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\title{Élasticité et déformations}




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\renewcommand{\bar}{\overline}


\newenvironment{alignement}
    {\begin{equation}
    \begin{aligned}
    }
    {
    \end{aligned}
    \end{equation}
    }

\newenvironment{systeme}
    {\begin{equation}
    \left\{\begin{aligned}
    }
    {
    \end{aligned}\right.
    \end{equation}
    }

\newenvironment{systemein}
    {\left\{\begin{aligned}}
    {\end{aligned}\right.
    }


\date{\today}

\begin{document}

\titre{Aurélien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}

\subsection*{Niveau : L2}
\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
    \textit{Theory of elasticity}, \textbf{Landau}&\\
    \textit{The Feynman lectures on physics 2, mainly electromagnetism and matter}, \textbf{Feynman, Leyton, Sands} & À partir du chap 38 \\
    \url{https://fr.wikiversity.org/wiki/Introduction_à_l'élasticité} & Wikipédia sauve encore la mise !\\
    \url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Hooke} & Exemples \\
    \texttt{clement.de-la-salle} & On les aimes nos cléments <3 \\
    \textit{Introduction to seismology}, \textbf{Stein} & Réflexion/transmission ondes élastiques\\
\end{tabular}

\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
    \item Mécanique du point
    \item Mécanique des fluides
\end{itemize}

\setlength{\parskip}{0em}
\tableofcontents
\newpage
\setlength{\parskip}{1em}

\section*{Introduction}
L'étude que nous allons faire est, comme dans le cas du ressort, celle des petites déformations. En effet si on prend un ressort, ou une poutre, et qu'on la tord au delà de son domaine de réversibilité, elle se détruit, on parle d'élasticité entropique.

On se concentre ici sur l'élasticité linéaire, celle qui est réversible, et qui se fait aux faibles déformations. Les milieux que l'on considère sont homogènes et isotropes, ce qui signifie qu'à l'échelle d'un cristal (par éxemple métallique), on se place au delà de la longueur de cohérence de la maille.

\section{Loi fondamentale : loi de Hooke}

\subsection{Noter la déformation}
On doit définir les grandeurs que l'on étudie. Si on prend un parallélépipède et qu'on exerce une force $\vb{F}$ sur deux de ses surfaces opposées $S$ , par exemple une compression par une presse hydraulique, on applique une contrainte. Cette contrainte est une pression, c'est à dire une..? Force surfacique ! Oui Timéo, bravo !

\begin{equation}
    \sigma=\dfrac{F}{S}\text{ est la contrainte subie par le matériaux.}
\end{equation}

On observe alors une déformation, c'est à dire un changement relatif de longueur.

\begin{equation}
    \varepsilon=\dfrac{\Delta\ell}{\ell}\text{ est la déformation du matériaux.}
\end{equation}

Maintenant on veut une loi pour relier ces deux valeurs, de la même manière qu'on a une loi pour les ressort qui relient leur élongation à la force exercée.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.4\textwidth]{figs/feynmanhooke.png}
    \caption{Schématisation de la situation.}
    \label{fig:feynmanhooke}
\end{figure}

\subsection{Loi empirique de Hooke}

On suppose que l'on applique une contrainte $\sigma_x$ sur la direction $x$, et on veut la relier aux déformation $\varepsilon_i$ sur chaque direction $\{x_i\}=\{x,y,z\}$.

\important{\textcolor{red}{Loi \textbf{Empirique} de Hooke :}
\begin{systeme}
    \sigma_x & =E\varepsilon_x & \quad & \text{avec }E\text{ le \textbf{module d'Young} du matériaux.}\\
    \varepsilon_{y,z} & =-\nu\varepsilon_x & \quad & \text{avec }\nu\text{ le \textbf{coefficient de Poisson} du matériaux.}
\end{systeme}
}

On remarque que cette loi est \textbf{linéaire}, on pourra donc appliquer le théorème de superposition, et on ne va pas s'en priver !

Le module d'Young $E$ est proportionnel à une pression, et il est dans le cas des solides de l'ordre de quelques GPa. On verra plus tard que la vitesse du son dans un matériaux est en $\sqrt{E/\rho}$.

