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\title{LP - Moments magnétiques, notion de spin}



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\newenvironment{alignement}
    {\begin{equation}
    \begin{aligned}
    }
    {
    \end{aligned}
    \end{equation}
    }

\newenvironment{systeme}
    {\begin{equation}
    \left\{\begin{aligned}
    }
    {
    \end{aligned}\right.
    \end{equation}
    }

\newenvironment{systemein}
    {\left\{\begin{aligned}}
    {\end{aligned}\right.
    }


\date{\today}

\begin{document}

\titre{Aurélien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}

\subsection*{Niveau : L2/L3}


\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\  \ }p{0.48\linewidth}}
MP16\\
LP45\\
LP04\\
\url{https://fr.wikipedia.org/}\\
%\textit{}  \textbf{} &  \\ 
%\textit{}  \textbf{} & \\
\end{tabular}


\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Mécanique classique
 \item Électromagnétisme
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item 
	\end{itemize}
\end{minipage}




\tableofcontents

\newpage

\setlength{\parskip}{1em}


\section*{Introduction}

    En physique, le moment magnétique est une grandeur vectorielle qui permet de caractériser l'intensité d'une source magnétique. Cette source peut être un courant électrique, ou bien un objet aimanté. L'aimantation est la distribution spatiale du moment magnétique.
    
    Nous allons aujourd'hui tenter de comprendre plus en détail les mécanismes derrière cette quantité, et ses manifestations expérimentales.

\vspace{0.2cm}

\section{Moment magnétique classique}
    \livre LP04

    \subsection{Manifestations usuelles}
    
        La manifestation principale de l'existence du moment magnétique est l'apparition d'une aimantation dans une boussole, ou dans un solénoide. Le moment magnétique d'un corps se manifeste par la tendance qu'a ce corps à s'aligner dans le sens d'un champ magnétique
        
        Pour quantifier cet alignement on va définir une quantité $\vb{\mu}$, telle que la force qui s'applique sur un moment magnétique $\mu$ soit un couple $\vb{tau}$ tel que
        
        \begin{equation}
            \vb{\tau}=\vb{\mu}\wedge\vb{B}
        \end{equation}
        
        Cette définition donne donc une méthode permettant, en théorie, de mesurer le moment magnétique d'un échantillon inconnu placé dans un champ magnétique connu. La même méthode permet symétriquement de mesurer le champ magnétique en un point, à partir d'un système comportant un moment magnétique déterminé.
        
        \textbf{L'unité} du moment magnétique est donc le \si{\newton\metre\per\tesla}.
        
    \subsection{Rapport à l'aimantation}
    
    L'aimantation $\vec J$ correspond à une densité volumique de moment magnétique. Elle est définie par l'équation suivante, où $\mathrm d\vec\mu$ est le moment magnétique élémentaire, et d$V$ le Volume élémentaire :
    
    $$\vec J=\frac{\mathrm d\vec\mu}{\mathrm dV}$$
    
    Le moment magnétique s'exprimant \si{\ampere\metre\squared}, l'intensité d'aimantation $J$ (le module ou la valeur algébrique de l'aimantation $\vec J$) se mesure en ampères par mètre (A/m).
    
    Cette équation mène à une définition générale du moment magnétique, comme intégrale de l'aimantation sur l'ensemble du volume du corps considéré :
    
    $$\vec\mu=\iiint\vec J\,\mathrm dV$$

    où $\vec\mu$ est le moment magnétique total.

    De ce fait, le moment magnétique et l'aimantation sont complètement analogues au dipôle électrostatique $\vec p$ et à la polarisation $\vec P$. Cette analogie conduit à parler de dipôle magnétique par analogie avec un dipôle électrostatique.

    \subsection{Origine physique}
        \begin{figure}[H]
            \centering
            \includegraphics[width=.2\textwidth]{fig/muS.png}
            \caption{Représentation d'une spire de courant.}
            \label{fig:my_label}
        \end{figure}
        
        Comme cela à été dit en intro, l'origine physique du moment magnétique est usuellement la rotation d'une charge. En effet une charge qui tourne autour d'une axe va générer un champs électromagnétique, et va tendre à l'alignement avec le champs magnétique présent.
        
        On définit le \textbf{moment magnétique différentiel} comme
        
        \begin{equation}
            \dd \vb{\mu}=\dfrac{1}{2}\vb{r}\wedge\vb{j}\dd V
        \end{equation}
        
        où $\vb{r}$ est la position de la charge et $\vb{j}$ la densité de courant électrique.
        
