\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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\title{MP02 - Surfaces et interfaces}
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\date{\today}

\begin{document}

\titre{Aurélien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}


\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\  \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Les milieux granulaires}, \textbf{Andreotti}  & Frottement solide \\
\textit{Gouttes, bulles, perles et ondes}, \textbf{Pierre-Gilles de Gennes}  & Capillarité \\
\textit{Hydrodynamaique physique}, \textbf{Guyon, Hulin, Petit}  &  Capillarité\\
\textit{Dictionnaire de physique expérimentale. Tome 1. Mécanique}, \textbf{Quaranta}  &  Manip frottement et capillarité\\
\textit{Physique expérimentale}, \textbf{FLTCD}  &  Tension superficielle\\
\textit{Ondes électromagnétiques dans le vide et les milieux conducteurs}, \textbf{Garing}  &  Lois de Snell-Descartes\\ 
\end{tabular}

\noindent

\subsection*{Expériences}
\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item Vérification des lois de Snell-Descartes
	\item vérification de la loi  de Jurin
	\item Contact Solide-Solide, mesure d'un coef de frottement
	\item Stalagmométrie
\end{itemize}

\tableofcontents

\newpage
\section*{Introduction}

Définir les termes : surface, interface

Préciser les domaines physique de chaque XP

fil rouge ?


Le but de ce montage est d'illustrer des phénomènes d'interface tant sur des solides que des liquides. Ces phénomènes d'interface sont d'un intérêt fondamental en physique et en ingénierie, car ce sont eux qui permettent, par exemple, le transport d'information par fibre optique.


\vspace{0.2cm}

\section{Interface solide-solide : mesure d'un coefficient de frottement statique}
\livre Andreotti p20
\paragraph{Principe}
On commence par le plus intuitif mais pas le plus simple conceptuellement.\\
On expérimente au quotidien les phénomènes de contact entre les solides. On va s'en tenir à une description macroscopique et phénoménologique des lois de frottement d'Amontons-Coulomb. On va se servir de cette loi et calculer le coefficient de frottement entre deux solides.\\
Pour cela on va poser le solide sur la plaque et augmenter l'angle jusqu'à ce qu'il y ait rupture.

\paragraph{Mise en équation}
Loi d'Amontons-Coulomb : $|R_T|\leq\mu_s|R_N|$.\\
On a $P=-mg\cos\alpha \Vec{ez}+mg\sin\alpha \Vec{e_x}$ donc à la rupture $R_T = - mg\sin\alpha = \mu_s mg\cos\alpha$ et donc $\mu_s = \tan\alpha$. On peut interpréter ce résultat en termes de cône de stabilité.
\paragraph{Résultats expérimentaux}
\experience{Mesure d'un coefficient de frottement}{Quaranta 1 p150}{}{On utilise une plaque qui dispose d'un rapporteur, ou on utilise un inclinomètre pour mesurer l'angle. On monte doucement l'angle jusqu'à que ça lâche à l'aide de support boy.}
On a alors une estimation du coefficient de frottement.

\paragraph{Incertitudes: }
\begin{itemize}
    \item Elles vont être grandes, il faut absolument faire un traitement statistique, toujours poser le solide de la même façon, etc. L'erreur systématique sera probablement négligeable devant l'écart type.
\end{itemize}

\paragraph{Vérification des hypothèses et discussion du modèle}
\begin{itemize}
    \item On obtient de grosses variations, c'est normal, il n'y a de toute façon pas de valeurs tabulées précisément, on peut tout au plus donner un encadrement.
    \item Même fondamentalement, ce coefficient dépend tellement de l'état de surface, de l'historique du contact (comment il a été formé, depuis combien de temps), humidité, température.
\end{itemize}

\transition{Après avoir posé des solides sur des solides, on va poser des liquides sur des solides (ou des solides sur des liquides)(et c'est valable aussi pour des liquides sur des liquides).}






\section{Interface gaz/liquide/solide}

\experience{Bulle carrée}{}{}{\textbf{Matériel} : Liquide à bulles, support cubique à bulles.