Pour ce qui est du coefficient de Poisson, on s'attend instinctivement à ce qu'il soit positif, parce que quand on compresse dans une direction, on dilate dans l'autre. Cependant il exite des matériaux, dit \textit{métamatériaux}, qui ont un $\nu<0$. En général, $-1\leq\nu\leq 1/2$. Le cas limite à $\nu=1/2$ correspond aux matériaux incompressibles.

\textbf{Exemple :} section \ref{sec:compress}, on traite le cas de la pression uniforme.

\subsection{Cisaillement}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.3\textwidth]{figs/feynamcisaillement.png}
    \includegraphics[width=.3\textwidth]{figs/sqrt2.png}
    \includegraphics[width=.3\textwidth]{figs/Theta.png}
    \caption{Un cube sous cisaillement uniforme.}
    \label{fig:feynmancisaillement}
\end{figure}

On considère maintenant une force $\vb{F}$ cisaillante, qui fait faire un angle $\theta$ à l'arrête du cube. Si on regarde d'un point de vue géométrique cela revient à appliquer une force de compression $\sqrt{2} F$ sur une diagonale et $-\sqrt{2}F$ sur l'autre. On pose alors $x'$ et $y'$ les nouveaux axes, pris sur les diagonales, et on a alors :

\begin{equation}
    \varepsilon_{x'} = \dfrac{\sqrt{2}F}{ES'}
\end{equation}

Ainsi un petit théorème de superposition sur les deux effets considérés plus haut donne :

\begin{equation}
    \varepsilon_{x'}=\dfrac{1+\nu}{E}\dfrac{\sqrt2F}{S'}=\dfrac{\Delta D}{D}\quad\text{où }D\text{ est la diagonale}
\end{equation}

Or un peu de géométrie au premier ordre donne que $\theta=2\dfrac{\Delta D}{D}$, et finalement avec $S'=\sqrt{2}S$ on obtient :

\begin{equation}
    \dfrac{F}{S}=\dfrac{E}{2(1+\nu)}\theta=G\theta
\end{equation}

On nomme $G=\dfrac{E}{2(1+\nu)}$ le module de cisaillement du matériaux. On le nomme aussi deuxième coefficient de Lamé, $\mu$.


\section{Formalisme tensoriel}
Dans la vérité vraie des choses véritables, on utilise des outils puissants et efficaces\footnote{\textit{"Propres"}, comme dirait Dirty Gadget.}, le tenseur des contrainte et le tenseur des déformations. Ces deux tenseurs sont des matrices qui permettent de limiter le calcul.

\subsection{Tenseur des déformations}

Considérons un point quelconque du solide, repéré par sa position $\vb{r}$ et regardons son déplacement sous l’effet d’une déformation longitudinale homogène. La nouvelle position de ce point après le déplacement est notée $\vb{r}'$.

On note $\vb{u}=\vb{r}'-\vb{r}$ le vecteur déplacement du point. On a alors, si la déformation est simplement un étirement uniforme dans la direction $x$, c'est à dire si on se place à échelle suffisament petite pour considérer qu'elle l'est :

\begin{equation}
    u_x=\dfrac{\Delta\ell_x}{\ell_x}x=\varepsilon_{xx}x
\end{equation}

Ainsi $\varepsilon_{xx}=\derond{u_x}{x}$. Dans les autres directions, on a le même résultat (\textit{i.e.} $\varepsilon_{yy}=\derond{u_y}{y}$ et $\varepsilon_{zz}=\derond{u_z}{z}$), mais il faut aussi ajouter les cisaillements !

\begin{center}
    \includegraphics[width=.3\textwidth]{figs/cisaillement.pdf}
\end{center}

Pour un cisaillement uniforme on a

\begin{equation}
    u_x=\dfrac{\Delta\ell_x}{\ell_y}y=\varepsilon_{xy}y=\derond{u_y}{y}
\end{equation}

\remarque{Remarque}{On peut être tenté d'écrire directement $\varepsilon_{xy}=\derond{u_x}{y}$ par analogie avec ce qu'on vient de faire. Cependant, cette formule n'est en réalité pas la bonne : par exemple une rotation (\textit{i.e.} la superposition d'un petit cisaillement $\Delta\ell_x=+\delta$ et d'un autre petit cisaillement $\Delta\ell_y=-\delta$) n'induit pas de déformation mais pourtant on aurait $\varepsilon_{xy}\neq 0$ avec cette formule. 
\begin{center}
    \includegraphics[width=.3\linewidth]{figs/rotation.PNG}
\end{center}
}


