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\title{MP09 -- Diffraction des ondes lumineuses}
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\date{\today}

\begin{document}

\titre{Aurélien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}

\subsection*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item \textbf{2010-2017:} . Une condition nécessaire est de connaître la différence entre
diffraction de Fraunhofer et diffraction de Fresnel, et on doit s'assurer que les conditions de Fraunhofer sont
remplies si l'on utilise les formules associées. 
\item \textbf{2014-2017:} La détermination de la taille d'un fil ou d'un cheveu est d'autant
plus intéressante que la valeur mesurée peut être comparée à une valeur tabulée ou mesurée par une technique
complémentaire.
\item \textbf{2017:} Le jury voit trop souvent des expériences de diffraction par des fentes, généralement mal
calibrées, servir à mesurer des longueurs d'ondes de lasers !
\item \textbf{2014-2016:} Attention
aux expériences de filtrage spatial qui sont souvent mal comprises.
\item \textbf{2010-2013:}  Rappelons que les phénomènes de diffraction peuvent s'observer
avec d'autres sources lumineuses que des lasers, dont le « speckle » peut parfois nuire à la précision des mesures.
\item \textbf{2008:} Dans toute expérience d'optique, les figures sont de bien meilleure qualité quand les appareils sont
convenablement alignés. 
\item \textbf{2000:} La diffraction est certes un phénomène gênant, mais pas uniquement : le principe de fonctionnement
d'instruments comme les réseaux optiques repose sur son existence. L'optique diffractive prend de plus en plus
d'importance industrielle.
\end{itemize}


\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\  \ }p{0.48\linewidth}}
\textbf{FLTCLD}  &  \\ 
\textbf{Sextant} & En complément\\
\end{tabular}

\noindent

\subsection*{Expériences}
\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item 
\end{itemize}

\tableofcontents

\newpage

\section*{Introduction}

En optique géométrique, la lumière va en ligne droite, et le rayon lumineux est assimilé à un pinceau de lumière de largeur infiniment fine devant tous les obstacles qu'il rencontre. Cependant, la théorie ondulatoire de la lumière met en évidence une limite de cette approche, qui se manifeste lorsque qu'une onde lumineuse rencontre des obstacles de dimension de l'ordre de grandeur de sa longueur d'onde. Il se passe alors un phénomène particulier que l'on connaît bien maintenant, la diffraction

\vspace{0.2cm}

\section{Le phénomène de diffraction}

La première mise en évidence du phénomène de diffraction c'est celle de la fente.

\subsection{Première approche}

\experience{Mise en évidence du phénomène}{FLTCLD}{2mn}{
Un laser, une fente réglable, et c'est partiii ! wiiiiii !

HeNe : $\lambda = 632.8$nm
}

Il existe un lien quantitatif que nous allons vérifier tout de suite !

\subsection{Vérification théorique}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.4\textwidth]{fig/frau.png}
    \caption{Forme de l'intensité sur l'écran.}
    \label{fig:frau}
\end{figure}

Par le calcul on a $I\propto\text{sinc}^2\frac{\pi ax}{\lambda D}$. $a$=largeur, $D$=longueur écran-fente, $x$ sur l'écran. On peut remonter vérifier cette valeur, si on connaît la largeur de la fente. Tous les $\frac{\lambda D}{a}$ le sinc s'annule, donc on a la largeur de la tâche centrale qui vaut $2\frac{\lambda D}{a}$ et les autres qui valent $\frac{\lambda D}{a}=\Delta x$.

$$
\Delta x = \frac{\lambda D}{a}
$$

\experience{Mesure de largeurs de fentes}{FLTCLD}{5mn}{

Même matériel, fentes de largeur connue, on mesure autant d'annulations que possible, et on trace $\Delta x$ en fonction de $1/a$. Droite de pente $\lambda D$.
}

\textbf{Incertitudes :} $\Delta\Delta x=$ digit de la règle divisé par le nombre de mesures, ou sigma de la distribution, au choix.

\subsection{Application}

On sait que le phénomène est identique si on met un obstacle plutôt qu'une fente. On va donc utiliser l'étalonage précédent pour mesurer la largeur d'un cheveux !

\experience{Largeur du cheveu}{Mon imagination folle}{2mn}{
Remplacer la fente par un cheveu, mesurer $\Delta x$ et remonter à l'épaisseur.

$$
a=\frac{\lambda D}{\Delta x}
$$
}

\textbf{Incertitudes :} $\Delta a = a\sqrt{(\Delta \Delta x/ x)^2+(\Delta \lambda D/\lambda D)^2}$, avec $\Delta\lambda D$ donné par la régression.

\transition{
En réalité, bien que les mesures fonctionnent bien, montrant la cohérence de la théorie ondulatoire de la lumière, lorsque l'on rapproche l'écran on voit l'éclairement se modifier : on n'a pas la même forme que ce que l'équation précédente indiquait. Il existe en réalité plusieurs régimes de diffraction, dont nous allons parler tout de suite.
}




\section{Les régimes de diffraction : fresnel et Fraunhofer}

\subsection{Mise en évidence}
pour mieux faire la différence entre les deux régimes, on va changer d'objet diffractant et on va utiliser des lentilles pour élargir la figure.

