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\title{Amplificateur opérationnel, modèles et usages}



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\newenvironment{alignement}
    {\begin{equation}
    \begin{aligned}
    }
    {
    \end{aligned}
    \end{equation}
    }

\newenvironment{systeme}
    {\begin{equation}
    \left\{\begin{aligned}
    }
    {
    \end{aligned}\right.
    \end{equation}
    }

\newenvironment{systemein}
    {\left\{\begin{aligned}}
    {\end{aligned}\right.
    }


\date{\today}

\begin{document}

\titre{Aurélien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}

\subsection*{Niveau : CPGE (PSI)}


\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\  \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Electronique PSI}, Précis Bréal  & chap 3 p 67 \\ 
\textit{Electronique}, \textbf{Pérez} & chap 8, p 257\\
\url{http://physiquenetappliquee.free.fr/ampli_op1.php}&\\
\url{https://www.les-electroniciens.com/sites/default/files/cours/lampli_op.pdf}&\\
\end{tabular}


\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
    \item Électrocinétique de MPSI/PCSI
\end{itemize}


\tableofcontents

\newpage

\setlength{\parskip}{1em}


\section*{Introduction}
L'amplificateur opérationnel est un dispositif qui est utilisé pour amplifier mais également comparer des signaux électrique. Il est fondamental dans l'électronique de prépa car c'est le seul dispositif actif officiellement au programme.

Par \textbf{dispositif actif} on entend un composant électrique qui apporte de une puissance supérieure à celle qu'il reçoit dans le système.

\vspace{0.2cm}

\section{Le modèle de l'AO/ALI}
\subsection{Présentation de l'AO}

L'AO est un dispositif alimenté avec des tensions symétriques $\pm E$, dont la sortie dépend de la différence entre les deux entrées. On le symbolyse comme suit :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/SymboleAO.png}
    \caption{Symbole de l'AO. Il existe aussi une norme américaine avec un triangle.}
    \label{fig:AO11}
\end{figure}

Le lemniscate est là pour indiquer que l'amplification est très élevée, comme on va le voir tout de suite.

La tension de sortie de l'AO est produite à partir de la \textbf{tension différentielle}, c'est à dire la différence entre la tension à ses deux bornes, $\varepsilon=e_+-e_-$.

La sortie est donnée par ce graphe :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/caracteristique.png}
    \caption{Caractéristique de l'AO. En continu la caractéristique réelle, en pointillés, la caractéristique idéale.}
    \label{fig:caractéristqiue}
\end{figure}

La tension de saturation est donnée par $E$. On prendra en pratique que $\varepsilon_d=0$ (en vrai c'est environ 1 mV, et ça se règle avec une petite molette), et on nomme la pente de la partie linéaire $\mu$, le gain de l'ampli. Dans un cas classique, $\mu\simeq10^5$. C'est pour cela qu'on considère généralement que c'est infini, et que l'AO bazarde 0 si $e_+=e_-$, $+E$ si $e_+>e_-$, et $-E$ si $e_+<e_-$.

Il y a deux zones, la zone linéaire, et la zone de saturation.



\subsection{Fonction de transfert en tension}
En général, on utilise un AO en \textit{boucle fermée}, c'est-à-dire en reliant une de ses entrées à la sortie. Cependant, ce sera l'objet de la partie suivante. Dans cette partie, on va s'intéresser à l'AO en \textit{boucle ouverte.} La connaissance de la structure interne de l'AO n'est pas nécessaire pour obtenir l'équation reliant la tension de sortie $s$ à la tension différentielle $\varepsilon=e_+-e_-$. 
En effet, une étude expérimentale peut montrer que le comportement de l'AO \textit{en boucle ouverte} peut être décrit par l'équation différentielle d'ordre 1 suivante :
\begin{equation}
    \tau_c \dv{s}{t}+s=\mu\varepsilon
\end{equation}
avec une constante de temps de l'AO $\tau_c$ de l'ordre de 10 ms et une amplification différentielle \textbf{stationnaire} $\mu$ entre $10^4$ et $10^7$. Le terme "stationnaire" vient du fait qu'en régime stationnaire l'équation différentielle devient
$$s=\mu\varepsilon=\mu(e_+-e_-)$$
Avec cette expression, on voit que si $e_+$ est reliée à la masse, $s$ et $e_-$ ont des signes opposés. Inversement, si on relie $e_-$ à la masse, $s$ et $e_+$ ont le même signe. Ainsi, l'entrée $e_+$ est dite \textbf{non-inverseuse} tandis que l'entrée $e_-$ est dite \textbf{inverseuse}.\\
Remarquons également que cette équation différentielle ressemble fortement à celle obtenue dans l'étude d'un filtre passe-bas RC. 