Ainsi, en prenant l'expression générale proposée au dessus, cohérente avec celle de $\varepsilon_{ii}$, on obtient l'expression du \textbf{tenseur des déformations} :

\begin{equation}
    \varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji}=\dfrac{1}{2}\left( \derond{u_i}{x_j}+\derond{u_j}{x_i} \right)
\end{equation}
Notons d'ailleurs que ce tenseur est symétrique.


\subsection{La vraie loi de Hooke}

\important{On a alors en tenseurs :
\begin{equation}
    \bar{\bar{\sigma}}=\bar{\bar{\bar{\bar{C}}}}~\bar{\bar{\varepsilon}}\quad i.e.\quad\sigma_{ij}=C_{ijkl}\varepsilon_{kl}
\end{equation}
}

Nous nous proposons de ne pas détailler le calcul des coefficients $C_{ijkl}$, cependant ils sont très liés, et il est possible de retrouver avec beaucoup de travail :

\important{\textcolor{red}{Loi de Hooke tensorielle}
\begin{systeme}
    \sigma_{ij}&=\dfrac{E}{1+\nu}\left( \varepsilon_{ij}+\dfrac{\nu}{1-2\nu}\varepsilon_{ll}\delta_{ij} \right)\\
    \varepsilon_{ij}&=\dfrac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}-\dfrac{\nu}{E}\sigma_{ll}\delta_{ij}
\end{systeme}
}








\section{Ondes élastiques}
\livre Feynmann chap 39


Pour l'instant, on s'est intéressé au solide élastique en équilibre pour lequel les contraintes internes s'ajustent pour obtenir un état d'énergie minimale. Cependant, on va maintenant regarder le cas où ces forces internes ne sont pas à l'équilibre.

\subsection{Mise en équation}
Pour cela, on considère un volume $V$ de matériau qui est délimité par une surface $A$. Si ce volume est à l'équilibre, alors la force $\vb{F}$ totale qui est exercée sur ce volume est nulle. Cette force peut être décomposée en deux parties :
\begin{itemize}
    \item une force totale extérieure $\vb{F_\text{ext}}=\iiint_V \vb{f_\text{ext}}\dd V$ qui s'exerce sur le volume (par exemple la gravité)
    \item une force totale intérieure $\vb{F_\text{int}}$ qui s'exerce sur la surface $A$ du volume par la matière voisine
\end{itemize}
À l'équilibre, ces forces se compensent. Cependant, hors équilibre (par exemple si le volume bouge), le PFD donne 
\begin{equation}
    \vb{F_\text{ext}}+\vb{F_\text{int}}=\iiint_V \rho \ddot{\vb{r}} \dd V
\end{equation}
On obtient alors que 
\begin{equation}
    \vb{F_\text{int}}=-\vb{F_\text{ext}}+\iiint_V \rho \ddot{\vb{r}} \dd V = \iiint_V \bigpar{\rho \ddot{\vb{r}}-\vb{f_\text{ext}}} \dd V = \iiint_V \vb{f} \dd V
\end{equation}
La force volumique $\vb{f}$ peut être reliée aux contraintes subies par le volume via la loi de Hooke tensorielle : $$\vb{f}=\text{div}\  \tensor{\sigma}$$
On peut donc écrire la résultante des forces internes comme 
\begin{equation}
    \vb{F_\text{int}}=\iiint_V \text{div}\ \tensor{\sigma} \dd V = \oiint_A \tensor{\sigma}\cdot \vb{\dd S}
\end{equation}
et on a également 
\begin{equation}
    \rho \ddot{\vb{r}}-\vb{f_\text{ext}}=\text{div}\  \tensor{\sigma} \quad \iff \qquad \forall \ i \in \{x,y,z\}, \ \rho \ddot{r_i} = \partial_k \sigma_{ki} + f^\text{ext}_i
\end{equation}
\remarque{Remarque}{Si on considère un volume immobile (ou on translation rectiligne uniforme), on obtient 
\begin{equation}
   \text{div}\  \tensor{\sigma}+\vb{f_\text{ext}}=0 \quad \iff \qquad \forall \ i \in \{x,y,z\}, \ \partial_k \sigma_{ki} + f^\text{ext}_i = 0
\end{equation}}


