycle. Ce cycle est en général difficile à expliciter mais c'est possible dans certains cas (On peut parler du Van der Pol).
Cependant, lorsque le point fixe est stable, on n'a a priori pas de cycle limite et seulement une convergence vers un point fixe. (en fait, on a une spirale stable si on calcule le Jacobien\footnote{Calcul fait dans le Strogatz}). Ce changement de comportement (de point fixe stable à instable avec cycle limite stable) est ce qu'on appelle une bifurcation (de Hopf).


\transition{Dans le cas de la glycolyse, on a mise en évidence une caractéristique de la non linéarité: le phénomène de bifurcation. Dans le cas de la glycolyse, c'est une bifurcation de Hopf. Les bifurcations sont très communes dans les problèmes qui présentent des symétries.}


\section{Introduction aux bifurcations}
\livre Sanz

\livre \url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_bifurcations}

\livre \url{https://www.emse.fr/~bonnefoy/Public/SD-EMSE.pdf}, p. 12

Il peut être intéressant de présenter le pendule à double puits, qui est détaillé dans le montage \livre MP28. Une simulation python, \texttt{doublepuits.py}, accompagne cette démonstration.

\section*{Conclusion}

Une première approche des systèmes dynamiques, qui mérite tout à fait sa petite leçon à part entière. Il est cependant bon de noter que là, on a gratté que la surface du problème, parce que les systèmes dynamiques et autres joyeusetés non linéaires et chaotiques, c'est généralement un cours de L3 d'un semestre entier (généralement fait par Thierry Dauxois quand il est pas trop occupé par son poste de Vice-président recherche).

\newpage
\section{Annexe : remarques sur les systèmes non linéaires}

\textbf{Généralités, types de bifurcation}

On considère un système décrit par une variable $x$ et une équation différentielle d'ordre 2. En posant $y=\dot x$, on peut décrire le système de façon matricielle :
$$\matrice{\dot u\\\dot v}=\matrice{\derond{f}{x}&\derond{f}{y}\\\derond{g}{x}&\derond{g}{y}} \matrice{u\\v} = \mathcal{J} \matrice{u\\v}$$
avec $\mathcal{J}$ la matrice jacobienne du système. Pour chaque point fixe du système, le calcul de la trace $\tau$ et du déterminant $\Delta$ de la jacobienne évalués en ce point fixe permettent de prédire à quel type de point fixe on a affaire.
\begin{center}
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/determinant-trace.png}
\end{center}
Ainsi, les termes de non linéarités peuvent changer la nature du point fixe et sa stabilité quand on est sur les axes ou sur la courbe $\tau^2-4\Delta =0$. Ce changement de comportement des points fixes selon un changement de paramètres extérieurs entraîne des \textbf{bifurcations}. On a par exemple 
\begin{itemize}
    \item la bifurcation \textbf{noeud-col} : $\dot x = r-x^2$
    
    Si $r<0$, il n'y a pas de point fixe. \\
    Si $r>0$, on a 2 points fixes : $x^*=+\sqrt{r}$, qui est stable, et $x^*=-\sqrt{r}$, qui est instable.
    
    \item la bifurcation \textbf{transcritique} : $\dot x = rx -x^2$
    
    Les points fixe sont $x^*=0$, qui est stable pour $r<0$ et instable pour $r>0$, ainsi que $x^*=r$, qui est instable pour $r<0$ et stable pour $r>0$. 
    
    \textit{Cette bifurcation décrit par exemple l'effet laser ou la naissance des oscillations dans l'oscillateur à pont de Wien.}
    
    \item la bifurcation \textbf{fourche} : $\dot x = rx-x^3$
    
    Si $r<0$, le seul point fixe est $x^*=0$, qui est stable. \\
    Si $r>0$, on a 3 points fixes : on a toujours $x^*=0$ mais qui devient instable auquel on ajoute les deux points $x^*=\pm\sqrt{r}$ qui sont tous les deux stables. 
    
    \textit{Cette bifurcation décrit par exemple la transition ferro/para.}
    
    \item la \textbf{bifurcation de Hopf} : le système admet des solutions complexes dont la partie réelle change de signe. Par exemple, pour la bifurcation fourche supercritique, on passe d'un cycle stable à un cycle instable. Il existe également une bifurcation fourche sous-critique.
    
    \textit{La bifurcation fourche supercritique modélise l'arrachement des ailes d'avion.}
\end{itemize}

\textbf{Méthode des échelles multiples}

On réalise un développement perturbatif à toutes les échelles du système en posant 
$$x(t,\epsilon)=x_0(\tau,T)+\epsilon x_1(\tau,T)+\epsilon^2 x_2(\tau,T)+\dotsb$$
On injecte cette solution dans l'équation différentielle et on trouve les solutions ordre par ordre en prenant soin de supprimer les termes résonnants pour éviter une divergence.


\textbf{Théorème de Poincaré-Bendixson}

Ce théorème donne l'existence d'un cycle limite. En gros, il dit que puisqu'il ne peut y avoir d'intersection dans un portrait de phase, un point à l'intérieur d'une zone délimitée par une trajectoire circulaire ne peut pas sortir de cette zone : on a donc un cycle limite. 

\noindent Le point en question peut décrire une trajectoire de tendant pas vers le cycle limite (oscillateur harmonique par exemple), ou bien il peut décrire une spirale se rapprochant ou s'éloignant du cycle limite.


\textbf{Réaction chimique de Belousov-Zhabotinski}

C'est une réaction chimique caractérisée par des oscillations auto-entretenues de façon analogue à l'oscillateur de Van der Pol.

\textbf{Notion de chaos}

Pour un système déterministe, un comportement chaotique est un comportement apériodique aux temps longs qui met en évidence une forte sensibilité aux conditions initiales. On parle alors d'\textit{attracteur étrange} lorsqu'un attracteur dépend des conditions initiales.

\textbf{Exposants de Lyapunov}

La divergence de la trajectoire entre 2 conditions initiales proches se fait en $e^\lambda$ où $\lambda$ est un coefficient de Lyapunov.


\textbf{Autres remarques}
\begin{itemize}
    \item Pour un soliton, la partie non linéaire compense la dissipation.
    \item Un exemple d'oscillateur anharmonique est l'oscillateur de Morse qui modélise la liaison chimique (potentiel de Morse).
    \item En mécanique, la présence de trajectoires fermées indique la conservation du vecteur de Runge-Lenz. 
    \item Un exemple de système toujours instable est le système décrit par $\dot x = \sin^2 x$
    \item Pour avoir un comportement chaotique, il faut forcément avoir un ordre 2 puisque l'ordre 1 ne donne qu'un point fixe ou un cycle limite (d'après Poincaré-Bendixson)
    \item Exemples d'équations non linéaires :
    \begin{itemize}
        \item équation de Schrödinger non linéaire qui donne lieu à l'effet Kerr
        \item équation de sine-Gordon
        \item l'équation de Duffing $\ddot x+x+\epsilon x^3=0$ (oscillateur non linéaire)
    \end{itemize}
\end{itemize}


\end{document}