\remarque{Remarques}{\begin{itemize}
    \item L’AO étant un composant actif, la fonction linéaire entre la sortie et l’entrée différentielle ne peut être obtenue que sous réserve de le polariser grâce à deux sources de tension stationnaires symétriques $E$ et $-E$ . Ainsi, la tension de sortie est limitée en amplitude selon la relation 
    $$-E < s < E \quad \text{soit encore}\qquad  - V_\text{sat} \le s \le V_\text{sat}$$ 
    avec $V_\text{sat}$ la tension de saturation, légèrement inférieure aux tensions de polarisation de l’AO.
    \item Afin d’éviter la saturation en courant, l’intensité $i_s$ du courant de sortie doit vérifier la condition $$i_s < i_{s,\text{max}}$$ avec $i_{s,\text{max}}$ l'intensité maximale du courant de sortie donnée par le fabricant.
    \item On évitera une déformation du signal de sortie par saturation en vitesse en garantissant une variation maximale de $s$ au cours du temps, d’où la condition 
    $$\text{max}\bigg| \dv{s}{t}\bigg| \le v_m$$
    avec $v_m$ la vitesse maximale de balayage (ou \textit{slew rate}) de l'AO.
\end{itemize}}

Si on passe en régime sinusoïdal, la tension différentielle s'écrit $\varepsilon(t)=\varepsilon_me^{j\omega t}$. La sortie de l'AO s'écrit alors également sous la forme $s=s_me^{j\phi_s}e^{j\omega t}$. En injectant ces deux expressions dans l'équation différentielle, on obtient la fonction de transfert de l'AO :
\begin{equation}
    H=\dfrac{s}{\varepsilon}=\dfrac{\mu}{1+j\omega\tau_c}
\end{equation}
Le module et l'argument de cette fonction de transfert sont données par
\begin{systeme}
    |H| &= \dfrac{\mu}{\sqrt{1+\omega_2\tau_c^2}} \\
    \text{arg}(H)&=\phi_s=-\arctan(\omega\tau_c)
\end{systeme}
En posant $\omega_c=\dfrac{1}{\tau_c}$ et $x=\dfrac{\omega}{\omega_c}$, on obtient la forme canonique de la fonction de transfert :
\begin{systeme}
    |H| &= \dfrac{\mu}{\sqrt{1+x^2}} \\
    \text{arg}(H)&=\phi_s=-\arctan(x)
\end{systeme}
On obtient les diagrammes de Bode suivant (figures tirées du Pérez d'électronique) en introduisant le gain en tension $G_u=20\log|H|$:
\begin{center}
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/bode_AO_boucle_ouverte.PNG}
\end{center}
On voit que puisque l'AO est un système actif, son gain passe par une valeur maximale non nulle donnée par $G_{u,\text{max}}=20\log\mu$. La pulsation $\omega_c$ peut également être identifiée en tant que pulsation de coupure à -3 dB.


\remarque{Remarque}{Pour un AO, il existe une seconde fréquence caractéristique : la \textit{fréquence de transition}. Elle correspond à la fréquence par laquelle le gain $G_u$ est nul. On a alors 
$$f_t=f_c\sqrt{\mu^2-1}\sim f_c\mu$$
Cette fréquence représente la transition entre le mode d'amplification ($G_u>0$) et le mode d'atténuation ($G_u<0$) de l'AO. Cette fréquence est généralement donnée par le constructeur sous le nom de \textit{produit facteur d’amplification bande passante PAB} (ou \textit{gain-bandwidth}).}


\subsection{Deux régimes de fonctionnement}

On s'intéresse maintenant à l'AO en boucle fermée, c'est à dire que l'on va relier la sortie à l'une des entrées (ou aux deux) !

