<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\RequirePackage{amsmath,amssymb,latexsym}
\usepackage{chemfig}
\usepackage{ulem}
\usepackage{stmaryrd}


\title{LP - Faisceaux Gaussiens}



\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\Tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\deg}{\si{\degree}}
\newcommand{\Nabla}{\vb{\nabla}}
\newcommand{\derondcarre}[2]{\dfrac{\partial^2#1}{\partial#2^2}}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\vb}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert}
\newcommand{\dv}[2]{\dfrac{\text{d}#1}{\text{d}#2}}
\newcommand{\ddv}[2]{\dfrac{\text{d}^2#1}{\text{d}#2^2}}
\newcommand{\dvv}[2]{\dfrac{\text{d}^2#1}{\text{d}#2^2}}
\newcommand{\derond}[2]{\dfrac{\partial#1}{\partial#2}}
\newcommand{\R}{\mathcal{R}}
\newcommand{\dd}{\text{d}}
\newcommand{\dthermo}[3]{\left.  \dfrac{\partial#1}{\partial#2}\right|_{#3}}
\newcommand{\bigpar}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\bigcro}[1]{\left[#1\right]}
\newcommand{\Tau}{\mathcal{T}}
\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
\newcommand{\kb}{k_B}
\newcommand{\Hamilt}{\mathcal{H}}
\newcommand{\dethermo}{\dthermo}
\newcommand{\moy}[1]{\left\langle#1\right\rangle}

\newenvironment{alignement}
    {\begin{equation}
    \begin{aligned}
    }
    {
    \end{aligned}
    \end{equation}
    }

\newenvironment{systeme}
    {\begin{equation}
    \left\{\begin{aligned}
    }
    {
    \end{aligned}\right.
    \end{equation}
    }

\newenvironment{systemein}
    {\left\{\begin{aligned}}
    {\end{aligned}\right.
    }

\newcommand{\matrice}[1]{
    \begin{pmatrix}
    #1
    \end{pmatrix}
}

\date{\today}

\begin{document}

\titre{AurÃ©lien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}

\subsection*{Niveau : PC}


\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.68\linewidth} @{\  \ }p{0.28\linewidth}}
\textit{Les lasers}, \textbf{Dangoisse}, chap 2 \\
\url{http://pcjoffre.fr/Data/cours/OD6_DE_Physique_du_laser.pdf} &amp; TrÃ¨s bonnes figures\\
\url{http://alain.lerille.free.fr/2014/Poly20.pdf}
\end{tabular}


\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{PrÃ©requis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Optique
 \item Ã‰lectromagnÃ©tisme
 \item Partie quantique du laser
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{ExpÃ©riences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item 
	\end{itemize}
\end{minipage}




\tableofcontents

\newpage

\setlength{\parskip}{1em}


\section*{Introduction}

Les faisceaux des lasers sont fondamentaux dans la technologie moderne, puisqu'ils sont le support de nombreux appareils de mesure et de transmission d'information. Nous allons aujourd'hui Ã©tudier leur propriÃ©tÃ©s en partant du postulat que leur forme est dite \textit{Gaussienne fondamentale}.

\vspace{0.2cm}



\section{Le faisceau du laser}
    \subsection{La forme gÃ©nÃ©rale du faisceau}
    
        Lorsque l'on cherche l'expression de l'onde en sortie d'un laser (dans l'approximation paraxiale), l'amplitude du champs Ã©lectrique $\mathcal{E}$ de vecteur d'onde $k$ doit Ãªtre solution de l'Ã©quation\footnote{c'est l'Ã©quation de SchrÃ¶dinger si tu regardes bien.}
        
        \begin{equation}
            \derondcarre{\mathcal{E}}{x}+\derondcarre{\mathcal{E}}{y}-2ik\derond{\mathcal{E}}{z}=0
        \end{equation}
        
        Les solutions de cette Ã©quation sont discrÃ¨tes mais en nombre infini, et nous ne nous intÃ©resserons dans ce cours qu'Ã&nbsp; la premiÃ¨re solution, la solution fondamentale, le \textit{mode Gaussien}. Il s'agit du mode qui respecte la symÃ©trie cylindrique, par consÃ©quent on a tout intÃ©rÃªt Ã&nbsp; se placer en coordonnÃ©es cylindriques.
        