Montrer l'existence d'une interface}

Lorsque les interfaces étudiées impliquent des fluides, les molécules proches de cette interface sont dans
un environnement défavorable puisqu'elles sont entourées de moins de voisines. La formation de l'interface
est donc couteuse énergétiquement, ce qui se traduit thermodynamiquement par la tension de surface. On
exploite dans cette partie le phénomène de mouillage d'un liquide sur un solide. Les trois interfaces mises
en jeu impliquent un solide, un liquide et l'air, et sont liées par un angle de mouillage noté $\theta$ dans la suite.
Les expériences proposées font intervenir des fluides communs (eau et éthanol), qui sont considérés comme
on va le voir comme très mouillant, c'est à dire à angle de contact quasi-nul.


\includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/bulle.png}

\subsection{Mesure d'une tension de surface par arrachement}


\livre FLTCD, GHP p62
\smallbreak
Pour un corps (et surtout pour les liquides), il y a une différence d'interaction entre les molécules dans le volume et les molécules situées à la surface. Les molécules à la surface possèdent un déficit d'énergie, former une interface coûte de l'énergie. C'est pour ça que les gouttes sont sphériques (\textcolor{gray}{Sans frottement de l'air pour la pluie ou autre}).


\paragraph{Principe}
L'anneau qui trempe dans l'eau, on a \underline{deux} interfaces liquide-vapeur par unité de longueur de l'anneau. Ces interactions liquide-vapeur sont caractérisées par un coefficient $\gamma$, qu'on appelle tension superficielle et qui peut être interprété comme une force par unité de longueur qui tend à diminuer l'aire de l'interface. On a donc $2F_{\gamma}$ par unité de longueur. On va s'intéresser à une mesure de ce coefficient de tension superficielle par la méthode de la balance par arrachement. (voir FLTCD p466).

\paragraph{Mise en équation}
FLTCD p466, GHP
\paragraph{Résultats expérimentaux}
\experience{Mesure de la tension de surface}{FLTCD p466}{}{On suspend l'anneau au dessus d'une boite de pétri bien propre remplie d'eau distillée juste avant. (Si on faire les choses extrêmement bien, l'anneau est rincé à l'acétone/éthanol, passé dans l'acide chlorhydrique et légèrement brûlé, mais l'étape éthanol peut suffire). On place une balance de précision sous la boîte de pétri (c'est une bonne alternative au dynamomètre pas très précis). La potence sur laquelle est attachée l'anneau est sur un support boy\footnote{Bien le choisir et ça marche nickel}, on fait doucement monter l'anneau et on regarde le maximum de la force (minimum de poids) auquel on retranche le poids de départ (boite de pétri+eau seule) (tarer la balance au début). Cette différence vaut alors $F_{\gamma}=2\times 2\pi R$.\footnote{Apparemment Cachan a un système de capteur piézo qui peut remplacer avantageusement le dynamomètre, on peut éventuellement faire balance + piézo pour deux mesures comparatives}. Ne pas oublier de réétallonner tout ce que l'on utilise.}


\paragraph{Incertitudes: }
\begin{itemize}
    \item Là encore, faire une statistique, c'est important.
    \item selon qu'on utilise la balance ou le dynamomètre les incertitudes ne sont pas les mêmes, penser à vérifier l'étalonnage.
    \item il faut que l'anneau soit bien horizontal.
\end{itemize}

\paragraph{Vérification des hypothèses et discussion du modèle}
\begin{itemize}
    \item On compare à la valeur tabulée (cf FLTCD), normalement on est plutôt bon, si on est en-dessous c'est les impuretés, si on au-dessus, c'est qu'on a mal fait un truc.
    \item En préparation, on fait cette mesure pour différentes concentrations de surfactant (SDS de 0 à $\SI{2.5}{\gram\per\liter}$). On constate une diminution drastique de la tension superficielle jusqu'à la Concentration Micellaire Critique, où on voit un plateau (saturation en surfactant). Voir PGDG p177, GHP p62.
\end{itemize}