L'amplificateur linéaire a deux entrées et une sortie. Les deux entrées n'étant pas symétrique, on comprend bien que deux régimes différents puissent apparaître en fonction de la façon dont on branche la bête.

\begin{itemize}
    \item \textbf{La réaction positive} : Si l'AO est branché de telle sorte à ce qu'une augmentation de la sortie rétroagissent sur elle même en augmentant $e_+$, on parle de \textbf{réaction positive}.
    
    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/reactpositive.png}
        \caption{Exemple de montage à rétroaction positive.}
        \label{fig:posit}
    \end{figure}
    
    On voit ici que si $s$ augmente, $e_+$ augmente, et donc $\varepsilon$ augmente, et don $s$ augmente. On comprend ainsi que ce mode de fonctionnement soit \textbf{saturé}. L'AO est toujours en saturation dans ce régime.
    
    \item \textbf{La réaction négative} : Dans le cas inverse ou l'on branche la sortie sur l'entrée --, on tempère la sortie avec elle même. C'est la \textbf{contre-réaction}. L'AO est alors tout le temps en régime \textbf{linéaire}.
    
    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=.35\textwidth]{fig/reactnegative.png}
        \caption{Exemple de montage à réaction négative.}
        \label{fig:negat}
    \end{figure}
    
    \item \textbf{Réaction double} : Dans ce cas là c'est d'abord la plus rapide qui prime, puis la plus forte.
    
\end{itemize}

\subsection{Modèle de l'AO idéal}
\important{Le modèle de l'\textbf{AO idéal} repose sur les hypothèses suivantes :
\begin{itemize}
    \item l'impédance de sortie $Z_s$ est nulle ;
    \item l'impédance d'entrée $Z_e$ est infinie ;
    \item les courants de polarisation $I_{P1}$ et $I_{P2}$ sont nuls ;
    \item la tension de décalage $\varepsilon_d$ est nulle ;
    \item l'amplification $\mu$ est infinie
\end{itemize}
}

Ces hypothèses ont diverses conséquences. Par exemple, le modèle de l'AO réel donne les expressions suivantes pour les intensités en entrée :
\begin{systeme}
     i_+&=I_{P1}+i_d=I_{P1}+\dfrac{\varepsilon}{Z_e} \\
     i_-&=I_{P2}-i_d=I_{P1}-\dfrac{\varepsilon}{Z_e}
\end{systeme}
Avec les hypothèses de l'AO idéal, on a $Z_e$ qui est infinie et $I_{P1}=0=I_{P2}$. 
\important{\textbf{pour un AO idéal, les courants d'entrée $i_+$ et $i_-$ sont nuls.}}

\noindent
De plus, le régime linéaire de l'AO donnait $$s=\mu(\varepsilon-\varepsilon_d) \iff \varepsilon=\dfrac{s}{\mu}+\varepsilon_d$$
Les hypothèses de l'AO idéal donnent $\varepsilon_d=0$ et $\mu$ infinie. 
\important{\textbf{Pour un AO idéal \textit{en régime linéaire}, $\varepsilon=e_+-e_-=0$.}}

\noindent Cela se répercute sur la caractéristique de l'AO idéal : la zone linéaire étant caractérisée par $\epsilon=0$, elle correspond à une droite verticale dans le tracé de la caractéristique de l'AO idéal. Cette zone linéaire est encadrée par les zones de saturation pour lesquelles $s=+V_\text{sat}$ si $\varepsilon>0$ et $s=-V_\text{sat}$ si $\varepsilon<0$. 
\important{\textbf{Pour un AO idéal \textit{en régime de saturation}, $s=\text{sign}(\varepsilon)V_\text{sat}$} (avec la convention sign($0$)=0).}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.3\textwidth]{fig/caract_AO_ideal.PNG}
    \includegraphics[width=.3\textwidth]{fig/schema_elec_AO_ideal_regime_lineaire.PNG}
    \caption{Gauche : caractéristique de l'AO idéal. Droite : Schéma électrique équivalent de l'AO idéal \textbf{en régime linéaire}. Les 2 figures sont tirées du Précis Bréal d'électronique PSI.}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\subsection{Limites du modèle}
aspects dynamiques, courants non nuls, vitesse de montée, etc.