        Dans le cas d'une charge seule tournant autour d'un axes, on a par intégration :
        
        \begin{equation}
            \vb{\mu}=\dfrac12q\vb{r}\wedge\vb{v}
        \end{equation}
        
        Soit encore, dans le cas d'une boucle de courant de surface $S$ :
        
        \begin{equation}
            \vb{\mu}=I\vb{S}
        \end{equation}
        
        
        
    \subsection{Manifestations}
        Le smanifestations du moment magnétique sont multiples. On a déjà cité plus haut l'aimantation des matériaux, ainsi que l'alignement des boussoles et solénoïdes, mais il en existe d'autres.
        
        Sans entrer dans le détail, on peut citer la précession de Larmor, qui est le mouvement de précession que décrit un moment magnétique soumis à un champs $\vb{B}$, sans frottements d'aucune forme.
        
        La precession de Larmor est ce qui est utilisé dans la RMN, résonnance magnétique nucléaire, pour faire de l'imagerie du corps humain.
        
        \transition{Une question reste cependant non élucidée, d'où vient le moment magnétique de la boussole ? Non parce que le solénoïde pas de soucis, ça tourne, mais la boussole ?}

    \subsection{Rapport gyromagnétique}
        
        L'astuce à laquelle ont d'abord pensé des physiciens de renom comme Bohr ou de Broglie est celle de l'électron qui tourne autour de son noyau. En effet un électron qui tourne, c'est une spire de courant, et même si on sait aujourd'hui que c'est plus compliqué qu'un truc qui tourne, à l'époque (années 10-20) c'était pas évident !
                
        Considérons le modèle atomique de Bohr, avec un électron tournant autour d'un noyau atomique. C'est un modèle empirique qui permet de s'affranchir de l'étude précise en mécanique quantique du système, et qui (par chance ou presque) mène aux mêmes résultats.
        
        \begin{figure}[H]
            \centering
            \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/momentmag.jpg}
            \caption{Modèle de Bohr}
            \label{fig:bohr}
        \end{figure} 
        L'électron possède un moment cinétique
        
        $$\vb{L} = \vb{r} \wedge m_e \vb{v} = m v r \vb{n}$$
        
        où $\vb{n}$ est un vecteur unitaire normale à la surface délimitée par le mouvement de l'électron.
        
        Il possède alors également un moment magnétique dit \textbf{orbital} $\vb{\mu_L}$ définit par $\vb{\mu_L}=i A \vb{n}$.
        On écrit alors :
        \begin{equation}
            \begin{aligned}
            \vb{\mu_L} &= \frac{\text{d}q}{\text{dt}} \pi r^2 \vb{n} \\
            &= \frac{-e}{T} \pi r^2 \vb{n} \qquad \text{où} \qquad T=\frac{2\pi r}{v} \quad\text{la~période~de~rotation}\\
            &= - \frac{evr}{2}\vb{n} 
            \end{aligned}
        \end{equation}
        
        
        On obtient donc finalement :
        \begin{equation}
            \vb{\mu_L} = \gamma \vb{L} \qquad \text{où} \qquad \gamma=-\frac{e}{2m_e}\simeq -8.8\times10^{+10}\si{\coulomb\per\kilo\gram} \quad \text{le rapport gyromagnétique.}
        \end{equation}
        
        
        \remarque{limite}{Comme indiqué précédemment, ce résultat trouvé avec un modèle classique, le modèle de Bohr, reste valide dans la théorie quantique. Il faut tout de même noter la principale faiblesse du modèle : un électron qui tourne, ça rayonne, et donc ça perd de l'énergie, et donc ça s'effondre sur le noyau.}
        
        On a cependant une explication de l'origine du moment magnétique dans les matériaux, c'est une histoire d'électron qui tourne. Cependant la physique moderne nous a montré que l'atome a un spin, comme si un électron tournait autour, mais sans électron qui tourne\footnote{Les joies de la mécanique quantique}...

\transition{On a détaillé le phénomène, et les conséquences, mais on a pas détaillé la cause, parce qu'on a pas vraiment de truc qui tourne là.}

\section{Moment magnétique intrinsèque : le spin}

\noindent\livre\url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_magnétique_de_spin}\\
\livre\url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_magnétique}
    
    
    
    \subsection{Définition}
        On a vu dans la partie précédente qu'on pouvait associer un moment magnétique orbital $\vb{\mu_L}$ à une particule de charge $q$ et de masse $m$ ayant un moment cinétique orbital $\vb{L}$. Les deux grandeurs étaient d'ailleurs reliées par la relation $$\vb{\mu_L}=\dfrac{q}{2m}\vb{L}=\gamma\vb{L}$$
         avec $\gamma$ le rapport gyromagnétique.
         