\subsection{Loi de Jurin}

Lorsqu'un tube capillaire est plongé dans un liquide mouillant, on observe la montée du fluide à l'intérieur du tube, résultant d'une compétition entre énergie de surface et énergie potentielle de pesanteur. Par un raisonnement énergétique (ou en raisonnant en termes de pression), on peut montrer que la hauteur h du fluide dans le tube est :

$$
h=\frac{2(\gamma_{SG}-\gamma_{SL})}{\rho gr}=\frac{2\gamma\cos\theta_E}{\rho gr}
$$

$\gamma_{SG}$ désigne la tension de surface de l'interface solide-gaz, SL celle de l'interface solide-liquide et $\gamma$ tout seul celle de l'interface liquide-
gaz, $r$ désigne le rayon des tubes capillaires. Cette relation est nommée loi de Jurin. On va vérifier cette relation pour plusieurs tubes de diamètres différents.

\experience{Loi de Jurin}{}{}{

\textbf{Matériel :} Tubes capillaires P105.16, éthanol, colorant soluble à l'éthanol.

But : Remonter à la valeur de $\gamma\cos\theta_E$, et à celle de $\gamma$ si on suppose $\theta_E=0$.

Valeur tabulée : 22,5 mN/m\textbf{ @20 degres}

Pour la mesure, bien nettoyer avant mesure, et faire une mesure en redescente avec une poire à pipetter.
}

Les erreurs peuvent venir de plein de facteurs, notamment de la température.

\textbf{Remarque : }La dynamique de l’ascension capillaire est régie par la loi de Washburn et est très rapide : on ne peut pas l’étudier avec le
matériel dont nous disposons.

\subsection{Stalagmométrie}
\livre [PGDG], p.60, [Quaranta I] à « Capillarité »


On observe expérimentalement que la masse des gouttes créées par un compte-goutte est toujours identique, et proportion-
nelle au rayon du compte goutte et à la tension superficielle du liquide (loi de Tate). La goutte se détache lorsque son poids excède la force capillaire, c'est à dire :

$$
2\pi R\gamma=\rho gV_g
$$

On a donc

$$
m_g=\frac{2\pi R\gamma}{g}
$$

\textbf{Cependant} en pratique seule une proportion $\alpha$ du liquide se détache, et on connait pas R. Ce rapport $\alpha R$ dépend peu du liquide considéré, donc en pratique on peut étalonner avec un liquide de $\gamma$ connu pour trouver un $\gamma$ inconnu !

\experience{
Loi de Tate
}{}{}{
On met une burette au dessus d'une balance, on compte les goûtes qui tombent, et magie !!

Étape 1, trouver le rapport $\alpha R$ avec de l'éthanol, en prenant $\gamma$ tabulé.

Étape 2, trouver $\gamma$ en connaissant $\alpha R$ pour de l'eau, par exemple.

Compter une 50aine de gouttes pour faire des incertitudes sympas.

Ca peut s'automatiser avec la fourche optique P96.27 et le compteur p96.26, mais c'est capricieux...
}

Incertitudes : On évalue l'incertitude de la balance, celle sur le nombre de gouttes ratées, et on divise par le nombre de gouttes.




\transition{Une interface n'est pas seulement qu'une inter-phase, c'est une discontinuité d'un paramètre. On va donc regarder l'effet d'une discontinuité d'indice, c'est un dioptre, }


\section{Snell-Descartes dans le Plexiglas}
Il n'y a probablement pas besoin d'une référence pour cette expérience inratable qui nous met bien en confiance.

\smallbreak
Bon, Plexiglass c'est une marque déposée, en vérité il s'agit du PMMA (Polyméthacrylate de méthyle). Mais si j'ai déjà lu "PMMA", je n'ai jamais entendu quelqu'un le prononcer donc ne soyons pas trop fantaisistes et parlons de plexiglass.