        \begin{equation}
            \dfrac{1}{r}\derond{}{r}\left( r\derond{\mathcal{E}}{r} \right)=2ik\derond{\mathcal{E}}{z}
        \end{equation}
        \label{eq:diff}
        
        On peut remarquer que l'onde plane et l'onde sphÃ©rique marchent lÃ&nbsp; dedans, mais Ã©tant donnÃ© qu'on veut un systÃ¨me physique, on cherche une solution de la forme
        
        \begin{equation}
            \mathcal{E}(r,z)=A(z) \exp \left(-i \dfrac{k r^{2}}{2 R(z)}\right) \exp \left(-\dfrac{r^{2}}{w^{2}(z)}\right)
        \end{equation}
        
        Les diffÃ©rents termes de l'Ã©quations peuvent s'interprÃ©ter comme suit :
        
        \begin{itemize}
            \item $A(z)$ : variation de la phase en fonction de $z$ et de l'amplitude pour conserver l'Ã©nergie totale. \textbf{Complexe.}
            \item $\exp \left(-\dfrac{r^{2}}{w^{2}(z)}\right)$ : variation Gaussienne du profil en $x,y$. Pour un $z$ fixÃ©, l'amplitude du champs diminue d'un facteur $1/e$ Ã&nbsp; une distance $r=w(z)$ de l'axe optique.
            \item $w(z)$ est donc l'extension radiale du faisceau
            \item $\exp \left(-i \dfrac{k r^{2}}{2 R(z)}\right)$ : Il s'agit de la dÃ©finition du front d'onde, c'est Ã&nbsp; dire qu'on dÃ©finit ainsi les surfaces de phase.
            \item $R(z)$ est alors le rayon des fronts d'ondes, qui serait le rayon d'une onde sphÃ©rique Ã©quivalente.
        \end{itemize}
        
        On voit ainsi que le faisceau Gaussien est entiÃ¨rement caractÃ©risÃ© par la donnÃ©e de $w$ et de $R$.
        
        \newpage
        
    \subsection{Le rayon de courbure complexe}
        On peut commencer par dÃ©finir le \textit{rayon de courbure complexe} $Q(z)=\bigpar{\dfrac{1}{R(z)}-\dfrac{2i}{kw^2(z)}}^{-1}$. L'intÃ©rÃªt premier de cette quantitÃ© est de pouvoir "\textit{sphÃ©rifier}" l'expression de l'onde :
        
        \begin{equation}
            \mathcal{E}(r, z)=A(z) \exp \left[-i \dfrac{k r^{2}}{2 Q(z)}\right]
        \end{equation}
        
        L'insertion de cette forme dans l'Ã©quation diffÃ©rentielle \ref{eq:diff} donne le systÃ¨me suivant :
        
        \begin{systeme}
        \dv{Q}{z}&amp;=1\\
        \dv{A}{z}&amp;=-\dfrac{A}{Q}
        \end{systeme}
        
        La rÃ©solution donne alors $Q(z)=z+a$ avec $a=z_0+iz_R$ un complexe quelconque. On peut choisir de placer l'origine de $z$ en $z_0$ et pouf, magie :
        
        \begin{equation}
            Q(z)=z+iz_R
        \end{equation}
        
        En $z_0$ on a un rayon de courbure infini, le front d'onde est plan, et $R(z)=\pm\infty$. On nomme $z_R$ la \textit{longueur de Rayleigh}. Sa signification physique viendra, ne t'en fais pas.
        
        Par un habile report on obtient ensuite, avec $k=2\pi/\lambda$
        
        \begin{equation}
            w(z=0)=w_0=\sqrt{\dfrac{z_R\lambda}{\pi}}
        \end{equation}
        
        puis dans un plan quelconque
        
        \begin{systeme}
            R(z)&amp;=z\left[1+\dfrac{z_{R}^{2}}{z^{2}}\right]\\
            w(z)&amp;=w_{0} \sqrt{1+\dfrac{z^{2}}{z_{R}^{2}}}
        \end{systeme}
        \label{eq:systeme}
        
        \begin{figure}[H]
            \centering
            \includegraphics[width=.7\textwidth]{fig/dangoisse/R_et_W.png}
            \caption{Les fonctions $w$ (rayon de ceinture) et $R$ (rayon de courbure) normalisÃ©es.}
            \label{fig:R_et_W}
        \end{figure}
        