\noindent Tâchons maintenant de calculer $\partial_k \sigma_{ki}$ :
\begin{alignement}
    \sigma_{ki} &= \dfrac{E}{1+\nu} \bigpar{\varepsilon_{ki}+\dfrac{\nu}{1-2\nu}\varepsilon_{ll}\delta_{ki}} \\
    \Rightarrow \partial_k \sigma_{ki} &= \dfrac{E}{1+\nu} \bigpar{\partial_k \varepsilon_{ki} + \dfrac{\nu}{1-2\nu}\partial_i\varepsilon_{ll}}
\end{alignement}
On sait cependant que les composantes du tenseur des déformations $\tensor{\varepsilon}$ s'expriment en fonction du vecteur déformation $\vb{u}$ par l'expression 
\begin{equation}
    \varepsilon_{ki}=\dfrac{1}{2}\bigpar{\partial_ku_i+\partial_iu_k}
\end{equation}
On a donc 
\begin{systeme}
    \partial_k \varepsilon_{ki}&=\dfrac{1}{2}\bigcro{\partial_k\partial_k u_i + \partial_i(\partial_ku_k)} \\
    \partial_i \varepsilon_{ll}&=\partial_i\partial_lu_l
\end{systeme}
On en déduit que 
\begin{alignement}
    \partial_k \sigma_{ki} &= \dfrac{E}{1+\nu} \bigcro{\dfrac{1}{2}\bigcro{\partial_k\partial_k u_i + \partial_i(\partial_ku_k)} + \dfrac{\nu}{1-2\nu}\partial_i\partial_lu_l} \\
    &= \dfrac{E}{1+\nu} \bigpar{\dfrac{1}{2}+\dfrac{\nu}{1-2\nu}}\partial_i(\partial_ku_k) + \dfrac{E}{1+\nu}\dfrac{1}{2}\partial_k\partial_ku_i
\end{alignement}
En notation vectorielle, cette équation équivaut à
\begin{equation}
    \text{div}\ \tensor{\sigma} = \dfrac{E}{2(1+\nu)}\Delta \vb{u} + \dfrac{E}{2(1+\nu)(1-2\nu)}\vb{\text{grad}}\bigpar{\text{div}\ \vb{u}}
\end{equation}

\noindent On peut alors réécrire le PFD en notant que $\ddot{\vb{r}}=\ddot{\vb{u}}$ et en prenant $\vb{f_\text{ext}}=\vb{0}$ pour obtenir
\begin{equation}
    \boxed{
    \derondcarre{\vb{u}}{t} = \dfrac{E}{2\rho(1+\nu)}\Delta \vb{u} + \dfrac{E}{2\rho(1+\nu)(1-2\nu)}\Nabla\bigpar{\Nabla\cdot\vb{u}}
    }
    \label{eq:onde_defo}
\end{equation}

