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\title{LP - Hystérésis dans différents domaines de la physique}



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\newenvironment{alignement}
    {\begin{equation}
    \begin{aligned}
    }
    {
    \end{aligned}
    \end{equation}
    }

\newenvironment{systeme}
    {\begin{equation}
    \left\{\begin{aligned}
    }
    {
    \end{aligned}\right.
    \end{equation}
    }

\newenvironment{systemein}
    {\left\{\begin{aligned}}
    {\end{aligned}\right.
    }


\date{\today}

\begin{document}

\titre{Aurélien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}

\section*{Niveau : }


\section*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\  \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{}  \textbf{} &  \\ 
\textit{}  \textbf{} & \\
\end{tabular}


\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\section*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item 
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\section*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item 
	\end{itemize}
\end{minipage}




\tableofcontents

\newpage

\setlength{\parskip}{1em}


\section*{Introduction}

La notion d'hystérésis décrit un phénomène très large, qui est que certains systèmes physico-chimiques ne se comportent pas de la même façon quand on les change de sens.

Dit comme ça, ça a l'air bête, mais pour l'imaginer il faut voir une voiture qui va du point A au point B, et qui prend un chemin différent pour l'aller et le retour à cause d'un sens interdit.

\vspace{0.2cm}



\section{Notion d'hystérésis}

        L'origine usuelle d'une hystérésis est la non réversibilité d'un phénomène. En effet si on considère un système avec une grandeur d'entrée $x(t)$ et une de sortie, $y(t)$, mais que $y(t)$ est une fonction de $x$ ET de $y(t-\dd t)$, alors on comprend que faire augmenter puis diminuer $x$ change le résultat.
        
        On parle généralement de \textit{cycle d'hystérésis} parce que l'on regarde des variations cycliques de l'entrée, ce qui donne des courbes comme celle là :
        
        \begin{figure}[H]
            \centering
            \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/Hystérésis.png}
            \caption{Cycle d'hystérésis classique, les courbes aller et retour ne se superposent pas.}
            \label{fig:hystexplique}
        \end{figure}

    Il est intéressant de voir que certains cycles nécessitent d'être mis en place, comme nous allons le voir dans la partie ci-après.

\section{Exemple mécanique}
    On prend un solide de masse $m$ sur un support, avec un coefficient de frottement $f$ (statique = dynamique). On l'attache à un ressort, de longueur à vide $\ell$, et de raideur $k$. On repère la position du bout du ressort par $x_1$ (à droite), et la position du solide par $x_2$ (à gauche).
    
    Dans un premier temps, on tire de manière quasistatique sur le ressort dans le sens de $x_1$ croissant, en partant de $x_1=0$, et de $x_2=-\ell$ (qui reste fixé tant qu'il n'y a pas glissement), sur une distance $a$. Dans un deuxième temps on pousse dans l'autre sens, et $x_1$ va jusqu'à $-a$
    
    \url{https://www.geogebra.org/m/nxuu8fjp}

    
    \vspace{.2cm}
    
    \noindent1) Donner la condition sur $k$, $\ell$ et $a$ pour que le solide glisse, et que la situation reste physique (pas de longueur négative de ressort).\\
    2) Tracer $x_2(x_1)$, et mettre en évidence le cycle d'hystérésis.
    
    \subsection{Aller}
        \textbf{Non glissement :}
            
        On part de $x_1=0$ et on étire le ressort (donc $x_1$ devient positif). Tant qu'il n'y a pas de glissement, $x_2$ ne varie pas et vaut $-\ell$. La loi de Coulomb donne alors la condition de non glissement :
        $$|T|<f|N|$$
        Avec un PFD, on vois que cette condition équivaut à $$|k(\ell-x_1+x_2)|<fmg$$
        Or $x_2=-\ell$ donc la condition de non glissement devient $$x_1<\dfrac{fmg}{k}$$
        
        \vspace{.2cm}
        
        \textbf{Glissement :}
        
        \important{\textcolor{red}{Condition sur les données du système :} on doit avoir
            \begin{equation*}
                a>\dfrac{fmg}{k}
            \end{equation*}
        }
            
        Maintenant, on continue de tirer $x_1$ vers la droite pour avoir $x_1=a >\dfrac{fmg}{k}$. On a alors glissement de $x_2$ qui bouge à la même vitesse que $x_1$, \textit{i.e.} le ressort a une longueur constante valant $\ell+\dfrac{fmg}{k}$.
        À la fin de l'aller, on a donc 
        $$\begin{systemein}
             x_1&=a \\
             x_2&=x_1-\bigpar{\ell+\dfrac{fmg}{k}}=a-\bigpar{\ell+\dfrac{fmg}{k}}
        \end{systemein}$$
        
    \subsection{Retour}
        \textbf{Non glissement :}
            
        Pour le retour, on part de $x_1=a$ et de $x_2 = -\ell+a-\dfrac{fmg}{g}$. On va donc diminuer $x_1$ jusqu'à ce que la longueur du ressort soit de $\ell-\dfrac{fmg}{k}$, c'est à dire jusqu'à ce que la condition de glissement soit vérifiée.
            
        \important{\textcolor{red}{Nouvelle condition :} La longueur du ressort devant être positive, on doit forcément garder
        \begin{equation*}
            \ell>\dfrac{fmg}{k}
        \end{equation*}
        }
    
        Ainsi on a alors juste avant le début du glissement $x_1=a-2\dfrac{fmg}{k}$ puisque la longueur du ressort aura variée de $2\dfrac{fmg}{k}$ et qu'on a toujours $x_2 = -\ell+a-\dfrac{fmg}{g}$.
            