    \subsection{ParamÃ¨tres importants}
        On peut intÃ©gralement dÃ©finir le mode Gaussien par deux paramÃ¨tres : $w_0$ et $z_R$. Ces deux paramÃ¨tres, nommÃ© \textit{waist} (ou \textit{rayon de ceinture minimal}) et \textit{longueur de Rayleigh}, sont reliÃ©s par l'Ã©quation :
        
        \begin{equation}
            z_R=\dfrac{\pi w_0^2}{\lambda}
        \end{equation}
        
        Le point $z=0$ est le point d'Ã©tranglement du faisceau, celui qui a le rayon minimal, $w_O$. On a de plus que $w(z_R)=\sqrt{2}w_0$.
        
        La longueur de rayleigh est donc une mesure de la divergence du faisceau, tandis que $w_0$ mesure le pincement de ce dernier. Le bilan Ã©tant que \textcolor{blue}{plus le faisceau est pincÃ©, plus il diverge rapidement.}
        
        Lorsque $z\gg z_R$, on peut Ã©crire la relation
        
        \begin{equation}
            w(z)\simeq w_0\dfrac{z}{z_R}
        \end{equation}
        
        
        Cela donne naissance au concept d'\textit{angle de divergence du faisceau} :
        
        \begin{equation}
            \tan\theta\simeq\theta=\dfrac{w_0}{z_R}=\dfrac{\lambda}{\pi w_0}
        \end{equation}

        \begin{figure}[H]
            \centering
            \includegraphics[width=.7\textwidth]{fig/dangoisse/recap_grand_1.png}
            \caption{RÃ©capitulatif de tout ce bazard.}
            \label{fig:recap}
        \end{figure}

        \remarque{OdG}{
        Les pointeurs lasers standards Ã©mettent dans le rouge Ã&nbsp; $\lambda=700$ nm, avec un waist de $w_0=1$ mm. Alors $z_R=4.5$ m. Le faisceau est peu divergent, d'oÃ¹ son usage comme pointeur. Certains laser atteignent des longueurs de rayleigh de l'ordre du kilomÃ¨tre.
        }

    \subsection{Le terme de phase}
        On a laissÃ© de cÃ´tÃ© le problÃ¨me du terme $A(z)$, cependant comme cela a Ã©tÃ© indiquÃ©, par conservation de l'Ã©nergie, on peut le retrouver. En effet une intÃ©gration de \ref{eq:systeme} donne, avec $C$ une constante arbitraire qu'on prendra Ã&nbsp; 1, et $\phi(z)=-\arctan\dfrac{z}{z_R}$ :
        \begin{equation}
            A(z)=\dfrac{C}{1-i \dfrac{z}{z_{R}}}=\dfrac{C}{\sqrt{1+\dfrac{z^{2}}{z_{R}^{2}}}} e^{-i \varphi(z)}=C \dfrac{w_{0}}{w(z)} e^{-i \varphi(z)}
        \end{equation}
    
        \textbf{Bilan :}
        
        \begin{equation}
            E(x, y, z)=\dfrac{w_{0}}{w(z)} \exp \left[-\dfrac{r^{2}}{w^{2}(z)}\right] \exp \left[-i k z-\arctan \left(\frac{z}{z_{R}}\right)+\frac{k r^{2}}{2 R(z)}\right]
        \end{equation}
    
    \remarque{Modes supplÃ©mentaires}{Les modes d'ordres supÃ©rieurs sont dÃ©crits dans le \livre Dangoisse, p. 45.}
    
    \subsection{ModÃ©lisation}
    
        Une modÃ©lisation intÃ©ressante Ã&nbsp; faire du faisceau est celle du \textbf{CÃ´ne-Cylindre-CÃ´ne} (ou CCC).
        
        \begin{figure}[H]
            \centering
            \includegraphics[width=.7\textwidth]{fig/CCC.png}
            \caption{ModÃ¨le CCC.}
            \label{fig:CCC}
        \end{figure}
        
        Pour $|z|&lt;z_R$, l'onde est quasi plane, on la considÃ¨re comme plane, c'est le domaine \textit{cylindre}. Pour $|z|&gt;z_R$, l'onde est quasi sphÃ©rique, on la considÃ¨re comme sphÃ©rique, c'est la zone \textit{cÃ´ne}. Le cÃ´ne a une ouverture $\theta=\dfrac{\lambda}{\pi w_0}=\dfrac{w_0}{z_R}$.
    