\subsection{Apparition des ondes}
On a obtenu une équation qui n'est pas sans rappeler une équation d'onde mais qui comporte un terme en plus qui complique les choses. 
Pour un matériau dont les propriétés élastiques sont partout les mêmes, on peut décomposer les solutions de l'équation \ref{eq:onde_defo} (comme n'importe quel autre vecteur en passant) en la somme d'un vecteur de divergence nulle et un autre vecteur de rotationnel nul. On écrit alors 
\begin{equation}
    \vb{u}=\vb{u_1}+\vb{u_2} \qquad \text{avec} \qquad 
        \begin{systemein}
            \Nabla \cdot \vb{u_1} &= 0 \\
            \Nabla \wedge \vb{u_2} &= \vb{0}
        \end{systemein}
\end{equation}
En injectant cette expression dans l'équation \ref{eq:onde_defo}, on a 
\begin{equation}
    \derondcarre{}{t}\bigpar{\vb{u_1}+\vb{u_2}} = \dfrac{E}{2\rho(1+\nu)}\Delta \bigpar{\vb{u_1}+\vb{u_2}} + \dfrac{E}{2\rho(1+\nu)(1-2\nu)}\Nabla\bigpar{\Nabla\cdot\vb{u_2}}
\end{equation}
En prenant la divergence de cette équation et en interchangeant l'opérateur divergence avec l'opérateur laplacien, on obtient :
\begin{alignement}
    \Nabla \cdot\bigcro{\derondcarre{\vb{u_2}}{t} - \dfrac{E}{2\rho(1+\nu)}\Delta \vb{u_2}-\dfrac{E}{2\rho(1+\nu)(1-2\nu)}\Nabla\vb{u_2}}=0 \\
    \Nabla \cdot\bigcro{\derondcarre{\vb{u_2}}{t} - \dfrac{E(1-\nu)}{\rho(1+\nu)(1-2\nu)}\Nabla\vb{u_2}}=0
\end{alignement}
Or on sait que $\Nabla\wedge\vb{u_2}=\vb{0}$ donc le rotationnel de ce qu'il y a entre crochets est nul. Ainsi, ce qu'il y a entre crochets est à la fois de divergence nulle \textbf{et} de rotationnel nul, donc ce terme est forcément nul : 
\begin{equation}
    \derondcarre{\vb{u_2}}{t} -\dfrac{E(1-\nu)}{\rho(1+\nu)(1-2\nu)}\Nabla\vb{u_2} =0
\end{equation}
On tombe cette fois sur une vraie équation d'onde avec une vitesse $c_p=\sqrt{\dfrac{E(1-\nu)}{\rho(1+\nu)(1-2\nu)}}$. On a obtenue cette équation pour une déformation $\vb{u_2}$ qui par définition a un rotationnel nul et qui n'est donc pas associée à un cisaillement. Il s'agit alors d'une \textbf{onde de compression} (onde acoustique, onde longitudinale, onde P).


\noindent Quid du terme $\vb{u_1}$ ? Pour ce terme, on prend le rotationnel de l'équation \ref{eq:onde_defo} pour obtenir l'équation d'onde
\begin{equation}
    \derondcarre{\vb{u_1}}{t} -\dfrac{E}{2\rho(1+\nu)}\Nabla\vb{u_1} =0
\end{equation}
Cette équation décrit quand à elle des ondes se propageant à la vitesse $c_s=\sqrt{\dfrac{E}{2\rho(1+\nu)}}$. Puisque cette équation a été obtenue pour une déformation $\vb{u_1}$ de divergence nulle, on en déduit que cette déformation n'induit pas de variation dans la densité du matériau. Il s'agit alors d'une \textbf{onde de cisaillement} (onde transverse, onde S).

\remarque{Remarque}{Puisque toute déformation $\vb{u}$ s'écrit sous la forme $\vb{u_1}+\vb{u_2}$, on peut en déduire que toute onde élastique est une superposition d'une onde longitudinale et d'une onde transverse.}



\subsection{Réflexion et transmission d'ondes élastiques}
\livre Stein

Les ondes élastiques sont, comme toute autre onde, sujettes à la réflexion et à la réfraction au passage d'un dioptre. Dans le cas le plus simple avec une incidence normale au dioptre, l'onde élastique ne change pas de nature : une onde incidente purement longitudinale donne une onde transmise purement longitudinale et de même pour une onde purement transverse.\\
Cependant, les choses se compliquent quand on n'est plus en incidence normale : alors toute onde incidente va donner une onde longitudinale réfléchie et onde transverse réfléchie ainsi qu'une onde longitudinale transmise et onde transverse transmise. 