Les limites du modèle sont légions, mais sont généralement corrigées ou négligeables. Nous allons ici tenter de les lister.

\begin{itemize}
    \item \textbf{La tension de décalage} :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.3\textwidth]{fig/caracter_reel.jpg}
    \caption{Caractéristique de transfert décalée.}
    \label{fig:réel1}
\end{figure}

En général, dans le régime linéaire, il arrive que la tension différentielle (la différence entre le + et le --) soit nulle, mais pas la sortie. Il y a alors un décalage de la tension de sortie.

Il y a généralement une molette sur les AO qui sert à régler cet offset.

    \item \textbf{Le temps de monté (Slew Rate)} :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/Slew.png}
    \caption{Image du Slew Rate.}
    \label{fig:réel2}
\end{figure}

Le Slew Rate, c'est le temps que met le signal de sortie à suivre celui d'entrée. Plus mathématique, c'est la pente maximale que peut avoir le signal de sortie.

\begin{equation}
    \mathrm{SR} = \max\left|\frac{\dd v_\mathrm{out}}{dt}\right|
\end{equation}

Ainsi on voit que les signaux plus rapides ou plus amples que la limite de l'AO ne vont pas être retranscrits fidèlement. Typiquement, le SR vaut environ \SI{0.5}{\volt\per\micro\second}. Ainsi, un signal sinusoïdal de 25 kHz et de 10 V d'amplitude deviendra un magnifique triangle !

    \item \textbf{Les courants d'entrée et de sortie} :

On a supposé que les courants d'entrée de l'AO sont nuls, cependant ils sont en réalité existants, mais faibles. Ainsi $i_\pm\sim200$ nA environ.

Le courant de sortie pour sa part ne peut pas atteindre une valeur infinie, et est généralement limité à une vingtaine de mA, afin de protéger l'AO. Une fois cette valeur atteinte, la tension de sortie chute.

On peut alors modéliser l'AO réel par le schéma électrique suivant :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/AOReel.png}
    \caption{Schéma équivalent d'un AO réel. (Précis Bréal électronique PSI)}
    \label{fig:AOReel}
\end{figure}

\end{itemize}


\subsection{Calcul de la fonction de transfert, exemple}

Si on reprend un exemple de fonctionnement linéaire dans l'AO parfait, donc de rétroaction négative, on peut calculer sa fonction de transfert comme suit :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.35\textwidth]{fig/reactnegative.png}
    \caption{Exemple de réaction négative.}
    \label{fig:negat2}
\end{figure}

$$
H=\dfrac{s}{e}
$$

Or ici $e=\varepsilon+e_-$, et on a de plus que

$$
e_-=\dfrac{R_1}{R_1+R_2}s
$$

On est de plus en fonctionnement linéaire, donc $e_+=e_-$, ce qui signifie que $e=e_-$. On a alors

$$
H=\left(1+\dfrac{R_2}{R_1}\right)
$$

\remarque{Cas de l'AO non idéal}{
On doit alors considérer la fonction de transfert de l'AO, et prendre $s=\underline{H_0}(j\omega)\varepsilon$.

On a alors
$$
\underline{H}=\dfrac{\underline{H_0}}{1+\dfrac{\underline{H_0}}{H_{parfait}}}
$$
}

\section{Les montages classiques d'amplification}
\subsection{But de l'amplification}
Le but de l'amplification n'est pas forcément d'amplifier la tension, mais plutôt d'amplifier la puissance de sortie. En effet on met entrée de l'ampli une source de faible puissance, par exemple une pile, ou le bruit blanc d'une résistance, ce qui est à très faible puissance. C'est à cela que sert l'alimentation $\pm15$ V !

\subsection{La liste}
\livre \url{http://physiquenetappliquee.free.fr/ampli_op1.php}

\end{document}