    \subsection{Application}
        Une application trÃ¨s standard de ces rÃ©sultat est l'augmentation de la capacitÃ© des disques optiques, comme les DVD et les blueray. En effet, $z_R$ est donnÃ© par la forme du lecteur, puisque le faisceau doit pouvoir faire un aller-retour entre le capteur et le disque sans trop s'Ã©largir ($z_R\simeq$ quelques mm). On a alors une densitÃ© d'information limitÃ©e par $w_0$, puisque les cases du disque ne doivent pas se superposer.
        
        Ainsi en jouant sur la longueur d'onde, on peut diminuer $w_0$ et s'en sortir, comme le montre ce tableau !

        $$
            \begin{array}{||c|c|c|c||c||}
            \hline \text { disque optique } &amp; \text { annÃ©e } &amp; \lambda &amp; \text { couleur } &amp; \text { capacitÃ© } \\
            \hline \hline \text { CD } &amp; 1982 &amp; 780~ \mathrm{nm} &amp; \text { IR } &amp; 0.7\text { Go } \\
            \hline \text { DVD } &amp; 1997 &amp; 650~ \mathrm{nm} &amp; \text { rouge } &amp; 4.7 \text { Go } \\
            \hline \text { blu-Ray } &amp; 2006 &amp; 405~ \mathrm{nm} &amp; \text { bleu } &amp; 25 \text{ Go } \\
            \hline
            \end{array}
        $$
        
        \transition{Nous allons maintenant nous intÃ©resser Ã&nbsp; ce qu'il se passe quand on utilise une lentille mince avec des faisceaux Gaussiens, afin de mieux comprendre les problÃ¨mes de focalisation et le fonctionnement des lentilles.}

\newpage

\section{Propagation d'un faisceau Gaussien Ã&nbsp; travers un systÃ¨me optique}
    \subsection{Passage au travers d'une lentille mince}
    
        On a vu qu'un faisceau Gaussien Ã©tait complÃ¨tement caractÃ©risÃ© par son rayon minimal $w_0$ (\textit{a.k.a.} le \textit{waist}) et son rayon de courbure $R(z)$. On a Ã©galement constatÃ© que ces deux informations pouvaient Ãªtre rassemblÃ©es dans une seule grandeur : le rayon de courbure complexe $Q(z)=z+iz_R$, oÃ¹ $z_R$ est la longueur de Rayleigh. Ainsi, dans le cas d'une propagation libre d'un faisceau laser entre deux plans $z_1$ et $z_2$, on Ã©crit 
        \begin{equation}
            Q(z_2)=Q(z_1)+d \qquad \text{avec} \qquad d=z_2-z_1
            \label{eq:propag}
        \end{equation}
        
        \vspace{0.2cm}
        
        \begin{center}
            \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/dangoisse/passage_laser_lentille.png}
        \end{center}
        \noindent Si on prend maintenant le cas d'une lentille mince, on se place dans une situation oÃ¹ les plans d'entrÃ©e et de sortie de la lentille sont confondus (car c'est une lentille \textit{mince}) et la taille du faisceau $w(z)$ est identique que l'on soit juste avant ou juste aprÃ¨s la lentille. Ainsi, la lentille ne va introduire qu'un terme de phase qui va modifier le rayon de courbure $R(z)$ du laser. On admet (aprÃ¨s avoir utilisÃ© les matrices de Jones, cf \livre Dangoisse) que les rayons de courbures du laser avant et aprÃ¨s la lentille sont liÃ©s par la relation suivante :
        \begin{equation}
            \dfrac{1}{R(z_2)}=\dfrac{1}{R(z_1)}-\dfrac{1}{f}
        \end{equation}
        Ainsi, en fonction de la valeur de $f$, la rayon de courbure d'un faisceau sortant peut Ãªtre nÃ©gatif (convergence en sortie de la lentille) ou positif (divergence en sortie de la lentille).
        \begin{figure}[H]
            \centering
            \includegraphics[height=.2\textwidth]{fig/dangoisse/faisc_converg.png}
            \includegraphics[height=.2\textwidth]{fig/dangoisse/faisc_diverg.png}
            \caption{Cas oÃ¹ $R(z_2)&lt;0$ Ã&nbsp; gauche et cas oÃ¹ $R(z_2)&gt;0$ Ã&nbsp; droite.}
            \label{fig:my_label}
        \end{figure}
        