\noindent Mettons ça en équation. On considère une onde élastique se propageant selon l'axe des $x$ et on suppose qu'il y a un dioptre entre un milieu 1 et un milieu 2 dans le plan $x=0$. On note $\theta_i$ l'angle que forme le vecteur d'onde $\vb{k_i}$ de l'onde incidente avec la normale au dioptre, et on fait de même pour l'onde réfléchie et l'onde transmise.
Les 3 ondes s'écrivent respectivement sous la forme :
\begin{systeme}
    \vb{u_i}&=\vb{u_{i,0}}e^{j(\omega_i t - \vb{k_i}\cdot\vb{r})} \\
    \vb{u_r}&=\vb{u_{r,0}}e^{j(\omega_r t - \vb{k_r}\cdot\vb{r})} \\
    \vb{u_t}&=\vb{u_{t,0}}e^{j(\omega_t t - \vb{k_t}\cdot\vb{r})} 
\end{systeme}
À tout instant $t$ et en tout point de l'interface $x=0$, on peut écrire la continuité du champs des déformations comme 
\begin{equation}
    \vb{u_{i,0}}e^{j(\omega_i t - k_{i,y}y)}+\vb{u_{r,0}}e^{j(\omega_r t - k_{r,y}y)}=\vb{u_{t,0}}e^{j(\omega_t t - k_{i,y}y)} \qquad \forall t, \forall y
\end{equation}
On obtient donc 
\begin{systeme}
    \omega_i=\omega_r=\omega_t \\
    k_{i,y}=k_{r,y}=k_{t,y}
\end{systeme}
La deuxième inégalité est très intéressante puisqu'elle donne que $k_i\sin\theta_i=k_r\sin\theta_r=k_t\sin\theta_t$. En divisant par les pulsations, on obtient 
\begin{equation}
    \dfrac{k_i}{\omega_i}\sin\theta_i=\dfrac{k_r}{\omega_r}\sin\theta_r=\dfrac{k_t}{\omega_t}\sin\theta_t
\end{equation}
On obtient alors la loi de Snell pour un milieu élastique :
\begin{equation}
    \boxed{\dfrac{\sin\theta_i}{c_i}=\dfrac{\sin\theta_r}{c_r}=\dfrac{\sin\theta_t}{c_t}}
\end{equation}
Cette relation s'applique sur les ondes longitudinales et transverses, et puisque ces ondes ont des vitesses différentes elles auront des angles différents par rapport à la normale. On comprend donc pourquoi une onde incidente donne deux ondes réfléchies et deux ondes transmises.



\subsection{Expérience : le dural}
\livre voir le MP30 - Acoustique

Avec la manip sur le dural, on distingue bien les 2 ondes.
\begin{center}
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{figs/ondes_dans_dural.png}
\end{center}


\section{Exemples}
\subsection{Solide sous pression homogène : compressibilité}
\label{sec:compress}

On considère un solide sous pressions hydrostatique, c'est à dire une pression $P$ orthogonales à toutes ses surfaces.

Ainsi sur une direction, disons $x$, on a

\begin{systeme}
    -P=\sigma_x=E\varepsilon_x^{\sigma_x}\\
    \dfrac{\nu}{E}P=\varepsilon_y^{\sigma_x}=\varepsilon_z^{\sigma_x}
\end{systeme}

Or on a une contribution sur chaque face, et en sommant on obtient

\begin{equation}
    \varepsilon_{x}=\varepsilon_{y}=\varepsilon_{z}=\dfrac{2\nu-1}{E}P
\end{equation}

Ainsi pour les volumes on a

\begin{equation}
    \dfrac{\Delta V}{V}=\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}+\varepsilon_{z}=-3(1-2\nu)\dfrac{P}{E}
\end{equation}

On nomme alors $\kappa=3(1-2\nu)$ la compressibilité du matériaux, et $\dfrac{1}{\kappa}$ le module de compressibilité isostatique.

\subsection{Cas général du ressort}
Pour des petites déformations (\textit{i.e.} tant qu'elles sont linéaires), la variation de longueur $\Delta \ell$ d'un ressort en traction/compression est proportionnelle à la force $F$ de traction/compression générée par le ressort. On appelle le coefficient de proportionnalité la \textbf{raideur} du ressort, exprimée en N/m et notée $k$. On a alors $$F=-k\Delta \ell$$
Le signe "-" indique que cette force s'oppose à toute déformation du ressort.


On peut également définir la raideur $k$ d'un matériau pour d'autres types de déformations :
\begin{itemize}
    \item $F=k_f\theta$ pour une flexion (ici, $\theta$ est l'angle de déformation et $k_f$ est en N/rad)  
    \item $C=k_t\theta$ pour une torsion (ici, $C$ est le couple, $\theta$ est l'angle de déformation et $k_t$ est en N.m/rad)
\end{itemize}
\begin{center}
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{figs/ressorts.png}
\end{center}
\end{document}