        Cependant, on sait également qu'une particule possède une caractéristique intrinsèque au même titre que sa masse ou sa charge et qui est analogue à un moment cinétique : le \textbf{spin} $\vb{S}$. Ainsi, il est également possible de définir un moment magnétique intrinsèque associé à ce 'moment cinétique intrinsèque' qu'est le spin : le \textbf{moment magnétique de spin} $\vb{\mu_S}$. Cette grandeur est reliée au spin $\vb{S}$ d'une particule via une relation similaire à celle reliant $\vb{\mu_L}$ et $\vb{L}$ :
        \important{\begin{equation}
            \vb{\mu_S}=g\frac{q}{2m}\vb{S}
        \end{equation}
        où $g$ est un nombre appelé \textbf{facteur de Landé} et dont la valeur dépend de la particule étudiée.}
        
    
    
    \subsection{Moment magnétique de spin de l'électron}
        observations, échecs du modèle classique
    
    
        La première particule à laquelle on peut penser quand on parle de spin est l'électron. Pour un axe donné, on sait que l'électron n'a que 2 valeurs de spin qui sont $\vb{S_z}=\pm\dfrac{\hbar}{2}\vb{e_z}$, et l'équation de Dirac prédit que $g_e=-2$ pour l'électron. On obtient donc que le moment magnétique intrinsèque de l'électron vaut 
        \begin{equation}
            \vb{\mu_{S,}}_{\text{électron}}=-2\frac{-e}{2m_e}\bigpar{\pm\dfrac{\hbar}{2}}\vb{e_z}=\pm\frac{e\hbar}{2m_e}\vb{e_z}
        \end{equation}
        On introduit alors le "quantum magnétique" appelé \textbf{magnéton de Bohr} donc l'expression est $\boxed{\mu_B=\dfrac{e\hbar}{2m_e}}$, et on a $\vb{\mu_{S,}}_{\text{électron}}=\pm\mu_B\vb{e_z}$.
        
        
        Cependant, des expériences conduites dès 1947 sur la structure hyperfine de l'hydrogène et du deutérium décèlent un écart entre la valeur expérimentale de $g_e$ et sa valeur théorique de -2. En 2014, la valeur expérimentale admise vaut $$g_e\simeq \ -2,002\ 319\ 304\ 361\ 82(52)$$
        On dit alors que le moment magnétique de spin de l'électron est \textbf{anomal}\footnote{Plus d'infos sur \url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_magnétique_anomal}}.
    

    \subsection{Moment magnétique de spin du proton}

        Une autre particule à laquelle on peut penser est le proton. Pour le proton, on a $g_P=+2$ et on obtient donc
        $$\vb{\mu_{S,\text{proton}}}=+2\frac{e}{2m_p}\bigpar{\pm\dfrac{\hbar}{2}}\vb{e_z}=\pm\frac{e\hbar}{2m_p}\vb{e_z}$$
        On introduit alors le \textbf{magnéton nucléaire} donc l'expression est $\boxed{\mu_N=\dfrac{e\hbar}{2m_p}}$, et on a $\vb{\mu_{S,\text{proton}}}=\pm\mu_N\vb{e_z}$.
        
        
        
    \subsection{Moment magnétique d'un atome}

        On a vu que chaque électron que possède un atome ont un moment cinétique orbitale et un moment cinétique de spin. Ainsi, on peut sommer les contributions de chaque électron pour attribuer un moment cinétique orbital total $\vb{L_\text{tot}}$ et un moment cinétique de spin total $\vb{S_\text{tot}}$. L'atome possède alors un moment cinétique total $\vb{J}=\vb{L_\text{tot}}+\vb{S_\text{tot}}$, et on peut alors définir le moment magnétique résultant de l'atome comme :
        \begin{equation}
            \mu_\text{atome}=g_J\mu_B\sqrt{J(J+1)} \qquad \text{(vecteur propre de l'opérateur }\vb{J}^2)
        \end{equation}
        avec $g_J$ le facteur de Landé et $\mu_B$ le magnéton de Bohr. La composante selon l'axe $z$ de ce moment est donnée par
        \begin{equation}
            \mu_{\text{atome},z}=-m_Jg_J\mu_B \qquad \text{(vecteur propre de l'opérateur }J_z)
        \end{equation}
        avec $m_J$ le nombre quantique magnétique pouvant prendre les $2J+1$ valeurs entières entre $-J$ et $J$.
        
        Ainsi pour faire les calculs complets, il faut prendre en compte l'intégralité de ces contributions, qui se somment de manière linéaire !
        
    \subsection{Application à la précession de Larmor}
        Détailler les calculs de Larmor
        \livre\url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Précession_de_Larmor}
        
    \subsection{Applicaton à la RMN}
    
        \livre\url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Rapport_gyromagnétique}
        
        Les rapports gyromagnétiques des differents atomes et même des différents isotopes étant différents, leur pulsation de Larmor change. Ainsi on a des résonnance en pulsation qui apparaissent quand on applique un champs tournant à un échantillon.
        
        Grâce à cela on peut déterminer précisément la composition d'un échantillon :
        
        \livre\url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Résonance_magnétique_nucléaire}

\end{document}