\smallbreak
On va simplement vérifier les lois de Snell-Descartes en réflexion et en réfraction. En passant à travers un dioptre séparant deux milieux homogènes d'indice de réfraction différents, la lumière est déviée. Si on nomme $i$ l'angle incident, fait par un rayon avec la normale à une interface séparant un milieu d'indice n0 d'un milieu d'indice $n_1$, $r$ l'angle du rayon
réfléchi et $t$ l'angle du rayon transmis, on a :
$$n_0 \sin(i) = n_1 \sin(t) \qquad \text{et} \qquad i=-r$$

\experience{Vérification de Snell-Descartes}{}{4 min}{
\textbf{Matériel :}
\begin{itemize}
    \item un laser
    \item un semi-disque avec le disque gradué P4.4
    \item un écran ou une feuille blanche pour mesurer l'angle
\end{itemize}


\smallbreak
On fait rentrer le rayon du laser dans le plexi par la face semi-circulaire : de cette façon l'angle incident à cette interface est toujours nul et on étudie les angles à la sortie du plexi : on passe du milieu plus réfringeant au milieu moins réfringeant, on peut donc explorer une plus large gamme d'angles et surtout mettre en évidene la notion d'angle limite pour la réfraction.


Pour faire varier l'angle incident, on pourrait garder le demi-disque fixe et faire tourner le laser, de cette façon on aurait une mesure directe des trois angles. C'est long et fastidieux, sans oublier qu'on n'aurait pas l'assurance de frapper le dioptre toujours au centre du cercle. On préfère donc fixer le laser et faire tourner le demi-disque, comme le matériel
le prévoit. On peut encore mesurer directement l'angle incident, mais l'angle réfléchi et transmis se déduisent en retirant l'angle incident à l'angle mesuré, ce qui a pour effet immédiat d'augmenter nos incertitudes à 1 au lieu de la simple incertitude de lecture
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ (simple formule de propagation des incertitudes). Il faut en avoir conscience, mais ce n'est pas très grave, c'est bien la bonne façon de procéder.

On mesure donc nos angles pour différents angles incidents, par régression linéaire sur Régressi (attention à bien définir sin($i$) et sin($t$)) on retrouve les lois de Snell-Descartes. On s'autorise à prendre 1 pour l'indice de l'air, et plus encore on s'interdit de prendre une valeur plus précise : la précision de nos mesures ne nous permet pas d'aller au 4e chiffre significatif dans l'expression des indices...

Les indices des plastiques varient entre 1,3 et 1,65, pour du plexiglass on doit trouver quelque chose de l'ordre de 1,50 à 20\si{\degree}C pour un angle incident limite en réfraction correspondant d'environ 41,5\si{\degree}.
}

Pour commenter les valeurs obtenues, il semble intéressant de parler de dispersion de la lumière : l'indice du plexi va varier avec la longueur d'onde. D'après les valeurs tabulées, on aurait un indice de 1,483 à la limite de l'IR et de 1,514 aux portes de l'UV. On a donc une grande variation dans le domaine du visible et la couleur du laser utilisé va avoir une influence.

\smallbreak
Il est important aussi d'expliquer le phénomène. Si on se demande "Pourquoi la lumière change de direction comme ça ?", on peut toujours sortir des équations de Maxwell et faire des calculs, il y a toujours quelqu'un qui aime faire ça.

Sinon, on peut reprendre la définition de l'indice optique comme le rapport entre la vitesse de la lumière dans le milieu et dans le vide, et énoncer le principe de Fermat : le chemin optique est stationnaire, qu'on peut très grossièrement exprimer comme "la lumière emprunte la trajectoire la plus rapide". Mais c'est épineux puisqu'énoncé simplement comme ça, sans expliciter, on donne l'impression de le faire \textit{a posteriori}, en connaissant déjà l'angle de transmission et en vérifiant qu'on relie bien deux points par la trajectoire la plus rapide (voir LP31 pour comprendre que ce n'est pas le cas). 

Notons que la stationnarité équivaut à une longueur de trajectoire maximale et non minimale dans le cas de la réflexion. Finalement, on peut aussi se servir du principe de Huygens et dire que tous les points du dioptre touchés par le rayon lumineux agissent comme des sous-sources éclairant dans toutes les directions, et qu'il ne subsiste que la direction qui leur permet d'être cohérents.



\end{document}