        \remarque{Remarque}{Cette relation ressemble furieusement Ã&nbsp; la relation de conjugaison d'une lentille parce qu'on peut approximer le faisceau incident comme Ã©tant une onde sphÃ©rique Ã©manant d'une source ponctuelle Ã&nbsp; la distance $R(z_1)$ en amont de la lentille et le faisceau sortant comme une onde sphÃ©rique convergeant vers un point image Ã&nbsp; la distance $R(z_2)$ en aval de la lentille.}
        
                \newpage

        
        Ã‰tant donnÃ© qu'on a Ã©tabli que $w(z_1)=w(z_2)$, cette pseudo-relation de conjugaison est valable Ã©galement pour les rayons de courbure complexes :
        \begin{equation}
            \dfrac{1}{Q(z_2)}=\dfrac{1}{Q(z_1)}-\dfrac{1}{f}
            \label{eq:conjug}
        \end{equation}
        
        
        
        \noindent On peut maintenant s'attaquer au passage d'un laser Ã&nbsp; travers une lentille mince suivi d'une propagation libre. Pour cela, on note $z_1$ le point situÃ© juste avant la lentille, $z_1'$ celui situÃ© juste aprÃ¨s la lentille et enfin $z_2$ le point situÃ© Ã&nbsp; une distance $d=z_2-z_1'$ de $z_1'$.
        La relation \ref{eq:conjug} nous permet d'obtenir $$Q(z_1')=\dfrac{Q(z_1)}{1-\dfrac{Q(z_1}{f}}$$
        et la relation \ref{eq:propag} donne alors
        \begin{equation}
            \boxed{Q(z_2)=Q(z_1')+d=\dfrac{\bigpar{1-\dfrac{d}{f}}Q(z_1) + d}{\bigpar{-\dfrac{1}{f}}Q(z_1) - 1}}
        \end{equation}
        On peut mettre alors $Q(z_2)$ sous la forme $\dfrac{AQ(z_1)+B}{CQ(z_1)+D}$ et ainsi retrouver la matrice $M=\matrice{A&amp;B\\C&amp;D}$ caractÃ©risant le systÃ¨me optique dans le formalisme de Jones\footnote{Plus d'infos dans les complÃ©ments du \livre Dangoisse, notamment des exemples de matrices pour divers systÃ¨mes optiques.}.

        \textbf{Bilan :} On peut relier le rayon de courbure juste avant la lentille avec le rayon de courbure juste aprÃ¨s la lentille, et donc on peut intÃ©gralement dÃ©finir le rayon sortant avec la focale et le rayon incident.
        

    \subsection{Focalisation d'un faisceau laser par une lentille}
        \begin{center}
            \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/dangoisse/focalisation_laser.png}
        \end{center}
    
    
        PlaÃ§ons-nous dans le cas d'un faisceau laser arrivant sur une lentille de sorte que son \textit{waist} soit dans le plan d'entrÃ©e de la lentille, \textit{i.e.} en $z_1$. On cherche Ã&nbsp; connaÃ®tre le nouveau \textit{waist} $w_0'$ ainsi que sa position $z_2$ qui est Ã&nbsp; la distance $d$ en aval de la lentille. Le faisceau incident a pour rayon de courbure complexe
        $$Q(z_1)=\dfrac{ikw_0^2}{2}=iz_R \qquad \text{oÃ¹ on rappelle que} \qquad w_0=\sqrt{\dfrac{z_R\lambda}{\pi}}$$
        car $w(z_1)=w_0$ et donc $R(z_1)$ est infini. On a de mÃªme en $z_2$
        $$Q(z_2)=\dfrac{ik(w_0')^2}{2}=iz_R'$$
        puisque $w'(z_2)=w_0'$ et donc $R'(z_2)$ est infini.
        La relation reliant $Q(z_2)$ Ã&nbsp; $Q(z_2)$ donne quant Ã&nbsp; elle
        \begin{equation}
            Q(z_2)=\dfrac{d+iz_R\bigpar{1-\dfrac{d}{f}}}{1-i\dfrac{z_R}{f}}=d-\dfrac{f}{1+\bigpar{\dfrac{f}{z_R}}^2}+i\dfrac{z_R}{1+\bigpar{\dfrac{z_R}{f}}^2}
        \end{equation}
        Puisqu'il faut annuler la partie rÃ©elle, on obtient 
        $$\boxed{d=\dfrac{f}{1+\bigpar{\dfrac{f}{z_R}}^2}}$$
        On peut Ã©galement identifier la partie imaginaire pour obtenir la longueur de Rayleigh et donc le \textit{waist} du laser en sortie : 
        \begin{equation}
            z_R'=\dfrac{z_R}{1\bigpar{\dfrac{z_R}{f}}^2} \qquad \iff \qquad \boxed{w_0'=w_0\sqrt{\dfrac{1}{1+\bigpar{\dfrac{z_R}{f}}^2}}}
        \end{equation}
        Ainsi, le faisceau est localisÃ© Ã&nbsp; la distance $d$ de la lentille.
        