\experience{Mise en évidence des deux régimes}{Sextant p141}{5 min}{
\textbf{Matériel :}

$\bullet$ Laser rouge $\lambda = 632.8$ nm P5.3/2 sur support horizontal P108.8, pied fixe 0.531 ;

$\bullet$ Objectif de microscope x10 ;

$\bullet$ lentille de focale grande (environ 30 cm) ;

$\bullet$ Trou P113.3 ou diapositive B169 -trou de largeur 0.8 mm) sur un
statif

\textit{Si les figures de diffraction observées sont trop petites, on peut ajouter une lentille de projection. Pour cela, conjuguer une fente et l'écran avec une lentille de 10 cm et une QI, de sorte à avoir la plus grand image possible. Solidariser la lentille et l'écran avec une barre et retirer la fente et la QI : on peut utiliser alors ce dispositif pour observer les deux régimes.}

\smallbreak
Commençons par former une source quasi-ponctuelle. Pour cela, faire converger le laser avec un objectif de microscope (ou une lentille de courte focale) puis, à l'aide de la seconde lentille de grande focale, faire l'image du point source sur l'écran.

\smallbreak
Placer ensuite le trou derrière la lentille de grande focale pour obtenir une figure de \textbf{diffraction de Fraunhofer} sur l'écran. Si on bouge le trou dans son plan, la figure n'est pas modifiée. On parle aussi de \textbf{diffraction en champ lointain}.

\smallbreak 
Rapprocher l'écran du trou. On voit alors la figure de diffraction dans l'image géométrique. Si on bouge le trou, la figure de diffraction bouge aussi. On parle de \textbf{diffraction en champ proche} ou \textbf{diffraction de Fresnel}. 
}


\remarque{Remarque}{Dans la première partie du montage avec la fente, on était dans le régime de Fraunhofer, en champs lointain !}


\transition{On a mis en évidence les deux régimes différents de diffraction pour lesquels l'éclairement est différent. On va mainteannt les caractériser.}


\subsection{Nombre de Fresnel}
On définit le \textit{nombre de Fresnel} de la façon suivante :
$$\mathcal{F}=\frac{\rho^2}{\lambda}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$$
avec $\rho$ le rayon du trou, $a$ la distance entre la source et l'objet diffractant et $b$ la distance entre l'objet diffractant et le plan d'observation.
Si $\mathcal{F} \gg 1$, on est dans le régime de Fresnel, et si $\mathcal{F} \ll 1$ on est dans le régime de Fraunhofer.


\remarque{Remarque}{Mathématiquement, ce nombre représente l'ordre de grandeur des termes d'ordre 2 dans le développement de la phase dans le principe de Huygens-Fresnel.}


Ce nombre est également le nombre le zones de Fresnel, \textit{i.e.} le nombre d'anneaux à l'intérieur de la tâche lumineuse principale. On va détailler ça dans la partie suivante.

\subsection{Zones de Fresnel}

\experience{Zones de Fresnel}{FLTCD}{10 min}{
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{fig/diffr_fresnel.png}
    \caption{Montage expérimental, tiré du Jolidon}
    \label{fig:fresnel}
\end{figure}
\textbf{Matériel :}

• Laser rouge $\lambda = 632.8$ nm P5.3/2 ;

• Objectif de microscope p107.16/3, pied déplaçable horizontalement et verticalement ;

• Diapositive B169, statif, trou de 1.2mm, espacé de 10.5 cm de l'objectif ;

• Lentille d'"exploration" de focale 120mm, P111.2/1, pied horizontal vertical

\smallbreak
Les lentilles sont choisies telles que sur toute la longueur du banc on soit en régime de Fresnel. 
On va vérifier la formule donnant le nombre de zones de Fresnel en fonction
de 1/$b$. 


En pratique, on fixe toutes les longueurs sauf la position y de la lentille d'exploration que l'on fait varier.
On part avec la lentille éloignée de l'objet, puis on rapproche la lentille en observant bien le centre de la figure.


Quand le centre passe de noir à brillant ou inversemment, on compte le nombre de zones de Fresnel $\mathcal{F}$ (donc d'anneaux, en comptant le centre) et on note la valeur de $y$.

\smallbreak
On obtient $b$ grâce à la relation de conjugaison $\frac{1}{f}=\frac{1}{y}+\frac{1}{D-y-b}$ qui donne $b=\frac{D-y-fy}{y-f}$.

\smallbreak
On trace ensuite F en fonction de 1/$b$. La pente $\frac{\rho^2}{\lambda}$ permet de remonter au rayon du trou, et l'ordonnée à l'origine à la distance source-objet diffractant $a$.

\smallbreak
Il y a une discussion dans le Jolidon sur le terme 1/$a$ dans le nombre de Fresnel qui est en fait affecté par la courbure du faisceau laser.
}

\section{Optique de Fourier}
\subsection{Transformée de Fourier}

Image de Fraunhofer = transformée de Fourier de d'image, donc on peut faire joujou !

\experience{Transformée de fourier d'une grille}{La caverne qui me sert de tête}{2mn}{
Faire un double sinc avec une grille
}

\subsection{Filtrage}

On va faire l'image de frau dans un coin, la modifier, et la retransformer en image normale, ça fera du filtrage !

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.8\textwidth]{fig/fourier.png}
    \includegraphics[width=.8\textwidth]{fig/fourierbis.png}
    \caption{Le laser et les deux premières lentilles servent seulement à générer un joli faisceau.}
    \label{fig:Fourier}
\end{figure}


\experience{Filtrage de Fourier}{}{5mn}{

\textbf{Matériel :} Lentilles (deux de même focales, une autre pour le laser), laser, objectif de microscope, empreinte digitale sur du scotch, image diapo de la tête de Fourier, tête d'épingle sur un scotch

\textbf{Montage :} Faire attention au montage 4f, faire bien correspondre les foyers.

Faire la manip que tu veux entre détramer ce bon vieux Fourier, faire apparaître une empreinte digitale, ou filtrer un laser pour épurer un faisceau. On met l'objet dans le faisceau entre L1 et L2, on en fait l'image ponctuelle dans le plan de Fourier, où l'on met le filtre, puis on fait l'image.

Passe bas = diaphragme.

Passe haut = diapo tête d'épingle
}



\end{document}