        \vspace{.2cm}
            
        \textbf{Glissement :}
            
        On continue à déplacer $x_1$, la longueur du ressort est fixée à $\ell-\dfrac{fmg}{k}$, et on finit à 
        $$\begin{systemein}
             x_1&=-a \\
             x_2&=x_1-\bigpar{\ell-\dfrac{fmg}{k}}=-a-\bigpar{\ell-\dfrac{fmg}{k}}
        \end{systemein}$$    
            
        \vspace{.2cm}
    
    \subsection{Dans l'autre sens :}
            
        On refait la même chose mais cette fois en contractant le ressort dans un premier temps pour arriver en $$(x_1,x_2)=\bigpar{-a+2\dfrac{fmg}{g},-l-a+\dfrac{fmg}{k}}$$, puis en l'étirant pour arriver en $$(x_1,x_2)=\bigpar{a,-\ell+a-\dfrac{fmg}{g}}$$.
        
        On a les mêmes points que quand on étire d'abord puis on contracte, mais les conditions de glissements vont donner des valeurs de basculement pour $x_1$ qui sont différentes : on peut alors tracer le cycle $x_2=f(x_1)$ pour observer l'hystérésis.

    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/hystéresis.png}
        \caption{Portrait de phase de l'exemple mécanique.}
        \label{fig:mécajoli}
    \end{figure}

    \section{Exemple électrique}
        \livre\url{http://pcsipsiauxulis.com/IMG/pdf/Poly_TD_electronique.pdf}, exercice 7 ou  8 du TD2. Signal seuil, montée et descente.
        
        \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/hystérésis_AO.png}

    \section{Exemple électromagnétique : les matériaux ferromagnétiques}
        \livre MP16 pour l'aspect expérimental + LP45 \\
        \livre \url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Hystérésis_magnétique}\\
        \livre\url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Modèle_de_Stoner-Wohlfarth} pour la théorie \\
        
        On peut modéliser les atomes composant un matériau ferromagnétique par des dipôles électriques. Ainsi, lorsqu'un champ magnétique externe est appliqué à un matériau ferromagnétique, ces dipôles vont s'aligner avec ce champ magnétique. Si on retire le champ magnétique externe, on observe qu'une partie de l'alignement des dipôles est conservée et on dit que le matériau est alors \textbf{aimanté}.
        
        Quand on veut faire les calculs, on se rend compte que les équations de Maxwell ne suffisent pas à décrire le problème car elles n'apportent que 8 équations pour 9 inconnues (les composantes de $\vb{E}$, $\vb{H}$ et $\vb{B}$). Pour fermer le système, on introduit l'expression $\vb{M}=\chi(\vb{H})\vb{H}$ (cf \livre LP45). Pour un matériau ferromagnétique, cette relation n'est pas linéaire puisque $\chi$ va dépendre de $\vb{H}$.
        
        
        Partons d'une situation où le matériau est désaimanté (donc $\vb{H}=\vb{0}=\vb{M}$). Si on augmente $\vb{H}$, on obtient la \textbf{courbe de première aimantation} qui augmente rapidement avant de devenir asymptotique en atteignant le point de saturation magnétique. Cette saturation s'explique par le fait qu'en augmentant $\vb{H}$, de plus en plus de dipôles vont s'aligner dans la direction de $\vb{H}$ jusqu'à ce qu'ils soient tous alignés dès que le champ $H$ atteint une valeur particulière appelée \textbf{champ coercitif} $H_C$. À partir de là, augmenter $\vb{H}$ n'aura plus d'effet.
        
        \noindent Maintenant qu'on est à saturation pour $H>0$, on choisit de diminuer $H$ jusqu'à des valeurs négatives. On se rend alors compte que $M$ ne suit pas la courbe d'aimantation mais une courbe différente. En effet, tant que le champ magnétique n'atteint pas en valeur absolue la valeur de champ coercitif $H_C$ (\textit{i.e. tant que $H>-H_C$}), l'aimantation va "résister" au changement du champ magnétique. Une fois la valeur de $H_C$ atteinte, l'aimantation de chaque atome se retourne brusquement (on a alors $\derond{M}{H}<0$) pour s'aligner avec le champ magnétique négatif. Tous les atomes seront alors de nouveau alignés avec $\vb{H}$, on a donc atteint le point de saturation magnétique pour $H<0$.
        
        \noindent Si on veut ensuite retourner au point de saturation magnétique pour $H>0$, on doit augmenter $H$. De la même façon que lorsqu'on a diminué $H$, l'aimantation du matériau varie peu quand $H$ change de signe tant que $|H|<H_C$. Quand $H>+H_C$, l'aimantation se retourne à nouveau brusquement ($\derond{M}{H}>0$) et on atteint le point de saturation magnétique.
        
        
        \noindent Ainsi, on constate qu'on a bien tracé un cycle d'hystérésis puisque $M$ suit un chemin différent en fonction de si on augmente ou on diminue $H$. On remarque que pour $H=0$ l'aimantation n'est pas nul et sa valeur est appelée \textbf{aimantation rémanente}. Ce phénomène permet l'existence des aimants que l'on peut croiser dans notre vie, allant du petit aimant à placer sur le frigo à l'aimant au néodyme qui finit toujours éclaté sur le sol en TP parce que quelqu'un l'a lâché...
        
        \begin{center}
            \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/hystérésis_ferro.png}
        \end{center}
        
    \section{Exemple en thermodynamique}
        Un diagramme de Clapeyron est un diagramme qui montre l'évolution de $P$ en fonction de $V$ dans un système thermodynamique comme un moteur, de préférence cyclique.
        
        Le principe est de parcourir un cycle en respectant la thermodynamique, donc en augmentant l'entropie à chaque étape. Ainsi on parcoure le cycle par un chemin hystérétique !
        
        La grandeur non réversible ici est évidemment l'entropie totale !







\end{document}