        \remarque{Cas d'un faisceau peu divergent}{
        Si le faisceau est peu divergent, notamment si $z_R\gg f$, alors on peut simplifier la formule prÃ©cÃ©dente : $$w_0'=w_0\dfrac{f}{z_R}$$
        }
        
    \subsection{Ã‰largissement du faisceau avec deux lentilles}
    
        \begin{figure}[H]
            \centering
            \includegraphics[width=.7\textwidth]{fig/elargisseur.png}
            \caption{SchÃ©ma du montage d'Ã©largissement de faisceau.}
            \label{fig:elargir}
        \end{figure}
        
        On peut encore une fois partir de ce qu'on vient de voir prÃ©cÃ©demment et regarder ce qu'il se passe quand on fait passer un faisceau Gaussien dans un systÃ¨me afocal composÃ© de 2 lentilles convergente.
        
        Lorsque le faisceau laser arrive sur une premiÃ¨re lentille de sorte Ã&nbsp; ce que son \textit{waist} $w_0$ soit au niveau du plan d'entrÃ©e de cette lentille, il sort de la lentille avec un nouveau \textit{waist} $w_0'$ positionnÃ© Ã&nbsp; une distance $d$ de la lentille, conformÃ©ment Ã&nbsp; ce qu'on vient de voir.
        
        Le faisceau va ensuite se propager librement jusqu'Ã&nbsp; atteindre la seconde lentille. Puisque le \textit{waist} $w_0'$ est proche du point focal image $F_1'$ de la premiÃ¨re lentille et que le systÃ¨me est afocal, on sait que le \textit{waist} du faisceau est Ã©galement proche du point focal objet de la seconde lentille. On en dÃ©duit que le faisceau sortira de la seconde lentille de sorte Ã&nbsp; ce que son nouveau \textit{waist} $w_0''$ soit proche du plan de sortie de la seconde lentille. 
        
        \noindent TÃ¢chons maintenant d'exprimer $w_0''$. Pour cela, on sait qu'aprÃ¨s la premiÃ¨re lentille, on a 
        $$w_0'=w_0\sqrt{\dfrac{1}{1+\bigpar{\dfrac{z_R}{f_1}}^2}}$$ 
        Pour la seconde lentille, on peut se rendre compte qu'on est dans la mÃªme situation que la partie prÃ©cÃ©dente en considÃ©rant un faisceau allant dans le sens inverse, \textit{i.e.} de la droite vers la gauche. GrÃ¢ce au principe de retour inverse de la lumiÃ¨re, on a donc
        $$w_0'=w_0''\sqrt{\dfrac{1}{1+\bigpar{\dfrac{z_R''}{f_2}}^2}}$$
        
        
        \noindent On trouve finalement
        \begin{equation}
            w_0''=w_0\sqrt{\dfrac{
                                    1+\bigpar{\dfrac{z_R''}{f_2}}^2
                                }{
                                    1+\bigpar{\dfrac{z_R}{f_1}}^2
                                }
            }
        \end{equation}
        En considÃ©rant \textbf{l'approximation du faisceau faiblement divergent}, \textit{i.e.} $z_R''\gg f_2$ et $z_R\gg f_1$, on trouve :
        
        \begin{equation}
            \boxed{w_0''=w_0\dfrac{f_2}{f_1}}
        \end{equation}
        
        
        
\end{document}</pre></body></html>